第二定律之谜

熵增加。机械功不可逆地转化为热。热力学第二定律被认为是物理科学的伟大一般原理之一。但是150年了在它首次引入之后，第二定律仍然有一些非常神秘的东西。看起来这几乎是“可以证明的事实”。但有一个从来没有真正到达那里; 它似乎总是需要额外的东西。有时教科书会掩盖一切；有时，他们会给出某种“公共物理论点”。但第二定律的神秘从未消失。

为什么第二定律有效？事实上，它总是起作用吗？还是有时会被违反？它真正取决于什么？“证明它”需要什么？

对我个人来说，理解第二定律的探索不亚于50年的故事但回到20世纪80年代，当我开始探索简单程序的计算世界时，我发现了一个基本现象这立刻让人想起了第二定律。20世纪90年代，我开始绘制出这种现象可能发生的情况最终能够揭开第二定律的神秘面纱。但只有现在，我们的想法才浮现出来物理项目-我认为我可以把所有的部分结合起来，最终能够构建一个适当的框架来解释为什么以及在多大程度上第二定律是正确的。

在通常的概念中，第二定律是热力学定律，与热的动力学有关。但事实证明，对它有一个广泛的概括是可能的。事实上，我的关键认识是，第二定律最终只是同一个核心计算现象的表现，而这正是我们物理项目的核心，实际上也是我们研究鲁里亚人和多计算范式。

这都是一个关于底层之间相互作用的故事违背了计算不可化归性和我们的作为计算有界观测器的自然其他观察者，甚至我们自己的未来技术-可能会有不同的看法但至少对我们来说，计算不可约性的普遍存在必然导致行为的产生我们的计算有界的本性读作“随机”我们可能会从高度有序的东西开始（比如盒子角落里的气体分子），但很快，至少就我们所关注的而言，它通常会像第二定律所暗示的那样“随机化”。

二十世纪出现了三大物理理论：广义相对论、量子力学和统计力学，第二定律是统计力学的定义现象。虽然有一种感觉，统计力学（尤其是第二定律）应该以某种方式“形式上可推导”，但广义相对论和量子力学似乎截然不同。但我们的物理项目改变了这一局面值得注意的是，现在看来，广义相对论、量子力学和统计力学这三个概念实际上都是可以推导出来的，并且都是从同一个最终基础上推导出来的：计算不可约性和像我们这样的观测者的计算有界性之间的相互作用。

统计力学和第二定律的情况在某些方面比其他两个简单，因为在统计力学中，将观测者与他们所观察的系统分离是现实的，而在广义相对论和量子力学中，观测者必须是系统不可分割的一部分。这也有助于我们今天更熟悉统计力学中的分子等现象，而不是空间原子或多向系统分支的现象。通过研究第二定律，我们将能够发展出我们可以在其他地方使用的直觉，比如在我最近对描述的“分子”与“流体”层次的探索中元数学基础的物理化。

第二定律的核心现象

这个第二定律的最早陈述比如：“热量不会从较冷的物体流向较热的物体”或“你不能系统地将热量纯粹转化为机械功”。后来出现了更抽象的说法“熵趋于增加”。但归根结底，所有这些陈述都归结为一个想法：事情总是以某种方式逐渐变得“更加随机”。根据第二定律，可能以有序状态开始的事物将不可避免地“退化”为“随机”状态。

但这种现象有多普遍？它只适用于热量、温度、分子和其他东西吗？还是说它适用于所有类型的系统？

我认为，答案是，在第二定律的下面，有一个非常普遍的现象，它非常强大。这有可能应用于几乎任何一种可以想象的系统。

下面是我长期以来最喜欢的一个例子：规则30细胞自动机:

从一个简单的“有序”状态开始，这里只包含一个非白细胞。然后反复应用规则。出现的图案有一些明确的、可见的结构。但它的许多方面“似乎是随机的”。正如第二定律，即使从“有序”的东西开始，最终也会得到“随机”的东西。

但它“真的是随机的”吗？它完全由初始条件和规则决定，你总是可以重新计算它仍然“看起来很随意”从这个意义上说，没有任何已知的方法可以纯粹对这个输出进行操作，从而发现其中的规律性。

这让人想起π的数字。生成这些数字有一个相当简单的算法。然而，一旦生成，数字本身似乎出于实际目的是随机的。

在研究物理系统的过程中，长期以来一直认为，每当看到随机性时，它都会以某种方式来自系统之外。也许是“热噪声”或“扰动”作用于系统。也许是朝代式的“挖掘”通过实数初始条件提供的高阶数字。但令人惊讶的是我在20世纪80年代的发现从规则30来看，实际上不需要这样的“外部源”：相反，完全有可能内在生成的随机性在一个系统中，仅仅通过应用明确的基本规则的过程。

人们怎么能理解这一点？关键是用计算的方式思考。最终，这种现象的根源是与系统实际进化相关的计算过程与我们对进化结果的感知所产生的计算过程之间的相互作用。

我们可能会想，如果一个系统有一个简单的基本规则，比如规则30，那么预测系统将做什么总是很简单的。当然，原则上我们可以只运行规则，看看会发生什么。但问题是，我们是否可以期望“向前跳”并“找到结果”，而计算工作量要比系统的实际演变少得多。

我在20世纪80年代和90年代所做的许多科学研究的一个重要结论是，对于许多系统——大概包括规则30——来说，根本不可能“向前跳”。相反，系统的演变就是我所说的计算上不可约的-因此，要找出系统的功能，需要花费不可减少的计算工作量。

最终这是我所说的计算等效原理也就是说，在某些较低的阈值之上，系统在其执行的计算复杂度上总是等价的。这就是为什么即使是我们的大脑和我们最复杂的科学分析方法也无法“在计算上超越”规则30，所以我们必须考虑它在计算上是不可约的。

那么这与第二定律有什么关系呢？正是因为如此，像规则30这样的系统才有可能按照简单的基本规则运行，但本质上却会产生看似随机的行为。如果我们能做所有必要的计算上不可约的功，那么原则上我们就能“看穿”下面的简单规则。但关键点（我们的物理项目)是那个吗像我们这样的观测者计算能力有限在我们的能力范围内。这意味着我们无法“看穿计算不可约性”——结果是我们看到的行为“在我们看来是随机的”。

在热力学中，“随机”行为是我们与热联系在一起的。第二定律断言，与系统机械功相关的能量往往会“退化为热”，这对应于这样一个事实，即当存在计算不可约性时，所产生的行为是我们无法轻易“计算地看穿”的，因此对我们来说，它似乎是随机的。

普通热力学之路

像规则30这样的系统使得内在随机性生成特别清楚。但是，这些系统与热力学通常研究的系统有什么关系呢？第二定律最初的表述涉及气体，即使在今天，它的绝大多数应用仍然涉及气体之类的东西。

在基本水平上，典型气体由一组通过碰撞相互作用的离散分子组成。作为这方面的理想化，我们可以考虑硬球它们根据标准力学定律运动，相互之间以及与容器壁发生完全弹性碰撞。下面是来自这种系统的仿真，在2D中完成：

我们从一个由“分子”组成的有组织的“船队”开始，系统地朝特定方向前进（不要触碰，以避免“牛顿摇篮”多次碰撞——一次一次的效果）。但在这些分子与墙壁碰撞后，它们很快开始以更随机的方式运动。最初的系统运动就像一个人在“做机械工作”时发生的事情，比如移动固体物体。但我们看到的是，正如第二定律所暗示的那样，这种运动很快“退化”为无序且看似随机的“酷热”微观运动。

以下是行为的“时空”视图：

从远处看，每个分子的时空轨迹显示为一个略微透明的管，我们得到：

我们在上面看到的第30条规则的行为在性质上已经有了一些相似之处。但有许多具体的差异。最明显的一点是，虽然规则30只包含离散的细胞集合，但硬球气体中的球体可以位于任何位置。此外，他们立场的准确细节可能会产生越来越大的影响。如果两个弹性球体正面完美碰撞，它们会反弹回来。但一旦它们稍微偏离中心，就会以不同的角度反弹，如果它们重复这样做最小的初始偏心将被任意放大:

是的，这种混沌现象使它甚至很难在计算机上进行准确的模拟数值精度有限。但这对第二定律的核心随机化现象真的重要吗？

为了开始测试，让我们考虑的不是硬球体，而是硬方块（我们假设方块始终保持在同一方向，忽略会导致旋转的机械扭矩）。如果我们像以前一样建立了一个“船队”，将方块的边缘与盒子的墙壁对齐，那么事情就足够对称了，我们看不到任何随机性，事实上唯一发生的重要事情就是牛顿积分当广场的“大篷车”撞到墙上时：

从“时空”中看去，我们可以看到“船队”正原封不动地从墙上弹回：

但是，通过将一些正方形的“质量”大约加倍，并将它们的位置“riffling”（这也避免了奇异的多正方形碰撞），即使去掉一点点对称性，我们也可以得到：

在“时空”中，这变成

或“从侧面”：

因此，尽管缺乏混沌样的放大行为（或我们的模拟中任何相关的数值精度损失），但仍有快速“退化”到某种明显的随机性。

那么我们还能走多远呢？在硬方气体中，正方形仍然可以位于任何位置，并以任何速度向任何方向移动。作为一个更简单的系统（我碰巧首次调查近50年前的版本)，让我们考虑一个离散网格，其中理想化分子具有离散方向，且在每个边缘上存在或不存在:

系统以离散的步骤运行，每一步的分子都根据规则移动或“散射”（直至旋转）

并根据以下内容与“墙”交互：

从一支“舰队”开始，我们开始了连续的步骤：

或者，每10步采样一次：

在“时空”中，这变成了（箭头指向“世界线”）

或“从侧面”：

我们再次看到至少有一定程度的“随机化”。有了这个模型，我们非常接近于规则30的设置。重新制定同样的模型，我们可以更接近。不是让“粒子”具有明确的“速度方向”，考虑一下只有一个网格其中每个步骤更新2×2块的交替模式，根据

和“墙”规则

以及所有这些规则的“旋转”。有了这个“块元胞自动机“设置，”孤立粒子“根据规则就像棋盘上的棋子：

一个由粒子组成的“船队”——类似等量硬平方——在“方形围场”中具有相当简单的行为：

在“时空”中，这只是：

但如果我们添加一个固定的（“单细胞壁”）“障碍细胞”（此处位于盒子的正中心，因此保持了反射对称性），则行为会大不相同：

在“spacetime”中，这变为（“障碍细胞”显示为灰色）

或“从侧面”（“障碍物”有时会被前面的细胞遮挡）：

事实证明，我们在这里使用的块细胞自动机模型实际上在功能上与我们在上面使用的“离散速度分子”模型相同，正如它们的规则对应所示：

看到这种对应关系，人们想到了考虑“旋转容器”——即使没有任何类型的“内部固定障碍细胞”，也不再给出简单的行为：

这是相应的“时空”视图

下面是“从侧面”的样子：

以下是相同设置的更大版本（虽然不再具有精确对称性），每50步采样一次：

是的，看起来越来越像内在随机性生成就像第30条规则一样。但如果我们再往前走一点，对应关系就会变得更加清晰。

到目前为止，我们一直在研究的系统都是2D的。但在规则30中，我们认为1D是什么样的？事实证明，我们可以建立非常相似的“类气体”块细胞自动机。虽然对于大小为2的块和每个单元格的两个可能值，但只有一条可行的规则

其中，唯一有效的非平凡变换是：

（在1D中，我们也可以通过不使用显式的“墙”来简化事情，而只需将单元格数组循环环绕即可。）下面是这个规则在几个可能的初始状态下发生的情况：

我们所看到的是，在所有情况下，“粒子”实际上只是“相互传递”，而没有真正的“相互作用”。但我们可以通过引入另一种颜色，并添加一个变换，有效地为每个粒子的“交叉”引入“时间延迟”（作为替代，也可以使用两种颜色，使用大小为3的块），使其更接近于“真实交互”：

根据这个“延迟粒子”规则（当它发生时，我1986年首次学习)我们得到：

在足够简单的初始条件下，这仍然会产生简单的行为，例如：

但一旦达到第121个初始条件()人们可以看到：

（正如我们将在下面讨论的那样，在我们使用的这种有限大小的区域中，模式最终不可避免地会重复，尽管在显示的特定情况下需要7022个步骤。）下面是一个略大的示例其中，初始条件的“渐进退化”更为明显，具有明显的随机性：

我们已经远离了原始的硬球“现实气体分子”。但还有更进一步的路要走。对于硬球，能量、动量和粒子数都有内在的守恒。我们不再专门拥有这些东西了。但我们使用的规则仍然保留了非白细胞的数量。放弃这一要求，我们可以制定如下规则

逐渐“填充颗粒”：

如果我们让它“膨胀成真空”，没有任何“墙”，会发生什么？行为很复杂。当存在计算不可约性时，首先很难知道最终会发生什么。对于这个特定的初始条件，在979步之后，一切都基本上是周期性的（周期为70）：

但由于初始条件略有不同，它似乎有很好的机会永远增长：

有了稍微不同的规则（这里碰巧不是左右对称），我们开始看到快速的“膨胀到真空中”——基本上就像规则30：

这里的整个设置非常接近于规则30的设置。但这里还有一个我们从硬球气体和其他模型中继承过来的特性。就像标准经典力学一样，基本规则的每一部分都是可逆的从某种意义上说，如果规则规定要阻止u个去封锁v（v）上面还写着那个街区v（v）去封锁u个。

规则如

去除这个限制，但产生的行为在质量上与上述可逆规则没有什么不同。

但现在我们要建立的系统基本上就像规则30一样。（它们碰巧是块细胞自动机，而不是普通的，但这真的无关紧要。）而且，不用说，像规则30那样设置，它显示了与我们在规则30这样的系统中看到的一样的内在随机性生成。

我们从一个“物理上真实”的硬球气体模型开始——我们一直在简化和理想化这个模型。我们发现，通过所有这些简化和理想化，仍然存在着相同的核心现象：即使从“简单”或“有序”的初始条件开始，复杂和“明显随机”的行为也会以某种方式产生，就像典型的第二定律行为一样。

一开始，我们可能会假设，要获得这种“第二定律行为”，至少需要一些物理特性。但我们发现情况并非如此。相反，我们有证据表明，核心现象更加稳健，在某种意义上纯粹是计算性的。

实际上，似乎只要系统中存在计算不可约性，我们就不可避免地会看到这种现象。从那以后计算等效原理我们希望如此违背了计算不可化归性无处不在第二定律的核心现象最终将在广泛的系统中普遍存在，从硬球气体到规则30。

