1 |数学和物理有相同的基础
我们的物理项目是它的建议物理和数学基础之间有着非常深刻的对应关系我们可能会想象物理会有某些定律，数学会有某些理论，虽然它们可能有历史联系，但它们之间不会有任何基本的形式上的对应关系。
但我们的物理项目表明，在我们所经历的一切之下，有一个非常普遍的抽象结构，我们称之为统治阶层-我们的物理定律必然来自于我们对这种结构所取的特定样本。我们可以把ruliad看作所有可能计算的纠缠极限，或者实际上是所有可能形式过程的表示。这让我们想到，也许规则不仅是物理学的基础，也是数学的基础——数学中的一切，就像物理学中的一切一样，可能只是对规则进行采样的结果。
当然，通常练习的数学看起来和物理不一样。但我们的想法是，它们都可以被视为相同底层结构的视图。不同之处在于物理和数学观察员以不同的方式对这种结构进行采样。但由于最终这两种观察者都与人类经验有关，它们不可避免地具有某些共同的核心特征。结果是，应该有“数学基本定律”，在某种意义上反映了我们从对规则的物理观察中得出的感知物理定律。
那么，这些数学基本定律可能是什么样的呢？它们如何告诉我们数学基础的概念，以及我们对数学真正是什么的看法？
我们人类在许多世纪中发展起来的数学最明显的表现就是数学文献中发表的数百万数学定理。但对于我们称之为数学的东西，大体上可以说什么呢？数学是什么样子的，有什么概念吗？例如，在无限未来发展的极限下，我们能说什么关于数学的结构？
当我们从事物理研究时，传统的方法是从我们对物理世界以及空间、时间和运动等概念的基本感官经验开始，然后尝试将我们对这些事物的描述形式化，并建立在这些形式化的基础上。在其早期发展中欧几里得-数学采用了同样的基本方法。但从一个多世纪前开始，就出现了这样一种想法：一个人可以纯粹根据形式公理构建数学，而不必参考感官经验可以获得的东西。
在某种程度上，我们的物理项目从一个相似的地方开始。因为在一开始，它只考虑纯粹的抽象结构和抽象规则（通常用超图重写来描述），然后尝试推断它们的结果。其中许多后果极其复杂违背了计算不可化归性但值得注意的发现是具有某些使他们喜欢我们的一般特征的观察家，出现的行为必须具有我们可以识别的一般规律，事实上必须遵循确切已知的物理核心定律。
这已经开始为数学基础提供了一个新的视角。但还有另一件事，那就是统治的理念。我们可能会假设我们的宇宙是基于某种特定的选择的潜在规则，比如我们可能在数学中选择的公理系统。但规则的概念实际上代表了“运行所有可能的规则”的纠缠结果。关键的一点是，事实证明，“像我们这样的观察者”对规则进行采样时，必须感知到符合已知物理定律的行为。换句话说，如果不“做出任何选择”，这是不可避免的-鉴于我们作为观测者的身份，我们的“ruliad经验”将展示物理学的基本定律。
但现在我们可以在数学上架起一座桥梁。因为在体现所有可能的计算过程中，ruliad也必然体现所有可能公理系统的结果。当人类在做物理时，我们实际上是在对ruliad进行一定的采样。我们意识到，当人类在做数学时，我们也在做本质上相同的事情。
但是，我们是否会像看待“物理一般定律”那样看待“数学一般定律”？这取决于我们是什么样的“数学观察员”。在物理学中，有一些我们人类可以吸收的一般规律和概念，如空间和运动。抽象地说，数学中可能不会有类似的情况。但似乎数学家们通常称之为数学的东西就是为了它而存在的东西，并且在那里（通常最后利用我们的物理经验）有可能成功地雕刻出一个我们人类可以吸收的规则样本。
当我们思考物理学时，我们会认为存在一个实际的物理现实，我们在其中体验物理学。但在数学的形式公理化观点中，情况有所不同。那里没有明显的“潜在现实”；相反，我们对公理系统只有一定的选择。但现在，有了规则的概念，情况就不同了。因为现在我们有了这样一个想法，即物理和数学的“深层”都是一样的：规则。这意味着，就物理学“立足于现实”而言，数学也必须如此.
当大多数工作的数学家做数学时，他们通常会认为他们处理的结构（无论是数字、集合还是其他什么）是“真实的东西”。但通常有一个概念，在原则上，我们可以“深入”，并根据一些公理系统形式化一切。事实上，如果一个人想获得数学及其结构的全球观点，就像今天一样，似乎最好的方法是从公理系统的形式化.
从我们物理项目的规则和思想出发，我们实际上是在定位某种“数学理论”。为了验证这一理论，我们需要研究“数学现象”。是的，实际上我们可以通过直接“阅读整个数学文献”来做到这一点。但从某种意义上来说，从“当前流行的基础数学理论”开始，并以形式化数学和公理系统的方法为基础，这样更有效。
在过去的一个世纪里，通过研究这些方法的一般特性，已经完成了一定数量的元数学。但在今天系统地使用这些方法时，通常是在计算机的帮助下建立一些特定的数学推导。但在这里，我们想做的是考虑如果“批量”使用这些方法会发生什么。下面可能会有各种具体详细的形式推导。但不知何故，从中产生的是更高层次的东西，一些“更人性化”的东西——最终是与我们对纯粹数学的体验相对应的东西。
这是怎么做到的？我们可以从物理学中的类比中得到一个想法。假设我们有一种气体。在下面，它由无数的分子组成，以详细而复杂的模式跳跃。但是，我们对气体的大多数“人类”体验都是在一个更粗粒度的层次上——在这里，我们感知的不是单个分子的详细运动，而是连续流体力学。
我认为数学也是如此。所有这些详细的形式推导——例如自动定理证明可能是分子动力学。但我们大多数的“人类数学经验”——我们谈论整数或形态之类的概念——就像流体动力学一样。分子动力学是建立流体的基础，但对于大多数“人类感兴趣”的问题来说，“在流体动力学水平上进行推理”是可能的，而不涉及分子动力学。
这当然不太可能。可能有人会从“流体动力学”的角度开始描述事物——在实际流体谈论旋涡运动的情况下——但一切都会很快被“粉碎”，很快就看不到像漩涡一样的东西，只有精细的微观分子运动的精细模式。类似地，在数学中，人们可以想象自己能够用实数等东西证明定理，但实际上发现一切都被“粉碎”了，以至于人们不得不开始讨论数学逻辑和不同可能的公理基础的复杂问题。
但在物理学中，我们实际上拥有热力学第二定律-我们现在从计算不可约性的角度理解-这告诉我们，有一种强烈的感觉，在这种感觉中，微观细节被系统地“冲掉”，因此流体动力学之类的东西“起作用”。就在某些时候，比如在研究布朗运动或高超音速流动时，分子动力学水平仍然“闪耀”。但对于大多数“人类目的”，我们可以仅使用普通流体动力学来描述流体。
那么这在数学中的类比是什么？大概是因为有某种“数学的一般规律”，解释了为什么人们经常可以“纯粹地”做数学。就像在流体力学中一样，可能会有一些深入到“分子尺度”的“拐弯”问题，而实际上，这正是我们可以期待看到诸如不可判定性、，作为一种粗略的模拟，我们最终追踪单个分子潜在的无限路径，而不是仅仅观察“整体流体效应”。但不知何故，在大多数情况下，工作中都有一些更强烈的现象，它有效地聚合了低层次的细节，从而实现了一种“批量描述”，最终成为我们通常在实践中称之为数学的本质。
但是，这种现象在形式上是不可避免的吗，还是在某种程度上取决于我们人类“处于循环中”？在第二定律的情况下，至关重要的是，我们只能像我们人类使用当前技术通常做的那样，跟踪气体的粗粒度特征。因为如果我们观察并解码每个分子的行为，我们最终将不会识别出任何类似于通常的大块“第二定律”行为的东西。换言之，第二定律的出现实际上是一个直接的结果，即我们人类在测量和计算方面有局限性，而我们正观察气体。
那么数学也发生了类似的事情吗？在潜在的“分子水平”上有很多事情要做。但我们人类思考事情的方式，实际上只采集了特定种类的样本。这些样本给了我们“数学的一般规律”，给了我们通常的“人本数学”体验。
为了最终奠定这一基础，我们必须深入到规则的完全抽象层次，但我们已经看到了许多核心效应，通过从传统的“公理层次”（尽管是“整体”）来看数学，我们基本上已经看到了很多核心效应。
完整的故事以及物理和数学之间的完全对应，在某种意义上要求“低于”我们可以识别的形式公理化数学结构的水平；它需要达到这样一个水平，即我们所说的一切都是从完全抽象的元素中制造出来的，在物理学中，我们可能将其解释为“空间原子”，在数学中，它是变量和操作符以及传统公理数学中所熟悉的一切之下的某种“符号原料”。
我们描述的物理和数学之间的深刻对应可能会让人怀疑我们在物理中使用的方法在多大程度上可以应用于数学，反之亦然。在公理数学中，重点往往是研究特定的定理，以及如何将它们与证明结合在一起。人们当然可以想象一个类似的“公理物理学”，在其中进行特定的实验，然后看看它们如何“演绎”地结合在一起。但我们对物理学存在“现实”的印象使我们寻求更广泛的定律。现在，规则所暗示的物理和数学之间的对应关系表明，我们也应该在数学中这样做。
我们会发现什么？其中一些基本上只是证实了工作中的纯粹数学家已有的印象。但它为理解这些印象提供了一个明确的框架，也为了解它们的局限性提供了一种明确的框架。它还让我们解决了一些问题，比如为什么在实际的纯数学中不可判定性如此罕见，以及为什么在明显不同的数学领域之间发现显著的对应关系如此常见。除此之外，它还提出了一系列数学和元数学的新问题和新方法，这些问题和方法有助于构建我们称之为数学的非凡智慧大厦的基础。
2个|数学和物理的基本结构
如果我们“深入”到数学的“分子水平”之上，我们会发现什么？关于数学的历史惯例及其表示，有许多技术细节（其中一些我们将在后面讨论）。但大体上，我们可以认为这是一种“数学陈述”的“气体”，比如1+1=2或x + 年 = 年 + x-用某种特定的符号语言表示。（是的，Wolfram语言提供了一个很好的示例，说明该语言可能是什么样子。）
但“声明之气”是如何表现的呢？关键点是，新的语句是通过实现推理法则的“交互作用”从现有语句中派生出来的（如q个可以从语句派生第页和声明”第页暗示q个”). 如果我们追踪一个语句可以从其他语句派生出来的路径，这些就相当于证明。然后，所有这些推导的整个图形就是数学可能的历史发展的表示，通过该图形的切片对应于给定阶段达到的语句集。
通过谈论“声明的气体”之类的东西，我们让这听起来有点像物理学。但是，在物理学中，气体是由实际的物理分子组成的，而在数学中，我们的陈述只是抽象的东西。但这就是我们的发现物理项目开始变得重要起来。因为在我们的项目中，我们正在“深入”研究例如空间和时间的通常概念，以获得物理宇宙的“最终机器代码”。我们可以把这种终极机器代码想象成是对那些实际上只是抽象结构的东西进行操作，这与数学中的情况非常相似。
特别是，我们想象空间和其中的一切都是由“空间原子”的巨型网络（超图）-每个“空间原子”只是一个与其他元素有一定关系的抽象元素。然后，宇宙在时间上的演化对应于计算规则的应用，这些规则（很像推理法则）采用抽象关系并产生新的关系，从而逐步更新代表空间及其万物的网络。
虽然个别规则可能非常简单，但它们导致的整个详细行为模式通常非常复杂，并且通常会显示违背了计算不可化归性因此，除了明确跟踪每一步之外，没有办法系统地找到其结果。但是，尽管有这些潜在的复杂性，结果却非常类似于普通气体的情况，在粗粒度水平上，有更简单（“大块”）的行为规律可以识别。值得注意的是，这些结果恰恰是广义相对论和量子力学（是的，最终是相同的理论从空间概念的适当概括来看）。
但在最底层，是否有一些特定的计算规则在“运行宇宙”？我不这么认为。相反，我认为实际上所有可能的规则都一直在应用。结果是统治阶层：与执行所有可能的计算相关联的纠缠结构。
那么，是什么给了我们宇宙和物理学的经验呢？不可避免地，我们是嵌入规则的观察者，只对规则的某些特征进行采样。但是，我们采样的特征是由我们作为观察者的特征决定的。以及什么似乎是至关重要的“像我们这样的观察家”基本上有两个特点首先，我们在计算上是有界的。第二，我们以某种方式坚持不懈地保持着我们的一致性——从某种意义上说，我们可以始终如一地确定构成“我们”的东西，即使所涉及的空间的详细原子在不断变化。
但我们可以把不同的“像我们这样的观测者”看作是采集不同的特定样本，对应于规则空间中的不同参照系，或者只是规则空间中不同的位置。这些不同的观察者可能会将宇宙描述为根据不同的特定潜在规则进行演化。但关键的一点是，ruliad的一般结构意味着，只要观察者“像我们一样”，他们对宇宙的感知必然会遵循广义相对论和量子力学之类的东西。
这很像气体分子发生的情况：对于“我们这样的观察者”来说，有相同的气体定律和相同的流体动力学定律，基本上独立于单个分子的详细结构。
那么这一切对数学意味着什么？关键的，也是最初令人惊讶的一点是，我们在物理学中描述的思想实际上可以立即转移到数学中。关键是，规则不仅代表所有物理，也代表所有数学，它表明这些不仅相关，而且在某种意义上基本相同。
在公理数学的传统公式中，人们谈论从特定的公理系统得出结果，比如皮亚诺算术，或ZFC集合论，或公理欧几里德几何但实际上，该规则不仅代表了特定公理系统的纠缠结果，还代表了所有可能公理系统（以及所有可能的推理法则）的纠缠结果。
但从某种意义上来说，从这个结构对应于所有可能的数学，我们如何挑选出我们感兴趣的任何特定数学？答案是，正如我们是物理宇宙的有限观察员一样，我们也是“数学宇宙”的有限观察员。
但我们作为“数学观察员”是什么样的呢？正如我稍后将更详细地讨论的那样，我们继承了我们作为“物理观察员”所展现的核心特征。这意味着，当我们“做数学”时，我们实际上是以与“做物理”时相同的方式对规则进行采样。
我们可以在不同的规则参考框架中操作，或者在规则空间中的不同位置操作，这将对应于挑选出不同的潜在“数学规则”，或者本质上使用不同的公理系统。但现在我们可以利用与物理学的对应关系来表示，我们也可以预期会有某些“数学的总体规律”，它们是像我们这样的观察者所感知到的规则的一般特征的结果。
事实上，我们可以预计，在某种形式上，这些整体定律的结构与物理定律的结构完全相同，因此实际上，在数学中，我们会有一些类似于物理中的空间概念，以及广义相对论和量子力学等事物的形式类比。
这意味着什么？这意味着，正如物理学中有可能有连贯的“更高层次的描述”，而不仅仅是在空间原子层次上操作一样，这在数学中也应该是可能的。从某种意义上说，这就是为什么我们可以一直做我在上面所描述的“人类层次的数学”，而不必降到特定公理结构（或更低）的“分子层次”。
假设我们在讨论毕达哥拉斯定理。给定一些具体的数学公理系统，我们可以想象用它来建立一个精确的、甚至可能非常冗长的、迂腐的对定理的重新表述。但假设我们改变了公理的一些细节，比如与它们谈论集合或实数的方式有关。几乎可以肯定的是，我们仍然能够建立起我们认为是“毕达哥拉斯定理”的东西——尽管表示的细节会有所不同。
换句话说，我们人类称之为“毕达哥拉斯定理”的东西不仅仅是规则中的一个点，而是一整团点。现在的问题是：如果我们试图从毕达哥拉斯定理推导出其他结果，会发生什么？这可能是理论的每一种特定表示与云中的每一点对应，都会导致截然不同的结果。但也有可能是，从本质上讲，整个云都会产生相同的结果。
与物理学通信的主张是，应该有适用于“我们这样的观测者”的“数学一般定律”，并确保与云相关的所有不同具体表示之间的一致性，我们将其确定为“毕达哥拉斯定理”。
在物理学中，我们可能总是要单独说出空间中每个原子的情况。但我们知道，对空间有一个连贯的更高层次的描述，例如，我们可以想象物体可以移动，同时以某种方式保持其特性。我们现在可以预计，这与数学中的情况是一样的：就像物理学中有一个连贯的空间概念，例如物体可以在不被“粉碎”的情况下移动一样，这在数学中也会发生。这就是为什么可以进行“高级数学”而不必总是降到公理推导的最低级别。
值得指出的是，即使在物理空间中，像“纯运动”这样的概念，即物体可以运动，同时保持其特性，也并不总是有效的。例如，接近时空奇点时，人们最终可能会被迫看穿空间和任何“物体”的离散结构不可避免地被“粉碎”。但大多数情况下，像我们这样的观测者可能会坚持这样的观点，即存在连贯的大规模特征，我们可以使用物理的“体积”定律来研究这些特征的行为。
我们可以期待同样的事情会发生在数学上。稍后，我们将讨论物理学和数学中现象之间更具体的对应关系，我们将在数学或更准确地说，在元数学中看到广义相对论和量子力学等事物的影响。
但现在，关键的一点是，我们可以认为数学是由与物理完全相同的东西组成的：它们都只是规则的特征，就像我们这样的观察者所采样的那样。在接下来的内容中，我们将看到利用它来结合物理学和数学的成就和直觉所产生的巨大力量，以及它如何让我们思考新的“数学一般定律”，并从不同的角度看待数学的最终基础。
考虑一下数学书籍和论文中出现的所有数学陈述。在某种意义上，我们可以将这些视为（人类）数学的“观察现象”。如果我们要建立一个“数学的一般理论”，第一步是做一些我们在自然科学中通常会做的事情，并尝试“向下钻取”以找到一个统一的基础模型，或者至少是所有模型的表示。
一开始，可能还不清楚什么样的表示可能会捕捉到所有这些不同的数学陈述。但过去一个世纪左右出现的情况尤其清楚数学软件和Wolfram语言-事实上，有一种相当简单和通用的表示法，它的效果非常好：一种表示法，其中一切都是符号表达。
可以查看以下符号表达式f[g[x][y，h[z]]，w]作为一个层次结构或树状结构在每个级别上都有特定的“头”（例如（f）)“应用于”一个或多个参数。通常在实践中，人们处理头部具有“已知含义”的表达，如次数[Plus（加）[2, 3], 4]沃尔夫拉姆语。通过这种设置，符号表达让人联想到人类的自然语言，头部基本上与语言中的“已知单词”相对应。
据推测，正是这种对人类自然语言的熟悉，导致了“人类自然数学”的发展，其发展方式可以很容易地用符号表达出来。
但在典型的数学中，有一个重要的问题。人们常常想发表声明，不仅是关于特定的事情，而且是关于整个类别的事情。然后通常只声明一些“符号”（比如，x)表达式中出现的是“变量”，而其他变量（比如，Plus（加）)不是。但是，在我们努力尽可能一致地捕捉数学本质的过程中，将代表一整类事物的对象的概念燃烧到符号表达的结构中似乎要好得多。
事实上，这是一个Wolfram语言的核心思想，比如x或（f）只是一个“代表自身的符号”，而x个_是一个模式（命名为x)它可以代表任何东西。（更准确地说，_它本身就是“任何事物”的代表，并且x个_-也可以写x（x）：_-不管怎么说_在特定实例中的代表将被调用x.)