可逆性、不可逆性和平衡

我们典型的日常经验显示出某种根本的不可逆转性。鸡蛋容易炒。但你不可能轻易扭转这种局面：它不容易解读。事实上，这种从有序到无序的单向过渡-但不是后退，这就是第二定律的全部内容。但这立刻就有了一些神秘的东西。是的，像鸡蛋这样的东西是不可逆的。但如果我们深入到原子的层次，我们所知道的物理学说基本上是完全可逆的那么不可逆性是从哪里来的呢？这是一个核心(经常感到困惑)关于第二定律的问题，以及在看到它如何解决的过程中，我们最终将面对关于观测者的性质及其与计算不可约性的关系的基本问题。

像上一节中的“粒子细胞自动机”

具有“双向”转换，使其规则完全可逆。然而，我们在上面看到，如果我们从一个“简单的初始条件”开始，然后运行规则，它将“产生越来越大的随机性”。但如果我们颠倒规则，然后倒退呢？好吧，既然规则是可逆的，同样的事情也一定会发生：我们必须增加随机性。但是，为什么“随机性增加”会在时间上向前和向后发展？这是一张照片显示正在发生的事情:

在中间，系统呈现“简单状态”。但无论是向前还是向后，它都会“随机化”。我们可以将进化的后半部分解释为典型的二次法则式“退化到随机性”。但是上半场怎么样？这里发生了意想不到的事情。从看似“相当随机”的初始状态来看，系统似乎是“自发地组织自己”，以产生一种简单而“有序”的状态，至少在时间上是这样。一个初始的“混乱”状态正在自发地变成“混乱”。在普通热力学的设置中，这将是一种“反热力学”行为，在这种行为中，似乎是“随机热”自发地产生“有组织的机械功”。

那么为什么这不是我们一直看到的事情呢？微观可逆性保证了这在原则上是可能的。但导致遵守第二定律的原因是，在实践中，我们通常不会建立起那种给出“反热力学”行为的初始状态。我们将在下面详细讨论为什么会这样。但最基本的一点是，要做到这一点，需要比我们作为计算有界的观察者所能达到的更高的计算复杂度。如果系统的演化在计算上是不可约的，那么实际上我们必须颠倒所有的计算上不可约工作，以找到要使用的初始状态，而这不是我们作为计算上有界的观测者所能做的。

但在我们进一步讨论这一点之前，让我们探讨一下我们这里的基本设置的一些后果。上图中间的“简单状态”最明显的一点是，它包含了一大块“相邻粒子”。所以现在这里有一个“存在的最大水滴的大小”的曲线图，它是从“简单状态”开始的时间函数：

该图表明，正如上图所示，初始状态的“特殊性”很快“衰减”为“典型状态”，其中不存在任何大的斑点。如果我们在情节开始时观察系统，我们将能够“使用第二定律”确定一个明确的“时间箭头”：后面的时间是状态“更加无序”的时间，因为它们只有更小的斑点。

这一切都有许多微妙之处。我们知道，如果我们设置一个“适当特殊”的初始状态，我们可以得到反热力学行为。事实上，对于上述“特殊初始状态”的整个画面，水滴大小与时间的关系图如下所示，中间“发展”出一个对称的峰值：

我们通过设置“特殊初始条件”“实现了这一点”。但它能“自然”发生吗？在某种程度上，是的。即使远离峰值，我们也可以看到总是有微小的波动：水滴的形成和破坏是系统演化的一部分。如果我们等待足够长的时间，我们可能会看到一个相当大的水滴。这是一个经过约245400步后形成（并衰减）的过程：

这对应的实际结构相当普通：

但是，好吧，远离“特殊状态”，我们看到的是一种“一致随机性”，例如，在时间上向前和向后没有明显的区别。用热力学术语来说，我们将其描述为“达到平衡”，即不再有“明显变化”的情况。

公平地说，即使在“均衡”中，也总会有“波动”。但例如，在我们正在查看的系统中，与逐渐变大的水滴相对应的“波动”往往以指数形式出现的频率较低。因此，有理由认为存在一种具有某些不变“典型特性”的“平衡状态”。而且，这种状态是任何初始条件的基本结果。无论初始状态中可能存在什么特殊特征，都会趋于退化，只留下一般的“平衡状态”。

人们可能会认为，这种“平衡态”显示“典型行为”的可能性是微观可逆系统的一个特殊特征。但事实并非如此。尽管第二定律的核心现象实际上是比特定物理系统的细节更深入、更普遍的计算现象，但平衡的核心现象也是如此。事实上，我们可能称之为“计算平衡”的存在与计算不可还原性的整体现象直接相关。

让我们再看一下规则30。我们从不同的初始状态开始，但在每种情况下很快演变成基本相同的样子:

是的，出现的模式的细节取决于初始条件但关键是，所产生的东西的整体形式总是一样的：系统已经达到了一种“计算平衡”，其整体特征与它的来源无关。稍后，我们将看到“计算平衡”的迅速出现是我很久以前所说的“3类系统“而且它在具有广泛基础规则的系统中非常普遍，无论微观上是否可逆。

这并不是说微观可逆性与“第二定律”行为无关。在我所说的第1类和第2类系统中，基本规则中的不可逆力足够强，它克服了计算上的不可还原性，系统最终进化到看起来不是随机的“计算平衡”，而是确定的，可预测的结束状态:

微观可逆性有多普遍？在一些类型的规则基本上总是存在的根据结构。但在其他情况下，微观可逆规则仅代表给定类型的可能规则的子集。例如，对于具有k个颜色和大小块b条，总共有个(k个^b条)^k个b条可能的规则，其中k个^b条! 是可逆的（即，在可能的块之间的所有映射中，只有那些排列对应于可逆规则）。在可逆规则中，有些类似上述粒子细胞自动机规则的规则是“自我反转”，即规则的正向和反向版本是相同的。

但是一个这样的规则仍然是可逆的

还有一个简单的向后规则，但它与向前规则并不完全相同：

利用反向规则，我们可以再次构造一个初始状态，其正向演化似乎是“反热力学”的，但整个系统的详细行为在时间上并非完全对称：

我们的硬球气体的基本机制是可逆的和“自反转”的。但众所周知，在粒子物理学中有时间反转不变性的微小偏差因此，这些规则并不完全是自反的，尽管它们仍然是可逆的，因为每个州都有一个独特的继承者和一个独特前身（实际上，在我们的物理项目这种可逆性很可能存在于任何“相信它们在时间上具有持久性”的观察者所假设的物理定律中）。

对于块元胞自动机，很容易从底层规则确定系统是否可逆（只需查看规则是否只用于排列块）。但对于像普通细胞自动机这样的东西来说更难确定可逆性从规则来看（在一维以上，可逆性的问题实际上是不可判定的）。在256条双色最近邻规则中，只有6个可逆的例子，它们都是微不足道的在134217728个三色最近邻规则中，1800是可逆的在82条自反规则中，所有规则都是微不足道的。但当反向规则不同时，行为可能很重要：

注意，与块元胞自动机不同逆规则通常涉及更大的邻域而不是远期规则。（例如，这里有396条规则第页=1个倒数，612个有第页=2648有第页=3和144有第页=4。）

普通细胞自动机的一个显著变体是“二阶”细胞自动机，其中细胞的值取决于其值，这是过去的两个步骤：

使用此方法，可以构建所有256个“基本细胞自动机”的可逆二阶变体：

注意，这种二阶规则相当于4色一阶近邻规则：

遍及性与全球行为

每当存在具有确定性规则和有限状态总数的系统时系统的进化最终会重复.有时重复周期或“重复时间”将相当短

有时时间更长：

一般来说，我们可以制作一个状态转换图，显示系统的每个可能状态如何在规则下转换为另一个状态。对于可逆系统，该图纯粹由循环组成，其中每个状态都有唯一的后继状态和唯一的前导状态。对于我们在这里研究的4号版本的系统，总共有2✕3个⁴=162种可能的状态（因子2来自块元胞自动机的偶数/奇数“相位”）状态转移图对于该系统：

对于不可逆的类系统规则30，状态转移图（此处显示的是大小4和8）还包括状态的“瞬态树”，这些状态在进入循环的过程中只能访问一次：

在过去，第二定律类行为起源的关键思想之一是遍历性。在我们这里讨论的离散状态系统中，完美遍历性的定义非常简单：遍历性只是意味着状态转移图必须由一个大循环组成，而不是由多个循环组成，所以无论从哪个状态开始，人们总是保证最终会访问其他所有可能的州。

但为什么这与第二定律有关？我们已经说过，第二定律是关于从“特殊状态”到“典型状态”的“退化”。如果一个人要“做遍历性的事情”去访问所有可能的州，那么不可避免的是，我们至少最终会通过的大多数州都是“典型的”。

但就其本身而言，这绝对不足以解释实践中的“第二定律行为”。在如下示例中，可以看到简单初始状态迅速“退化”为“随机”和“典型”状态：

但是2✕3⁸⁰≈ 10³⁸如果这个系统是遍历的，那么它最终可能访问的状态，仍然有大量的状态我们不会认为是“典型的”或“随机的”。例如，仅仅知道系统最终是遍历的，并不能告诉人们它不会“费力地”开始倒计时“这样，”保持行动“在一个组织严密的地区：

因此，要解释与“典型的二次定律行为”相关的“退化到随机性”，需要的不仅仅是遍历性。是的，最终这将是一个计算性的故事，与计算不可约性及其与像我们这样的观测者的关系有关。但在此之前，我们先来谈谈“全局结构”，如状态转换图所捕捉的那样。

再次考虑上面的size-4案例。规则是这样的，它们保留了“粒子”（即非白细胞）的数量。这意味着，对于不同的粒子数，系统的状态必然会分成不同的“扇区”。但即使有固定数量的粒子，通常也有相当多的不同循环：

我们在这里使用的系统太小，无法令人信服地识别“简单”状态与“典型”或“随机”状态，尽管例如，我们可以看到只有少数循环具有左右对称的简化特征。

进入尺寸6时，人们开始感觉到有一些“始终简单”的循环，还有一些涉及“更典型”状态的循环：

尺寸为10时，“4粒子”状态的状态转换图具有以下形式

较长的周期为：

值得注意的是，大多数最长（“最接近遍历性”）的周期在整个过程中看起来都相当“简单和谨慎”。“更典型和随机”的行为似乎是为更短的周期保留的。

但在研究“第二定律行为”时，我们最感兴趣的是从最初的有序状态发生的事情。以下是30号系统中逐渐变大的“水滴”的结果示例：

为了了解“退化到随机性”是如何进行的，我们可以绘制每种情况下最大水滴大小的演变：

对于某些初始条件，人们可以看到“热力学类”行为，尽管它经常被“冻结”、波动、复发等所淹没。在所有情况下，进化最终都必须重复，但“复发时间”变化很大（最长的宽度为13的初始斑点为861930）：

让我们看看这些复发中发生了什么，以宽度为17的初始blob为例，其进化开始于：

正如图中所示，最初的“大斑点”很快至少会有所退化，尽管仍有明显的波动：

如果持续足够长的时间，就会达到重复时间，在本例中为155150步。查看“整个周期”中的最大水滴大小，可以看到许多波动：

这里用普通直方图和对数直方图说明了大多数是小as：

但有些是大的。例如，在整个重现期的一半时，会出现波动

这涉及一个与初始条件下一样宽的“紧急blob”，总共持续约280个步骤：

还有各种形式的“加速”波动——达到“水滴宽度15”，并且在整个周期中或多或少均匀分布：

值得注意的是，即使在大小为30的系统中，也会出现明显的第二定律行为。但是，如果我们使用80号系统，情况会更加明显

人们可以看到快速而系统地朝着“平衡状态”发展，波动很小：

值得一提的是，“达到平衡”的概念并不取决于我们使用的规则的细节，事实上，在其他没有“粒子守恒定律”来减缓速度的可逆块元胞自动机中，这种情况可能发生得更快：

在这种规则中，状态转移图中的周期也往往更少、更长，这与尺寸6与“延迟粒子”规则的比较表明：

但重要的是要认识到，“均衡方法”是其自身的计算现象，与长周期和遍历性等概念没有直接关系。事实上，正如我们前面提到的，它也不依赖于规则中内置的可逆性，所以人们甚至可以在规则30中看到它：

它有多随机？

在日常层面上，第二定律的核心表现是事物“退化”为随机性的趋势。但只是随机性有多随机? 有人可能会认为，任何由简单描述的算法（如规则30的模式或π-的数字）产生的东西都不应该被视为“随机”。但为了理解我们对世界的经验，重要的不是“下面发生的事”，而是我们对它的感知。所以问题变成了：当我们看到某种东西产生时，比如说根据规则30或π，我们能不能是否认识到其中的规律?

在实践中，第二定律主张的是，系统将趋向于从我们可以识别规则的状态发展到我们无法识别规则的国家。关键是，这种现象是普遍存在的，并且是基本的，源于核心计算思想，特别是计算不可约性。

但“认识规律”意味着什么？本质上，这一切都是关于看我们是否能找到简洁的方法来总结我们所看到的，或者至少是我们所关心的我们所看到事物的各个方面。换句话说，我们感兴趣的是找到事物的某种压缩表示。第二定律的最终目的是说，即使压缩一开始起作用，它也不会继续这样做。

作为一个非常简单的例子，让我们考虑通过“将我们的数据表示为一系列blob”来进行压缩-或者，更准确地说，使用游程长度编码来根据相同值的连续游程的长度来表示0和1的序列。例如，给定数据

我们分成价值相同的几组

然后作为“压缩表示”，只需给出每次运行的长度

最后，我们可以用base-3分隔符将其编码为二进制数序列：

通过这种方式“转换”我们的“粒子细胞自动机”，我们得到：

这里的“简单”初始条件被成功压缩，但后面的“随机”状态没有被压缩。从随机初始条件开始，我们根本看不到任何明显的压缩：

其他压缩方法呢？A类标准方法包括查看给定步骤上连续值的块，并询问发生不同可能块的相对频率。但对于我们在这里讨论的特定规则，马上就有了一个问题。该规则保留了非白细胞的总数，因此至少对于大小为1的块，此类块的频率将始终与初始条件下的频率相同。

对于较大的区块呢？这给出了从上述简单初始条件开始的2号块相对频率的演变：

将正好一半的单元格设置为非白色，大小为2的块的频率趋于相等：

一般来说，不同块的频率不相等允许压缩：就像在莫尔斯码中一样，只需使用较短的码字用于更频繁的块.多少钱压缩最终是可能的这样就可以通过计算–∑第页_我日志第页_我对于概率第页_我在给定长度的所有块中，我们可以看到它们很快收敛到恒定的“平衡”值：

最后，我们知道初始条件是“简单的”和“特殊的”。但问题是，无论我们使用什么方法进行压缩或识别规则，都能从中发现这一点。或者系统的进化是否以某种方式充分“编码”了关于初始条件的信息，使其不再可检测。显然，如果我们的“压缩方法”明确地向后运行系统的演化，那么就有可能找出初始条件的特殊特征。但是明确地运行系统的进化需要做大量的计算工作。

所以在某种意义上，问题是是否有捷径。是的，你可以试试各种方法从统计学,机器学习,密码学但据我们所知，它们都没有取得任何重大进展：与系统进化相关的“编码”似乎太强了，无法“打破”。归根结底，很难确定是否有任何方案可行。但任何方案都必须与运行某些程序相对应。因此，获得更多证据的一种方法就是列举“可能的压缩程序”，看看它们做了什么。

特别是，我们可以列举简单的细胞自动机，并观察它们在运行时是否产生“明显不同”的结果。这是不同细胞自动机的集合会发生什么当它们应用于“简单初始条件”、根据粒子细胞自动机规则经过20步和200步进化后获得的状态以及独立随机状态时：

是的，在许多情况下，简单的初始条件会导致“明显不同的行为”。但在最后两个案例中获得的行为并没有什么明显的不同。或者，换句话说，至少基于这些简单细胞自动机的程序似乎无法“解码”此处显示的第三和第四种情况的不同起源。

这一切意味着什么？基本的一点是，在系统的进化过程中，似乎有足够的计算不可约性，任何计算有界的观测者都无法“看穿它”。因此，至少就计算有界观测器而言，初始条件中的“特殊性”很快“退化”为“随机”的“平衡”状态。或者，换句话说，进化的计算过程似乎不可避免地导致了第二定律的核心现象。

熵的概念

”熵增加“是第二定律的常见表述。但这意味着什么，特别是在我们的计算环境中？答案有些微妙，理解它会让我们回到计算不可约性和观测者的计算有界性之间的相互作用问题。

那是什么时候19世纪60年代首次引入熵被认为与能量非常相似，它是根据热含量与温度的比值计算出来的。但很快-特别是通过波尔兹曼对气体的研究-出现了一种完全不同的计算（和思考）熵的方式：根据系统可能状态的对数。稍后我们将讨论这些不同的熵概念之间的对应关系但现在让我们考虑一下我认为的基于计数状态的更基本的定义。

在熵的早期，当人们想象在硬球气体的情况下，系统的参数是连续的时要梳理出任何类型的离散“状态计数”都可能在数学上很复杂但从我们在这里讨论的内容来看，很明显，第二定律的核心现象并不取决于连续参数的存在，在类似细胞自动机的情况下，基本上可以直接计算离散状态。

但现在我们必须更加小心熵的定义。给定任何特定的初始状态，确定性系统将始终通过一系列单独的状态进行演化，因此系统始终只有一个可能的状态，这意味着熵始终为零。（如果考虑连续参数，这将更加复杂，但最终结论是相同的。）

那么，我们如何得到一个更有用的熵定义呢？关键思想是不要考虑一个系统的单个状态，而是考虑我们以某种方式认为“等价”的状态集合。在一个典型的例子中，我们可以想象我们无法测量气体中分子的所有详细位置，所以我们只看“粗粒度的“例如，我们只考虑特定整体箱或块中的分子数的状态。

熵可以被认为是计算系统中可能的微观状态的数量，这些状态与一些总体约束相一致，例如每个箱子中的一定数量的粒子。如果约束专门讨论每个粒子的位置，那么只有一个微观状态与约束相一致，熵为零。但如果约束更宽松，通常会有许多可能的微观状态与之一致，并且我们定义的熵将不为零。

让我们在粒子细胞自动机的背景下看一下这个问题。这是一个特殊的进化，从一个特定的微观状态开始，再加上这一进化的一系列“粗粒化”，我们只跟踪逐渐变大的块体中的“总体粒子密度”：

这里的第一个“粗粒化”是非常琐碎的：它所做的只是判断每个细胞中是否存在“粒子”，换句话说，它显示了每个粒子，但忽略了它是“亮”还是“暗”。但在制作这张和其他粗粒度图片时，我们总是从显示的单个“潜在微观进化”开始，只是“在事实之后添加粗粒度”。

但是，如果我们假设我们所知道的关于系统的一切都是一个粗粒度的版本呢？假设我们看一下“粒子或非粒子”案例。在粗粒度水平上，初始条件仅表明存在6个颗粒。但它并没有说每个粒子是亮的还是暗的，实际上有2个⁶=64种可能的微观配置。关键是，每个微观结构都有自己的演变过程：

但现在我们可以考虑粗粒化的东西。所有64个初始条件在颗粒或非粗粒化条件下都是等效的：

但仅仅经过一步进化，不同的初始“微观状态”可能会导致不同的粗粒度进化：

换言之，一个单一的粗粒度初始条件在一个步骤到几个粗粒度状态之后“展开”：

在另一步之后，可能会出现更多的粗粒度状态：

一般来说，可以达到的不同粗粒度状态的数量起初增长得相当快，但很快就会饱和，此后只会出现波动：

但粗粒度熵基本上与该量的对数成正比，因此它也会在开始时显示出快速增长，最终趋于“平衡”值。

这个我们物理项目的框架将粗粒度进化视为多计算过程-一个给定的粗粒度状态不仅有一个继承者，而且通常有多个可能的继承者。对于我们正在考虑的案例多路图然后，表示所有可能的进化路径是：

这里的分支反映了粗粒度状态空间中的扩展，以及粗粒度熵的增加。如果我们继续下去，使系统开始“接近平衡”，我们也将开始看到一些合并

正如不太“面向时间”的图形布局所表明的那样：

但重要的一点是，在其“平衡方法”中，系统实际上在粗粒度状态空间中迅速“扩展”。或者，换句话说，与特定粗粒度初始条件相一致的系统可能状态的数量增加，对应于可以认为是系统熵的增加。

有许多可能的方法可以设置我们可能认为的“粗粒化”。另一种可能性的例子是，关注特定单元格块的值，然后忽略所有其他单元格的值。但通常不需要很长时间，其他细胞的作用就会“渗入”我们正在观察的区块：

那么，大局是什么呢？基本点是，只要每个微观状态的演化“导致随机性”，它就会倾向于以不同的“粗粒度”结束。结果是，即使一开始就有一个严格定义的粗粒度描述，它也不可避免地会倾向于“分散”，从而包含更多的状态并增加熵。

从某种意义上说，查看熵和粗粒度只是检测系统倾向于“产生有效随机性”的一种不太直接的方法。例如，当人们试图从具有连续变量的系统中梳理出事物时，它可能看起来是一种方便的形式主义，但现在它似乎是一种间接的方式来理解第二定律的核心现象。

然而，了解更多的联系是有用的。假设一个人正在计算系统中某个物体的平均值（例如粒子密度）。我们所说的“平均”是什么意思？一种可能性是我们采取可能状态的“集合”然后求出这些值的平均值。但另一种可能性是，我们转而关注系统进化过程中连续状态的平均值。“遍历假设“系综平均值将与时间平均值相同。

这至少最终会得到保证的一种方法是，如果系统的演化是遍历的，即它最终访问所有可能的状态。但作为我们上面的锯子，对于大多数系统来说，这并不是特别合理的。但这也不是必须的。因为只要系统的演化足够“随机”，它就会快速“采样典型状态”，给出与采样所有可能状态基本相同的平均值，但无需费力地访问所有这些状态。

如何将这一切与严格的数学式证明联系起来？好，这很难在一级近似中一个多世纪以来，在这方面没有取得多大进展但是，看到了第二定律的核心现象可以简化为一个本质上纯粹的计算性陈述，我们现在可以从不同的角度来研究这个问题，我认为这最终是非常明确的。

为什么第二定律有效

第二定律的核心本质上是“事物趋于随机”。从某种意义上说，这一现象的最终驱动力是计算不可约现象我在20世纪80年代确定了一个显著的事实，即即使是从简单的初始条件出发，简单的计算规则也是如此可以产生非常复杂的行为但故事中肯定还有其他微妙之处。

例如，我们已经在可逆系统中清楚地看到了这一点——原则上，总是可以设置初始条件，从而“神奇地产生”我们想要的任何“简单”配置。当我们说我们产生了“明显随机”状态时，我们的“随机性分析器”无法进入并反转产生这些状态的计算过程。类似地，当我们谈论粗粒度熵及其增加时，我们假设我们并不是在发明一些精心设计的粗粒度过程，这些过程是专门用来挑选具有“特殊”行为的状态集合的。

但实际上只有一个原则支配着所有这些事情：我们必须准备或分析系统状态的任何方法在某种程度上都是计算有界的。这并不是物理学的一种说法。相反，这是一个将军关于观察员的声明或者更具体地说，像我们这样的观察家。

我们可以为观察者或他们使用的实验装置想象一些非常详细的模型。但关键是细节并不重要。真正重要的是，观测器在计算上是有界的。然后是观测者和底层系统的计算不可约性之间的基本计算不匹配，导致我们“体验”第二定律。

在理论层面上，我们可以想象“外国观察员“甚至是一个观察者技术从我们自己的未来来看，这将不会有同样的计算限制。但关键是，就我们有兴趣解释我们自己当前的经验和我们自己当前的科学观察而言，重要的是我们作为观察者现在的样子，以及我们所有的计算有界性。正是这种计算有界性和计算不可约性之间的相互作用，导致了我们对第二定律的基本经验。

在某种程度上，第二定律是一个复杂性出现的故事。但这也是一个简单出现的故事。因为“完全随机均衡”的说法意味着极大的简化。是的，如果一个观察者能看到所有的细节，他们会发现非常复杂。但关键是，计算范围有限的观测者不一定能看到这些细节，相反，他们识别的特征有一定的简单性。

例如，尽管气体中存在复杂的潜在分子运动，在整体水平上，一个计算有界的观测者可以有意义地讨论气体，并对其行为作出预测，这仍然是真的&纯粹是根据压力和温度等因素，而这些因素并不能探测分子运动的潜在细节。

在过去，人们可能会认为，像第二定律这样的东西一定是特定于由相互作用的粒子等物质构成的系统。但事实上，第二定律的核心现象更为普遍，并且在某种意义上纯粹是计算性的，只取决于计算不可约性的基本计算现象，以及像我们这样的观测者的基本计算有界性。

考虑到这种普遍性，核心现象远远超出了第二定律的正常考虑范围，这也许并不奇怪。特别是，在我们的物理项目它现在成为空间本身的结构-以及量子力学现象因为在我们的物理项目中，我们设想在最低层次上，宇宙中的一切都可以用一些基本的计算结构来表示，很方便地将其描述为一个超图，其节点是抽象的“空间原子”。这种结构是根据以下规则演化而来的，这些规则的操作通常会显示出各种计算不可约性。但现在的问题是，像我们这样的观察家将如何看待这一切。关键是，由于我们的局限性，我们不可避免地会对正在发生的事情得出各种“聚合”结论。这很像气体定律及其对涉及不同类型分子的系统的广泛适用性。除了现在涌现定律是关于时空的与广义相对论方程相对应。

但基本的知识结构是一样的。除了在时空方面，还有一个额外的复杂性。在热力学中，我们可以想象，我们正在研究一个系统，而观测者在它外面，“向内看”。但当我们思考时空时，观测者必然嵌入其中。事实证明，像我们这样的观测者还有一个重要的额外特征。除了我们的计算有界之外，还有一点很重要我们假设我们坚持时间是的，我们是由不同时刻的不同空间原子组成的。但不知何故，我们假设我们有一条连贯的经验线索。这对于推导我们熟悉的物理定律至关重要。

稍后我们将详细讨论它，但在我们的物理项目中，同样的基础设置也是导致量子力学定律的原因。当然，量子力学因其与观测结果相关联的明显随机性而著名。我们稍后将看到，最终导致第二定律中随机性的核心现象似乎也是量子力学中随机性产生的原因。

观测者的计算不可约性和计算局限性之间的相互作用是贯穿整个多计算范式及其许多新兴应用。这是观察者可以在各种样本中体验可计算约化定律这一事实的核心鲁利亚德在某种意义上，所有这些都加强了第二定律起源的故事。因为它表明，观察者看似武断的特征实际上是深刻而普遍的，超越了广泛的领域和应用。

但即使考虑到观测者特征的稳健性，我们仍然可以询问导致第二定律的整个计算现象的起源。最终它从计算等效原理它断言，行为不明显简单的系统在计算复杂度方面往往是等价的。计算等效原则有许多含义。其中之一是计算不可约性，这与一个事实有关，即系统的“分析器”或“预测器”不可能比系统本身具有更高的计算复杂度，因此被简化为只跟踪系统演化的每一步，以找出它的作用。

计算等效原则的另一个含义是计算普遍性的普遍性。这是我们可以期待在第二定律下看到的。因为我们可以预期，像粒子细胞自动机这样的系统，或者就这一点而言，硬球气体将被证明能够通用计算已经很容易看出，简单的逻辑门可以由粒子的配置构造而成，但计算普遍性的完整演示将更加详细。虽然有这样一个演示会很好，但要建立计算等价原理所暗示的那种完全计算不可约性，还需要做更多的工作。

正如我们所看到的，第二定律的运作有多种“指标”。有些是基于在各个状态中寻找随机性或压缩。其他的是基于计算粗粒度和熵度量。但通过对第二定律的计算解释，我们可以期望将这些指标转化为计算复杂性理论等领域的问题。

在某种程度上，我们可以认为第二定律是系统动力学的结果，因此“加密”了系统的初始条件，“观测者”无法进行任何计算来“解密”它。事实上，当人们看到“反转”粗粒度结果时，就会立即面临相当大的困难经典NP问题来自计算复杂性理论。（在特殊情况仍然具有挑战性就像建立计算通用性一样。）

热力学教材

在我们这里的讨论中，我们主要将热力学第二定律视为一种抽象的计算现象。但当热力学历史上第一次开发计算范式还很遥远，确定类似第二定律的东西的唯一方法是通过它在热和温度等物理概念方面的表现。

这个热力学第一定律断言热是能量的一种形式，总能量是守恒的。然后，第二定律试图描述与热相关的能量的性质。核心思想是，这种能量以某种方式不连贯地分布在大量独立的微观成分中。但归根结底，热力学始终是一个关于能量的故事。

但是，能源真的是热力学的核心特征吗？还是它仅仅是与热力学的历史发展和早期实际应用相关的“脚手架”？在硬球气体的例子中，我们从上面开始，有一个非常明确的能量概念。但很快我们就基本上把能量抽走了。虽然在我们的粒子细胞自动机中，我们仍然有一些类似于能量守恒的东西：我们有非白细胞数的守恒。