然后，使用此符号，“数学语句”的示例可能是：
以更明确的形式，我们可以将其写为相等[f[x_，y]，f[f[y]，x_]，y]]-其中相等(
)具有代表平等的“已知含义”。但我们能用这句话做什么呢？在“数学水平”上，该声明声称
和
应视为等效。但从符号表达的角度来看，现在有了一种更明确、更低级的“结构”解释：任何结构匹配的表达
可以等效地替换为
（或者，在Wolfram语言符号中(年∘x) ∘年)反之亦然。我们可以用符号表示这种解释
这可以看作是Wolfram语言规则对的缩写：
好吧，假设我们有这个表达式
。现在我们可以应用语句定义的规则。如果我们以所有可能的方式只做一次，会发生以下情况：
例如，我们可以看到
可以转换为
继续这一步，我们建立了一个完整的多向图。只需多走一步，我们就可以：
继续进行几个步骤，然后我们得到
或在不同的渲染中：
但这个图表意味着什么？本质上，它为我们提供了表达式之间的等价映射，任何一对连接的表达式都是等价的。例如，结果是表达式
和
是等价的，我们可以“证明这一点”通过在图表中显示它们之间的路径：
然后，可以将路径上的步骤视为证明中的步骤，在这里，我们在每个步骤中都指出了表达式中转换发生的位置：
在数学术语中，我们可以说，从“公理”开始
我们能够证明两个表达式之间的某个等价定理。我们给出了一个特别的证据。但还有其他的，例如“效率较低”的35步一
对应于路径：
为了我们以后的目的，值得在这里更详细地讨论一下这些证明中的步骤是如何实际进行的。考虑以下表达式：
我们可以把它看作一棵树：
我们的公理可以表示为：
就树木而言，我们的第一个证明是
我们在每一步的指示哪棵树被“替换”了使用公理。
到目前为止，我们所做的是为一定数量的步骤生成一个多路图，然后看看是否可以在其中找到某个特定语句的“证明路径”。但是，如果我们得到一个语句，并被问及是否可以在指定的公理系统中证明它，该怎么办？实际上，这是在问，如果我们制作一个足够大的多路图，我们是否可以找到与语句对应的任意长度的路径。
如果我们的系统在计算上是可简化的，那么我们总是能够找到这个问题的有限答案。但总的来说计算等效原理和无处不在的违背了计算不可化归性-通常，没有比显式生成路径更好的方法来确定路径是否存在。例如，如果我们知道生成的中间表达式始终保持有界长度，那么这仍然是一个有界问题。但一般来说，表达式可以增长到任何大小，因此，即使是关于小表达式之间等价性的声明，也不需要证明路径长度的一般上限。
例如，对于我们在这里使用的公理，我们可以查看以下形式的语句
。然后显示表达式的数量快递什么尺寸有最短的证明
长度逐渐变大：
例如，如果我们看一下声明
最简短的证明是
其中，通常情况下，存在比最终结果长的中间表达式。
4 |数学解释的几个简单例子
上一节中的多路图在某种意义上基本上是元数学的。他们的“原材料”是数学陈述。但它们所代表的是像置换这样的操作的结果，这种操作是在一种元层次上定义的，“谈论数学”，但本身并不是立即“可以表示为数学”。但是，为了帮助理解这种关系，研究一些简单的案例是很有用的，在这些案例中，可以至少与熟悉的数学概念进行某种程度的对应。
例如，考虑公理
我们可以认为它代表了二进制算子∘的交换性。现在考虑使用替换来“应用这个公理”，比如从表达式开始
结果是（有限）多路图：
混淆了方向相反的两条边，从任何涉及秒∘s（和
不同变量）包括：
这些只是布尔超立方体，每个都有
节点。
如果我们考虑结合公理而不是交换性
那么我们得到一个简单的“环”多路图：
结合性和交换性，我们得到：
这个物体的数学意义是什么？我们可以认为我们的公理是一般的交换半群的公理如果我们从以下方面开始构建多路图
-我们将找出哪些表达式等价于
换言之，在任何交换半群中，我们将得到一组“适用于任何交换半组”的定理：
但如果我们想处理“特定半群”而不是泛型半群，该怎么办？我们可以想到我们的符号一和b条作为半群的生成器，然后我们可以添加关系，如：
这样做的结果是，我们得到了表达式之间的更多等价性：
然而，这里的多路图仍然是有限的，给出了有限数量的等价项。但我们可以说，我们添加了以下关系：
那么如果我们从一我们得到一个多向图，它的开头是这样的
但一直在增长（这里显示了6个步骤）：
这意味着表达式之间存在无穷多的等价关系。我们可以想到我们的基本符号
和
作为我们半群的生成器。然后，我们的表达式对应于由这些生成器组成的半群中的“单词”。多路图是无限的这一事实告诉我们，单词之间有无穷多的等价关系。
但是，当我们从数学角度考虑半群时，我们通常对特定的词不感兴趣，而对半群中的整体“不同元素”，或者换句话说，对那些在它们之间没有等价性的“词簇”感兴趣。为了找到这些，我们可以想象从所有可能的表达式开始，然后从它们构建多路图。许多由不同表达式生成的图形将结合在一起。但我们最终想知道的是最终会形成多少个断开连接的图组件。这些都对应于半群的一个元素。
作为一个简单的例子，让我们从所有长度为2的单词开始：
在1步之后，由每个步骤形成的多路图为：
但这些图实际上“重叠”了，留下了三个不相连的部分：
经过两个步骤后，相应的结果有两个部分：
如果我们从较长（或较短）的单词开始，并进行更多的步骤，我们会不断发现相同的结果：只有两个断开的“液滴”从所有可能的初始单词的“气体”中“冷凝”出来：
这意味着我们的半群最终只有两个不同的元素，每个元素都可以用每个“液滴”中的任何不同（“等价”）单词来表示。（在这种特殊情况下，液滴仅包含奇数或偶数的所有单词b条的）
在半群（以及群）的数学分析中，经常会问如果形成元素的乘积会发生什么。在我们的环境中，这实际上意味着人们想要“使用∘组合液滴”。我们两个液滴中最简单的单词分别是
和
。我们可以用这些作为“液滴的代表”。然后我们可以看到如何通过
和依据
转换每个液滴中的单词：
由于只有有限的单词，乘法有时不会“有一个直接的目标”（所以这里没有指出）。但在无限多个多路步骤的限制下，每次乘法都会“有一个目标”，我们可以通过图总结出半群中乘法的效果：
与半群相比，更熟悉的数学对象是群。虽然它们的公理稍微复杂一些，但我们讨论的半群的基本设置也适用于群。实际上，我们刚刚为半群生成的图非常像一个标准凯莱图我们可以为一个组生成，其中节点是组的元素，边定义了如何通过乘以生成器从一个元素到另一个元素。（一个技术细节是，在Cayley图中，通常会删除八个元素的自循环。）
考虑一下这个群体
（该“克莱因四人组”). 在我们的符号中，这个组的公理可以写成：
考虑到这些公理，我们做了与上述半群相同的构造。我们发现现在出现了四个“液滴”，对应于
并且它们之间在极限中的连接模式正好生成了
:
我们可以将这里发生的事情视为我们稍后将详细讨论的第一个例子：从较低级别的“纯元数学”结构“解析”可识别的数学概念（这里是组元素）的想法。
在我们在前几节中展示的多路图中，我们通常会生成大量的“数学”表达式。但是这些表达是如何相互关联的呢？在某种适当的极限下，我们能想象它们都嵌入了某种“元数学空间”吗？
事实证明，这是我们的物理项目我们打电话给鳃间隙在这种情况下，量子历史分支之间的纠缠映射是由什么定义的。在数学案例中，假设我们使用公理生成了一个多路图：
从开始几步之后
我们有：
现在，就像我们的物理项目一样，通过查看这里的最终表达式并将它们连接起来，形成一个鳃形图，如果它们“纠缠”在一起，就意味着它们在上一步中共享一个祖先：
这里有一些与多路图中的循环有关的技巧（这是物理学中闭合的时间型曲线的模拟），以及定义不同“进化步骤”的含义。但只需再次迭代多路图的构造，我们就得到了一个分支图：
经过几次迭代后，鳃图的结构是（每个节点的大小取决于它所代表的表达式的大小）：
继续另一个迭代，结构变为：
从本质上讲，这种结构确实可以被认为是定义了一种“元数学空间”，不同的表达式嵌入其中。但这个空间的“地理”是什么？这显示了表达式（绘制为树）是如何在特定的分支图上布局的
并且我们看到，在图上至少有一个相似树的一般聚类，这表明在这个公理系统定义的元数学空间中，“相似表达式”趋向于“邻近”。
鳃图的一个重要特征是，在鳃图中，效果是通过构造来实现的，并且始终是局部的。例如，如果在多路系统进化的特定步骤改变表达式，它只能影响分支图的一个区域，该区域基本上每一步扩展一条边。
人们可以将受影响的区域与时空中的光锥相类比，认为它是特定表达式的“隐含锥”。在元数学（即鳃）空间中，蕴涵锥的边缘实际上以某种“最大元数学速度”膨胀，人们可以认为这是以“每多向步的表达变化”为单位进行测量的。
通过与物理学的类比，人们可以开始泛泛地谈论元数学空间中的运动。多路图中的特定证明路径将在定义元数学空间的鳃图中逐渐“移动”。（是的，这里有很多微妙的问题，尤其是一个事实，那就是我们必须想象一种特定的限制，使鳃图的结构“足够稳定”，以便在“固定的背景空间”中“四处移动”。）
顺便说一下，多路图中的最短证明路径是时空测地线的模拟。稍后我们将讨论鳃图中的“活动密度”是如何在物理学中模拟能量的，以及它如何像时空中的重力一样“偏转”测地线的路径。
值得再提一点。分支图实际上与“横向切片”但有许多一致的方法来制作这些切片。用物理学术语来说，我们可以把定义切片序列不同选择的叶理想象成“参考框架”，其中指定了一系列“同时曲面”（这里是“分支时间超曲面”）。我们在这里展示的特定鳃部图与物理学中所谓的宇宙学静止框架有关，其中每个节点都是自开始以来相同数量更新的结果。
6 |生成变量的问题
规则类似
定义任何表达式的转换
和
例如，如果我们在表达式中使用从左到右的规则
“模式变量”
将被视为一虽然
将被视为b条 ∘ 一，应用规则的结果是
.
但请考虑我们的规则是：
将此规则（从左到右）应用于
我们现在可以
.并将规则应用于
我们会得到
.但我们该怎么做呢
是吗？特别是，它们“相同”吗？
模式变量如z（z）_可以代表任何表达式。但做两件不同的事z（z）_我们必须代表相同的表达方式吗？按照这样的规则
……我们假设，是的，这两个z（z）_’s总是代表相同的表达方式。但如果z（z）_它以不同的规则出现，这是一个不同的故事。因为在这种情况下，我们要处理的是两个独立且不相连的z（z）_它可以代表完全不同的表达式。
为了开始了解这是如何工作的，让我们从一个非常简单的示例开始。考虑一下（目前，单向）规则
哪里
是文字符号
、和x_是一个模式变量。将此应用于
我们可能认为可以将结果写为：
如果我们再次应用该规则，两个分支将给出相同的表达式
，因此在多路图中会有一个合并：
但这真的正确吗？嗯，不。因为实际上那应该是两个不同的x_是的，它可以代表两个不同的表达式。那么我们如何表示这一点呢？一种方法是只给每一个“生成的”x_新名称：
但这个结果也不是真的正确。因为如果我们看第二步，我们会看到两个表达式
和
但这两者之间的真正区别是什么？名字
武断；唯一的约束是，在任何给定的表达式中，它们必须不同。但在表达式之间没有这样的约束。事实上
和
两者都表示完全相同的表达式类：任何形式的表达式
.
因此，实际上，多路系统有两个独立的分支产生两个独立表达式是不正确的。因为这两个分支产生等价的表达式，这意味着它们可以合并。将这两个等价表达式转换为相同的规范形式，我们得到：
重要的是要注意，这与我们假设每个x_都是一样的。因为那时我们的最终结果是
哪一个可以匹配
但不是
-而现在的最终结果是
两者都可以匹配
和
.
这似乎是一个微妙的问题。但这在实践中至关重要。尤其是因为生成的变量实际上构成了所有可以生成的“真正的新东西”。按照这样的规则
一个人基本上只是从一开始就拿什么，然后连续地重新排列它的各个部分
每次都会有“真正新的”东西产生z（z）_出现。
顺便说一句，“生成变量”的基本问题并不是我们在这里使用的特定符号表达式设置所特有的。例如，有一个超图重写系统中它的直接模拟出现在我们的物理项目中。但在这种情况下，有一个特别明确的解释：“生成变量”的模拟是应用规则产生的新“空间原子”。这些“生成的空间原子”并不是什么脚注，它们构成了我们今天宇宙中的一切。
生成变量的问题，尤其是它们的命名，是数学逻辑和编程语言的各种形式主义的祸根。正如我们稍后将看到的那样，完全可以“转到较低级别”，并在完全没有名称的情况下进行设置，例如使用连接符但是如果没有名字，事物对我们人类来说似乎很陌生——当然，如果我们想理解数学标准表示的对应关系，那么有名字是非常必要的。因此，至少现在我们将保留名称，并通过取消对生成变量的名称的定义来处理生成变量的问题，并在每次有完整表达式时进行规范化。
让我们看另一个例子，看看如何处理生成的变量的重要性。考虑一下规则：
如果我们从一 ∘ 一如果不作任何澄清，我们将得到：
通过统一，但不是规范化，我们将得到一个纯树：
但通过规范化，这可以简化为：
这个特定示例的一个令人困惑的特性是，只需将原始的“假设-全部”规范化就可以获得相同的结果-x_“同病相怜”的案例。
但事情并不总是这样。考虑一下这个相当琐碎的规则
从开始
。如果我们不进行统一，也不进行规范化，则会得到：
如果我们进行uniquification（但不是canonicalization），我们会得到一个纯树：
但如果我们现在将其规范化，我们会得到：
现在，这与我们通过规范化（无需明确）得到的结果不同：
7 |应用于规则的规则
在我们迄今为止所做的工作中，我们一直在谈论应用规则（例如
)到表达式（如
或
). 但如果一切都是象征性的表达，那么就不应该真正区分“规则”和“普通表达”。它们都只是表达。因此，我们也应该能够将规则应用于规则，就像应用于普通表达式一样。
事实上，“将规则应用于规则”的概念在标准数学中有一个熟悉的类比。我们一直在使用的“双向规则”有效地定义了等价性——这是数学中非常常见的语句，尽管在数学中它们通常用而不是与
事实上，许多公理和定理都被指定为等价物，在等式逻辑中，人们用等价物来定义一切。当人们处理指定为等价的定理（或公理）时，推导新定理的基本方法是将一个定理应用于另一个或实际上是将规则应用于规则。
作为一个具体的例子，假设我们有“公理”：
我们现在可以将此应用于规则
得到（从哪里开始
等于
我们正在对出现的每个双向规则进行排序）
或者再多走几步：
在这个例子中，所有发生的事情是，公理指定的替换分别应用于生成的每个规则的左侧和右侧。但如果我们真的认真对待一切都是象征性表达的观点，事情可能会变得更复杂。
例如，考虑规则：
如果我们将此应用于
那么如果x_“匹配任何表达式”它可以匹配整个表达式
给出结果：
标准数学对这样的东西没有明显的意义，尽管“进入元数学”就可以了。但为了保持与标准数学的联系，我们现在有了“元规则”x_无法匹配顶级运算符为的表达式（正如我们稍后将讨论的那样，包括这样的比赛将允许我们做一些奇异的事情，比如算术中的编码集理论这也是数学逻辑中通常被认为是“语法上被阻止的”。）
另一个更加模糊的元规则是x_无法“在变量内匹配”。例如在Wolfram语言中，一_具有完整形式图案[答：，空白[]]可以想象x_可以匹配这个“内部块”。但现在，我们将把所有变量都视为原子，即使稍后，当我们“降到变量水平以下”时，情况会有所不同。
当我们应用这样的规则时
到
我们使用带有模式变量的规则，并在没有模式变量的“文字表达式”上进行替换。但将模式规则应用于模式规则也是完全可能的—事实上，这就是我们下面主要要做的。但在这种情况下，可能会出现另一个微妙的问题。因为如果我们的规则生成变量，我们最终可能会得到两种不同类型的具有“任意名称”的变量：生成的变量和我们正在操作的规则中的模式变量。当我们规范化这些变量的名称时，我们最终可能会得到需要合并的相同表达式。
下面是我们应用规则时会发生的情况
字面规则
:
如果我们将其应用于模式规则
但不要进行规范化，我们只会得到相同的基本结果：
但如果我们规范化，我们会得到：
如果我们采取两个步骤，效果会更加显著。当对文字规则进行操作时，我们得到：
在模式规则上操作，但没有规范化，我们得到
而如果我们包括规范化，则会合并许多规则，从而得到：
8 |累积进化
我们可以把“普通表达”想象成
就像“数据”一样，规则就像“代码”一样。但是，当一切都是符号表达式时，这是完全可能的——正如我们前面所看到的，要“像对待数据一样对待代码”，特别是要生成规则作为输出。但这现在提出了一种新的可能性。当我们“得到一个规则作为输出”时，为什么不开始“像代码一样使用它”并将其应用于事物？
在数学中，我们可以应用一些定理来证明一个引理，然后我们可以随后使用该引理来证明另一个理论，该理论实际上建立了一个用于证明其他引理的引理（或定理）的整体“累积结构”。在任何给定的证明中，原则上我们都可以反复使用公理，但逐步构建一个包含越来越多引理的库并使用它们会更加有效。总的来说，我们将通过“累加引理“而不是总是回到公理上来。
在我们迄今为止绘制的多路图中，每条边代表一条规则的应用，但该规则始终是一个固定的公理。为了表示累积进化，我们需要一个稍微精细一些的结构，而且使用起来很方便标记事件图而不是纯粹的多路图。
每次我们应用规则时，我们都可以将其视为一个事件。根据我们所描述的设置，该事件可以被认为是以两个标记作为输入：一个是“代码规则”，另一个则是“数据规则”。然后，事件的输出是一些规则集合，这些规则可以作为其他事件的输入（“代码”或“数据”）。
让我们从这个非常简单的规则示例开始
目前还没有使用任何模式。从这个规则开始，我们得到了标记事件图（现在我们用稍微不同的颜色表示初始的“公理”语句）：
这里的一个微妙之处是
应用于自身，因此有两条边从表示规则的节点进入事件。另一个微妙之处是，有两种不同的方法可以应用规则，结果是生成了两个输出规则。
以下是另一个基于两条规则的示例：
继续我们得到的另一个步骤：
通常我们会考虑作为“定义等价物”，因此
表示与
，在这种情况下，可以与it-yielding合并：
现在让我们考虑一下规则：
经过一步，我们得到：
经过两步，我们得到：
在本例中，经过3步和4步后的标记事件图是（现在我们已经重复了事件）：
现在，让我们考虑一个结构相同但使用模式变量而不是文字符号的规则：
下面是一步之后发生的事情（注意，正在进行规范化，所以一_不同规则中的不“相同”）
我们看到，有不同的定理，我们得到的那些没有模式。使用模式规则两步后，我们得到
现在，“已导出的定理”的完整集合是（去掉“s”以便于阅读）
或作为树：
再过一步，你就会得到
其中现在有2860个“定理”，根据
典型的“size-19”定理是：
实际上，我们可以把我们最初的规则（或“公理”）看作是引发了某种“数学大爆炸”，从中产生了越来越多的定理。早些时候，我们描述了数学定理的“气体”，它有点像分子，可以相互作用并创建新的定理。所以现在我们可以把我们的累积进化过程看作是一个具体的例子。
让我们考虑一下前面几节中的规则：
根据这个规则，经过一步累积进化，我们得到：
经过2步和3步后，结果是：
所有这些复杂性的意义是什么？在基本层面上，它只是计算宇宙中普遍存在的现象的一个例子（捕获于计算等效原理)即使具有非常简单规则的系统也可以生成任何复杂的行为。但问题是，在所有这些复杂性之上，是否存在简单的“粗粒度”特征，我们可以将其认定为“高级数学”；我们可以认为是捕获公理化数学累积演化的“整体”行为的特征。
9 |累计字符串系统
正如我们刚才看到的，即使是非常简单的表达式转换规则的累积演变也会很快导致相当大的复杂性。为了理解正在发生的事情的本质，我们应该看看稍微简单一些的情况，而不是“树结构表达式”的规则，而是字符串的规则。
考虑一下规则中看似微不足道的情况：
一步之后
而经过两步后，我们得到
尽管治疗
与相同
这就变成了：
以下是规则的结果：
经过两步，我们得到
3步之后
其中现在共有25个“定理”，包括（毫不奇怪）以下内容：
值得注意的是，尽管字符串规则具有“词汇相似性”
我们现在使用表达式规则
从上一节来看，这些规则实际上以非常不同的方式工作。字符串规则可以应用于字符串中的任何字符，但它插入的内容始终是固定大小的。表达式规则处理树，仅适用于“整个子树”，但它插入的内容可以是任何大小的树。（人们可以通过将字符串视为表达式来对齐这些设置，其中字符由关联运算符“绑定在一起”，如A·B·A·A。但如果明确给出了关联性公理，则会导致标记事件图中出现其他部分。）
规则类似
还具有涉及模式的特点。原则上，我们可以在字符串中同时包含单个字符（如_）和字符序列（如__）的模式，但我们不会在这里这样做。（我们也可以考虑单向规则，使用→代替.)
为了大致了解累积（字符串）系统中发生的事情，我们可以考虑枚举所有可能的不同双向字符串转换规则。只有一个字符a，只有两种不同的情况
因为
系统地生成所有可能的
规则
和t吨步骤给出的规则总数等于：
使用字符A和B，从规则开始生成的不同标记事件图最多有5个字符：
注意，当初始规则中的字符串长度相同时，只会生成一个相当平凡的有限标记事件图，如
:
但当弦的长度不同时，总是有无限的增长。
10 |超图的情况
我们研究了表达式和字符串重写系统的累积版本。那么，出现在我们的物理项目?
考虑一下非常简单的超图规则
或以图形方式：
（请注意，此处命名为1的节点实际上很像模式变量，例如可以命名x_.)
我们现在可以用这个规则进行累积进化，在每一步结合涉及等价（即同构）超图的结果：
经过两个步骤，可以得到：
经过3个步骤后：
所有这些与超图重写的“普通”进化相比如何？下面是一个基于重复应用同一基本规则的多路图，从规则形成的初始条件开始：
我们看到的是，累积进化实际上“快捷”了普通的多向进化，本质上是通过“缓存”状态之间每一次转换的结果（在这种情况下是规则），并以更少的步骤传递给定的状态。
在我们的物理项目超图重写的典型研究中，我们考虑了单向变换规则。然而，不可避免的是，规则包含了双向规则。在这里，为了理解与我们的数学元模型的对应关系，我们可以考虑双向超图重写规则。例如，上述规则的双向版本：
现在标记事件图变成
或者在两个步骤之后（此时，从“稍后状态”到“较早状态”的转换已经开始填充）：
就像在普通超图进化中一样，获得具有附加超边的超图的唯一方法是从添加新超边的规则开始，添加新元素也是如此。考虑一下规则：
在1步之后
而在两步之后，它给出：
这个标记事件图的总体外观与我们看到的字符串重写或表达式重写系统没有太大不同。因此，这表明，无论我们是从公理化数学的元模型开始，还是从任何其他合理丰富的重写系统开始，都无关紧要：我们总是会得到相同类型的“大规模”标记事件图结构。这是一个我们用来论证元数学一般规律的例子。
11 |累加系统中的证明
在前面的部分中，我们讨论了多路图中的路径如何表示表达式之间“等价”的证明（或表达式之间的“蕴涵”）。例如，使用规则（或“公理”）
这表明了一条“证明”“BA需要AAB”的路径：
但一旦我们知道了这一点，我们可以想象将这个结果（我们可以认为是一个“引理”）添加到原始规则中：
现在（“定理”）“BA需要AAB”只需一步就可以证明，所有其他证明也都被缩短了：
我们完全可以想象，发展一个具有一种“基于缓存”的加速机制的多路系统，在这种机制中，发现的每一个新蕴涵都被添加到基础规则列表中。顺便说一句，在整个多路系统中也可以使用双向规则：
但累积系统提供了一种更具原则性的方式来逐步“添加发现的内容”。那么，在这样的系统中，证明是什么样子的呢？
考虑一下规则：
运行它两步，我们得到标记事件图：
现在假设我们想证明原始的“公理”
暗示（或“包含”）“定理”
。这是显示结果的子图：
这里是一个单独的“证明图”
其中每个事件需要两个输入-“要应用的规则”和“要应用到的规则”-并且输出是派生的（即隐含的或隐含的）新规则。
如果我们将累计系统再运行一步，我们会得到：
现在已经产生了额外的“定理”。例如：
现在我们可以找到这个定理的证明：
此证明作为令牌事件图的子图存在：
刚刚给出的证明具有可使用的最少事件或“证明步骤”。但总共有50种可能的证明，其他例子有：
这些对应于子图：
这些标记事件图的累积特征对这些证明的结构有多大贡献？在每一步中都可以找到从不使用“中间引理”但始终“回到原始公理”的证明。在这种情况下，示例如下
这实际上需要比我们使用中间引理的最短证明多至少一个“序列事件”。
这个定理出现了一个稍微更生动的例子
如果现在没有中间引理，最短的证明是
但通过中间引理，它变成：
到目前为止，我们所做的是为一定数量的步骤生成一个完整的标记事件图，然后看看是否可以在其中找到某些特定语句的证据。证明是全标记事件图的“相关部分”的子图。与在多路图中寻找表达式之间等价性的证明这一更简单的情况类似，我们将此子图称为“证明路径”。
但除了在完全构造的记号事件图中“寻找证据”之外，我们还可以问，给定一个语句，我们是否可以直接构造它的证据。正如在普通多路图的证明上下文中所讨论的那样，计算不可约性意味着，一般来说，找证据没有“捷径”。此外，对于任何语句，所需证明长度（或必须使用的中间“引理”的大小或数量）可能没有上限。这又是我们系统中的不确定性阴影：有些陈述的可证明性可能是任意难以确定的。
12 |超越替代：共替代与双替代
在建立数学的“元模型”时，我们一直在讨论根据规则重写表达式。但有一个微妙的问题我们到目前为止都避免了，这与我们重写的表达式本身往往是代表整个表达式类的模式有关。事实证明，这是为了其他类型的转换我们称之为共同替代和双替代。
让我们先谈谈共同替代。想象一下我们有这样的表达f【a】.规则
会替代一给予f【b】但是如果我们有这个表达式f【c】规则
什么都不会做。
现在想象一下，我们有一个表达式f[x_]。它代表一整类表达式，包括f【a】,f【c】等。对于大多数此类表达式，规则
什么都不会做。但在具体情况下f【a】，它适用，并给出结果f【b】.
如果我们的规则是f[x_]→s那么这将作为一个普通的替代品应用于f【a】，给出结果秒但如果规则是f[b]→s这不适用于f【a】。然而，它可以作为一种共同替代物应用于f[x_]通过挑选具体案例x个_代表b条，然后使用规则给出秒.
一般来说，关键是普通替代专门用于规则中出现的模式，而人们可以认为共同替代的“双重操作”专门用于规则应用到的表达式中出现的模型。如果把应用的规则看作是一个操作符，把应用规则的表达式看作是操作数，那么实际上置换就是让操作符适合操作数，而共置换就是让操作数适合操作符。
重要的是要认识到，只要一个人对涉及模式的表达式进行操作，共同替代就不是什么“可选的”东西：如果要真正解释模式，就必须包括它——无论它们出现在哪里，都是表达式类的代表。
当操作文字表达式（没有模式）时，只有替换是可能的，如
对应于标记事件图的这个片段：
假设我们有规则f[a]→s（其中f【a】是一个文字表达式）。操作于f【b】这条规则无济于事。但如果我们将规则应用于f[x_]? 普通的替代仍然无济于事。但共同替代可以起到一些作用。事实上，在这种情况下可以进行两种不同的共取代：
这里发生了什么？在第一种情况下，f[x_]有“特殊情况”f【a】规则适用的（“通过共同替代”）-给出结果秒然而，在第二种情况下
有特殊情况的独立f【a】，该规则将其转换为秒，给出最终的共同替代结果f[秒].
当相同的图案（例如
)多次出现：
在所有情况下，x_与匹配一。但哪一个x_在每种情况下，实际替换的是不同的。
下面是一个稍微复杂一些的示例：
在普通替换中，模式的替换实际上总是“局部”进行的，每个特定的模式都被一些表达式分别替换。但在共同替换中，当替换完成时，将始终使用模式的“特例”。
让我们看看这一切在一个累积公理系统中是如何工作的。考虑一下非常简单的规则：
替换的一步给出了token-event图（其中我们将模式变量的名称规范化为一_和b条_)以下为：
但是，共同替代的一步是：
以下是所进行的个别转换（规则至少名义上只适用于一个方向）：
然后通过规范化变量并组合相同的表达式（尽管为了清晰起见，我们没有合并形式规则）来获得上述标记事件图
和
).
如果我们仅使用替换来使用此特定规则，则会出现其他事件（即转换），但不会产生新的定理：
然而，共替换产生了另外27个定理
或者全部
或作为树：
我们现在看到了替代和共同替代的例子。但在我们的数学元模型中，我们最终不是单独处理每一个问题，而是处理双代换的“对称”概念，在这个概念中，代换和共代换可以混合在一起，甚至可以应用于同一表达式的某些部分。
在特殊情况下
，双替代只会增加共同替代之外的任何内容。但通常是这样。考虑一下规则：
以下是将其应用于使用取代、共取代和双取代的三个不同表达式的结果（其中我们只考虑“整个表达式”的匹配，而不是子部分）：
共同替代通常比替代-二替代产生更多的转化，然后比共同替代产生更多。例如，对于公理系统
在1步和2步之后导出的定理的数量由下式给出：
在某些情况下，有一些定理可以通过完全双代换产生，但即使经过了任何步骤，也不能仅通过代换或共代换产生。然而，我们也经常发现，定理原则上可以仅通过替换产生，但这只需要比使用完全双替换时更多的步骤（有时甚至要多得多）。（然而，值得注意的是，“达到”一个给定定理所需的“步骤”的概念取决于人们在标记事件图中选择使用的叶理。）
我们在这里讨论的各种形式的替换表示一个定理可以包含其他定理的不同方式。但我们的整体数学元模型完全基于符号表达式和模式的结构，这意味着双代换涵盖了所有可能的蕴涵。
在元数学和数理逻辑的历史中，各种各样的“推理法则”或“蕴涵方法”已被考虑但是，从符号表达式和模式的现代观点来看（例如，在沃尔夫拉姆语言中使用的），双代换作为蕴涵的基本形式出现，其他形式的蕴涵对应于特定类型表达式的使用或我们在这里使用的纯代换中添加更多元素。
然而，值得注意的是，当涉及到规则时，不同类型的蕴涵仅对应于不同的叶理，我们使用的蕴涵形式仅代表一个特别简单的例子。
双替换的概念出现在术语重写理论以及自动定理证明中（通常被视为一种特殊的“策略”，称为“副调制”). 在术语重写中，双替换与统一-它本质上是问为了使表达式的不同子项相同，需要为模式变量分配什么值。
既然我们已经完成了对构建数学元模型所涉及的许多技术问题的描述，我们就可以开始研究其后果了。我们在上面讨论了如何使用表达式形成的多路图来定义表示一种“元数学空间”的鳃图。我们现在可以使用类似的方法为数学语句的“累进积累”的完整元模型建立一个元数学空间。
让我们先忽略共替换和双替换，只考虑替换的过程，然后从公理开始：
根据这个公理进行累积进化，我们得到了标记事件图
或在2个步骤后：
由此，我们可以通过直接连接每个事件中涉及的所有输入和输出标记来导出“有效的多路图”：
然后我们可以生成一个鳃图，这实际上是对我们的公理生成的“元数学空间”的近似：
显示以树的形式生成的语句（顶部节点表示⟷）：
如果我们对完全双替换进行同样的操作，那么即使经过一步，我们也会得到一个稍大的标记事件图：
经过两步，我们得到
其中包含46条语句，而如果只使用替换，则包含42条语句。相应的鳃图为：
然后，替换和双替换情况的邻接矩阵如下
其分别具有这些尺寸的完整图中的边的数量的80%和85%。
分支图通常非常密集，但它们确实显示出明确的结构。以下是两个步骤后的一些结果：
14 |与自动定理证明的关系
我们已经详细讨论了如果我们从公理开始，然后建立一个所有可以从公理导出的语句的“蕴涵锥”会发生什么。但在实际的数学实践中，人们往往只想看看特定的目标语句，看看它们是否可以从公理中导出（即证明）。
但对于这个过程，我们能说什么“批量”呢？我们现在拥有的潜在示例的最佳来源来自自动定理证明的实践，例如在Wolfram语言函数中实现的示例发现等式证明作为一个简单的例子，考虑一下公理
以及定理：
自动定理证明（基于发现等式证明)发现该定理的以下证明：
不用说，这并不是唯一可能的证据。在这个非常简单的例子中，我们可以构造完整的蕴涵锥，并确定没有任何更短的证明，尽管还有两个长度相同的证明：
所有这三个证明都可以被视为蕴涵锥中的路径：
这些证明有多“复杂”？除了它们的长度之外，我们可以问它们所涉及的连续中间表达式有多大，这里我们不仅包括已经给出的证明，还包括一些更长的证明：
在这里使用的设置中，我们可以找到
通过从开始左侧（lhs）建立一个蕴涵锥，看看是否有任何路径可以到达相对湿度一般来说，对于找到这样一个路径需要走多远，或者中间表达式可能需要走多大，没有上限。
我们可以想象各种优化，例如，我们观察原始公理的多步骤结果，并将其视为“引理”，我们可以将其“添加为公理”，以提供一次跳过多个步骤的新规则。不用说，这样做有很多权衡。（存储这些引理值得用内存吗？我们可以跳过目标吗？等等）
但是典型的实际自动定理证明器倾向于以一种更接近于我们累积重写系统的方式工作&在这种系统中，人们操作的“原材料”是语句而不是表达式。
再一次，我们原则上总是可以构造一个完整的蕴涵锥，然后看看是否有特定的语句出现在那里。但要证明这一说法，找到导致这一说法的蕴涵锥的子图就足够了。例如，从公理开始
我们得到包含锥（这里显示为标记事件图，并删除_）：
两步之后，语句
出现在这个暗影锥中
在这里，我们指出了从原始公理到这个语句的子图。提取我们得到的子图
我们可以将其视为这个公理系统中声明的证明。
但现在让我们使用传统的自动定理证明（以发现等式证明)以获得相同陈述的证据。我们得到的是：
这又是一个标记事件图，但它的结构与我们“从”蕴涵锥中找到的结构略有不同。我们不是从公理开始并“逐步推导”我们的陈述，而是从陈述和公理开始，然后表明它们一起“仅通过替换”导致形式的陈述
我们可以将其视为“明显可派生的重言式”。
有时，从蕴涵锥找到的最小“直接证明”可能比自动定理证明找到的简单得多。例如，对于语句
最起码的直接证据是
而被发现的那个发现等式证明是：
但是，自动定理证明的最大优点是它可以“直接”搜索证明，而不是“从包含所有可能穷尽生成的证明的蕴涵锥中找出它们”。要使用自动定理证明，您必须“知道要去哪里”，特别是要确定要证明的定理。
考虑公理
以及声明：
这句话并没有出现在公理蕴涵锥的前几个步骤中，尽管其他数百万定理都有。但自动定理证明找到了它的证明，并重新安排了“证明-重言式证明”，因此我们只需在证明中的某个地方加入重言式，我们就可以得到：
我们稍后将讨论的模型理论方法允许人们有效地“猜测”可能从给定公理系统导出的定理。例如，对于公理系统
这里有一个定理的“猜测”
这是通过自动定理证明的一个表示，现在中间“引理”的长度由相应节点的大小表示
在这种情况下，最长的中间引理的大小为67，并且是：
原则上，可以重新排列由自动定理证明生成的标记事件图，使其具有与我们直接从蕴涵锥中获得的图相同的结构，其中公理在开头，定理在结尾被证明。但自动定理证明的典型策略并不会自然地生成这样的图。原则上，自动定理证明可以通过直接搜索通向要证明的定理的“路径”来实现。但通常情况下，将简单的同义反复作为“目标”要容易得多。
至少在概念上，自动定理证明仍必须尝试“导航”整个包含锥的标记事件图。这样做的主要问题是，在许多地方，人们不知道“应该选择哪个分支”。但这里有一个关键的，如果一开始是令人惊讶的事实：至少只要一个人使用完全的双取代，那么他选择哪一个分支最终都无关紧要；总有一种方法可以“合并”到任何其他分支。
这是因为我们自动使用的累加系统具有汇流特性，即每个分支都伴随着一个后续的合并。有一种几乎微不足道的方式是这样的，因为对于每条边，系统也包含该边的反向。但还有一个更重要的原因：给定两个不同分支上的任意两个语句，总有一种方法可以使用双替换来组合它们以获得单个语句。
在我们的物理项目中因果不变性-它有效地概括了合流&这是一个重要的合流，它导致了诸如相对论不变性之类的思想。稍后我们将讨论“无论你以何种顺序证明定理，你都会得到相同的数学”这一观点，以及它与因果不变性和元数学中相对论概念的关系。但就目前而言，汇流的重要性在于它有可能简化自动定理证明，因为它实际上说，在获得某一特定定理时，人们永远不会最终“转向错误”，或者，如果一个人继续走足够长的路，那么他们可能走的每一条路最终都会得到每个定理。
事实上，这正是在全蕴涵锥中的工作原理。但自动定理证明的挑战是只生成蕴涵锥的一小部分，但仍然“达到”我们想要的定理。在这样做的过程中，我们必须仔细选择应该使用双替换事件合并哪些“分支”。在证明这些双取代事件的自动化定理中，通常被称为“临界对引理”，有多种策略可以定义临界对引理的尝试顺序。
值得指出的是，绝对不能保证这些程序会找到任何给定定理的最短证明（或者事实上，他们会在给定的计算工作量下找到一个证明）。人们可以想象“高阶证明”，在这种证明中，人们不仅试图转换形式的陈述，但完全证明（例如表示为令牌事件图）。可以想象使用这种转换来简化证明.
我们一直在展示的证明的一个一般特征是，它们是累积的，从某种意义上说，它们不断引入引理，然后被重用。但原则上，任何证明都可以“展开”为只重复使用原始公理（事实上，纯粹通过替换）的证明，并且永远不会引入其他引理。必要的”切割消除“只要在需要的时候总是从公理中重新创建每个引理，就可以有效地实现这一点，这个过程可能会变得指数复杂。
例如，根据上述公理，我们可以生成证明
例如，顶部的第一个引理在四个事件中重用。但现在，通过截消，我们可以将整个证明“展开”成一个“直线”序列，对仅使用原始公理完成的表达式进行替换
我们看到，我们的最后一个定理是这样一个陈述，即序列中的第一个表达式在公理下与最后一个表达式等价。
正如在这个例子中相当明显的那样，自动定理证明的一个特点是其结果往往是非常“非人类”的是的，它可以提供无可争议的证据证明一个定理是有效的。但这一证据通常远非任何一种适合人类消费的“叙事”。在分子动力学的类比中，一个自动证明给出了详细的“循环指令”，显示了分子如何到达气体中的某个位置。另一方面，典型的“人性化”数学在更高的层次上运行，类似于谈论流体中的整体运动。元数学物理化的核心部分是理解为什么像我们这样的数学观察家可以感知到数学在这个更高的层次上运行。
15 |现代数学公理体系
到目前为止，我们一直在讨论的公理系统主要是因为其公理化的简单性而选择的。但是如果我们考虑现代数学实践中使用的公理系统?
最简单的常见示例是半群理论，在我们的注释中表示为：
仅使用替换，在任何步骤之后，我们得到的都是标记事件图（即“蕴涵锥”）：
但是通过双代换，即使经过一步，我们也已经得到了蕴涵锥
其中包含以下定理：
两步后，蕴涵锥变为
其中包含1617个定理，例如
尺寸分布如下：
看看这些定理，我们可以看到，事实上，通过构造，它们都只是对∘的结合性的陈述。或者，换言之，他们声明在这个公理下，所有具有相同叶子序列的表达式树都是等价的。
关于群论? 标准公理可以写成
其中，∘被解释为二进制群乘法运算，overbar被解释为一元逆运算，1被解释为常量单位元（或等价的零参数函数）。
一个替代步骤已经给出：
值得注意的是，在这幅图中，人们已经可以看到“不同种类的定理”以不同的“元数学位置”结束。人们还可以看到一些“明显的”同义反复“定理”，比如
和
.