在像气体这样的传统物理系统中，温度给出了每自由度的平均能量。但在我们的粒子细胞自动机中，我们有效地假设所有粒子总是具有相同的能量，因此无法“改变温度”。或者，换句话说，我们可以认为系统的能量基本上是由系统中的粒子数给出的。

这种简化是否影响了第二定律的核心现象？不，这是一个强大得多的东西，与这些细节无关。但是，在努力接触公认的“教科书热力学”时，考虑一下我们如何添加热量和温度等概念是很有用的。

在我们对第二定律的讨论中，我们用符合约束的状态数的对数来确定熵。但更传统的热力学包括如下公式分布式存储=dQ公司/T型不难看出这个公式的大致来源。问给出了总热量或“总热能”dQ公司而不是问).T型给出了每个“自由度”（或大致上，粒子）的平均能量。这意味着问/T型有效地测量诸如“粒子数”之类的东西。但至少在像粒子细胞自动机这样的系统中，可能的完整配置的数量与粒子的数量成指数关系，即其对数、熵S公司大致与粒子数成正比，因此问/T型然而，这种论证是否有效取决于能否“从统计学上”讨论事物，而这又取决于第二定律的核心现象：事物向统一（“平衡”）随机性演变的趋势。

当第二定律首次引入，给出了几个公式，最初都参考能量。一种配方说明“热量不会自发地从较冷的物体变热”。即使在我们的粒子细胞自动机中，我们也可以看到这一点的一个相当直接的版本。我们用粒子密度来代替“温度”。我们所观察到的是，初始的高密度区域倾向于“扩散”出去:

第二定律的另一个提法谈到了系统地“将热量转化为机械功”的不可能性。在计算层面上，“机械功”的模拟是系统的、可预测的行为。所以这再次表明，系统往往会产生随机性，并“消除可预测性”。

在某种意义上，这是计算不可约性的直接反映。要想得到一种可以“像机械工作一样驾驭”的东西，人们需要一种可以轻易预测的东西。但关键是，计算不可约性的存在使得预测需要不可约的计算工作量，这超出了“我们这样的观察者”的能力。

与此密切相关的是这样一种说法，即不可能制造出一台不断从“热”“作系统运动”的永动机（“第二类”，即违反第二定律）。在我们的计算环境中，这就像从我们的粒子细胞自动机或类似规则30的东西中提取系统的、可预测的比特序列。是的，如果我们有一个设备，例如系统预测规则30那么，它将很简单，比如说，“只需找出黑细胞”，并有效地推导出一个可预测的序列。但计算的不可还原性意味着，如果不有效地直接再现规则30的作用，我们将无法做到这一点，而“像我们这样的观察者”没有计算能力做到这一点。

热力学教科书中的大部分讨论都是围绕着“平衡”的假设展开的，或者是与之极为接近的某种假设，即假设系统的行为“均匀且随机”。事实上，热力学第零定律本质上是一种声明，即可以实现“统计上唯一”的平衡，就能量而言，这就成为了一种声明：存在一种独特的温度概念。

一旦有了“平衡”的概念，人们就可以开始认为它的性质纯粹是某些参数的函数，这就打开了各种基于微积分的数学机会。然而，任何这样的事情都有道理，这又取决于“观察者所关心的完美随机性”。因为如果观察者能注意到不同配置之间的差异，就不可能将所有配置都视为“处于平衡状态”。

不用说，虽然我们的计算观点清楚地表明了所有这一切的直觉，但当涉及到热力学特性的任何特定数学公式时，还有一些细节需要填写。举一个例子，让我们考虑一下传统热力学的一个核心结果：Maxwell–Boltzmann能量指数分布对于单个粒子或其他自由度。

为了对此进行讨论，我们需要有一个系统，在这个系统中可以有许多可能的微观能量，例如，与某种理想化粒子相关的能量。然后我们想象在这些粒子之间的“碰撞”中能量是交换的，但总能量总是守恒的。问题是能量最终将如何分布在粒子之间。

作为第一个例子，让我们想象一下，我们有一组粒子，它们在一系列步骤中进化，在每个步骤中，粒子随机配对以“碰撞”。此外，让我们假设碰撞的效果是在粒子之间随机地重新分配能量，比如说均匀分布。

我们可以使用标记事件图，其中事件（此处用黄色表示）是碰撞，标记（此处用红色表示）表示每个步骤中粒子的状态。粒子的能量由“标记点”的大小表示：

继续这几个步骤，我们得到：

起初，我们从所有能量相等的粒子开始。但是经过一系列步骤后，粒子的能量分布是准确的指数的，就像标准的Maxwell–Boltzmann分布一样：

如果我们观察连续步骤上的分布，我们会看到快速演变为指数形式：

我们为什么以指数结束并不难理解。在足够多的粒子和足够多的碰撞的极限下，人们可以想象纯粹根据概率来近似一切（就像我们在导出玻尔兹曼输运方程，流行病学中的基本SIR模型等）那么，如果粒子具有能量的概率E类是ƒ(E类)在每次碰撞中，一旦系统“达到平衡”，就必须(E类₁)ƒ(E类₂) = ƒ(E类_三)ƒ(E类₄)其中E类₁+E类₂=E类_三+E类₄-唯一的解决方案是ƒ(E类) ∼e（电子）^–βE。

在我们刚刚给出的示例中，实际上所有粒子之间都存在“即时混合”。但如果我们把事情设置得更像细胞自动机，让粒子只与空间中的局部邻居发生碰撞，会怎么样？举个例子，假设我们的粒子排列在一条线上，每一步都有交替的粒子对碰撞，类似于块细胞自动机（长程连接代表我们晶格的环绕）：

在上面的图片中，我们假设在每次碰撞中，能量在粒子之间随机重新分配。根据这一假设，我们又一次迅速演化为指数能量分布：

但现在我们有了一个空间结构，我们可以显示更多元胞自动机样式中发生的事情——这里我们显示了3种不同随机能量交换序列的结果：

再一次，如果我们跑得足够长，我们最终会得到粒子的指数能量分布。但请注意，这里的设置与规则30非常不同，因为我们连续注入随机性从外部进入系统。为了避免这种情况，考虑一个模型，在每次碰撞时，粒子得到固定分数（1–α)/2和(1 +α)/2总能量的。从所有具有相等能量的粒子开始，结果非常微不足道——基本上只是反映了粒子的连续配对：

下面是能量集中到几个粒子中时发生的情况

具有随机初始能量：

在所有情况下，系统最终演化为一个“纯棋盘”，其中唯一的粒子能量是（1–α)/2和（1+α)/2. （适用于α=0系统对应于扩散方程的离散形式.）但如果我们看一下系统的结构，我们可以将其视为连续块元胞自动机和其他细胞自动机一样，有很多可能的规则不会导致如此简单的行为。

事实上，我们只需要允许α依靠能量E类₁和E类₂碰撞的粒子对（或者，这里是每个块中细胞的值）。举个例子α(E类₁,E类₂)=±部分零件[κE],哪里E类是对的总能量，当E类₁>E类₂:

通过这种设置，我们又一次经常看到“类似规则30的行为”，在这种行为中，即使没有从外部明确注入任何随机性，也会有效地生成相当随机的行为（下部面板从步骤1000开始）：

规则的基本结构确保了总能量守恒。但我们看到的是，系统的进化将其分布在许多元素上。至少如果我们使用随机初始条件

在所有情况下，我们最终都会看到能量值的指数分布（在简单的初始条件下，情况可能会更复杂）：

朝着这一方向的演变与上述系统中的演变非常相似。从某种意义上说，它只取决于具有适当的随机能量守恒碰撞过程，并且只需几步就可以从均匀的初始分布能量转变为精确的指数分布能量：

那么，这一切是如何在“物理上真实”的硬球气体中工作的呢？我们可以再次创建一个令牌事件图，其中事件是碰撞，令牌对应于粒子的自由运动周期。对于一个简单的一维“牛顿摇篮”结构，“时空”中的演化与标记事件图之间存在明显的对应关系：

但对于2D配置，我们可以做完全相同的事情。通过我们获得的标记的大小指示粒子的能量（不包括不影响粒子能量的壁碰撞）

侧面的“胶片”提供了系统演变的快照。（注意，在这个系统中，与上面的不同，没有明确的进化“步骤”；碰撞只是在动力学决定的时间“异步”发生。）

在我们这里使用的初始条件下，所有粒子都具有相同的能量。但当我们运行系统时，我们发现粒子的能量分布迅速演变为标准的指数形式（不过请注意，这里的连续面板是“快照”，而不是“步进”）：

因为我们处理的是“实际粒子”，所以我们不仅可以查看它们的能量，还可以查看其速度（简单地通过E类= 1/2米 v（v）²). 当我们观察进化产生的速度分布时，我们发现它具有经典麦克斯韦形式:

这是一种最终的或“平衡”的结果，这是本书主要讨论的内容典型的热力学教材此类书籍还倾向于讨论能量和熵之间的权衡，并定义（亥姆霍兹）自由能之类的东西F类=U型–T型 S公司（其中U型是内能，T型是温度和S公司是熵），用于回答特定条件下是否会发生特定化学反应等问题。

但考虑到我们在这里对能量的讨论，以及我们早先对熵的讨论，一开始还不清楚这些量是如何关联的，以及它们如何相互抵消，比如在自由能公式中。但在某种意义上，将能量与熵的标准定义联系在一起的是指数形式的麦克斯韦-玻尔兹曼分布。在通常的物理设置中，麦克斯韦–玻尔兹曼分布基本上是e（电子）^{(–E类/千吨)}，其中T型是温度，以及千吨是平均能量。

但现在想象一下，我们正在试图弄清楚是否有某种过程会发生化学反应。如果存在能量屏障，比如与能量差Δ相关，那么根据麦克斯韦-玻尔兹曼分布，概率与e（电子）^{(–Δ/千吨)}分子具有足够高的能量来克服这个障碍。但下一个问题是，有多少种分子构型会“试图克服障碍”。这就是熵的来源。因为如果可能的配置的数量是Ω，那么熵S公司由提供k个对数Ω，因此S公司, Ω =e（电子）^{(S公司/k个)}但现在“跨越屏障的平均分子数”大致由下式给出e（电子）^{(S公司/k个)} e（电子）^{(–Δ/千吨)},因此，最终指数与Δ–成正比T S公司具有自由能形式U型–T型 S公司。

这个论点很粗糙，但它抓住了正在发生的事情的本质。起初，熵的定义中有一个对数似乎是一个惊人的巧合，它与麦克斯韦-玻尔兹曼分布中的指数正好“方便地吻合”。但这实际上根本不是巧合。关键是，真正重要的是计算系统可能状态数的概念。但通常情况下，这个数字非常大。我们需要一些方法来“驯服”它。原则上，我们可以使用一些缓慢增长的函数，而不是log来做到这一点。但如果我们使用对数（如熵的标准定义），我们正好可以在麦克斯韦-玻尔兹曼分布中与能量进行权衡。

使用日志还有另一个方便的功能。如果两个系统是独立的，则其中一个带有Ω₁状态，另一个带有Ω₂状态，则组合这些（无交互作用）的系统将具有Ω₁, Ω₂状态。如果S公司=k个logΩ，那么这意味着组合状态的熵就是总和S公司₁+S公司₂各个状态的熵。但这个事实实际上“从根本上独立于”麦克斯韦-玻尔兹曼分布的指数特征吗？哦，不。或者至少它来自相同的数学思想。因为事实上，在平衡状态下，概率(E类)应该满足ƒ(E类₁)ƒ(E类₂) = ƒ(E类_三)ƒ(E类₄)何时E类₁+E类₂=E类_三+E类₄这使ƒ(E类)也就是说，这两个故事都是关于指数能够将一个量的加法组合与另一个数的乘法组合联系起来的。

尽管如此，重要的是要明白，谈论熵并不需要能量。正如我们所讨论的，熵的概念最终是一个计算概念，与能量等物理概念完全无关。在许多热力学教科书中，能量和熵在某种意义上处于类似的基础上。第一定律是关于能量的。第二定律是关于熵的。但我们在这里看到的是，能量实际上是一个与熵不同层次的概念：它是人们在讨论物理系统时可以“分层”的东西，但它不是事物如何工作的“计算本质”的必要部分。

（作为一个额外的问题，在我们的物理项目中，在某种程度上，在传统广义相对论和量子力学中，能量和熵之间有一些基本的联系。特别是与我们下面讨论的内容有关的是，时空可能的离散组态的数量不可避免地与事件的“密度”，定义了能量.)

第二定律的形式证明

例如，如果能说“利用计算理论，我们可以证明第二定律”，那就好了。但事情并没有那么简单。尤其是因为，正如我们所看到的，第二定律的有效性取决于“像我们这样的观察者”的能力。但是，例如，我们可以制定第二定律证明的大纲，尽管要给出完整的正式证明，我们必须引入各种“公理”(基本上是关于观察者的)这在现有的数学、物理或计算理论领域没有直接的基础。

基本思想是想象一个国家S公司系统（可能只是细胞自动机中细胞的一系列值）。人们认为“观测器函数“当适用于国家时S公司，给出了的“摘要”S公司（一个非常简单的例子是我们上面使用的运行时编码。）现在我们想象一些“进化函数”应用于S公司第二定律的基本主张是“大小”通常满足不等式[S公司]] ≥ Θ[S公司]换言之，在系统进化之后，“观察者的压缩”效果较差，实际上是因为系统的状态“变得更加随机”，正如我们对第二定律的非正式陈述所表明的那样。

θ和Ξ的可能形式是什么？谈论Ξ稍微容易一些，因为我们认为这基本上是任何非平凡的计算，需要不断增加的步骤。它可以是细胞自动机规则、图灵机器或任何其他计算系统的重复应用。我们可以用操作符表示单个步骤ξ，并说实际上=ξ^吨.我们可以随时构建ξ^吨通过显式应用ξ依次吨次。但计算不可约性的问题是，是否有捷径可以得到相同的结果。并给出ξ^吨（相当平淡地说，作为布尔电路)，我们可以问代表的规模是如何随着吨。

根据目前的计算理论，很难获得关于ξ^吨尽管在足够小的情况下“实验性”确定这一点基本上是通过穷尽搜索。但越来越多的至少有间接证据对于许多类型的系统，没有比显式构造更好的了ξ^吨正如计算不可约现象所表明的那样。（可以想象“玩具模型”，其中ξ对应于一些非常简单的计算过程，如有限自动机，但尽管这可能允许人们证明事情，但尚不清楚任何结果的有用性或代表性。）

好的，那么“观察函数”θ呢？为此，我们需要某种“观测者理论”，以标准计算理论描述计算系统所能做的事情的方式，来描述观测者或至少“像我们这样的观测者”所能做的事情。显然，θ必须具有一些特征。例如，它不能涉及无界的计算量。但实际上还有更多。从某种程度上说，观察者的角色是获取“外部世界”中可能存在的所有细节，并将其减少或压缩为“适合观察者思维”的“较小”表示，并允许观察者“做出决定”这是从外部世界的细节中抽象出来的，无论观察者“关心”什么细节。像图灵机这样的构造，最终必须能够从基本原语之类的东西构建“可能的观测者”。

不用说，即使给定了原语——或Ξ和θ的公理基础，事情也不简单。例如，基本上不可避免的是，一个人可能会问的许多具体问题最终会被证明是形式上无法确定的。我们不能期望（特别是我们稍后会看到）我们能够证明第二定律是“正确的”。这将是一个必然涉及“典型”等限定词的语句。如果我们要求用“概率”来描述“典型”，我们将陷入一种递归的情况，即必须用我们开始使用的相同结构来定义概率度量。

但是，尽管在做出一般抽象陈述时遇到了这些困难，我们的计算公式实现的是为第二定律的起源提供一个明确的直观指南。由此，我们可以特别构建无限范围的特定计算实验，以说明第二定律的核心现象，并让我们越来越多地了解第二定律是如何工作的，以及它在概念上的来源。

麦克斯韦恶魔与观察家的性格

即使在制定第二法的最初几年，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦已经对其普遍适用性提出异议以及系统“总是变得更加随机”的想法。他设想一个装有气体分子的盒子中间有一个屏障，其中有一个由“魔鬼“谁能在逐个分子的基础上决定哪些分子在各个方向上通过。麦克斯韦建议，这样一个恶魔应该能够很容易地对分子进行“分类”，从而扭转可能正在形成的任何“随机性”。

作为一个非常简单的例子，想象一下，在我们的粒子细胞自动机的中心，我们插入了一个屏障，让粒子从左到右通过，但不能反向。（我们还在两端添加了“反射墙”，而不是循环边界条件。）

不出所料，很快，所有粒子都聚集在屏障的一侧，而不是以“均匀随机分布”的方式“达到平衡”：

结束过去一个半世纪（甚至最近）各种各样的机械棘轮、分子开关、二极管、降噪信号处理器和其他设备被建议至少在概念上实现麦克斯韦的demon。与此同时，人们对他们的成功运作提出了各种反对意见。“恶魔无法变得足够小”；“恶魔会升温并停止工作”；“恶魔需要重置其记忆，因此必须从根本上不可逆转”；“恶魔试图感知分子时，不可避免地会随机化事物”；等。

那么什么是真的？这取决于我们对恶魔的假设，尤其是我们假设恶魔需要遵循与其操作系统相同的基本定律的程度。作为一个有点极端的例子，让我们想象一下试图“用气体分子制造恶魔”。下面是在我们的粒子细胞自动机中尝试一个简单的模型：

有一段时间，我们成功地维持了一个“屏障”。但最终，这道屏障屈服于与其他一切一样的“退化”过程，并消失了。我们能做得更好吗？

让我们想象一下，“障碍物内部”（又名“恶魔”）有一种“机械”，每当障碍物以某种特定的方式“受到冲击”时，它就会“竖起正确的盔甲”，“保护”它免受这种冲击。例如，假设我们的底层系统是计算通用的，那么在某种程度上，我们应该能够“实现我们想要的任何计算”。（需要做的事情与成功的细胞自动机非常相似消除有限级别的“噪音”.)

但有一个问题。为了“保护屏障”，我们必须能够“预测”屏障将如何被“攻击”。或者，换句话说，我们的屏障（或恶魔）必须能够系统地确定外部系统将要做的事情。但是，如果外部系统的行为在计算上是不可约的，那么这通常是不可能的。因此，归根结底，像这样一个恶魔不可能存在的标准与第二定律行为发生的标准基本相同：我们所看到的系统在计算上是不可约的。

不过，关于这一点还有更多要说的。我们一直在谈论一个试图“实现一些相当简单的事情”的恶魔，比如维护屏障或“单向膜”。但如果我们在我们认为恶魔的目标方面更加灵活呢？即使恶魔无法实现我们最初的“简单目标”，它至少可以做一些“有用的排序”吗？

好吧，这取决于我们想象中的“有用的排序”。这个系统总是遵循它的规则来做一些事情。但这可能不是我们认为的“有用的排序”。但什么才算是“有用的排序”呢？据推测，这一定是一个观察者会“注意到”的东西，而且更重要的是，它应该是在观察者之前“完成了一些决策工作”的东西。原则上，一个足够强大的观察者可能能够“观察气体内部”，看看一些精细的分类过程会产生什么结果。但关键是魔鬼只需进行分类，所以观察者的工作基本上就变得微不足道了。

但所有这一切又回到了一个问题，即观察者可能想观察什么样的东西。一般来说，人们希望能够通过“观测器理论”来描述这一点，该理论提供了可能观测器的元理论，就像计算理论和图灵机器之类的思想提供了可能计算系统的元理论一样。

那么什么是真正的观察者，或者至少是像我们这样的观察者？最关键的特征似乎是，观测者最终总是某种“有限的思维”，它能处理世界的所有复杂性，并从中提取出与它必须做出的“决定”相关的某些“总结特征”。（另一个关键特征似乎是，观察者可以始终如一地将自己视为“执着”。）但我们不必千方百计寻找一个成熟的“头脑”来观察这幅画面的运作。因为它已经发生了，不仅在感知方面，而且在我们通常称之为“测量”的本质上。

例如，假设我们有一种含有大量分子的气体。标准测量可能是找到气体的压力。在进行这种测量的过程中，我们正在减少关于单个分子所有详细运动的信息，并将其总结为一个单一的聚合数，即压力。

我们如何做到这一点？我们可能有一个活塞连接到煤气箱上。每次一个分子撞击活塞，它就会稍微推动它。但关键是，活塞最终只能作为一个整体移动。所有单个分子的效应都聚合成整体运动。

在微观层面上，任何实际的物理活塞都可能是由分子构成的。但与气体中的分子不同，这些分子紧密结合在一起，使活塞成为固体。每次气体分子撞击活塞表面时，都会向活塞中的分子传递一些动量，然后会有某种微小的变形波穿过活塞。为了获得“最终压力测量值”——基于活塞整体的最终运动——变形波必须以某种方式消失。在建立“活塞作为观察者”的理论时，我们通常会忽略物理细节，并通过说活塞只是作为一个整体移动来将事情理想化。

但最终，如果我们只是“冷静地”观察系统，而不知道活塞的“意图”，我们只会看到气体中的一束分子，以及活塞中的一簇分子。那么，我们如何判断活塞是“作为观察者”的呢？从某些方面来说，这是一个相当循环的故事。如果我们假设观察者想要测量某种特定的东西，那么我们就有可能识别出系统中“实现测量”的部分。但抽象地说，我们不知道观察者“想测量”什么。我们总是会看到系统的一部分影响到另一部分。但它是否“实现了测量”？

为了解决这个问题，我们必须有某种观测者的元理论：我们必须能够说出什么样的东西我们将被视为观测者，什么不被视为观察者。最终，这必然会演变成一个相当人性化的问题。因为归根结底，我们关心的是我们人类对世界的感觉，例如，我们试图构建科学。

我们可以非常具体地谈论我们人类拥有的感官装置，或者我们用技术构建的感官装置。但观测者理论的本质大概应该是某种概括。识别基本特征的东西，比如我们作为实体的计算边界，但这并不取决于我们碰巧使用视觉而不是嗅觉作为我们最重要的感官。

这种情况有点像计算理论的早期发展。类似图灵机的东西旨在定义一种机制，该机制大致反映了人类大脑的计算能力，但也提供了一个“合理的概括”，涵盖了例如人们可以想象建造的机器。当然，在这种特殊情况下，所开发的定义被证明是非常有用的，因为它似乎具有正确的通用性，能够涵盖我们这个宇宙中可能发生的计算，但不限于此。

人们可能希望，在未来的观察者理论中，能够为“合理的观察者”定义一个类似的有用定义。例如，如果给出这样的定义，我们将能够进一步加强对第二定律可能说的内容的描述。

值得一提的是，在将观察者视为“我们这样的实体”时，我们可能会寻求的直接属性之一是，观察者应该有某种“内在经验”。但是，如果我们只是观察一个系统中分子的模式，我们如何判断哪里发生了“内在体验”？从外部来看，我们可能最终无法做到。只有当我们处于“内部”时，这才是真正可能的。我们可能有科学标准来告诉我们某些东西是否能够合理地支持内心体验。但要想知道是否真的有一种内在的体验在“进行”，我们基本上必须经历它；我们只需假设系统中的这样或那样的部分代表了我们的主观经验。

当然，这并不意味着还不能得出非常笼统的结论。因为它仍然可以作为我们的物理项目和关于ruliad的思考-只需要知道“像我们这样的观察者”的基本特征，就能对我们将要经历的有效定律之类的事情做出非常笼统的陈述。

宇宙的热寂

它第二条法律首次提出后不久让人们开始谈论它对宇宙长期演化的影响。如果“随机性”（例如以熵为特征的）总是增加，这不意味着宇宙最终必须进化到“平衡随机性”的状态，在这种状态下，我们现在看到的所有丰富的结构都已经衰变为“随机热”吗？

这里有几个问题。但最明显的是，我们想象的观测者将经历宇宙未来的状态。毕竟，如果支配宇宙的基本规则是可逆的，那么原则上，从未来的“随机热”中回归，并从中重建宇宙历史上存在的所有丰富结构，将永远是可能的。

但我们讨论过的第二定律的要点是，至少对于像我们这样的计算有界观测器来说，这是不可能的。原则上，过去总是可以从未来中确定的，但要做到这一点，需要进行大量的计算，而且远远超出了像我们这样的观察家的能力。

按照同样的思路，如果像我们这样的观察家研究宇宙的未来状态，我们将无法看到它有什么特殊之处。即使它来自“特殊状态”，即我们宇宙的当前状态，我们也无法区分它与“典型”状态，我们只会认为它是“随机的”。

但如果观测者随着宇宙的进化而进化呢？是的，对我们今天来说，未来粒子的构型可能只是“看起来随机”。但事实上，它有丰富的计算内容，没有理由假设未来的观察者不会以某种方式发现它的重要性。事实上，从某种意义上说，宇宙存在的时间越长，它所做的不可约计算量就越大。是的，今天像我们这样的观察家可能并不关心计算结果的大部分内容。但原则上，它的一些特征可以挖掘出来，以告知未来观察员的“经验”。

在实践层面上，我们的基本人类感官可以在一定尺度上识别出某些特征。但作为技术进步，它给我们提供了在更精细的尺度上挑选更多的方法。一个世纪前，我们无法现实地识别单个原子或单个光子；现在我们照例可以。几十年前看起来像是“随机噪音”的东西现在通常被认为具有特定、详细的结构。

然而，这是一个复杂的权衡。像我们这样的观察者的一个关键特征是，我们的经验有一定的一致性；我们对这个世界的了解还不够多，因此我们能够将其转化为连贯的经验线索。但观察者采样越多，这将变得越困难。所以，是的，一个拥有更先进技术的未来观测者也许能够成功地对未来宇宙的许多细节进行采样。但要做到这一点，观察者将不得不失去一些自己的连贯性最终，我们甚至无法确定未来的观察者是否“一致存在”。

通常的“宇宙热寂”是指宇宙中物质和其他粒子的命运。但是重力和时空结构之类的东西呢？在传统物理学中，这是一个相当独立的问题。但在我们的物理项目中，一切最终都是用一个单一的抽象结构来描述的，这个抽象结构既代表空间，也代表空间中的一切。我们可以预计，整个结构的演变将对应于一个计算上不可约的过程。

基本设置是其核心，就像我们在第二定律的一般讨论中看到的一样。但在这里，我们是在宇宙的最底层运行的，所以计算的不可约级数可以被认为代表了基本的不可阻挡的时间流逝。因此，随着时间的推移，我们通常可以预计宇宙最底层结构中会出现“更多的随机性”。

但观察者会感知到什么呢？这里有很多与量子力学有关的技巧，我们稍后将讨论。本质上，关键是宇宙有许多历史路径，分支和合并以及观察者对某些路径集合进行采样。例如，在某些路径上，计算可能会简单地停止，不需要应用任何其他规则，因此实际上“时间停止”，至少对这些路径上的观察者来说是这样的。这是一个可以用时空奇点识别的现象以及黑洞内部（至少某些）发生的情况。

那么，这是否意味着宇宙可能会“停止”，最终以一系列黑洞结束呢？这比那更复杂。因为观察者总是有其他途径可以遵循。有些对应于不同的量子可能性。但最终我们所想象的是，我们对宇宙的感知是从整体上采样的rulia——永远运行所有抽象可能的计算而形成的极限纠缠结构。这是ruliad构造的一个特征，它是无限的。其中的个别道路可以停止，但整个道路将永远继续。

那么，这对宇宙的最终命运意味着什么呢？就像热死亡的情况一样，特定的观察者可能会得出结论，“没有什么有趣的事情发生了”。但总有一些事情会发生，事实上，一些事情将代表越来越多的不可约计算的积累。观察者不可能在保持自身“连贯性”的同时涵盖所有这些。但正如我们稍后将要讨论的那样，将不可避免地存在一些计算可简化的口袋，相干观测者可以存在这些口袋，尽管这些观测者将感知到的可能与我们作为观测者现在感知到的任何东西都是完全不相干的。

宇宙并不仅仅是“陷入随机性”。事实上，我们今天宇宙中存在的所有事物最终都将以某种方式永远编码在发展的详细结构中。但第二定律的核心现象表明，至少像我们这样的观测者无法接触到编码的许多方面。宇宙的未来将超越我们迄今为止所“欣赏”的东西，需要重新定义我们认为有意义的东西。但它不应被“视为死亡”，也不应被视为只是“随机热”。只是为了找到我们认为有趣的东西，实际上我们可能不得不迁移到鲁利亚德。

初始条件的痕迹

第二定律给我们的期望是，只要我们从“合理的”初始条件开始，我们就应该总是进化到某种“一致随机的”配置，我们可以将其视为初始条件的“唯一平衡状态”，即“失去任何有意义的记忆”。但是现在我们已经有了在特定的简单计算系统中探索第二定律的方法，我们可以明确地研究这个期望被支持的程度。我们会发现，即使作为一般情况，也可能存在例外情况，即初始条件的痕迹可以在进化过程中保留至少很长时间。

让我们再看看我们的“粒子细胞自动机”系统。我们在上面看到，一个初始“blob”的演变（这里的大小为17，在一个有30个单元的系统中）导致了通常看起来相当随机的配置：