如果我们使用完全双代换，我们得到了56个定理，而不是27个定理，并且许多定理更加复杂：
经过两步纯替换后，本例中的蕴涵锥变为
其中包括792个定理，其大小分布如下：
但在所有这些定理中，是否出现了简单的“教科书定理”，如：
答案是否定的。所有这些定理最终都必然会出现在蕴涵锥中。但事实证明，这需要相当多的步骤。事实上，通过自动定理证明，我们可以找到可以用来证明这些定理的“路径”，这涉及到两个以上的步骤：
那么逻辑呢，或者更具体地说布尔代数? A典型教科书公理体系对于此（表示为而且∧,或者∨和不是 
)是：
一步之后我们从这些公理中得到的替换
或者在我们更常见的渲染中：
那么，“命名教科书定理“（不包括交换性和分配性，它们已经出现在我们使用的特定公理中）？
再一次，这些都没有出现在蕴涵锥的第一步。但在第二步中，完全双代换，幂等律出现了
这里我们只处理叶数小于14的定理（共有27953个）。
如果我们转到第3步，使用低于9的叶数，我们会看到排除中间的法则和非限制性法则：
如何达到这些目标？这是从公理到排除中间定律的蕴含锥内的标记事件图（“最短路径”）的最小片段：
实际上有许多可能的“路径”（在我们的叶数限制下，总共有476条）；第二个最小的具有不同结构的是：
下面是通过自动定理证明找到的这个定理的“路径”：
其他大多数“命名定理”都涉及更长的证明，因此要到很久以后才会出现在蕴涵锥中：
我们在这里用于布尔代数的公理系统决不是唯一可能的系统。例如，它以而且,或者和不是-但不需要所有这些操作员；任何布尔表达式（以及布尔代数中的任何定理）也可以用单个操作符来表示南德.
就这个算子而言，布尔代数最简单的公理系统包含(就像我在2000年发现的那样)只有一个公理（这里的∘现在被解释为南德):
下面是这个公理的代换蕴涵锥的一个步骤：
经过两个步骤，得到了一个包含5486个定理的蕴涵锥
尺寸分布：
当一个人与南德，我们不太清楚什么是“显著定理”。但显而易见的是南德:
这是通过自动定理证明获得的一个证明（为了可读性，倾斜）：
最终，这个定理必然会出现在我们公理系统的蕴涵锥中。但根据这一证明，我们预计只有经过102步左右的步骤才能实现。随着隐锥指数增长，这意味着到那时
也许会出现
其他的定理也会这样做，尽管最复杂。
我们已经学习了群论和布尔代数的公理。但其他呢现代数学中的公理系统? 从某种意义上说，值得注意的是，这些书很少，事实上，我在 一种新的科学:
这里列出的最长公理系统是欧几里德原公理的精确版本
在这里，我们以显式（Wolfram语言）函数形式列出了一切（甚至逻辑）。鉴于这些公理，我们现在应该能够证明欧几里德几何中的所有定理。作为一个例子（这已经足够复杂了），让我们来看欧几里德的第一个“命题”（第一册，命题1）这说明“用尺子和指南针”（即用直线和圆）可以基于任何线段构造等边三角形-如中所示:
✕
RandomInstance[实体[“Geometric Scene”，“EuclidBook1Proposition1”][“Scene“]][“Graphics”]
|
我们可以这样写这个定理：给定公理和“设置”
可以得出：
我们现在可以使用自动定理证明来生成证明
在这种情况下，证明需要272个步骤。但事实上，产生这个证明是可能的，这表明（直到关于“设置条件”的各种问题）它所证明的定理最终必须“自然地”出现在原始公理的蕴涵锥中，尽管还有绝对大量的欧几里得没有“指出”的其他定理并写在他的书上。
查看公理系统集合一种新的科学（以及一些相关的）对于其中的许多，我们可以在一个步骤后直接开始生成内含锥，仅使用替换：
但是，如果我们要为所有公理系统制作蕴涵锥，我们还需要处理一些其他的技术问题。上述公理系统都是“直截了当的等式”，因为它们实际上说明了什么是“代数关系”（在泛代数的意义上），对所有变量的选择都普遍有效。但一些传统上用于数学的公理系统也会做出其他类型的陈述。在传统的数学逻辑形式主义和符号学中，这些看起来相当复杂和深奥。但有了像我们这样的数学元模型，就有可能把事情搞清楚，以便以一种简化的方式处理这些不同类型的语句。
在标准的数学符号中，人们可以写
我们可以将其解读为“为所有人 一和b条,
等于
“我们可以在数学的“元模型”中将其解释为（双向）规则：
这表示只要我们看到与模式匹配的表达式
我们可以用
（或在Wolfram语言符号中
)反之亦然，因此实际上
可以说是需要
.
但如果我们的公理不仅涉及普遍性陈述（“对所有人……”），而且还涉及存在语句（“存在……”）? 从某种意义上说，我们已经在处理这些问题。无论何时我们写作
-或者以显式函数形式o[a_，b]-我们有效地断言存在某种操作符o个我们可以用它来做手术。重要的是要注意，一旦我们介绍o个（或∘）我们想象它无论出现在哪里都代表着相同的东西（相比之下，像这样的模式变量一_可以在不同的实例中表示不同的事物）。
现在考虑一个“明确的存在陈述”，比如
我们可以理解为“存在着某种东西一对于其中
等于一”. 为了表示“某物”，我们只引入了一个“常数”，或者等价于一个带有head、α和零参数的表达式：α[]现在我们可以把我们的存在主义陈述写成
或：
我们可以使用以下规则进行操作
，使用α[]总是“穿过”而不改变，但它的存在表明“它存在”。
即使我们有普遍量词和存在量词例如，我们可以表示
作为公正的
现在，我们断言存在的不仅仅是一个对象，比如β[]；相反，这里有“许多不同的β”，在本例中“参数化”一.
我们可以将我们的标准累积双替换过程应用于该报表，一步之后，我们得到：
请注意，这与“纯粹普遍”陈述的结果截然不同：
一般来说，我们可以使用数学逻辑中的Skolemization标准技术，将任何量词语句“编译”到元模型中。例如
可以“编译为”
虽然
可以编译为：
如果我们看看当前数学中使用的实际公理系统，还有一个问题需要处理，它不影响逻辑或群论的公理，但确实会出现，例如，在算术的皮亚诺公理问题是，除了量化“变量”之外，我们还需要量化“函数”。或者以不同的方式表述，我们不仅需要建立个别的公理，还需要建立一个整体”公理模式“这可以生成无限序列的“普通公理”，每个可能的“函数”对应一个公理。”。
在我们的数学元模型中，我们可以用“参数化函数”或Wolfram语言来考虑这一点，就像函数的头部本身就是模式一样f[n][a].
使用此设置，我们可以“编译”皮亚诺算法的标准归纳公理
（Wolfram语言）元模型形式
其中，原始公理中的“含义”已被转换为单向规则，因此，现在可以看到公理所做的是定义一种转换，这种转换不是“普通数学风格的表达式”，而是一种本身就是规则的表达式。
但重要的一点是，我们在象Wolfram语言这样的符号表达式中进行替换的整个设置，在处理“普通表达式”和“规则”（例如，在Wolfram Language中，
只是规则[甲，乙]). 因此，我们可以期望能够构建标记事件图、构建蕴涵锥等，就像对于像Peano Arithmetic这样的公理系统以及布尔代数和群论那样。
即使在看似简单的情况下，实际出现的节点数也可能很大，但整个设置清楚地表明，探索这样的公理系统只是另一个示例，可以用我们的数学元模型统一表示，即规则的一种抽样形式。
16 |模型理论视角
到目前为止，我们考虑过
就像关于任意符号变量的抽象陈述一样x和年和一些抽象运算符∘。但是我们可以做一个什么的“模型”x,年，并且∘可以“显式地”?
例如，让我们想象一下x和年可以取2个可能的值，比如0或1。（为了便于符号，我们将使用数字，但原则上，数值可以是我们想要的任何值。）现在，我们必须询问∘可以是什么，以使我们的原始语句始终保持不变。事实证明，在这种情况下有几种可能性，可以通过为∘提供可能的“乘法表”来指定：
（为了方便起见，我们经常用数字来指代这样的乘法表From数字[压扁[m] ，k]，这里是0，1，5，7，10，15。）使用第二个乘法表，我们可以“计算”原始语句的两边的所有可能的选择x和年，并验证该语句是否始终保持：
如果我们允许，例如x和年，有221种可能的∘形式。前几项是：
作为另一个示例，让我们考虑布尔代数最简单的公理（我在2000年发现的）:
以下是用于此操作的“size-2”型号
和预期一样，这些是真相表南德和也不是分别是。（在这种特殊情况下，没有3号型号、12号4号型号，一般来说
尺寸为2的模型n个-没有任何其他尺寸的有限模型。）
看看这个例子，我们可以找到一种方法来讨论公理系统的模型我们可以将公理系统视为定义抽象约束的集合。但对于可能满足这些约束的对象，我们能说些什么呢？一个模型实际上告诉了我们关于这些对象的信息。或者，换言之，它告诉了公理系统“描述”的“事物”。在我的布尔代数公理的例子中，那些“东西”是布尔变量，使用南德或也不是.
作为另一个示例，考虑群论公理
在这种情况下，尺寸最大为3的型号如下：
对这些有数学解释吗？嗯，是的。它们本质上对应于特定有限群的（表示）。原始公理定义了任何组都要满足的约束。这些模型现在对应于具有特定有限数量元素的特定组（实际上是这些组的特定表示）。就像在布尔代数案例中一样，这种解释现在允许我们开始说出模型的“内容”。例如，前三个对应于循环群，可以认为是整数mod的“关于”加法k个.
对于传统上没有在数学中研究过的公理系统，通常不会有任何预先存在的对它们“关于”什么的识别。但我们仍然可以认为模型是数学观测者描述或总结公理系统的一种方式。在某种意义上，我们可以将公理系统的可能有限模型集合视为公理系统中的一种“模型签名”。
但现在让我们考虑一下，对于与给定公理系统相关的“定理”，模型告诉了我们什么。以公理为例：
以下是该公理系统的2级模型：
现在让我们选择这些模型中的最后一个。然后，我们可以取任何涉及∘的符号表达式，并说出其中出现的变量值的每个可能选择的值：
这里的最后一行给出了一个“表达式代码”，总结了这个特定模型中每个表达式的值。如果两个表达式在模型中有不同的代码，那么这告诉我们，根据基础公理系统，这些表达式不可能等价。
但如果代码是相同的，那么至少有可能这些表达式在底层公理系统中是等价的。因此，作为一个示例，让我们看看与代码为3的表达式对相关联的等价项（根据我们使用的模型）：
因此，现在让我们比较一下底层公理系统的实际蕴涵锥（我们删除了涉及3个以上变量的表达式，以保持适度大小的图形）：
到目前为止，这并没有在我们的任何code-3表达式之间建立等价性。但如果我们生成一个更大的蕴涵锥（这里使用不同的初始表达式），我们会得到
其中显示的路径对应于语句
证明这是公理系统的一般等价性。
但让我们看一下该模型隐含的另一个语句，例如：
是的，它在模型中有效。但是，它对于底层公理系统来说通常是无效的，或者可能从中派生出来。例如，我们可以通过为公理系统选择另一个模型来看到这一点，比如上面列表中的倒数第二个模型
并发现此处两个表达式的值在该模型中不同：
确定特定语句遵循特定公理系统的决定性方法是找到它的显式证明，要么直接通过在蕴涵锥中选择路径，要么使用自动定理证明方法。但从某种意义上讲，模型给了一种“获得近似结果”的方法。
作为一个例子，考虑一组可能的表达式，只要在我们讨论的公理系统中可以证明它们相等，就将它们对连接起来：
现在，让我们指出公理系统的两个模型为表达式分配了哪些代码：
根据基本公理系统，每个连通图组件内的表达式是相等的，并且在这两个模型中，它们总是被分配相同的代码。但有时模型“过冲”，将相同的代码分配给不在相同连接组件中的表达式，因此根据基础公理系统不相等。
到目前为止，我们展示的模型对于底层公理系统是有效的。如果我们使用一个无效的模型，我们会发现即使是图中相同连接组件中的表达式（因此根据基础公理系统相等）也会被分配不同的代码（注意，图已被重新排列，以允许在同一个“补丁”中绘制具有相同代码的表达式）：
我们可以把表达式之间的等价关系图看作是对应于通过蕴涵图的一个切片，并且本质上是“在元数学空间中布局”，比如鳃部图，或者我们后来称之为“蕴涵结构”。我们所看到的是，当我们有一个有效的模型时，不同的代码会产生不同的补丁，这些补丁实际上以尊重底层公理系统所隐含的等价性的方式覆盖了元数学空间。
但是现在让我们看看如果我们制作一个蕴涵锥，用它所表示的表达式对应的代码标记每个节点，首先标记有效模型，然后标记非有效模型，会发生什么：
使用有效的模型，整个包含圆锥体用相同的代码进行标记（这里也是相同的颜色）。但对于无效的模型，内含锥中的不同“补丁”被标记为不同的代码。
假设我们试图根据基本公理系统来确定两个表达式是否相等。明确的方法是找到一条从一个表达式到另一个表达式的“证明路径”。但作为“近似值”，我们可以根据模型“计算”这两个表达式，看看结果代码是否相同。尽管这是一个有效的模型，但这只能确切地告诉我们两个表达式不相等；它不能证实他们是。原则上，我们可以通过检入多个模型（尤其是具有更多元素的模型）来优化事物。但是，如果不预先检查所有可能的等式，我们一般无法确保这会给我们提供完整的故事。
当然，从底层公理系统生成显式证明也很难，因为通常证明可以任意长。从某种意义上说，这是一种权衡。给定检查的特定等价性，我们可以在蕴涵图中搜索路径，通常需要尝试多种可能。或者我们可以通过找到一个模型或一组模型来“提前完成工作”，我们知道这些模型或模型集合会正确地告诉我们等价性是否正确。
稍后，我们将看到这些选择与数学观察者如何“解析”元数学空间的结构有关。实际上，观测者既可以显式地尝试追踪由抽象符号表达式序列形成的“证明路径”，也可以通过识别某些整体模型“全局地预先确定”表达式“意味着什么”。一般来说，模型可能有很多种选择，我们将看到，这些不同的选择本质上类似于物理学中参考系的不同选择。
到目前为止，我们讨论模型的一个特点是，我们一直在讨论为公理建立模型，然后将这些模型应用于表达式。但在我们上面讨论过的累加系统中（这似乎是更接近实际数学的元模型），我们只谈论“语句”——“公理”只是我们碰巧从语句开始的。那么模型是如何在这种环境下工作的呢？
这是标记事件图的开头，从
用代换的一步蕴涵产生的：
对于这里给出的每一个语句，都有一些特定的size-2模型（这里用它们的乘法表表示）是有效的，或者在某些情况下，所有模型都是有效的：
我们可以通过在一个4×4的网格中指出16种可能的2号模型中的哪一种与目前在蕴涵锥中生成的每个语句一致来总结这一点：
继续我们得到的一个步骤：
通常情况下，隐含锥中连续步骤生成的语句本质上只是“积累更多模型”。但从图的右边我们可以看到，情况并不总是这样，有时对一个语句有效的模型对它所包含的语句不再有效。（如果我们使用完全双替换而不仅仅是替换，情况也是如此。）
到目前为止，我们在这里讨论的所有模型都与表达式有关。但也可以有其他类型结构的模型。对于字符串，可以使用类似于相同的设置虽然效果不太好。可以考虑转换字符串
进入之内
然后尝试为∘找到合适的“乘法表”，但这里操作的是特定元素A和B，而不是模型定义的元素集合。
如果有趣的话，为超图重写系统定义模型更具挑战性。人们可以想到我们使用的表达式与树对应，可以是一旦确定“操作符”，立即“评估”在每个节点上填写与模型关联的。如果我们试图对图（或超图）做同样的事情，我们将立即陷入对图扫描顺序的问题中。
在更普遍的层面上，我们可以将“模型”视为观察者试图总结事物的一种方式。我们可以想象很多方法来做到这一点，有不同的保真度，但总是有这样一个特点，即如果两个事物的摘要不同，那么这两个事物就无法通过任何正在使用的基础过程相互转换。
换句话说，模型为系统中的底层转换定义了某种不变量。计算这个不变量的原材料可能是节点上的操作符，也可能是整体图形属性（如循环计数）。
17 |Axiom系统在野外
我们已经讨论了特定的样本公理系统以及现代数学中出现的各种公理系统会发生什么。但是“野外公理系统“——比如说通过随机抽样或系统枚举获得？实际上，每个可能的公理系统都可以被认为是“定义了一个可能的数学领域”——只是在大多数情况下，没有一个真正在人类数学史上被研究过。但是统治阶层当然包含了所有这些公理系统。并且以一种新的科学 我们能行乡村学探索它们。
作为一个例子，让我们看看只有一个公理、一个二进制运算符和一个或两个变量的公理系统。以下是最小的几个：
对于这些公理系统中的每一个，我们都可以问它们意味着什么定理。例如，我们可以枚举理论，就像我们枚举公理系统一样，然后使用自动定理证明来确定哪些定理是由哪些公理系统隐含的。这个显示结果如果一个给定的定理可以从给定的公理系统中证明，那么可能的公理体系就会出现在页面上，可能的定理就会出现，并且会填充一个特定的正方形（对于更长的证明，颜色会更暗）：
左边的对角线是“证明自己”的公理。跨越的线用于公理系统，如
这基本上是说，任何两个表达式都相等，因此所陈述的任何定理都可以从公理系统中得到证明。
但是，如果我们看每一个公理系统的整个蕴涵锥呢？以下是前两个步骤的几个示例：
用我们的累积进化方法，公理
它本身不会生成一个不断增长的蕴涵锥（尽管如果与包含∘的任何公理相结合，它也会生成
单独使用）。但在所有其他显示的情况下，蕴涵锥快速增长（通常至少呈指数增长），实际上快速建立了许多定理。然而，大多数定理都“不小”，例如，在两个步骤之后，这里是它们的大小分布：
假设我们在蕴涵锥中只生成了一步。这就是我们建立的“小定理”模式：
这是两个步骤后的相应结果：
将其叠加到我们得到的原始定理数组中：
换言之，有许多小定理我们可以建立“如果我们寻找它们”，但它们不会在蕴涵锥中“自然生成”（尽管最终它们不可避免地会生成）。（稍后我们将了解这与“隐含织物”和“将数学片段编织在一起”的概念之间的关系。）
在上一节中，我们讨论了公理系统模型的概念。那么，典型的“来自野外的公理系统”有哪些模型呢？这个对于不同的公理系统，给定大小的可能模型的数量差异很大:
但对于每个模型，我们可以问它所暗示的定理是有效的。例如，将所有大小为2的模型组合在一起，可以得出以下定理有效的“预测”（实际定理用点表示）：
使用尺寸为3的模型可以提供“更准确的预测”：
正如预期的那样，观察蕴涵锥中固定数量的步长“低估”了有效定理的数量，而观察有限模型则高估了有效定理。
那么，我们对“野生公理系统”的分析与我们考虑传统人类数学中明确研究过的公理系统时得到的结果相比如何呢？下面是一些只涉及单个二进制运算符的“已知”公理系统的示例
这是他们给出的定理的分布：
必须如此，布尔代数的所有公理系统都会产生相同的定理。但“不同数学理论”的公理系统产生了不同的定理集合。
如果我们看这些公理系统的蕴含会发生什么？最终，所有定理都必须出现在给定公理系统的蕴涵锥中。但以下是一步隐含后的结果：
一些定理已经产生，但许多还没有：
正如我们上面所做的，我们可以通过构建模型来尝试“预测”定理。如果我们问对于所有大小为2的有效模型适用什么定理，会发生什么情况：
对于几个公理系统，这些模型至少“完美地预测”了我们在这里展示的定理。例如，对于布尔代数来说，这并不奇怪：模型只对应于将∘识别为南德或也不是，也就是说，这给出了布尔代数的完整描述。但在群的情况下，“大小2模型”只捕获碰巧是大小2的特定群，对于这些特定群，有一些特殊的、额外的定理，这些定理对于一般群来说是不成立的。
如果我们专门研究大小为3的模型，布尔代数没有任何示例，因此我们不会预测任何定理。但对于群论，例如，我们开始更准确地描述定理的一般含义：
根据我们在这里看到的，人类数学中传统使用的公理系统有什么“明显特殊”吗？有些情况下，比如布尔代数，公理实际上对事物的约束如此之大，以至于我们可以合理地说，它们“在谈论确定的事物”（比如南德和也不是). 但还有很多其他的情况，如群论，其中公理提供了更弱的约束，例如允许无限多的可能特定群。但这两种情况都发生在“来自野外”的公理系统中。最后我们要做的是似乎没有透露任何“明显特别”的信息（比如在模型或定理的统计中）关于“人类”公理系统。
这意味着，我们可以预期，我们从研究“所有公理系统的一般情况”中得出的结论——正如规则所概括的那样——可以预期特别适用于人类数学所研究的特定公理系统和数学理论。
18 |证明空间的拓扑
在纯数学的典型实践中，主要目标是建立定理。是的，人们想知道一个定理有一个证明（也许这个证明有助于理解这个定理），但主要关注的是定理，而不是证明。然而，在我们努力“深入”数学的过程中，我们不仅要研究存在哪些定理，还要研究实现这些定理的过程。我们可以将其视为典型数学观测者的一个重要简化假设，即所有重要的都是理论，而不同的证明并不相关。但是，要探索元数学的基本结构，我们需要解开它，实际上直接看看证明空间的结构。
让我们考虑一个基于字符串的简单系统。假设我们有重写规则
我们想建立这个定理
。要做到这一点，我们必须在多路系统（或有效地在该公理系统的蕴涵锥中）中找到从A到ABA的一些路径：
但这并不是唯一可能的途径，因此也是唯一可能的证明。在这种特殊情况下，有20条不同的路径，每一条路径对应至少一个略有不同的证明：
但这里的一个特点是，所有这些不同的证明都可以在某种意义上“平滑变形”，在这种情况下，一次只需逐步改变一个步骤。因此，这意味着在这种情况下，实际上没有非平凡的拓扑来证明空间，也没有“明显不等价”的证明集合：
但考虑一下规则
利用这个“公理系统”，有15种可能的定理证明
:
拿出我们得到的证据：
我们看到，在某种意义上，这里的证明空间中有一个“洞”，因此可以进行两种截然不同的证明。
一个常见的地方在游戏和拼图中看到类似的现象例如，考虑河内之塔拼图。我们可以为可能的行动建立一个多路系统。从左侧销钉上的所有磁盘开始，经过1步，我们得到：
经过两个步骤，我们有：
经过8个步骤（在本例中），我们得到了整个“游戏图”：
4个磁盘的相应结果为：
在每种情况下，我们都会看到非平凡拓扑的现象。这从根本上是什么原因造成的？从某种意义上说，它反映了不同策略导致相同结果的可能性。例如，在这里，“主循环”的不同侧面对应于“基本选择”，即是将最大的磁盘先向左移动还是向右移动。同样的基本情况发生在4个销钉上的4个圆盘上，尽管那里的整体结构更复杂：
如果在多路系统中两条路径分叉，则可能永远不可能再次合并。但是，只要系统具有汇流特性，就可以保证最终路径会合并。事实证明，我们的累积进化设置保证了这一点（至少忽略了新变量的生成）汇合总是可以实现的。但问题是有多快如果分支总是在一个步骤后合并，那么在某种意义上总是存在拓扑上微不足道的证明空间。但是，如果合并可能需要一段时间（在连续极限下，任意长），那么实际上就会有一个不平凡的拓扑。
我们在这里讨论的非平凡拓扑的一个结果是，它导致了鳃空间的断开。以下是我们最初的3盘3片情况中前3步的分支图：
在前两步中，鳃图保持连接；但第三步是断开连接。对于4盘4盘的情况，分支图的序列开始：
在开始（和结束）有一个单一的成分，我们可以把它看作元数学空间的一个连贯区域。但在中间，它分裂成多个不相连的组件，实际上反映了元数学空间中多个不同区域的出现，这些区域之间暂时存在类似事件视界的东西。
我们应该如何解释这一点？首先，它揭示了数学“流体动力学”水平下的结构；它依赖于元数学的离散“公理基础设施”。从我们的角度来看物理项目，我们可以将其视为一种元数学模拟量子效应”.