但其他初始条件呢？以下是一些发生的情况示例：

在某些情况下，我们再次得到了看似非常随机的行为。但在其他情况下，行为看起来更有条理。有时，这只是因为重复时间很短：

实际上，在一次近似中，重复时间的总体分布呈指数形式下降（尽管有一定的尾部）：

但分布很广，平均步长超过50000步。（17个粒子的初始blob给出了155150步的重现时间。）那么，如果“典型”初始条件没有给出短暂的重现，会发生什么呢？下面是一个示例：

这里值得注意的是，与“简单斑点”的情况不同，似乎存在长期存在的初始条件的可识别痕迹。那么发生了什么，它与第二定律有什么关系？

给出了粒子细胞自动机的基本规则

我们马上就知道，至少有两个初始条件的某些方面将永远存在特别是，规则保留了“粒子”（即非白细胞）的总数，以便：

此外，亮细胞或暗细胞的数量只能以2为增量进行更改，因此它们的总数必须始终保持偶数或奇数，并与整体粒子守恒相结合，这意味着：

关于其他保护法? 我们可以将总粒子数守恒公式化为，具有如下指定权重的“长度-1块”的实例数始终是恒定的：

然后我们可以继续询问与较长区块相关的守恒定律对于长度为2的块，没有新的非平凡守恒定律，尽管例如块的加权组合

名义上是“守恒的”，但只是因为对于任何可能的配置，它都是0。

但除了这些全球保护定律之外，还有更多的地方性规则。例如，单个“光粒子”本身保持固定，而一对光粒子始终可以在它们之间捕获单个暗粒子：

对于任何轻粒子的分离，都可以捕获任意数量的暗粒子：

但并不是每个暗粒子的初始构型都会被捕获。有分离秒和天暗粒子，共有二项式[秒,天]可能的初始配置。对于天=2，分数(秒– 3)/(秒–1）其中一些被困住了，而其他的没有。对于天=3，分数变为(秒– 3)(秒– 4)/(秒(秒– 1))和天=4是(秒– 4)(秒– 5)/(秒(秒– 1)). （对于较大的天，捕获分数仍然是有理函数秒，但所涉及的多项式迅速变得更加复杂。）对于足够大的分离秒捕获分数始终为1，但速度较慢天增加：

基本上，一个暗粒子总是“反弹”一个轻粒子：

但一对暗粒子可以“穿过”轻粒子，使其轻微移动：

不同构型的暗粒子会发生不同的情况：

而对于更复杂的“屏障”，其行为可能具体取决于精确的相位和分离关系：

但最基本的一点是，尽管有多种方法可以修改或破坏“轻粒子墙”，但它至少可以持续很长时间。结果是，如果这种墙碰巧在初始条件下出现，它们至少可以显著减缓“退化到随机性”。

例如，这显示了从一个特定的初始条件开始，每20000步取样，在200000步的过程中的演变，甚至在所有这些步骤中，我们都可以看到存在着明确的“墙结构”：

让我们看一个更简单的例子：一个单独的轻粒子被几个暗粒子包围：

如果我们画出光粒子的位置，我们可以看到它在数千步的移动中

但如果运行时间足够长，它会以大约每1300步1个位置的速度显示系统运动，围绕循环边界条件，并最终在46836步的重复时间返回其起点：

这一切意味着什么？本质上，关键是，即使像我们的粒子细胞自动机这样的系统表现出计算上的不可还原性，并且经常产生“无特征”的表观随机性，但像这样的系统也能够表现出计算上的可还原性，其中初始条件的痕迹可以持续存在，而且不仅仅是“一般随机性生成”。

计算不可约性是一种强大的力量。但是，正如我们将在下面讨论的那样，它的存在意味着不可避免地也存在计算可约性的“口袋”。再一次（正如我们将在下面讨论的那样），这是一个观察者的问题，这些口袋在特定情况下可能有多明显，以及对我们这样的观察者来说，它们是否会影响我们对第二定律操作的感知。

值得一提的是，这些问题不仅仅是像我们的粒子细胞自动机这样的系统的一个特征。事实上，他们早在20世纪50年代就出现了，几乎每次已经进行了详细的模拟可能会显示“第二定律”行为的系统。故事通常是这样的，是的，正如第二定律所表明的那样，产生了明显的随机性（尽管它通常很少被研究）。但接下来会有一个意外的规律性。在非线性弹簧阵列，有孤子。在硬球气体，有“长尾巴“在这种情况下，球体运动的相关性并没有随时间呈指数衰减，而是像幂律一样衰减。

长尾巴现象在我们上面研究的硬球气体的细胞自动机“近似”中实际上是可见的。它的解释是计算可约性如何体现的一个很好的例子。在小范围内，理想分子的运动表现出计算上的不可约性和随机性。但在更大的范围内，它更像是“集体流体动力学”，流体力学效应类似于旋涡。正是这些计算上可简化的效应导致了与长尾巴相关的“意想不到的规律”。

第二定律何时起作用，何时不起作用

第二定律的核心是关于从有序的“简单”初始条件到明显的随机性的演变。是的，这是一种现象，我们当然可以在硬球气体中看到，我们实际上是在模拟物理气体分子的运动。但具有其他基本规则的系统呢？因为我们明确地以计算的方式做每件事，所以我们只能枚举可能的规则（即可能的程序），并看看它们做了什么。

例如，以下是所有288个3色可逆块细胞自动机产生的不同图案，它们不会改变全白状态（但不一定保留“粒子数”）：

正如在简单程序的计算世界中所常见的那样，存在着相当多样的行为。我们经常看到它“做第二定律的事”并且“衰退”到明显的随机性

尽管有时需要一些时间：

但也有一些情况下，行为永远保持简单

以及其他需要很长时间才能弄清楚将要发生什么的情况：

在许多方面，最令人惊讶的是简单的规则会产生随机性正如我们所讨论的，这就是导致第二定律的最终原因。但是，那些不产生随机性，只产生简单行为的规则呢？在这些情况下，第二定律不适用。

在标准物理学中，第二定律经常应用于气体，事实上这是它的第一个应用领域。但是，对于一个原子或多或少固定了十亿年的固体来说，它确实没有用处。例如，对于一条由完美弹簧连接的质量线也是如此，它具有完美的线性行为。

有一个相当普遍的假设，即第二定律在某种程度上总是普遍有效的。但这根本不是真的。第二定律的有效性与计算不可约现象有关。是的，这种现象非常普遍。但肯定有一些系统和情况不会发生这种情况。这些都不会显示出“第二定律”的行为。

然而，有很多复杂的“边缘”案例。例如，对于给定的规则（如此处所示的3），一些初始条件可能不会导致随机性和“第二定律行为”，而其他条件会：

正如计算宇宙中经常发生的情况一样，有一些现象是人们从未预料到的，比如第三条规则的奇怪的“冲击锋式”行为，它产生了随机性，但只是在由其所在区域决定的范围内：

值得一提的是，虽然限制在有限区域通常会产生更明显类似于“气体分子盒”的行为，但随机性生成的一般现象也发生在无限区域。事实上，我们已经从规则30的经典示例中了解到了这一点。但这是一个可逆块元胞自动机：

在一些简单的情况下，行为只是重复，但在其他情况下，它是嵌套的

尽管有时相当复杂的方式:

宇宙中的第二定律和秩序

在确定了第二定律核心现象的计算性质之后，我们可以开始全面了解这一现象的范围。但普通第二定律如何适用于常见的物理情况？

计算不可约性的普遍存在是否意味着最终一切都必须“退化为随机性”？在上一节中，我们看到了一些基本规则，而这些规则显然不会发生。但对于典型的涉及分子的“真实世界”系统呢？我们已经看到了许多理想硬球气体的例子，在这些例子中我们观察到了随机性。但是，正如我们多次提到的那样，即使存在计算不可约性，也总会有计算可约性的空间。

例如，简单的整体气体定律光伏=常数适用于我们的硬球气体可以被视为计算可约性的一个例子。再举一个例子，考虑一种硬球气体，其中建立了类似旋涡的循环。为了了解发生了什么，我们只需看看我们的简单离散模型。在微观层面上，明显存在许多明显的随机性，很难看到全球正在发生什么：

但是，如果我们用3×3块“平均速度”的细胞粗化系统，我们会发现有一个相当持久的流体动力学类旋涡可以识别的：

微观上，存在计算不可约性和明显的随机性。但从宏观上看，我们正在使用的粗粒度测量的特定形式挑选出了一个可还原性的口袋，我们看到了其明显特征不显示“二次曲线型”随机性的整体行为。

实际上，这就是我们在宇宙中看到的“秩序”的作用。在小范围内，存在着各种各样的计算不可约性和随机性。但在更大的范围内，我们作为观察者注意到了一些特征，这些特征利用了可约性的口袋，并显示了我们可以用简单的数学定律来描述的秩序。

在我们的物理项目中有一个极端版本空间的基本结构-就像气体之类的东西的底层结构一样，它充满了计算不可约性，但其中有一些像我们这样的观察者注意到的总体特征，并且显示了计算可约性。一个例子涉及广义相对论所描述的时空的大规模结构。另一个涉及颗粒的识别可以被视为通过系统“移动而不更改”。

人们可能会想-就像人们经常做的那样-第二定律意味着系统的每一个特征都会退化为统一的随机性。但这并不是计算不可约性的工作原理。因为只要有计算不可约性，就不可避免地会有无限多的计算可约性。（如果没有，这个事实可以用来“减少不可约性”。）

这意味着，当存在不可约性和第二定律类随机化时，也总是会有有序的规律被发现。但是，这些法律中的哪一条对特定的观察者来说是证据性的或相关的，取决于该观察者的性质。

第二定律最终揭示了底层系统的计算不可约性与像我们这样的观测者的计算有界性之间的不匹配。但关键是，如果有一个计算可约性的口袋恰好“适合”我们作为观测者，那么尽管我们的计算有局限性，我们将完全能够识别与之相关的有序性，并且我们不会认为我们正在查看的系统只是“退化为随机性”。

所以这意味着宇宙中秩序的存在和第二定律的运行之间根本没有冲突。是的，有一个由计算不可约性产生的“随机海洋”。但也不可避免地存在于可还原性口袋中的秩序。问题是，一个特定的观察者是否“注意到”一个给定的可约性口袋，或者他们是否只“看到”计算不可约性的“背景”。

在上面的“流体动力学”示例中，“观察者”通过查看聚合的局部平均值来选择行为的“一部分”。但观测者选择行为“片段”的另一种方法是只查看系统中的特定区域。在这种情况下，人们可以观察到更简单的行为，因为实际上“复杂性已逐渐消失”. 例如，这里是可逆细胞自动机，其中随机初始块通过“辐射其信息”而“简化”：

如果一个人拿起了所有这些“辐射碎片”，他将能够通过适当的计算努力重建初始条件下的所有随机性。但是，如果我们作为观测者只是“忽略辐射到无穷大”，那么我们将再次得出结论，系统已经进化到一种更简单的状态，与随机性增加的“第二定律趋势”相反。

4级和机械相

当我最早研究细胞自动机是在20世纪80年代，我确定四类基本行为从通用初始条件开始时可以看到，例如：

类1本质上总是演化到相同的最终“定点”状态，并立即破坏有关其初始状态的信息。然而，类别2的工作方式有点像固体物质，基本上只是保持它开始时的任何构型。类别3的工作方式更像气体或液体，以一种看起来相当随机的方式不断“混合”物质。但4班做的事情更复杂。

在第3类中，没有显著的可识别的持久结构，而且一切似乎总是很快被随机化。但第4类的显著特征是可识别的持久性结构，其交互有效地定义了系统的活动。

那么这些类型的行为与第二定律有什么关系呢？第1类涉及内在不可逆性，因此不能立即与标准的第二定律行为联系起来。第二类基本上太过静态，无法遵循第二定律。但类别3显示了典型的第二定律行为，并迅速演化为“典型随机状态”。第三类捕捉到了典型的第二定律系统中的行为，比如气体。

但是四班呢？嗯，这是一个更复杂的故事。第四节课的“活动水平”高于第二节课，在某种意义上低于第三节课。但与第三类不同的是，第四类通常有“太多的活动”来“看看发生了什么”，第四类通常会让人觉得它是以一种“更可能理解”的方式运作的。第4类系统中出现了许多不同的详细行为类型。但这里有几个可逆块细胞自动机的例子：

看看第一条规则，很容易确定一些简单的持久性结构、一些静止，一些移动：

但即使有了这条规则，许多其他事情也可能发生

最后，系统的整体行为是由这些结构的组合和相互作用建立起来的。

上面的第二条规则表现得更加精细。这里是从随机初始条件开始的：

从开始一个人得到：

有时行为似乎更简单

尽管即使在最后一个案例中，也有精心设计“数字理论”行为这似乎从来都不是周期性的或嵌套的：

我们可以把任何细胞自动机或任何基于规则的系统想象成在进化时“进行计算”。1类和2类系统基本上以计算简单的方式运行。但是，当我们达到第三类时，我们就要处理计算不可约性，以及“计算密度”，它让我们对结果几乎一无所知，因此，我们所看到的基本上只能描述为“明显随机”。毫无疑问，第4类具有与第3类相同的最终计算不可约性和最终计算能力。但现在计算“密度更低”，似乎更容易被人类理解。在第三节课上，很难想象对正在发生的事情做出任何形式的“象征性总结”确定的结构我们可以想象，他们的行为能够以象征性的方式进行描述，建立起我们可以想象的“人性化叙事”其中我们谈到“X结构与Y结构碰撞产生Z结构”等等。

事实上，如果我们看看上面的图片，就不难想象它可能对应于我们可能进行的计算的执行轨迹。更重要的是，考虑到第4类系统中出现的“可识别组件”，人们可以想象将这些组件组装起来，明确地设置自己想要进行的特定计算。在第三类系统中，“随机性”总是“突然爆发”，人们几乎没有能力“有意义地控制”所发生的事情。但在4类系统中，人们可以做一些相当于传统工程或编程的事情，建立可识别组件“原语”的排列，以实现自己选择的特定目的。

事实上，在这种情况下规则110细胞自动机我们知道用这种方法进行任何计算都是可能的，证明了系统具有普适计算能力，并为计算不可约现象提供了一条证据。毫无疑问规则30也是计算通用的但关键是，根据我们目前的分析方法，像这样的第三类系统并不能让我们轻易地认识到这一点。

就像我们正在讨论的许多其他事情一样，这基本上又是一个关于观察员及其能力的故事。如果像我们这样具有计算边界的观测者能够“将事物带入我们的脑海”，我们似乎需要将它们分解到可以用适当数量的独立部分类型来描述的程度。这就是我们在第4类系统中观察到的“分解为可识别结构”给了我们机会去做的。

第三班怎么样？尽管我们在上面讨论了初始条件的踪迹，但我们目前的感知能力似乎无法让我们“理解正在发生的事情”，以至于我们无法说出比表面上的随机性更多的东西。当然，正是在这一点上，我们认为这是第二定律的基础。有没有观察员可以“解码第三类系统”？原则上，绝对是的。即使像我们这样的观测者在计算上是有界限的，我们也可以预计，至少会有一些计算上的可简化性，这些可简化性可以被发现，从而可以取得进展。

但到目前为止感知和分析方法目前，在我们看来，三班和四班的情况有很大不同。类别3显示了典型的“明显随机”行为，就像气体中的分子。类4显示的行为看起来更像“机器内部”，可能是“故意设计的”。从物理学角度来说，拥有这样一个“成批”的系统是不熟悉的。有固体、液体和气体，它们的成分具有不同的一般组织特征。但我们在第四节课上看到的是一些不同的东西，而且很陌生。

就像固体、液体和气体一样，它是可以“大量”存在的物质，具有任意数量的组分。我们可以将其视为系统的“阶段”。但这是一种新型的相，我们可以称之为“机械相”。

我们如何识别这个阶段？同样，这是一个观察者的问题。对于像我们这样的观察家来说，固体相之类的东西很容易识别。但即使是液体和气体之间的区别也可能更难识别。要识别机械相，我们基本上必须问这样的问题：“这是我们识别的计算吗？”

所有这些与第二定律有什么关系？第三类系统（如气体）立即表现出典型的“第二定律”行为，其特征是随机性、熵增加、平衡等。但第四类系统的工作方式不同。它们有一些新的特点，不完全符合第二定律的规定。

毫无疑问，总有一天我们会有机械相的理论，就像今天我们有气体、液体和固体的理论一样。这些理论很可能在描述观测者的特征以及描述什么样的粗粒度可以合理地进行时变得更加复杂。大概会有某种类似第二定律的东西，利用观测者和他们所观察的系统的能力和特征之间的差异。但在机械相中，系统的机制和观察者的机制之间的距离在某种意义上是很小的，所以我们可能无法期望得到像通常的第二定律那样简单明了的最终陈述。

机械相与体分子生物学

第二定律早就有了与生物学的不稳定关系气体等“物理”系统很容易显示出第二定律所预期的“衰减”随机性。然而，生物系统似乎以某种方式维持着各种精心设计的组织，这些组织不会立即“衰退为随机性”，实际上似乎能够通过“生物学过程”而增长。

很容易指出生命系统不断吸收能量和物质，以及它们最终的死亡和衰败，这就是为什么这些系统至少在名义上仍然遵循第二定律的原因。但是，即使在某种程度上这是可行的，它在让我们谈论生命系统的实际重要“整体”特征方面也没有特别的用处，就像第二定律通常让我们对气体之类的东西进行“整体”陈述一样。

那么，我们应该如何开始描述“大量”的生命系统呢？我怀疑一个关键是把它们看作是，在我们这里所说的机械相中的很大一部分。如果从分子尺度上观察生物体内部，可以合理地将某些部分描述为固体、液体或气体。但分子生物学日益显示的是，通常有比这些阶段更精细的分子尺度组织，而且至少在某种程度上，这种组织似乎“可描述”和“机器状”，分子和分子集合可以说具有“特殊功能”通常被细胞骨架之类的东西“小心地”和积极地运输。

例如，在任何给定的有机体中，都有由有机体基因组学定义的特定蛋白质，它们以特定的方式发挥作用。但有人怀疑，还有一种更高层次或“批量”的描述，允许人们做出至少某种类型的一般性陈述。在生物学中已经有一些已知的一般原则，例如自然选择的概念，或遗传信息的自我复制数字特征，这使得人们可以得出独立于微观细节的各种结论。

是的，在某些情况下，第二定律提供了某些关于生物学的陈述。但我怀疑，还有更强大、更重要的原则有待发现，事实上，这些原则有潜力开启全球对生物系统和过程的全新理解。

也许值得一提的是技术上的类比。在微处理器中，我们可以认为“工作流体”本质上是一种电子气体。在某种程度上，第二定律对这种电子气体有一定的解释，例如描述了导致电阻的散射过程。但是，在这种特殊的电子气体的行为中，绝大多数重要的东西并不是由这样的东西来定义的，而是由微处理器中存在的导线和开关的精心设计模式来定义的。这些导线和开关引导着电子的运动。

在生命系统中，人们有时也关心电子的传输，尽管更多的时候是原子、离子和分子。而生物系统似乎常常提供了一种人们可以认为是运输此类物品的电线的类似物。但是这些“电线”的排列是什么？最终它将由规则的适用来源于生物体的基因组。例如，有时结果类似于晶体或非晶固体。但在其他情况下，人们怀疑它会更好地用机械相之类的东西来描述。

很可能这也可以很好地描述微处理器或大型软件代码库等技术系统。然后可能会有类似于第二定律的高级定律，对这些技术系统做出高级声明。

值得一提的是，机械相的一个关键特征是详细的动力学及其定义的因果关系很重要。在类似气体的情况下，假设“分子混沌”，或者说分子是任意混合的，在大多数情况下都是完美的。但机械阶段取决于元素的“详细编排”。它仍然是一个包含任意多个元素的“体相”。但像每一个元素物质相互作用的详细历史。

在思考典型的化学时，比如在液相或气相中，人们通常只关心不同种类分子的总浓度。实际上，人们假设“第二定律已经起作用”，一切都是“随机混合”的，分子的因果历史无关紧要。但越来越明显的是这张图片不适合分子生物学及其所有详细的分子尺度结构和机制。相反，它似乎更有希望对处于机械相的物体进行建模。

那么这与第二定律有什么关系呢？正如我们所讨论的，第二定律最终反映了潜在的计算不可约性和像我们这样的观测者有限的计算能力之间的相互作用。但在计算不可约性中，不可避免地总是存在“口袋”计算可简化性-观测者可能关心也可能不关心，或者能够利用。

在机械相中，最终存在计算不可约性。但这一阶段的一个决定性特征是，在存在可识别的局域结构时，“局部计算可约性”是可见的。或者，换句话说，即使对我们这样的观察者来说，很明显，机械相并不是“一致计算不可约的”。但是，对它所能做的一般性陈述在某种程度上取决于观察者的特征。

我们在讨论第二定律方面取得了长足进展，在我们的物理项目-只做非常关于观测者的基本假设但是为了能够对机械相和生命系统做出一般性的陈述，我们可能不得不更多地谈论观察者。如果一个人看到一块生物组织，一开始可能会把它描述为某种凝胶。但我们知道还有更多的东西。问题是我们能感知到什么特征。现在我们可以用显微镜看到各种精细的空间结构。也许在未来还会有技术让我们系统地检测动态和因果结构。这将是我们感知到的东西与下面正在进行的计算之间的相互作用，这将定义我们能够看到的一般规律。

我们已经知道，我们不仅会得到普通的第二定律。但我们将得到什么还不清楚。但是，在一些与不同类型的观测者相关联的变种中，我们会得到类似于“生物学一般定律”的东西，就像在我们的物理项目中，我们得到时空和量子力学的一般定律，以及在我们的元数学分析&数学的一般规律。

时空热力学

传统的二十世纪物理学将时空视为一种连续的流体，其特征由广义相对论的连续方程定义。将此与量子场论相结合的尝试导致了将熵归因于黑洞的想法，本质上是表示黑洞事件视界“隐藏”的量子态数量。但在我们的物理项目中，有一种更直接的方式来思考时空中的热力学项。

我们物理项目的一个关键思想是，在时空的“流体”表示下有一些东西，特别是空间最终由离散元素构成，其关系（可以方便地用超图表示）最终定义了空间结构的一切。这种结构是根据与块元胞自动机的规则类似的规则演变的，只是现在人们不是在替换单元值块，而是替换超图的局部块。

那么在这样的系统中会发生什么呢？有时行为很简单。但与许多细胞自动机一样，即使是从简单的初始条件发展而来的结构也非常复杂：

这又是一个关于计算不可还原性和表面随机性产生的故事。对于超图来说，“随机性”的概念比对于单元值数组来说要简单一些。但最终重要的是“像我们这样的观察者”对系统的感知。典型的方法是看看测地线球包含给定元素的特定图形距离内的所有元素，然后研究出现的有效几何体在大规模限制中。这有点像看到流体动力学从小尺度分子动力学中产生，除了这里（之后导航许多技术问题)正是爱因斯坦的广义相对论方程出现了。

但事实上，这可以工作依赖于类似于第二定律的东西。必须是这样的情况，超图的演化至少在局部上导致了可以被视为“一致随机”的东西，并且可以对其进行统计平均。实际上，时空的微观结构正在达到某种“平衡状态”，其详细的内部结构“似乎是随机的”，但它具有像我们这样的观测者所感知到的明确的“体积”特性，给我们留下了连续时空的印象。

如上所述，计算不可约现象意味着，只要遵循简单初始条件的简单规则，表观随机性就可以完全确定性地产生。这大概就是时空进化和“形成”过程中的基本情况。（至少在某种程度上，我们将在稍后讨论与多计算相关的一些其他复杂问题。）

但就像我们上面讨论过的气体系统一样，我们现在可以直接讨论时空熵之类的东西。作为时空的“大规模观察者”，我们一直在有效地进行粗粒度处理。所以现在我们可以问，有多少时空（或空间）的微观结构与我们从粗粒化中得到的结果一致。

作为一个玩具示例，考虑只枚举所有可能的图（比如达到给定大小），然后询问其中哪些图具有特定的体积模式测地线球（即特定节点的给定图形距离内不同节点的特定数量序列）。“粗粒度熵”简单地由测地线球体积以相同方式开始的图的数量决定。以下是所有具有各种测地线球“签名”的三价图（最多24个节点）（大多数，但不是全部，最终证明是顶点传递的；这些图是通过过滤总计125816453种可能性):

我们可以把每种情况下不同数量的图看作是代表一个被约束为具有给定“粗粒度”结构的空间的微小片段的不同熵。在我们这里处理的图形大小方面，我们离连续体空间的良好近似值还很远。但假设我们可以看到更大的图表。然后我们可能会问，熵是如何随着“极限测地线球签名”而变化的——在连续统中，极限是由尺寸、曲率等决定的。

对于一般的“时空的无实体块”来说，这一切都有点难以定义，尤其是因为它在很大程度上取决于“规范”问题，或者时空如何被分割成类似空间的片段。但事件视界在某种意义上更具全局性，并没有这样的问题，所以在这种情况下，我们可以预期时空熵的定义是相当不变的。然后期望是，例如，我们将计算的熵将与“标准”熵一致，例如通过分析黑洞附近的量子场或字符串计算的熵。但通过我们这里的设置，我们还应该能够提出更多关于时空熵的一般性问题，例如看看它是如何随着任意引力场的特征而变化的。

在大多数情况下，与我们能够在粗粒度水平上成功识别的任何时空配置相关联的时空熵都将非常大。但如果我们能够找到一个相反较小的情况，那么这将是我们可以预期的连续统“平衡”破裂的地方时空结构，以及离散性证据应该开始出现的地方。

到目前为止，我们主要讨论的是表示空间瞬时状态的超图。但在谈论时空时，我们真的需要考虑因果图映射出超图中更新事件之间的因果关系，并表示时空结构。同样，这些图可以显示与计算不可约性相关的明显随机性。

人们可以为各种系统绘制因果图。这里是一个关于（实际上是1D）硬球气体的“牛顿摇篮”配置，其中的事件是球体之间的碰撞，如果球体从一个到另一个，则两个事件是因果关联的：

这是一个2D硬球案例的例子，因果图现在反映了明显随机行为的生成：

与此类似，我们可以制作一个粒子细胞自动机的因果图，在这种情况下，我们将块更改时视为事件（但忽略“无更改更新”）：

对于时空，因果图的特征有一定的解释。我们定义通过指定叶理使用的参考框架因果图的。我们物理项目的一个结果是，因果边通过我们叶理定义的类空超曲面的通量可以是直接解释为物理能量密度（通过类时超曲面的通量产生动量。）

人们可以将硬球气体的因果图惊人地相似，但硬球气体中的因果边缘对应于理想分子的实际非相对论运动，而在我们的时空模型中，因果边是抽象的连接，实际上总是像光一样（即它们对应于以光速运动）。在这两种情况下，减少事件的数量就像降低某种温度，如果一个事件接近无事件“绝对零度”，气体和时空都将失去凝聚力，不再允许效应从系统的一部分传播到另一部分。

如果增加硬球气体的密度，最终会形成类似固体的东西在这种情况下，球面和因果边都会有规则的排列。在时空中，事件水平可能会发生类似的情况，事件水平的行为可能类似于因果边缘对齐的“有序相位”。

如果一个人同时考虑时空和物质会发生什么？一个长期未解决的问题涉及具有许多引力吸引的物体-比如说恒星或星系的“气体”。虽然普通气体中的分子可能以标准的“第二定律”方式演化为明显的随机构型，但引力吸引的物体往往会聚集在一起，形成“逐渐简单”的构型。

这可能是标准的第二定律不适用的情况，但长期以来人们一直怀疑，通过将熵与时空结构适当关联，第二定律可以以某种方式“保存”。正如我们所讨论的，在我们的物理项目中，总是有熵与我们对时空的粗粒度感知相关联。可以想象的是，至少在总体状态计数方面，物质“组织”的增加可以通过增加时空可用状态的数量来平衡。

我们在上面详细讨论了“第二定律行为”是我们作为观测者（和初始状态的准备者）相对于系统底层动力学的计算不可约性而言“计算能力弱”的结果。我们可以预计，同样的事情也会在时空中发生。但如果我们能为时空制造一个麦克斯韦恶魔呢？这意味着什么？

一个相当奇怪的可能性是它可以让你更快地“旅行”这里有一个大致的类比。气体分子在房间里的空气中以大致音速运动。但它们总是与其他分子碰撞，并使它们的方向随机化。但如果我们有一个类似麦克斯韦的恶魔装置，它可以在每次碰撞时告诉我们应该骑在哪个分子上呢？通过对分子序列的适当选择，我们就可以以大致相同的声速在房间里“冲浪”。当然，要使设备工作，必须克服气体基本动力学的计算不可约性。

在时空中，因果图为我们提供了一张地图，说明什么事件可以影响其他什么事件。只要我们将时空视为“处于均匀平衡”，那么“因果距离”和我们所认为的物理空间中的距离之间就会有一个简单的对应关系。但如果我们往下看单个因果边的水平，就会更加复杂。总的来说，我们可以想象，一个合适的“恶魔”可以预测时空的微观因果结构，并仔细挑选出可以“排成一行”以“在空间走得更远”而不是“均衡预期”的因果边缘。