在我们的物理项目中，我们设想多路系统中的不同路径对应不同的可能量子历史。观察者实际上分布在多条路径上，这些路径粗糙或合并在一起。当系统可以遵循某些路径时，就会发生“可观察的量子效应”，但这些路径之间的距离“太远”，观测者无法立即将其粗化。
换句话说，当“同时发生”的不同历史对应的不同路径“相距足够远”，观察者可以区分时，就会出现“明显的量子干涉”。“破坏性干扰”可能与相距甚远的路径有关，要将它们合并，实际上需要合并几乎所有可能的路径。（和我们稍后的讨论然后，根据虚伪与“爆炸原理”之间的关系，提出了物理中的破坏性干扰与数学中的虚伪之间的联系。）
本质上，决定“量子效应”程度的是我们作为观察者在鳃空间中的“尺寸”相对于鳃空间特征的尺寸，例如我们一直在讨论的“拓扑洞”。在元数学的情况下，我们作为观察者的“大小”实际上与我们区分事物公理化公式中细微差异的能力（或选择）有关。我们在这里要说的是，当证明空间中存在非平凡的拓扑时，元数学蕴涵中存在一种内在的动力学，导致在某种尺度上发展差异，尽管这些差异对我们作为数学观察者来说是否“可见”取决于“元数学显微镜的强度”我们选择相对于“拓扑洞”的比例使用。
19 |时间、永恒和内蕴织物
我们的数学元模型的一个基本特征是，一组给定的数学语句可以包含其他语句。但在这幅图中，“数学进步”是什么样子的？
与物理学相类比，人们可以想象这就像宇宙随时间的演化。我们可以从一些有限的公理集合开始，然后进入一种“数学大爆炸”——这将导致包含越来越多数学陈述的逐渐变大的蕴涵锥。与物理学相类比，我们可以想象，在蕴涵锥中跟随连续蕴涵链的过程将对应于时间的流逝。
但实际上，这并不是大多数人类数学的实际历史是如何发展的。因为人们，甚至他们的计算机，基本上从未试图通过公理推导出所有可能的有效数学语句来扩展数学。相反，他们提出了一些特殊的数学陈述，出于某种原因，他们认为这些陈述是有效且有趣的，然后尝试证明这些陈述。
有时证明可能很困难，可能涉及一长串牵连。偶尔，特别是如果使用自动定理证明，则蕴涵可能从公理一直近似于测地线路径。但人类数学的实际经验往往更多地是关于识别“邻近语句”，然后尝试“将它们组合在一起”来推断出感兴趣的语句。
一般来说，人类数学的进步似乎与其说是通过蕴涵图的渐进“时间进化”，不如说是通过组装一种可以称之为“蕴涵结构”的东西，在这种结构中，不同的陈述被蕴涵编织在一起。
在物理学中，蕴含图的模拟基本上是因果图，它随着时间的推移而建立，以定义光锥（或者更准确地说，纠缠锥）的内容。隐含结构的模拟基本上是空间（或者更准确地说，是鳃空间）的瞬时状态。
在我们的物理项目我们通常把最底层的结构看作是超图，非正式地我们经常这样说超图“代表空间的结构”但实际上我们应该演绎“空间结构”通过从因果图所表示的“动态演化”中选取一个特定的时间片，例如，我们应该将两个“空间原子”视为“空间瞬时状态”中的“连接”如果在我们考虑的时间片内发生的因果图切片中定义了它们之间的因果关系。换句话说，“空间结构”是由因果图表示的因果关系编织在一起的。（在传统物理学中，我们可以说，通过观察许多小光锥之间的重叠，可以“绘制”出空间。）
让我们看看这是如何在元数学设置中实现的，使用字符串重写来简化事情。如果我们从公理开始
这是它生成的蕴涵锥的起点：
但是，与其从一个公理开始，建立一个逐渐变大的蕴涵锥，不如从多个语句开始，从每个语句生成一个小的蕴涵锥体，比如说每个规则最多应用两次。以下是从几个不同的语句开始的蕴涵锥：
但关键的一点是，这些蕴涵锥重叠，因此我们可以将它们编织成“蕴涵织物”：
或者用更多的片段和另一个隐含步骤：
从某种意义上来说，这是一种“永恒”的方式来想象建立数学和元数学空间。是的，这个结构原则上可以被视为从蕴涵图的切片中获得的鳃图的一部分（从技术上来说，这将是一种有用的思考方式）。但人类数学实践的另一个失败者是，它是由许多不同的数学陈述组合而成的“结构”。它不是一个人追踪整个时间的流逝，看到事物之间的因果关系，就像“运行程序”一样。相反，它是一个人为了满足需要而将各个部分装配在一起的东西创建平铺时的约束.
下面的一切都是统治阶层而内卷锥和内卷织物可以看作是ruliad的不同采样或切片。规则最终是所有可能计算的纠缠极限。但人们可以认为它是通过从所有可能的规则和初始条件开始，然后将其运行无限多个步骤建立起来的。蕴涵锥本质上是这个结构的一个“切片”，人们从一个特定的规则和初始条件来观察“时间演化”。隐含结构是一个“正交”切片，跨越不同的规则和初始条件“在特定的时间”查看。（顺便说一句，规则和初始条件本质上是等价的，特别是在累加系统中。）
人们可以把这些不同的规则片段看作是不同类型的观察者在规则中会感知到的。包裹锥本质上是坚持到底的观察者但是被定位在胚间隙中。凝聚力结构是那些忽视时间但探索更多规则空间的观察者所能感知到的。
在其他地方我争论过让我们感知物理定律的一个关键因素是，我们是观察者，认为自己在时间中是坚持不懈的。但现在我们看到，按照人类数学的典型方式，“数学观察者”将具有不同的特征。而对于物理观测者来说，关键的是时间上的因果关系，而对于数学观测者（至少是一个以通常的方式做数学的人）来说，似乎关键的是元数学空间中的某种一致性或连贯性。
在物理学中，持久的观察者是不可能的。这可能是因为所有这些详细的计算上不可约的过程都发生在空间原子的水平上，宇宙中可能没有任何东西可以被认为是随时间而一致的。但关键是，行为的某些“粗粒度”属性在时间上是一致的。正是通过专注于这些，我们才能够用我们所知道的物理定律来描述事物。
数学中有一些非常类似的东西。元数学空间的详细鳃结构是复杂的，并且可能充满了计算不可约性。但再一次，有一些“粗粒度”属性在其上具有一定的一致性和连贯性。正是在这些属性上，我们作为人类的“数学观察者”才得以集中精力。正是基于这些，我们最终能够进行“人类水平的数学”——实际上是在“流体动力学”层面上操作，而不是在“分子动力学”层面。
“在ruliad做物理”的可能性关键取决于这样一个事实，即作为物理观测者，我们假设我们在时间上具有一定的持久性和连贯性。“在规则中做数学（通常的方式）的可能性”关键取决于作为“数学观察员”，我们假设我们考虑的数学陈述具有一定的连贯性和一致性，或者，实际上，即使我们试图包含各种新的数学陈述，我们也有可能保持和发展连贯的数学知识体系。
20 |真理观
逻辑最初被认为是描述人类论据的一种方式，其中“真理”的概念似乎一直很重要。当逻辑应用于数学基础时，“真理”通常也被认为是非常重要的。但我们在这里建立数学模型的方式更多的是关于可以导出（或包含）什么语句，而不是关于任何类型的什么语句可以被“标记为true”的抽象概念换句话说，我们更关心的是“从结构上推导”
而不是说“1+1=2是真的”。
但这种“建构性推导”与真理的逻辑概念之间的关系是什么？我们可能会说“如果我们能够构建一个声明，那么我们应该认为它是真的”。如果我们从公理出发，那么在某种意义上，我们永远不会有“绝对真理概念”——因为我们推导出的任何东西都只是“与我们开始的公理一样真实”。
可能出现的一个问题是，我们的公理可能是不一致的-从这个意义上说，我们可以从中得出两个明显不一致的陈述。但要进一步讨论此类问题，我们不仅需要有真理的概念，还需要有虚假的概念。
在传统逻辑中，人们倾向于认为真与假是“同一种东西”——比如1和0。但我们数学观的一个特点是，事实上，真理和谬误似乎有着截然不同的特征。也许这并不奇怪，因为在某种意义上，如果有一个关于某件事的真实陈述，那么通常会有无数个关于它的错误陈述
是真的，但语句的无限集合
对于任何其他
都是假的。
这还有另一个方面，至少从中世纪就开始讨论，通常以“爆炸原理“：只要假设任何语句为假，就可以从逻辑上推导出任何语句。换句话说，引入一个单一的“错误公理”将引发一场爆炸，最终“炸毁一切”。
因此，在我们的数学模型中，如果可以推导，我们可能会说事情是“真的”，如果它们导致“爆炸”，则是“假的”。但假设我们得到了一些声明。我们如何判断这是真是假？我们可以做的一件事就是根据公理构造一个蕴涵锥，看看这个语句是否出现在其中。当然，考虑到计算不可约性，一般来说，我们需要走多远才能确定它。但是现在为了找出一个陈述是否是错误的，我们可以想象把这个陈述作为一个额外的公理来引入，然后看看现在产生的蕴涵锥是否包含一个爆炸，尽管我们通常需要走多远才能保证我们手上有一个“真正的爆炸”。
那么有其他的程序吗？答案可能是肯定的：我们可以试着看看我们的陈述是否在某种程度上等同于“真”或“假”。但在我们的数学模型中，我们只讨论符号表达式的转换，没有“真”和“假”的直接内置概念。要讨论这些，我们必须添加一些内容。例如，我们可以说“真”等同于“明显的同义反复”，例如
或在我们的计算符号中，
虽然“false”等同于“明显具有爆炸性”的东西，比如
（或者在我们的特定设置中更像
).
但即使像“我们能找到一种方法
从给定的语句？”对于一个实际的理论证明系统来说，似乎比“我们能从整个蕴涵锥中找到我们的语句吗？”更实际，它遇到了许多相同的问题，特别是可能需要的路径长度没有上限。
很快，我们将回到这个问题上，所有这些与我们对数学作为规则的一部分的解释以及数学观察者感知到的隐含结构的概念有什么关系。但为了进一步确定我们正在做的事情的背景，让我们探索一下我们目前讨论的内容与以下内容之间的关系哥德尔定理以及不完整等现象。
根据基本逻辑的设置，我们可以假设任何语句都是真或假。或者，更准确地说，我们可能认为，给定一个特定的公理系统，我们应该能够确定可以用该公理系统的原语语法构造的任何语句是真是假。我们可以通过询问每一个语句是否都是可派生的或导致爆炸来探索这一点，或者可以证明它等同于“明显的同义反复”或“明显的爆炸”。
但作为对此的简单“近似”，让我们考虑一个字符串重写系统，其中我们定义了一个“局部否定运算”. 特别是，让我们假设给定如下语句
这个陈述的“否定”只是交换了A和B，在这种情况下会产生
.
现在，让我们问一下从给定的公理系统中生成了什么语句。说我们从开始
.经过一步可能的替换，我们得到
而经过两步，我们得到：
在我们的设置中，我们有效地断言这些是“真实”的陈述。但是现在让我们通过交换A和B来“否定”这些语句。如果我们这样做，我们将看到从来没有一个语句同时出现它和它的否定。换句话说，在这个公理系统中没有明显的不一致性。
但是如果我们考虑公理
则这给出：
因为这包括了
及其“否定”
根据我们的标准，我们必须认为这个公理系统是不一致的。
除了不一致性，我们还可以询问不完整性。对于所有可能的陈述，公理系统最终是生成陈述还是生成否定？或者，换言之，我们能从公理系统中判断任何给定的陈述是真是假吗？
通过我们对否定的简单假设，不一致性和不完整性的问题至少在原则上变得很容易探索。从一个给定的公理系统开始，我们生成它的蕴涵锥，然后我们问在这个锥中出现了多少可能的语句，比如给定长度的语句。
如果答案大于50%，我们就知道存在不一致性，而如果答案小于50%，这就是不完整的证据。那么不同的可能公理系统会发生什么呢？
这里有一些结果来自一种新的科学在每种情况下，都显示了原始蕴涵锥的数量（或者，在这种情况下，从“真”开始的多路系统演化），以及在逐步进行更多步骤后达到的给定长度的语句数量：
在某种程度上，这一切都相当简单。但从上面的图片中，我们已经可以感觉到存在问题。对于大多数公理系统，当我们增加蕴涵锥中的步数时，达到给定长度的语句的比例会发生变化。有时，即使经过无数步，也可以很容易地看到要达到的分数。但通常情况并非如此。
一般来说，我们会遇到计算不可约性，所以实际上，确定是否生成某个特定语句的唯一方法就是在蕴涵锥中执行更多的步骤，看看会发生什么。换句话说，没有保证有限的方法来决定最终分数是多少，因此任何给定的公理系统是不一致的，还是不完整的，或者两者都不是。
对于某些公理系统来说，这是可能的。但对于某些公理系统来说，事实并非如此，因为我们通常不知道要走多远才能确定给定的语句是否为真。
要达到哥德尔不完全性定理的标准版本，还需要一些额外的技术细节。（请注意，这些定理最初是专门为算术的皮亚诺公理而提出的，但计算等效原则表明，它们在某种意义上更为普遍，甚至无处不在。）但这里重要的一点是，给定一个公理系统，可能会有语句可以到达或无法到达，但即使可以到达，也不存在路径长度的上限。
好的，让我们回到规则背景下讨论真理的概念。我们讨论了可能显示不一致或不完整的公理系统，以及确定它们是否存在的困难。但从某种意义上来说，规则包含所有可能的公理体系，并生成所有可能的语句。
那么，我们如何才能确定哪些陈述是“正确的”，哪些是“错误的”呢？当我们谈到特定的公理系统时，我们说生成的任何语句都可以被认为是正确的（至少对于该公理系统而言）。但在规则中，每一条语句都是生成的。那么，我们可以用什么标准来确定哪些是“真的”呢？
关键的想法是，任何计算上有界的观测者（像我们一样）只能感知到规则的一小部分。这是一个非常有意义的问题，问一个特定的语句是否出现在那个感知的片段中。
选择“切片”的一种方法是从给定的公理系统开始，并开发其蕴涵锥。有了这样一个切片，判断语句真实性的标准正是我们上面讨论的：语句是否出现在蕴涵锥中？
但典型的“数学观测者”是如何对规则进行抽样的呢？正如我们在上一节中所讨论的，它似乎更多的是通过形成一个包裹织物，而不是通过形成一个完整的包裹锥。从某种意义上说，数学的进步可以被视为一个向蕴涵结构中添加片段的过程：一个接一个地引入数学语句，并检查它们是否适合该结构。
那么，如果一个人试图添加一个“不真实”的语句，会发生什么呢？基本的答案是，它产生了一种“爆炸”，在这种爆炸中，隐含结构基本上可以包含任何语句。从基本规则或规则的角度来看，这确实没有什么错。但问题是，它与“像我们这样的观察者”不兼容，也与数学家的任何现实理想化不兼容。
我们对数学观测者的观点本质上是一个实体，它将数学陈述累积到一个蕴涵结构中。但我们假设观测器在计算上是有界的，因此在某种意义上，它们只能处理有限的语句集合。因此，如果隐含结构发生爆炸，这意味着该结构将扩展到数学观测者可以一致处理的范围之外。或者，换言之，数学观测者可以合理考虑的唯一一种隐含结构是“不包含爆炸”的结构。在这种结构中，有理由将语句的生成或隐含视为该语句可以被视为真实的信号。
从某种意义上说，统治是一种独特而绝对的东西。我们可能会想象，这将引导我们对数学中的真理有一个独特而绝对的定义。但我们看到的是，情况并非如此。相反，我们对真理的概念是基于我们作为数学观察者如何对规则进行采样。但现在我们必须探索这意味着什么，我们认为它是什么样的数学。
21 |人类数学会是什么样子？
从某种意义上说，规则包含了所有结构上可能的数学——包括所有数学陈述、所有公理系统以及它们所遵循的一切。但是，正如我们人类所设想的那样，数学从来就不是一个完整的规则；相反，作为数学观测者，它始终只是我们采样的一小部分。
然而，我们可以想象，这将意味着我们的数学在某种意义上具有完全的任意性，因为在某种意义下，我们可以选择我们想要的规则的任何部分。是的，我们可能想从一个特定的公理系统开始。但我们可以想象，这个公理系统可以任意选择，没有进一步的约束。因此，我们研究的数学可以被认为是一种基本上任意的选择，这是由其详细的历史决定的，也可能是由人类的认知或其他特征决定的。
但还有一个关键的额外问题。当我们从规则中“采样我们的数学”时，我们是作为数学观察员，最终也是作为人类。事实证明，即使是我们作为数学观测者的一般特征，也会对我们可以采样什么以及如何采样产生强烈的限制。
当我们讨论物理时，我们说过，观测者的中心特征是其计算有界性和对自身随时间的持久性的假设。在数学中，观测者在计算上也是有界的。但现在，他们假定的并不是通过时间的坚持，而是积累的知识的某种连贯性。
我们可以把数学观测者看作是逐步扩展他们认为“代表数学”的隐含结构。问题是，作为观察者，他们可以在“保持连贯性”的同时，为隐含结构添加什么。例如，在前一节中，我们认为如果观察者添加了一个可以被视为“逻辑错误”的语句，那么这将导致隐含结构中的“爆炸”。
这样的声明当然存在于规则中。但如果观察者加上这个词，他们就无法保持连贯性，因为奇怪的是，他们的思维必然会爆炸。
在思考公理化数学时，标准的说法是，任何“合理使用”的公理系统都应该至少是一致的（尽管，是的，对于给定的公理体系来说，它是一致的一般最终不可判定无论情况如何）。当然，一致性是我们现在看到的一个标准，对于“像我们这样的数学观察者”来说是必要的。但可以预料，这并不是唯一的标准。
换句话说，尽管写下任何公理系统，甚至开始生成其蕴涵锥都是完全可能的，但只有一些公理系统可能与“我们这样的数学观测者”兼容。
例如，类似于连续体假说-众所周知独立于集合论的“既定公理”-很可能有这样的特点，比如说，为了得到一个与我们这样的数学观测者兼容的元数学结构，必须假设它是真的。
就物理学而言，我们知道观察者的一般特征导致了某些关键的感知特征和物理定律。在统计力学中，我们要处理的是“粗粒度观察者”，他们不跟踪和解码单个分子的路径，因此感知热力学第二定律、流体动力学等。在我们的物理项目中，我们还与粗粒度的观测者打交道，他们不跟踪空间原子的所有细节，而是将空间视为连贯且有效连续的东西。
似乎在元数学中也发生了类似的事情上面第一节，数学观测者倾向于“粗粒度”元数学空间。从操作的角度来看，他们做到这一点的一种方法是，谈论一些类似毕达哥拉斯定理的东西，而不总是深入到公理的详细层次，例如，说出实数应该如何定义。与此相关的是，他们倾向于更多地关注数学陈述和定理，而不是他们的证明。稍后我们再看如何在规则的背景下，有一个更深入的层次可以去。但这里的重点是，在实际进行数学时，人们倾向于在谈论数学概念的“人类尺度”上操作，而不是公理的“分子尺度细节”。
但为什么这样做有效呢？为什么没有不断地“拖拽”到下面的详细公理层次？为什么可以在我们上面所描述的“流体动力学”层次上进行推理，而不必一直深入到详细的“分子动力学”层次？
基本观点是，这对数学观测者有效，其原因与物理观测者对空间的感知基本相同。由于观察者的“粗粒度”特征，他们采样的规则片段必然会具有某种一致性，从而允许他们在更高级别上操作。换言之，数学可以在“人类层面”进行，其基本原因与我们在物理学中对空间有“人类层面的体验”相同。
它以这种方式工作的事实取决于规则的必要特征-以及一般的多计算-以及我们作为观察员的特点。
不用说，在一些“角落案例”中，我们所描述的内容开始出现问题。例如，在物理学中，太空的“人类体验”在时空奇点在数学中，有些情况下不可判定性迫使人们选择较低的级别，更加公理化，最终更加元数学的观点。
但关键是，在物理空间和元数学空间中有很大的区域，这些问题不会出现，并且我们对物理和数学观测者的假设可以保持。这就是最终让我们对物理和数学有“人的尺度”观点的原因。
22个|低于公理数学
在传统的数学基础观中，人们认为用符号表达的公理在某种意义上是数学的最低水平。但是，从规则的角度思考表明，实际上还有一个更低的“urlevel”——一种机器代码的模拟，其中的一切，包括公理，都被分解为最终的“原始计算”。
接受这样的公理
，或者，用更精确的计算语言：
与我们习惯于在数学中看到的一切相比，这看起来很简单。但实际上它已经包含了很多内容。例如，它假设了二进制运算符的概念，实际上它命名为“∘”。例如，它还假设了变量的概念，并且有两个不同的模式变量，实际上是用名称“标记”的x和年.