当然，即使这样做有效，仍然存在通过这样一个“隧道”“传输”什么的问题——例如，即使是一个粒子（如电子）也可能涉及大量因果边，因此无法系统地组织以适应隧道。但有趣的是，在我们的物理项目中，“没有什么东西能比光更快”的想法与第二定律非常类似：不是关于基本规则的基本陈述，而是关于我们与它们的相互作用以及我们作为观察者的能力的陈述。

因此，如果有类似第二定律的东西导致了我们通常所理解的时空结构，那么对于热力学中与时空相关的典型问题，我们能说些什么呢？例如，时空中永动机的故事是什么？

甚至在讨论第二定律之前，热力学第一定律就已经有了问题，因为在宇宙学环境中，能量没有局部守恒，例如宇宙的膨胀可以将能量传递给物体。但是关于“从热中获得机械功”的第二定律问题呢？据推测，“机械功”的类似物是一个“组织充分”的引力场，像我们这样的观测者可以很容易地检测到它，比如通过观察它将物体拉向一定的方向。假设一个基于违反第二定律的永动机，那么就必须将“普通时空”中的热随机性组织成一个系统的、可测量的引力场。或者，换言之，“永动机”将以某种方式涉及一个引力场，该引力场是从时空的微观结构“自发产生的”。

就像普通热力学一样，不可能做到这一点涉及到观察者和底层系统之间的相互作用。可以想象，有可能有一个观察者可以测量时空的特定特征，这些特征对应于潜在动力学中的计算可简化性——比如物体“自发运动”的一些奇怪结构。但如果没有这一点，一台“第二定律暴力”的永动机将是不可能的。

量子力学

与统计力学（和热力学）一样，量子力学通常被认为是一种统计理论。然而，人们想象统计力学的统计特性来自一个明确的、已知的“下面的机制”，而量子力学的统计特征通常只是被视为一个形式上的、不可否认的“物理事实”。

然而，在我们的物理项目中，故事不同了还有一个完整的低级结构，最终植根于规则之中，量子力学及其统计特性似乎就是从这个规则衍生出来的。正如我们将要讨论的，最后的推导与我们所说的关于标准第二定律的内容以及关于时空热力学的内容有着密切的联系。

在我们的物理项目中，量子力学的起点是一个不可避免的事实，即当应用规则转换超图时，通常可以对任何给定的超图进行多次重写。其结果是，宇宙有许多不同的可能“历史路径”。

作为一个简单的模拟，考虑重写字符串而不是超图。这样做，例如，我们得到:

这是所有可能的“历史路径”的确定性表示，但在某种意义上，这是非常浪费的，因为它包括相同字符串（如BBBB）的多个副本。如果我们合并这些相同的副本，就会得到我们称之为多路图，包含分支和合并：

在量子力学的“内部”中，人们可以想象，所有这些路径都被遵循着。那么，作为观察家，我们是如何看待世界上发生的明确事情的呢？最终，这是一个粗粒度的故事，也是我们在多路图中融合不同路径的故事。

但这里有一条皱纹。在统计力学中，我们假设可以从系统外部进行观察，通过对系统的特定特征进行采样来实现粗粒度处理。但在量子力学中，我们假设多向系统描述了整个宇宙，包括我们。因此，我们有一种特殊的情况，即宇宙正在分支和合并，我们的大脑也是如此。因此，我们最终观察到的是分支大脑感知分支宇宙的结果。

但考虑到所有这些分支，我们能决定将它们合并为一条经验线索吗？从某种意义上说，这是一个典型的粗粒化问题，也是一个我们可以一致地等效在一起的问题。但这里有些不同，因为没有“粗粒化”，我们根本无法谈论“发生了什么”，只能谈论可能发生的事情。换句话说，我们现在基本上不是在处理计算（就像在细胞自动机中），而是在处理多计算。

在多计算中，总是有两种基本操作：从旧状态生成新状态，以及观测者有效地对状态进行等价。在普通计算中，在生成连续状态线程的过程中可能存在计算不可约性。在多计算中，可以多重计算不可约性在某种意义上，多路系统中的所有计算都必须进行，以便甚至确定单个等效结果。或者，换言之，你不能沿着历史的轨迹走捷径。如果您在一开始就尝试等价，那么您构建的等价类将不可避免地被进化“粉碎”，迫使您分别遵循每一条路径。

值得一提的是，正如经典力学一样，量子力学描述中的“潜在动力学”是可逆的。在上面原始的未合并进化树中，我们可以反转每个规则，并从任何点唯一地构建一个“向后树”。但是，一旦我们开始合并和等价，就不存在相同类型的“直接可逆性”——尽管我们仍然可以计算可能的路径来确定我们保持“总概率”。

在普通计算系统中，计算不可约性意味着，即使从简单的初始条件中，我们也可以得到相对于大多数计算有界观测值而言“似乎随机”的行为。在多计算系统中会发生一些直接类似的情况。从简单的初始条件出发，我们生成了历史路径的集合，这些历史路径相对于计算上有界的等价操作而言“似乎是随机的”，或者换句话说，对于对不同历史路径进行计算上有边界的粗粒化的观察者来说。

当我们看到我们绘制的代表多路系统进化的图表时，我们可以想象有一个沿着页面向下的时间方向，沿着从各州指向其继任者的箭头。但纵观这一页，在横向上，我们可以认为这是一个空间，不同的历史路径被放置在其中——我们称之为“鳃间隙”.

开始构建鳃空间的一种典型方法是在多路图上进行切片，然后形成一个鳃图，在该图中，如果两个状态在前面的步骤上有一个共同的祖先（这意味着我们可以将它们视为“纠缠”），则两个状态将连接在一起：

尽管细节尚待澄清，但似乎在量子力学的标准形式主义中，鳃空间中的距离基本上对应于量子相位，因此，例如，其相位会使其显示破坏性干涉的粒子将位于鳃空间的“两端”。

那么观察者是如何与鳃部空间联系起来的呢？基本上，观察者所做的是在鳃部空间中粗加工纹理，相当于历史的某些路径。正如我们在物理空间中有一定的范围，这决定了我们气体的粗粒化，而且时空结构的尺度要小得多，我们在鳃部空间中也有一定的程度，这决定着我们在历史分支中的粗粒度。

但这正是多重计算不可约性和第二定律模拟的关键所在。因为正如我们想象气体和时空达到某种“独特的随机平衡”，这使我们能够对它们进行一致的测量，所以我们也可以想象在量子力学中，实际上存在一种“鳃部空间平衡”。

想象一盒气体处于平衡状态。将两个活塞放在箱体的不同侧面。只要它们不太扰动气体，它们都会记录到相同的压强。在我们的物理项目中，观测者和量子力学也是如此。大多数情况下，系统的多计算不可约演化（在多路图的层次上是完全确定的）将产生足够的有效随机性，计算有界观测器将始终看到相同的“平衡值”。

量子力学的一个中心特征是，通过进行足够仔细的测量，人们可以看到看似随机的结果。但这种随机性是从哪里来的呢？在量子力学的通常形式中，纯概率结果的概念只是被烧成了形式结构。但在我们的物理项目中，人们看到的明显的随机性有一个明确的“机械”起源。它基本上与标准第二定律的随机性起源相同，只是我们现在处理的是多计算性，而不是纯粹的计算不可约性。

顺便说一句，“贝尔不等式”（Bell’s不等式）所说的量子力学不能以“机械随机性”为基础，除非它来自非局部理论，这一说法在我们的物理项目中仍然成立。但在物理项目中，我们有一个“非局域性”的直接普遍来源：观测者所做的“跨越”鳃部空间的等效或粗粒化。

（这里我们不讨论物理空间的作用。但可以说，与其让多路图的每个节点代表宇宙的完整状态，我们还可以制作一个扩展的多路图，在该图中，不同的空间元素（如不同的历史路径）与它们的“因果纠缠“然后定义空间的实际结构，在鳃图的空间模拟中。）

正如我们已经提到的，完整的多路图是完全确定的。事实上，如果我们有一个完整的图的鳃片，这可以用来确定图的整个未来（量子力学标准形式主义中“幺正进化”的模拟）。但是，如果我们等价于状态——对应于“测量”——那么我们就没有足够的信息来唯一地决定系统的未来，至少当涉及到我们认为的量子效应时。

一开始，我们可能认为统计力学、时空力学和量子力学都是非常不同的理论。但我们的物理项目表明，事实上，它们都是基于一种常见的、从根本上讲是计算现象的。

那么，与标准第二定律相关的其他想法呢？它们在量子案例中是如何工作的？

例如，熵现在只是衡量鳃图与某种粗粒度测量相一致的可能构型的数量。两个独立的系统将具有断开的鳃图。但一旦系统相互作用，它们的鳃图就会连接起来，可能的图配置数量就会改变，从而产生“纠缠熵”。

关于第二定律的量子模拟的一个问题是什么可能对应于“机械功”。很可能有高度结构化的鳃裂图——可以想象与相干态之类的东西有关——但尚不清楚它们是如何工作的，也不清楚现有的测量方法是否能够轻易检测到它们。但人们可以预计，多重计算不可约性将倾向于产生鳃图，而这些鳃图无法通过大多数计算有界测量“解码”，因此，例如，“量子永动机”，即“鳃组织”是自发产生的，就不会发生。

最后，量子测量中的随机性发生的基本原因与我们观察气体中的少量分子时看到随机性的基本原因是一样的：这并不是说下面有什么根本不确定的东西，只是有一个计算过程使事情变得太复杂，我们无法“解码”，至少作为具有有限计算能力的观测者是如此。然而，就气体而言，我们在物理空间的不同位置对分子进行采样。但在量子力学中，我们做的是稍微抽象一点的事情，即在鳃部空间的不同位置对系统的状态进行采样。但同样的基本随机化正在发生，尽管现在是通过在鳃部空间进行多重计算不可约性操作。

第二法的未来

这个一个半世纪前第二法的最初制定-甚至在分子的存在被确立之前，这是一项令人印象深刻的成就。有人可能会认为，在150年的过程中，随着所有数学和物理学的发展，早就对第二定律有了完整的基础性理解。但事实并非如此。从我们在这里讨论的内容中，我们现在可以看出原因。这是因为第二定律最终是一种计算现象，要理解它，需要理解最近才出现的计算范式。

一旦人们开始在计算宇宙中进行实际的计算实验(就像我在20世纪80年代初所做的那样)第二定律的核心现象出乎意料地显而易见，即使它违反了人们对事物应该如何运行的传统直觉。但最后，正如我们在这里讨论的那样，第二定律是一个非常普遍的反映，如果它具有很强的计算性，想法：计算不可约性和像我们这样的观测者的计算局限性之间的相互作用计算等效原理告诉我们违背了计算不可化归性是不可避免的。但观察者的局限性是不同的：这是一种科学的顿悟，实际上是我们人类经验和科学方法的形式化。

我们能把这一切的公式化吗？毫无疑问。我们有各种计算过程的标准模型，如图灵机和细胞自动机。我们仍然需要发展一种“观测者理论”，为像我们这样的观测者所能做的提供标准模型。我们越能发展这样的理论，我们就越能期望对关于第二定律的具体陈述作出明确的证明。最终，这些证明将在计算等效性原则中有坚实的基础（尽管仍有许多东西需要形式化），但将依赖于“像我们这样的观察者”可能是什么样的模型。

那么，我们期望第二定律最终有多普遍呢？在过去的几节中，我们已经看到第二定律的核心延伸到时空和量子力学。但即使涉及到统计力学的标准主题，我们也期望第二定律有局限性和例外。

计算不可约性和计算等价性原则非常普遍，但并不十分具体。他们谈论的是系统和过程的整体计算复杂性。但他们并没有说没有简化功能。事实上，我们期望在任何显示计算不可约性的系统中，总是可以找到任意多个“计算可约性切片”。

问题是，这些可还原性片段是否会成为观察者所能感知或关心的。如果他们是，那么就不会看到第二定律的行为。如果不是这样，人们只会看到“一般计算不可约性”和第二定律行为。

如何找到可还原性的切片？好吧，总的来说，这非常困难。从某种意义上说，每一个可约化的部分都是一个新的科学或数学原理。在寻找这种可约切片时所涉及的计算不可约性基本上说明了科学和数学事业最终的无限特性。但再一次，尽管可能存在无限多的可约化切片，我们仍然必须问，作为观测者，哪些切片对我们来说很重要。

答案可能是研究气体的一件事，也可能是研究分子生物学或社会动力学的另一件事。问题是我们是否会看到“第二定律行为”，然后归结为我们正在研究的东西是否会变得不简单，并最终显示出计算上的不可约性。

如果我们有一个足够小的系统，包含足够少的组件，那么计算不可约性可能“不够强”，无法阻止我们“超越第二定律”，例如构建一个成功的麦克斯韦魔鬼。事实上，随着计算机和传感器技术的进步，测量和建立控制系统变得越来越可行，有效地避免了第二定律，尤其是小系统。

但总的来说，第二定律的未来及其适用性实际上取决于观察员能力的发展。未来的技术和未来的范式会对我们剔除计算不可约性的能力产生什么影响？

在ruliad的背景下，基于我们现有的能力，我们目前在rulial空间进行本地化。但随着我们的进一步发展，我们实际上“殖民化”统治空间一个看起来随机的系统，从规则空间的一个地方看起来可能遵循第二定律，从另一个地方可能“揭示得很简单”。

不过，这里有一个问题。因为作为观察者，我们在规则空间中分布得越多，我们的经验就越不连贯。实际上，我们将在规则空间中跟踪更大的线程束，这使得“我们”的角色不那么明确。在这个限度内，我们大概能够涵盖计算可简化性的所有部分，但代价是我们的经验“不连贯地传播”到所有这些部分。

这最终是一种权衡。要么我们可以有一个连贯的经验线索，在这种情况下，我们会得出结论，世界会产生明显的随机性，正如第二定律所暗示的那样。或者，我们可以发展到这样一个地步，即我们已经“传播了我们的经验”，不再作为观察者具有一致性，但可以识别出足够的规律，使第二定律看起来可能无关紧要。

但到目前为止，第二定律仍然与我们息息相关，即使我们开始看到它的一些局限性。通过我们的计算范式，我们终于能够看到它的基础，并理解它最终是如何工作的。

感谢和留言

感谢Brad Klee、Kegan Allen、Jonathan Gorard、Matt Kafker、Ed Pegg和Michael Trott的帮助以及许多人都做出了贡献据我对第二定律的理解，50多年来我一直对它感兴趣。

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