那么，我们如何定义这个公理的最终“含义”呢？我们不得不从本质上的文本符号表示转向实际的计算。是的，我们在这里使用的特定表示可以立即解释为Wolfram语言但是，我们正在处理的最终计算概念比这更普遍。特别是它可以存在于任何通用计算系统.
不同的通用计算系统（例如特定的语言或CPU或图灵机器）可能有不同的方法来表示计算。但最终，任何计算都可以用它们中的任何一个来表示，表示的差异就像不同的“计算协调”。
无论我们如何表示计算，有一件事我们可以肯定：所有可能的计算都在规则中的某个地方。不同的计算表示实际上对应于规则的不同协调。但所有的计算最终都在那里。
对于我们的物理项目，使用“计算参数化”很方便，可以认为它是基于超图的重写。这些超图中的元素最终纯粹是抽象的，但我们倾向于将它们称为“空间原子”，以表明我们解释的开始。
使用超图重写作为用符号表达式表示公理系统的“底物”但是，使用基于表达式重写或实际上的树重写的系统要方便一些（尽管最终是等价的）。
一开始，人们可能会想象不同的公理系统在某种程度上必须用规则中的“不同规则”来表示。但是，正如人们从普遍计算现象中所预期的那样，实际上完全有可能认为不同的公理系统只是由一组规则操作的不同“数据”指定的。我们可以使用许多规则和结构。但有一套具有以下优点百年历史是S、 K个组合子.
基本概念是用只包含两个对象S和K的“组合表达式”来表示所有内容（也可能只有一个基本对象，实际上仅S可能就足够了.)
值得一开始就说的是，当我们走到这个“遥远”的地方时，事情变得非常不人性化和模糊。用公理来建立事物可能已经显得迂腐和低级。但是，在公理之下寻找一个底物——我们可以把它看作是让我们接触到原始的“存在的原子”——将把我们带到另一个层次的模糊性和复杂性。但如果我们要理解数学如何从规则中产生，这就是我们必须要做的。组合词为我们提供了一个更具体的例子。
下面是一个小组合子表达式的例子
对应于“表达式树”：
我们可以在没有显式“函数应用程序”的情况下编写组合子表达式[ ... ]使用（左）应用程序操作符
省略这个运算符总是毫不含糊的，从而得到紧凑的表示：
通过将S、K和应用程序运算符映射到码字，可以将其表示为简单的二进制序列：
但我们的组合词表达式意味着什么？基本组合词定义为具有以下规则：
这些规则本身对我们的组合子表达式没有任何影响。但是如果我们形成这个表达式
我们可以写为
然后反复应用这些规则可以得出：
我们可以将其视为“喂食”c（c）,x和年到我们的组合子表达式中，然后使用组合子表达式定义的“管道”根据c（c）,x和年.
但这个表达现在意味着什么？那要看我们怎么想c（c）,x和年平均值。我们可能会注意到c（c）始终显示在配置中抄送[_][_]这意味着我们可以把它解释为一个二进制运算符，我们可以用中缀形式写为∘，这样我们的表达式就变成：
是的，这都是难以置信的低水平。但我们需要更进一步。现在我们以这样的名字喂食c（c）,x和年但最终我们要完全用S和K来表示所有内容，所以我们需要去掉“人类可读的名称”，只需将它们替换为S、K组合词的“块”，就像应用组合词规则时“携带”的名称集一样。
我们可以把用S和K表示的最终表达式看作是机器代码。“向上一级”我们有汇编语言，基本操作相同，但名称明确。这个想法是，像公理和适用于它们的推理法则这样的东西可以“编译”到这种汇编语言中。
但最终我们可以走得更远，到达最底层的“机器码”，其中只出现了S和K。在由S，K组合子“协调”的规则中，有无数可能的组合子表达式。但是，我们如何找到“代表可识别数学对象”的对象呢？
作为一个例子，让我们考虑一种可能的方式S、 K可以表示整数，也可以表示整数上的算术基本思想是整数n个可以作为组合符表达式输入
哪个用于n个=5表示：
但如果我们现在将其应用于[S] 【K】我们得到的减少到
其中包含4个S。
但有了这种整数表示，就有可能找到表示算术运算的组合子表达式。例如，这里有一个加法运算符的表示：
在“汇编语言”级别，我们可以称之为加，并将其应用于整数我和j个使用：
但在“纯机器代码”级别
可以简单地表示为
当应用于[S] 【K】减少到3的“输出表示”：
作为一个稍微复杂一些的例子
代表提升到幂的操作。然后
变为：
将此应用于[S] 【K】组合规则的重复应用给出了
最终得到8的输出表示：
我们可以继续构造我们想要的任何其他算术或计算操作，所有这些都是根据“通用组合子”S和K。
但是，我们应该如何从数学概念的角度来考虑这一点呢？基本上，我们看到的是，在S，K组合子的“原始机器代码”中，有可能“找到”我们认为是一段数学的东西的表示。
前面我们讨论了从结构（如公理系统）开始，然后将其“编译”为原始机器代码。但是，在“原始机器代码”中“自然发生”的意义上“发现数学”又如何呢？我们可以认为ruliad包含“所有可能的机器代码”。在机器代码中的某个地方，一定有所有可以想象的“数学结构”。但问题是：在原始规则的狂野中，作为数学观察家，我们可以成功地挑选出什么结构？
这种情况与物理学中多个层次上发生的情况非常类似。例如，考虑一个充满分子的流体。正如我们多次讨论过的那样，像我们这样的观测者通常对分子的详细动力学并不敏感。但我们仍然可以成功地识别出大规模的结构，如整体流体运动、旋涡等。就像数学一样，我们可以在这个更高的层次上讨论物理。
在我们的物理项目中，这一切变得更加极端。例如，我们想象空间和其中的一切只是一个巨大的空间原子网络。现在，在这个网络中，我们想象有“重复的模式”——对应于电子、夸克和黑洞之类的东西。
从某种意义上说，自然科学的一大成就是找到了这些规律，这样我们就可以用它们来描述事物，而不必一直深入到空间原子的层次。但事实上，这些是我们发现的规律，也是关于我们作为物理观测者的陈述。
关键是，即使在原始规则的水平上，我们作为物理观测者的特性也不可避免地会导致我们出现这种规律。事实上，我们在计算上是有界的，并假设自己具有一定的持久性，这将导致我们考虑局部和持久性的事情，而在物理学中例如，识别为粒子.
在数学中也是如此。作为数学观察员，我们有兴趣从原始规则中挑选出某种程度上稳健的“重复模式”。但现在，我们将把它们识别为数学构造和定义，而不是将它们识别为粒子。换句话说，正如在物理学中，ruliad中的重复模式可能被解释为电子一样，在数学中，ruliad中的重复模式可能被解释为整数。
我们可能认为物理是从规则的结构中“涌现”出来的东西，而现在我们以同样的方式思考数学。当然，不仅在这两种情况下，规则的“基本内容”是相同的，而且在这两个情况下，都是“像我们这样的观察者”在采样和感知事物。
有很多类似于我们描述的“从原始规则中获取构造”的过程。例如，考虑（4类）元胞自动机的演化在哪儿局部结构出现：
下面，就像整个ruliad一样，有许多详细的计算在进行，规则反复应用于每个单元格。但是，从所有这些底层计算中，我们可以识别出一组特定的持久性结构，我们可以使用这些结构来进行“更高层次的描述”，从而捕获我们关心的行为的各个方面。
给定一个由S，K组合词表达式组成的“海洋”，我们如何在其中“寻找数学”？一种简单的方法是确定我们想要的某些“数学特性”，然后搜索满足这些特性的S，K组合子表达式。
例如，如果我们想“搜索（命题）逻辑”，首先需要选择组合符表达式来象征性地表示“真”和“假”。有许多对表达式可以使用。作为一个示例，我们选择：
现在我们只需搜索组合词表达式，当应用于所有可能的“真”和“假”对时，这些组合词表达式会给出对应于特定逻辑函数的真值表。如果我们这样做，下面是我们发现的最小组合词表达式的示例：
下面是我们如何为而且:
如果我们只是开始随机选择组合符表达式，那么就逻辑的这种表示而言，它们中的大多数都不“可解释”。但如果我们跑过去
我们可以从中识别出而且,或者我们在上面确定的，并将其“分解”为：
然而，值得注意的是，即使我们在上面为“真”和“假”做出了选择，也不只是一个可能的组合词，比如而且。以下是一些可能性：
“真”和“假”的选择也没有什么独特之处。有其他选择
以下是一些逻辑函数的最小组合符表达式：
那么，对于任意组合词表达式的“可解释性”，我们可以说什么呢？显然，任何组合子表达式都是在原始组合子的层次上完成的。但问题是，是否可以对其进行“更高层次”的解释，以及潜在的“数学”解释。
从某种意义上说，这是一个数学观测者“感知”到的问题。它是否包含某种健壮的结构——可以说是物理中粒子数学的一种模拟？
Axiom系统可以被视为在ruliad中“总结”某些“原始机器代码”的一种特殊方式。但从“规则的原始协调”（如组合子）的角度来看，它们似乎没有什么特别之处。然而，至少对我们人类来说，它们似乎是一个明显的“航路点”。因为通过区分运算符和变量，为运算符建立arities，并引入事物的名称，它们反映了人类语言中熟悉的那种结构。
但现在我们认为规则是数学和物理的“底层”，有一条不同的路径被建议。通过公理化的方法，我们有效地试图利用人类语言来总结正在发生的事情。但另一种选择是利用我们对物理世界的直接体验，以及我们对空间等事物的感知和直觉。正如我们稍后将要讨论的那样，这很可能在许多方面是一个更好的“元模型”，即我们人类实际应用纯数学的方式。
从某种意义上说，这直接从规则的“原始机器代码”发展到了“人类层次的数学”，避开了公理层次。但是，考虑到数学中已经做了大量的“还原论”工作来以公理形式表示其结果，看看如何从“原始规则”中“提取”整个公理设置肯定仍然有很大的价值。
当然，在这样做的过程中，并不缺少复杂的技术问题。例如，应该如何处理“生成的变量”？如果用超图重写之类的东西来“协调”规则，这相当简单：它只需要创建新的元素或超图节点（在物理学中，这将被解释为空间原子）。但对于像S，K组合子这样的东西，它更微妙一些。在我们上面给出的例子中，我们有一些组合子，当“运行”时，它们最终会到达一个固定点。但为了处理生成的变量，我们可能还需要组合符永远达不到固定点这使得用明确的符号表达来识别对应关系变得更加复杂。
另一个问题涉及隐含规则，或者实际上是公理系统的元逻辑。在完整的公理设置中，我们希望执行诸如创建之类的操作标记事件图，其中每个事件对应一个蕴涵。但是应该使用什么样的隐含规则呢？例如，S、K组合词的基本规则定义了一个特定的选择，尽管它们可以用来模仿其他组合词。但从某种意义上来说，规则包含了所有选择。再一次，这取决于观察者从原始规则中“捞出”一个特定的“切片”——它不仅捕获了公理系统，还捕获了所使用的蕴含规则。
值得一提的是，现有的“简化主义”数学方法略有不同：用类型。类型实际上是一个等价类，它表征从实数元组到真值的所有整数或所有函数。但在我们的术语中，我们可以将类型解释为底层“机器代码”的一种“模板”：如果机器代码与某种特定模式匹配，我们可以说某些机器代码代表某种特定类型的东西。问题是，这种模式在某种程度上是否像原始规则中的粒子一样健壮。
使我们的物理项目成为可能的一个重要部分是“深入”空间和时间以及其他传统物理概念的思想。从某种意义上说，我们在这里所做的是非常相似的事情，尽管对于数学来说。我们想“深入”函数和变量等概念，甚至符号表达式的概念。在我们的物理项目中，“下面”的一个方便的“参数化”是由我们通常称为“空间原子”的元素组成的超图。在数学中，我们讨论过使用组合子作为“底层”的“参数化”。
但这些是什么“制成的”？我们可以认为它们对应于元数学的原始元素或计算的原始元素。但归根结底，它们是由任何规则“构成”的。也许对规则元素的最好描述是它们是“存在的原子”——任何事物的最小单位，数学、物理和其他方面的一切都必须从中产生。
存在的原子不是比特或点或诸如此类的东西。它们是一些基本上较低层次的东西，只有在我们的物理项目中，特别是在确定规则时，才会引起人们的关注。为了我们在这里的目的，我将这种存在的原子称为“emes”（发音为“eemes”，就像音素等）。
田园里的一切都是由emes做成的。在我们的物理项目中，空间原子是eme。我们的组合子树中的节点是emes。eme是一个非常抽象的东西。从某种意义上说，它所拥有的只是一种身份。每个eme都是不同的。如果我们愿意，我们可以给它起一个名字，但它本质上没有名字。最后，一切的结构都是简单地从eme之间的关系中建立起来的。
23 |数学的物理化规律
规则的概念表明数学和物理的基础之间有着深刻的联系。现在我们已经讨论了一些常见的数学形式主义如何“融入”规则，我们准备利用规则提供的“桥梁”开始探索如何将物理的一些成功和直觉应用于数学。
我们日常物理经验的一个基本部分是我们对生活在连续空间中的感知。但我们的物理项目表明，在足够小的范围内空间实际上是由离散元素构成的-只有因为我们经历它的粗粒度方式，我们才认为它是连续的。
在数学中，和物理不同，我们长期以来一直认为基础是基于符号表达式等具有基本离散结构的事物。然而，通常情况下，这些表达式的元素被赋予了人类可识别的名称（如2或Plus（加）). 但我们在前一节中看到的是，这些可识别的形式可以被认为存在于由我们称之为存在原子或emes的“匿名”低层基底中。
但关键的一点是，这种底物直接基于ruliad。它的结构在数学基础和物理基础之间是相同的。在数学中，emes聚合起来给我们提供了数学陈述的宇宙。在物理学中，它们聚合在一起给了我们物理宇宙。
但现在，底层“基础”的共性使我们意识到，我们应该能够将物理经验应用于数学。那么，我们对物理中空间连续性的感知在数学上的类比是什么呢？我们已经讨论了这样一个想法，即我们可以将数学语句视为在元数学空间中布局，或者更具体地说，在我们所称的内含物。我们最初讨论了使用公理来“协调”这一点，但在上一节中，我们看到了如何将“低于公理”提升到“纯emes”的水平。
然而，当我们做数学时，我们在更高的层次上进行抽样。就像物理观测者一样，我们对构成物理空间的eme（我们通常称之为“空间原子”）进行粗粒度处理，同样，作为“数学观测者”，我们对组成元数学空间的emes进行粗粒度分析。
数学的基础方法，尤其是在过去的一个世纪里，几乎总是基于公理及其基本上离散的符号结构。但是，通过进入一个较低的层次并看到与物理学的对应关系，我们会考虑我们可能认为是数学的更高层次“经验”——不是在特定公理和蕴涵的“分子动力学”层次上操作，而是在人们可能称之为大尺度概念的“流体动力学”层次。
一开始，人们可能没有任何理由认为这种更高层次的方法可以持续应用。但这是第一个可以使用物理思想的大地方。如果物理和数学都是以规则为基础的，如果我们作为观察者的一般特征同时适用于物理和数学，那么我们可以预期会出现类似的特征。特别是，我们可以预期，我们日常对物理空间连续性的感知将延续到数学，或者更准确地说，到元数学空间。
我们作为数学观测者有一个元数学空间中的“大小”我们将类似整数或毕达哥拉斯理论的概念确定为emes可能配置空间中的“区域”（最终是ruliad切片）。在公理化的层面上，我们可能会想办法用稍微不同的形式主义（比如，不同的大基数公理或不同的实数模型）来捕捉典型数学家可能认为的“同一概念”。但是，当我们深入到主位空间的层次时，我们将在如何捕获给定概念方面有更大的自由度，因此我们实际上是在使用整个“主位空间”区域来实现这一点。
但现在的问题是，如果我们尝试使用这个“区域”定义的概念，会发生什么？“区域中的点”会表现得连贯吗？还是一切都会被“粉碎”，在eme方面有不同的具体表示，从而得出不同的结论？
我们的期望是，在大多数情况下，它的工作方式与物理空间非常相似，而我们作为观察者所感知到的将与emes级别的详细潜在行为完全无关。这就是为什么我们可以期望做“高级数学”，而不必总是降到emes，甚至公理的水平。
这是我们可以考虑的第一个伟大的“数学物理化定律”：连贯的高等数学对我们来说是可能的，原因与物理空间对我们这样的观察者来说是连贯的。
在类比热力学第二定律之前，我们已经讨论了好几次，以及它如何为“像我们这样的观察者”提供更高层次的描述，比如流体。当然，在某些情况下，高层描述会出现问题。其中一些可能涉及分子结构的特定探针（如布朗运动）。其他的可能稍微“不知不觉”（如高超音速流动）。
在我们的物理项目中，我们对可能发生类似故障的地方非常感兴趣，因为它们可以让我们“看到下面”传统的连续空间描述。潜在目标涉及时空的各种极端或奇异配置，实际上“相干观测者”会被“粉碎”，因为“观测者内部”的不同空间原子会做不同的事情。
在数学中，这种对观察者的“粉碎”往往表现为需要“降到”更高层次的数学概念之下，并降到非常详细的公理化、元数学甚至eme层次——在这里，计算不可约性和不可判定性等现象十分猖獗。
值得强调的是，从纯公理数学的角度来看，高等数学应该是不可能的。可能没有选择，只有通过研究每一个公理细节，才能有机会在数学中得出结论。
但关键是，我们现在知道在物理学中可能存在完全相同的问题。因为我们的物理项目意味着，在最低层次上，我们的宇宙实际上是由具有各种复杂且计算上不可还原行为的eme组成的。然而，我们知道，我们不必通过追踪所有细节来对宇宙中会发生什么做出结论——至少在我们通常感知到的水平上是这样。
换言之，我们能够成功地对物理中发生的事情有一个“高层次的观点”，这一事实从根本上与我们能够成功的对数学中发生的事件有一个高层次的看法这一事实有着相同的渊源。这两者都是像我们这样的观察者如何对物理和数学基础规则进行采样的特征。
我们已经讨论了我们在物理学中所经历的空间的基本概念是如何引导我们找到第一个伟大的物理化数学定律的，以及这是如何为更高层次的数学提供可能性的。但这仅仅是我们从思考物理空间和元数学空间之间的对应关系中学到的东西的开始，这些对应关系是由它们在规则结构中的共同起源所暗示的。
一个关键的想法是考虑数学的局限性，在这个局限性中，我们处理的数学语句太多了，以至于可以“批量”处理它们——就像形成一个连续的元数学空间一样。但这个空间会是什么样的呢？
我们对物理空间的体验是，以我们的尺度和感知方式来看，它在很大程度上是简单而统一的。这与纯运动在物理空间中是可能的这一概念有着深刻的联系，换句话说，物体可以在物理空间内运动而不会从根本上改变其特性。
从空间原子的角度来看，这是不可能的。毕竟，无论我们何时移动，我们几乎不可避免地会由不同的空间原子组成。但作为观察者，我们最终感知到的特征具有一定的持续性，这对我们的性格至关重要，因此我们可以想象，我们和我们周围的物体可以“保持不变”，至少在我们感知到的物体的那些方面是这样的。这就是为什么，例如，我们可以讨论力学定律，而不必“下降”到空间原子的水平。
那么，在元数学空间中，这一切的类比是什么？在我们物质世界的现阶段，我们似乎能够体验到物质空间的特征，比如基本上是三维的。元数学空间可能没有如此熟悉的数学特征。但这似乎很有可能（我们将从经验元数学)至少我们会认为元数学空间具有某种一致性或同质性。
在我们的物理项目中，我们设想可以将物理空间视为开始于“大爆炸”相当于空间中的一些小原子集合，但通过重复应用特定规则，这些原子会增长到我们当前宇宙中的大量原子。但随着一小套规则被大量应用，似乎不可避免地会产生某种一致性。
但同样的事情也可以在元数学中预料到。在公理数学中，人们可以想象大爆炸的数学模拟：一切都从一小部分公理开始，然后通过反复应用推理法则扩展到大量的数学陈述。从这幅图中（当我们考虑emes和完整规则时会更加详细），我们可以预计，至少在“开发一段时间”后，元数学空间，像物理空间一样，会有一定的一致性。
物理空间在某种程度上是统一的，这是我们理所当然的想法，尤其是因为这是我们一生的经历。但是，这种对元数学空间的想法的类比是我们没有直接的日常直觉的东西，事实上，这一点起初可能看起来令人惊讶甚至奇怪。但实际上，它所暗示的是，从现代纯粹数学的经验来看，越来越真实。因为通过说元数学空间在某种意义上是一致的，我们是说它的不同部分似乎有些相似，或者换句话说，我们在数学的不同领域看到的东西之间存在平行性，即使它们在蕴含方面并不“接近”。
但这正是，例如范畴理论暗示。因为它告诉我们，即使在完全不同的数学领域，建立对象、形态等相同的基本结构也是有意义的。因此，范畴理论只定义了数学结构的最基本轮廓。但我们在元数学空间中感知到的一致性概念表明，事实上，不同数学领域之间应该有更密切的对应关系。
我们可以将其视为另一个基本的“数学物理化定律”：数学的不同领域最终应该具有数学观察家在某种深层意义上“感知到的相同”的结构。几个世纪以来，我们都知道几何和代数之间有某种对应关系。但是，识别出越来越多的这种对应关系或“二元论”是近代数学的一大成就。
这些问题的存在往往显得非同寻常，令人惊讶。但是，我们对元数学的观点表明，这实际上是一个数学的一般物理化定律，最终基本上所有不同的数学领域都必须共享一个深层结构，至少在适当的“整体元数学极限”中，当考虑到足够多的语句时。
但元数学空间中的两个地方“相似”是一回事；另一种说法是“它们之间的运动”是可能的。我们可以再次与物理空间进行类比。我们已经习惯了这样一种想法，即我们可以在太空中移动，保持我们的身份和结构。但在某种意义上，这要求我们能够在两种立场之间的道路上保持某种存在的连续性。
原则上，我们可能必须在一端“雾化”，然后在另一端“重组”。但我们的实际经验是，我们认为自己在这条道路上一直存在。从某种意义上说，这只是像我们这样的物理观察者对事物如何工作的一种假设；但重要的是，ruliad的基本结构意味着这将始终是一致的。
因此，我们预计它将出现在元数学中。就像物理观测者一样，数学观测者的操作方式，将有可能从一个数学领域“高水平”“移动”到另一个领域，而不会一路“雾化”。或者，换言之，一个数学观察者将能够在不同的数学领域之间建立对应关系，而不必降到emes的水平。
值得注意的是，只要有一种用计算术语表示数学的方法，通用计算的概念（更确切地说，是计算等价性原则）就意味着在某种程度上，任何两种数学理论或任何两个数学领域之间都必须有一种转换的方法。但问题是，这是否可能在“高级数学术语”中实现，或仅在底层“计算底层”中实现。我们要说的是，有一个普遍的物理化数学定律意味着更高层次的翻译应该是可能的。
然而，在传统的公理化水平上思考数学有时会混淆这一点。例如，在公理术语中，我们通常认为皮亚诺算法没有ZFC集合理论强大（例如，它缺乏超限归纳)-对于它来说，没有什么比“对偶”更好的了。但皮亚诺算法可以很好地支持通用计算，因此不可避免地可以在其中构建ZFC集合理论的“形式仿真器”。但问题是，要做到这一点，本质上需要深入到“原子”级别和操作不是根据数学结构，而是直接根据“元数学”符号结构（例如，显式模拟等式谓词之类的东西）。
但问题似乎是，如果我们在传统的公理化水平上思考，我们就不是在处理“像我们这样的数学观察者”。在我们上面使用的类比中，我们是在“分子动力学”层面上操作，而不是在人类尺度上的“流体动力学”层面。因此，我们看到了各种各样的细节和问题，这些最终与实际进行纯数学的典型方法无关。
具有讽刺意味的是，我们的物理化方法通过低于公理水平（emes和原始规则的水平）来显示这一点。但在某种意义上，只有在这个层次上，才有统一性和连贯性，才能方便地构建一个涵盖像我们这样的观测者的总体图景。
就像普通物质一样，我们可以说“一切都是由原子构成的”，我们现在说的是一切都是“由计算构成的”（其结构和行为最终由规则描述）。但从我们的物理项目中产生的关键思想，也是我所说的多计算范式-当我们问观察者感知到什么时，会有一个全新层次的无情结构。这使得人类尺度的物理学和更高层次的数学都有可能实现，并且无论是在物理空间还是元数学空间，都有可能实现“纯运动”。
还有另一种思考方式，我们前面提到过。观测者的一个关键特征是具有一致性。在物理学中，这涉及到在时间上具有一致的经验线索。在数学中，它涉及到在数学陈述的空间中汇集对“真实”的一致看法。
在这两种情况下，观察者实际上将涉及许多单独的基础元素（最终是eme）。但为了保持观察者的一致性观点，观察者必须以某种方式将所有这些元素合并，有效地将它们视为“相同”。在物理学中，这意味着在物理或鳃（实际上是规则的）空间中“粗粒度”。在数学中，这意味着跨元数学空间进行“粗粒度”处理，或者实际上将不同的数学语句视为“相同”。
实际上，这有几种方式。首先，人们往往更关心数学结果而不是它们的证明，因此，即使生成它们的证明（或其他过程）不同，也可以认为具有相同形式的两个语句是相同的（实际上，这是我们在这里构造蕴涵锥时经常做的事）。但还有更多。人们还可以想象，任何相互牵连的陈述都可以被视为“相同”。
在简单的情况下，这意味着如果
和
那么人们总是可以假设
。但在同伦型理论的单价公理-用我们的术语来说，这可以解释为数学观察家认为等价的事物是相同的。
数学观察家还有另一种方法可以将不同的语句合并在一起，这在许多方面更重要，但形式上不那么正式。正如我们上面提到的，当数学家谈论毕达哥拉斯定理时，他们通常认为自己心里有一个明确的概念。但在公理层面上，甚至在eme层面上，有大量不同的“元数学配置”，典型的工作数学家或我们的“数学观察者”都“认为是相同的”。（在公理层次上，实数可能有不同的公理系统；在emes层次上，表示加法或等式等概念的方法可能不同。）
在某种意义上，我们可以认为数学观测者具有元数学空间中的“范围”就像人类尺度的物理观测者只看到空间中大量原子的聚集效应一样，数学观测者也只看到元数学空间中大量eme的“聚集效应”。
但现在的关键问题是，一个“整个数学观测者”是否可以作为一个单一的“刚性”实体“在元数学空间中移动”，或者它是否会不可避免地被元数学空间的结构扭曲或粉碎。在下一节中，我们将讨论元数学空间中重力和曲率的模拟。但我们的物理化方法倾向于表明，在“大多数”元数学空间中，一个典型的数学观测者将能够“自由移动”，这意味着在不同的数学领域之间确实会有路径或“桥梁”，它们只涉及更高层次的数学构念，也不需要降到emes和raw ruliad的水平。
如果元数学空间像物理空间一样，这是否意味着它有重力类似物、和相对论? 答案似乎是“是的”，这为我们提供了数学物理化定律的下一个例子。
最后，我们将能够以一种基本上“静态”的方式来讨论重力，主要是指“元数学的瞬时状态”，它被捕获为一种蕴含结构。但是，在利用物理学的观点时，重要的是要从元数学时间模拟的角度出发来表述事物，这是隐含的。
正如我们上面讨论过的，蕴含锥是物理中光锥的直接模拟。从一些数学陈述开始（或者更准确地说，是一些转换它的事件），前蕴涵锥包含了它后面的所有陈述（或者更确切地说，事件）。任何可能的“元数学的瞬时状态”都对应于一个“横向切片”通过这个蕴涵锥，切片实际上被布置在元数学空间中。
一个语句对另一个语句的独立蕴涵对应于蕴涵锥中的一条路径，而这条路径（或者更准确地说，对于累加进化来说，是子图）可以被认为是一条语句对另外一条语句的证明。用这些术语，最短的证明可以被认为是蕴涵锥中的测地线。（在实际数学中，人们不太可能找到或关心严格的最短证明。但即使有一个“相当短的证明”也足以给出我们将在这里讨论的一般结论。）
给定包含锥中的路径，我们可以想象将其投影到横向薄片上，即投影到包含织物上。要持续做到这一点，取决于隐含锥和由我们使用的任何“元数学参考系”定义的“元数学超曲面”序列具有一定的一致性。但是假设，例如，假设潜在的计算不可约性成功地生成了一种“统计一致性”，而观测者无法“解码”，我们可以期望在蕴含结构上有有意义的路径和测地线。
但这些测地线是什么样的，则取决于蕴涵结构的涌现几何。在物理学中极限几何对于物理空间来说，类似的情况大概是一个相当简单的3D流形。对于鳃间隙，它更复杂例如，可能是“指数维”。对于元数学来说，极限几何无疑也更加复杂，几乎可以肯定是指数维的。
我们已经我们认为元数学空间要有一定的感知一致性。但什么会影响这一点，从而可能修改空间的局部几何体？基本答案与我们物理项目中的答案完全相同。如果隐含结构中某处存在“更多活动”，这实际上将导致“更多局部连接”，从而在网络的涌现几何中有效地“正局部曲率”。不用说，“更多活动“的确切含义有些微妙，特别是考虑到人们正在寻找的织物本身定义了环境几何、“面积”的度量等。
在我们的物理项目中，我们通过联想使事情更加精确具有能量密度的“活动”，并表示能量有效地对应于因果边通过类空间超曲面的通量。因此，这表明我们在元数学中考虑能量的模拟：本质上定义它是隐含结构中更新事件的密度。或者，换言之，元数学中的能量取决于通过元数学空间区域的“证明密度”，即涉及特定的“附近”数学语句。
这里有很多警告、微妙之处和细节。但是，“活动AKA能量”导致涌现几何体中曲率增加的概念是整体的一般特征多计算范式ruliad抓到的。事实上，我们期望能量密度（或严格地说，能量-动量）和“横向空间”的诱导曲率之间有一个定量关系，这正好对应于广义相对论中的爱因斯坦方程。在元数学的例子中更难看到这一点，因为元数学空间在几何上比物理空间更复杂，也更不熟悉。
但即使在定性层面上，从物理学和时空类比的角度思考似乎也很有帮助。基本现象是，测地线因“能量”的存在而偏转，实际上是“被能量吸引”。这就是为什么我们可以在物理学和元数学中将高能（或能量-动量/质量）区域视为“产生重力”，并将测地线转向它们。（不用说，在元数学中，就像在物理学中一样，绝大多数的整体活动都致力于将空间结构编织在一起，当重力产生时，它来自于特定区域中轻微增加的活动。）
（在我们的物理项目中，一个关键的结果是，同样的“空间”结构对能量的依赖不仅发生在物理空间中，也发生在鳃部空间中，这里有一个直接的模拟基本上产生路径积分的广义相对论量子力学）
这在元数学中意味着什么？从定性上讲，这意味着“证据往往会经过证据密度较高的地方”。或者，打个比方，如果你想从一个地方开车到另一个地方，如果你能在高速公路上至少完成一部分行程，那么效率会更高。
关于元数学空间，要问的一个问题是，一个人是否总是可以从任何地方到达另一个地方。换言之，从数学的一个领域开始，人们能以某种方式推导出所有其他领域吗？这里的一个关键问题是，一开始的区域是否具有计算通用性。例如，命题逻辑不是。因此，如果一个人从它开始，他就基本上被困住了，无法到达其他区域。
但数学逻辑的结果已经证明，公理数学的大多数传统领域实际上是计算通用的（并且计算等效原理表明这将无处不在）。给定计算的通用性，至少会有一些“证明路径”。（从某种意义上来说，这反映了这样一个事实，即规则是独一无二的，所以一切都是在“同一规则”中联系在一起的。）
但一个大问题是，“证明路径”是否“足够大”，适合“像我们这样的数学观察者”。我们能期望从元数学空间的一部分到达另一部分而不“粉碎”观察者吗？我们能从元数学空间中被认为“不可区分的附近”的所有地方中的任何一个开始到数学观察者，并让所有这些地方“一起移动”以到达我们的目的地吗？或者，不同的具体起点会遵循截然不同的路径，阻止我们对正在发生的事情进行高层（“流体动力学”）描述，而迫使我们下降到“分子动力学”水平吗？
在实际的纯数学中，这往往是一个是否存在“使用高级概念的优雅证明”的问题或者必须降到非常详细的级别，更像是低级的计算机代码，或者是自动定理证明系统的输出。事实上，当一个人面对由一页又一页“机器般的细节”组成的证据时，他会有一种非常本能的“粉碎”感。
但这里还有另一点。如果看一条单独的证明路径，那么从计算上看，找出路径的去向是不可约的，而它是否曾经到达某个特定目的地的问题则是不可判定的。但在目前的大多数纯数学实践中，人们对“更高层次的结论”感兴趣，这些结论对于不解决个别证明路径的数学观察者来说是“可见的”。
稍后我们将讨论对经常遇到不可判定性的计算系统的探索与纯数学的典型经验之间的二分法，在实践中很少遇到不可确定性。但基本点是，一个典型的数学观测者所看到的是“流体动力学水平”，其中某些单个分子的潜在迂回路径与此无关。
当然，通过询问有关元数学的具体问题，或者，比如，关于非常具体的方程-强制跟踪单个“低级”证明路径仍然是完全可能的。但这并不是当前纯数学实践中的典型情况。从某种意义上说，我们可以把这看作是我们第一个物理化数学定律的延伸：不仅高级数学是可能的，而且它无处不在，结果是，至少就数学观测者容易提出的问题而言，像不可判定性这样的现象并不是普遍可见的。
尽管数学观察者可能无法直接看到不可判定性，但它的潜在存在在连贯的“编织”元数学空间中仍然至关重要。因为没有不可判定性，我们就不会有计算普适性和计算不可约性。但是，就像在我们的物理项目中一样，计算不可约性对于产生低水平的表观随机性至关重要，这种随机性是支持任何类型的“连续体极限”所必需的，这种极限允许我们将最终离散eme的大集合视为建立某种相干的几何空间。
当不可判定性不存在时，通常不会得到这种相干空间。一个极端的例子发生在重写系统中，这些系统最终会终止，因为它们会达到“定点”（或“正常形式”）状态，在此状态下无法再应用任何转换。
在我们的物理项目中，这种终止可以是被解释为类太空奇点“时间停止”时（如在非旋转黑洞的中心）。但总的来说，可判定性与“路径能走多远的极限”有关，就像物理学中与事件视界有关的因果路径的极限一样。
有许多细节需要解决，但定性图片可以进一步发展。在物理学中，奇点定理意味着在本质上，时空奇点的最终形成是不可避免的。在我们的上下文中应该有一个直接的类比，暗示着“元数学奇点”的最终形成。从定性的角度来看，我们可以预计，证明密度（能量的类似物）的存在将“引入”更多的证明，直到最终有如此多的证明，以至于一个人具有可判定性，并且形成了“证明事件视界”。
从某种意义上说，这意味着数学的长期未来与我们物理宇宙的长期未来惊人地相似。在我们的物理宇宙中，我们预计，虽然空间可能继续膨胀，但宇宙的许多部分将形成黑洞，并基本上被“封闭”。（至少忽略了鳃部空间的膨胀和一般的量子效应。）
数学中与此类似的是，虽然元数学空间可以持续整体扩展，但越来越多的部分将“烧毁”，因为它们已经变得可判定。换言之，随着在特定领域完成更多的工作和更多的证明，该领域最终将“完成”——并且不再有与之相关的“开放式”问题。
在物理学中，有时会讨论黑洞，这些黑洞被认为是时间反转的黑洞，喷出所有可能被黑洞捕获的物质。在元数学中，黑洞就像一个虚假的陈述，因此“会导致爆炸”。在元数学空间中存在这样一个物体实际上会导致观察者被粉碎，使其与高等数学的连贯结构不一致。
我们已经详细讨论了元数学空间的“引力”结构。但是，像狭义相对论这样看似简单的东西呢？在物理学中，有一个基本的、平坦的时空概念，对于这个概念，很容易构建参照系族，并且在其中平行的轨迹保持平行。在元数学中，类比大概是元数学空间，在这个空间中，“平行证明测地线”保持“平行”，因此实际上，人们可以通过“继续做你一直在做的事情”来继续“在数学方面取得进步”。
相对论不变性与数学有很多种方法的想法有关，但最终他们都能得出相同的结论。归根结底，这是人们所期望的，因为规则和因果不变性的必然性由于计算等效原理。从实用数学中，比如说，从使用不同方法（如几何或代数）进行推导的能力中，这似乎也很熟悉，但最终仍然得出相同的结论。
那么，如果存在相对论不变性的类比，那么时间膨胀等现象的类比又如何呢？在我们的物理项目中时间膨胀有一个相当直接的解释“在时间中进步”需要一定的计算工作量。但实际上，运动也需要一定的计算机工作量，才能在不同的地方不断地重新创建某物的版本。但从规则开始，最终只有一定数量的计算工作可以完成——如果计算工作在运动中“用完”，那么用于时间进步的时间就更少了，因此时间实际上会运行得更慢，导致时间膨胀。
那么这个元数学模拟是什么呢？大概是当你在数学中进行推导时，你可以停留在一个领域，直接在那个领域取得进展，或者你可以“立足于其他领域”，只有不断地来回转换才能取得进展。但最终，翻译过程将需要计算工作，因此将减慢您的进度，使其类似于时间膨胀。
在物理学中，光速定义了在一定时间内空间中可能发生的最大运动量。在元数学中，类似的是，元数学空间中有一个最大的“平移距离”，可以通过一定的推导“桥接”。在物理学中，我们习惯于以米为单位测量空间距离，以秒为单位测量时间。在元数学中，我们还没有熟悉的单位来测量，比如说，数学概念之间的距离，或者说，“推导量”。但通过经验元数学，我们将在下一节讨论，我们实际上已经有了一种定义此类事物的方法，并利用人类数学史上取得的成就，至少可以想象“经验测量”我们可能称之为“最大元数学速度”的东西。
应该强调的是，我们才刚刚开始探索元数学中的相对论类比。形式结构的一个重要部分，我们在这里没有真正讨论过，是因果依赖，以及因果图我们已经详细讨论了包含其他语句的语句。但我们还没有讨论过这样的问题，比如某个事件需要哪一部分陈述才能发生，而这将需要其他陈述。虽然这样做没有根本困难，但我们并不担心因果图的构造表示事件之间的因果关系和因果依赖。
当谈到物理观测者时，有一种对因果图的非常直接的解释，它与物理观测器所能经历的有关。但对于数学观测者来说——时间的概念不太集中——因果图的解释就不太清楚了。但人们肯定会认为，他们将参与构建任何通用的“观测者理论”，在物理学和数学中描述“像我们这样的观测者”的特征。
我们已经讨论了元数学空间的整体结构，以及我们人类在进行数学时对其进行的一般抽样（作为“数学观察者”）。但是，我们可以从人类数学的细节以及人类几个世纪以来发表的实际数学声明中学到什么呢？
我们可以想象，这些说法只是“历史上的意外”——人类“碰巧发现有趣”。但肯定还有更多的东西，可能还有丰富的“经验数据”来源，这些数据与我们的数学物理定律有关，也与它们的“实验验证”有关。
元数学空间中“人类住区”的情况在某种意义上与物理空间中人类住区的情况非常相似。如果我们看看人类选择居住和建造城市的地方，我们会在3D空间中找到许多位置。具体位置取决于历史和许多因素。但有一个明确的总体主题，这在某种意义上是对潜在物理的直接反映：所有位置都位于地球的无规则球面上。
在元数学的情况下，要了解发生了什么并不容易，尤其是因为对于元数学空间来说，任何协调的概念似乎都比物理空间复杂得多。但我们仍然可以从做“经验元数学”例如，在元数学空间中，我们人类迄今为止已经建立了自己的地位。作为第一个例子，让我们考虑布尔代数.
即使是谈论所谓的“布尔代数”，我们也必须在远高于原始规则的水平上操作——我们已经隐式地聚合了大量的eme，以形成变量和逻辑运算等概念。
但一旦我们达到了这个水平，我们就可以通过列举可能的符号语句来“调查”元数学空间，这些符号语句可以使用我们为布尔代数设置的运算来创建（这里而且∧,或者∨和不是 ):
但到目前为止，这些只是原始的结构性声明。为了与实际的布尔代数联系起来，我们必须找出其中哪些可以从布尔代数的公理中导出，或者换一种说法，它们中的哪些在这些公理的蕴涵锥中：
在所有可能的陈述中，它只是一个指数级的小分数，结果证明是可推导的：
但在布尔代数的情况下，我们可以随时收集此类声明：
我们通常通过观察由在特定数量的证明步骤后生成的定理集合组成的切片来研究蕴涵锥。但在这里，我们对隐含概念进行了非常不同的采样，而不是在定理中，按照它们作为符号表达式的结构复杂性进行采样。
在进行这种系统枚举时，我们在某种意义上是在比典型的人类数学“更精细的粒度级别”上操作的。是的，这些都是“真定理”。但大多数情况下，它们都不是人类数学家会写下的定理，也不是专门“认为有趣”的定理。例如，历史上只有一小部分人被命名在典型的逻辑教科书中被称为:
将所有“结构上可能的”定理简化为“我们认为有趣的”定理，可以看作是一种粗粒度的形式。很可能，这种粗粒化取决于人类数学史上的各种意外。但至少在布尔代数的情况下，似乎有一个令人惊讶的简单和“机械”的过程可以重现它。
按照增加结构复杂性的顺序遍历所有定理，在每种情况下，查看是否可以从列表中前面的定理证明给定的定理：
事实证明人类认为“有趣”的定理几乎与列表中早期定理无法证明的“根定理”完全一致。或者，换言之，人类数学家所做的“粗粒化”似乎（至少在这种情况下）本质上只包括挑选出那些代表新信息“最小陈述”的定理，并删除那些涉及“额外修饰”的定理。
但这些“显著的定理”是如何在元数学空间中展开的呢？前面我们看到了如何在布尔代数的典型教科书公理系统的蕴涵锥中只经过几步就可以达到最简单的形式。全蕴涵锥很快变得无法控制的大，但我们可以通过生成我们著名定理的个别证明（使用自动定理证明），然后通过记号事件图中的共享中间引理看到这些“结合”在一起，从而得到它的第一近似：
看这张图，我们至少看到一个暗示，成堆的著名定理分布在蕴涵锥上，只是适度地相互建立，实际上是在蕴涵锥体中“标出分离的区域”。但在这里显示的11个显著定理中，7个依赖于所有6个公理，而4个仅依赖于3个公理的不同集合，这至少暗示了一定程度的基本相互依存或一致性。
从标记事件图中，我们可以导出一个分支图，它表示了对定理如何“在元数学空间中布局”的非常粗略的近似：
我们可以通过不仅包括著名定理的证明，而且包括达到一定结构复杂性的所有定理的证明来获得一个潜在的稍好的近似。结果显示了多路图中显著定理的分离
在鳃图中：
在做这个经验元数学时，我们只包括具体的证明，而不是枚举整个蕴涵锥。我们也只使用了一个特定的公理系统。除此之外，我们还使用特定的运算符在布尔代数中编写语句。
从某种意义上说，这些选择中的每一个都代表了一个特定的“元数学坐标化”——或者我们在规则中采样的特定参考系或切片。
例如，在我们上面所做的工作中，我们从而且,或者和不是.但我们也可以使用其他的功能完备的运算符集，如以下所示（此处显示的每个表达式代表几个特定的布尔表达式）：
对于每组操作符，有不同的公理系统可以使用的。对于每个公理系统，都会有不同的证明。这里有几个公理系统的例子，其中有几组不同的运算符，在每种情况下都给出了双重否定定律的证明（对于不同的运算符必须不同地说明）：
布尔代数（或者等价地说，命题逻辑）是一个有点枯燥而单薄的数学示例。那么，如果我们在其他领域进行经验元数学，我们会发现什么？
让我们先谈谈几何欧几里得的元素提供了公理化数学系统的第一个大规模历史示例。这个元素从10个公理（5个公设和5个公共概念）出发，给出了465个定理。
每个定理都是从前面的定理中得到证明的，并最终从公理中得到证明。因此，例如，“证明图”（或“定理依赖图“）对于第1册，命题5（表示等腰三角形底部的角度相等）是：
我们可以将其视为我们以前使用过的证明图的粗粒度版本（它们本身又是蕴涵图的“切片”），其中每个节点显示了一组“输入”定理（或公理）如何包含一个新定理。
这里有一个稍微复杂一些的例子（第1册，命题48），它最终取决于所有10个原始公理：
下面是欧几里德所有定理的全图元素:
在这里的465个定理中，255个（即55%）依赖于所有10个公理。（对于上面数量少得多的布尔代数著名定理，我们发现64%依赖于我们所陈述的所有6个公理。）并且该图的一般连通性实际上反映了欧几里德定理代表了一个连贯的数学知识体。
鳃形图给了我们一个关于定理如何“在元数学空间中布局”的概念：
我们注意到的一件事是，关于不同区域的定理（此处以不同颜色显示）在元数学空间中往往是分开的。从某种意义上说，如果我们看，这种分离的种子已经很明显了不同书籍中定理的“文本化”欧几里得的元素相互参照：
从一个定理对另一个定理的整体依赖性来看，实际上我们看到了一种非常粗糙的蕴涵形式。但是，我们能像上面对布尔代数所做的那样，更进一步吗？作为第一步，我们必须对我们的定理有一个明确的符号表示。除此之外，我们还必须有一个形式化的公理系统来描述它们之间可能的转换。
在“整体定理依赖性”的层面上，我们可以将欧几里得第一卷命题1的蕴涵从公理中表示为：
但是如果我们现在使用完整的、形式化的几何公理系统在上一节中讨论过我们可以使用自动定理证明来获得第1册命题1的完整证明：
从某种意义上说，这是“深入到”定理依赖关系图中，以明确地查看其中的依赖关系是如何工作的。在这样做的过程中，我们看到欧几里德可能在一两句话中用文字表述的内容，是以数百个详细的中间引理形式表示的。（同样值得注意的是，在欧几里得的版本中，该定理只依赖于10个公理中的3个，而在形式版本中，该定理依赖于20个公理中的18个。）
其他定理呢？这是欧几里德的定理依存图元素对于毕达哥拉斯定理（欧几里德将其作为第1册，命题47给出）：
该定理依赖于所有10个公理，其所述证明通过了28个中间定理（即约占元素). 原则上，我们可以“展开”证明依赖关系图，直接从原始公理的副本中看到如何“建立”定理。展开的第一步是：
并且“展平一切”，这样我们就不用任何中间引理，而只需回到公理上来“重新证明”我们可以从“证明树”中导出定理的所有内容，如下所示每个公理的副本数（以及达到该公理的特定“深度”）：
那么，更详细和正式的证据如何？我们当然可以在原则上使用我们上面讨论的公理系统来构建这个。
但一个重要的普遍观点是，我们在实践中称之为“毕达哥拉斯定理”的东西实际上可以在各种不同的公理系统中建立起来。作为一个例子，让我们考虑在主要的实际公理系统中建立它，工作的数学家通常认为他们正在使用（通常是隐含的），即ZFC集合理论。
方便的是元数学形式化数学系统已累积约40000个定理在数学中，所有这些都是最终基于ZFC集合理论的手工构造证明。在这个系统中，我们可以找到勾股定理:
它总共涉及6970个中间定理，约占Metamat中所有定理的18%，包括来自许多不同数学领域的定理。但它最终如何取决于公理？首先，我们需要讨论公理实际上是什么。除了“纯ZFC集理论”之外，我们还需要（谓词）逻辑的公理，以及定义实数和复数的公理。Metamath的“set.mm”中的设置方式如下（本质上）49条基本公理（9代表纯集合论，15代表逻辑，25代表数字）。和欧几里德的一样元素我们发现毕达哥拉斯定理依赖于所有公理，所以现在我们发现毕达哥拉斯定理取决于49个公理中的48个公理，唯一缺失的公理是选择公理。
就像欧几里得元素在这种情况下，我们可以想象“展开”事物，看看每个公理使用了多少副本。以下是达到每个公理的结果和“深度”：
是的，建立勾股定理所需的大多数公理的副本数量都非常大。
还有几个额外的皱纹我们应该讨论。首先，到目前为止，我们只考虑了整体定理依赖性，或者实际上是“粗粒度蕴涵”。但元路径系统最终给出了符号表达式上显式替换（或有效的双替换）的完整证明。例如，虽然毕达哥拉斯定理的第一级“全理论依赖”图是
基于详细证明的完整一级蕴涵结构是（其中黑色顶点表示证明中的“内部结构元素”，如变量、类规范和“输入”）：
另一个重要的问题与定义的概念有关。例如，毕达哥拉斯定理涉及平方数。但什么是平方？什么是数字？最终，所有这些都必须根据我们使用的“原始数据结构”进行定义。
例如，在布尔代数的情况下，我们可以仅使用设置南德（比如表示∘），但我们可以定义而且和或者依据南德（说成
和
分别）。我们仍然可以使用而且和或者-但有了我们的定义，我们可以立即将其转换为纯南德s.公理——说说南德-给我们变换，我们可以重复使用，以进行推导。但定义是我们“只使用一次”的转换（如编程中的宏扩展），以将事情简化到只涉及公理中出现的构造的程度。
在Metamath的“set.mm”中1700个定义它有效地建立在“纯集合理论”（以及逻辑、结构元素和各种关于数字的公理）基础上，为人们提供了所需的数学结构。例如，下面是用于添加的定义依赖关系图（“+”或Plus（加）):
底部是逻辑和集合论的基本结构，根据这些结构定义了顺序关系、复数和最终加法。例如，GCD的定义依赖关系图稍大，但在较低级别有相当大的重叠：
不同的构造具有不同大小的定义依赖图，实际上反映了它们与集合论和所使用的基本公理之间的“定义距离”：
然而，在我们的元数学物理化方法中，集合论之类的东西并不是我们的最终基础。相反，我们认为一切最终都是从原始的规则中建立起来的，我们考虑的所有结构都是由规则中eme的数量和配置形成的。我们上面讨论过如何从ruliad的组合子表示中获得数字和逻辑等结构。
我们可以将上面的定义依赖关系图视为一个经验示例，说明如何构建更高级别的定义。从计算机科学的角度来看，我们可以把它看作是一种类型层次结构。从物理学的角度来看，这就好像我们从原子开始，然后发展到分子，甚至更远。
然而，值得指出的是，即使是Metamath之类的定义层次结构的顶层，也仍然在公理级别上运行。在我们一直使用的类比中，它在很大程度上仍然是“在分子动力学层面制定数学”，而不是在更人性化的“流体动力学”层面。
我们一直在谈论“勾股定理”。但即使在集合论的基础上，也可以给出许多不同的可能公式。例如，在Metamath中pythag版本（这是我们一直在使用的），还有一个（更通用的）pythi版本。那么这些是如何关联的呢？下面是他们的组合定理依赖关系图（或至少是其中的前两个级别），其中红色表示定理仅用于推导pytag，蓝色表示定理仅用来推导pythi，紫色表示定理用于两者：
我们所看到的是，毕达哥拉斯定理这些变体的推导之间存在一定程度的“低层重叠”，但也存在一些差异，这表明这些变体在元数学空间中存在一定的分离。
那么其他的定理呢？这是一张桌子著名的数学定理，按定理总数排序它们在Metamath中的证明依赖性还包括每种情况下使用的公理和定义的数量：
毕达哥拉斯定理（这里是pythi公式）在后半部分中得到了充分体现。一些依赖性最小的定理在某种意义上是非常结构化的定理。但有趣的是，来自各种不同领域的定理很快就开始出现了，然后在列表的其余部分中被混在了一起。人们可能会认为，涉及“更复杂概念”的定理（例如拉姆齐定理)会晚于“更基本的”（如三角形的角度总和）。但这似乎不是真的。
有一种相当于“证明大小”（或者更严格地说，定理依赖大小）的分布——从Schröder–Bernstein定理到狄利克雷定理，前者依赖于不到4%的所有定理，后者依赖于25%：
如果我们不看“著名的”定理，而是看Metamath涵盖的所有定理，分布会变得更广，出现了许多短期证明的“粘合”或本质上的“定义”引理：
但是，使用著名定理列表作为“数学家关心的数学”的指示，我们可以得出结论，在“我们关心的事情”开始出现之前，需要达到一种结果的“元数学底线”。这有点像我们的物理项目中的情况——宇宙中发生的绝大多数微观事件似乎仅仅是为了将空间结构编织在一起，只有“在此之上”，才能出现像粒子和运动这样可以识别的事件。
事实上，如果我们看一下不同著名定理的“先决条件”，我们确实会发现有很大的重叠（用浅色表示），这支持了这样一种印象，即在某种意义上，一个人首先“将元数学空间编织在一起”，然后才能开始生成“有趣的定理”：
另一种查看“潜在重叠”的方法是查看不同定理最终依赖的公理（颜色表示达到公理的“深度”）：
这里的定理再次按照“依赖大小”的顺序进行排序。顶部的“万有理论”并不依赖于任何与数字相关的公理。许多“与积分有关的定理”并不依赖于复数公理。但除此之外，我们看到（至少根据set.mm中的证明）大多数“著名定理”都依赖于几乎所有的公理。唯一很少使用的公理是选择公理，它只依赖于“与分析相关的定理”，如微积分基本定理。
如果我们看一下达到公理的“证明深度”，就会发现有一个明确的分布：
这可能与“对人类重要”的数学对应的元数学空间采样的任何“统计特征”一样稳健。例如，如果我们考虑蕴涵锥中所有可能的定理，我们会得到一个非常不同的结果。但潜在的，我们在这里看到的可能是对“像我们这样的数学观察者”来说重要的特征性特征。
例如，除了“著名定理”之外，我们还可以询问有关Metamath集合.mm下面是他们的定理依存关系图的粗略呈现，不同的颜色表示不同数学领域中的定理（去掉显式边）：
有一些证据表明存在一定的整体一致性，但我们可以看到由不同数学领域主导的明确的“元数学空间补丁”。如果我们放大中心区域，并显示著名定理所在的位置，会发生以下情况：
有点像我们看到的布尔代数命名定理，成堆的著名定理似乎以某种方式“标出了它们各自的元数学领域”。但值得注意的是，著名的定理似乎显示出一些倾向于聚集在不同数学领域之间的“边界”附近。
为了更好地理解这些不同区域之间的关系，我们可以制作出相当于高度粗化的鳃图，在元数学空间中有效地布局整个数学区域，并指示它们的交叉连接：
我们可以看到某些地区之间的“高速公路”。但区域之间也存在明确的“背景纠缠”，这至少反映了元数学空间中的某种背景均匀性，如元数学中确定的定理所示。
并非所有这些数学领域“看起来都一样”，例如，它们的定理依赖性大小分布存在差异：
在代数和数论等领域，大多数证明都相当长，这从它们有许多依赖关系的事实中可以看出。但在集合论中有很多简短的证明，在逻辑中，Metamath中包含的所有定理的证明都很简短。
如果我们查看Metamath中所有定理的整体依赖关系图会怎么样？这是我们得到的邻接矩阵：
结果是三角形的，因为Metamath数据库中的定理是排列的，所以后面的定理只依赖于前面的定理。虽然有相当大的补丁可见，但似乎仍有一定程度的整体背景一致性。
在进行这一经验元数学时，我们只是通过元数学空间中的特定“人类数学住区”对其进行采样。但即使从这些“住区”的分布来看，我们也可能开始看到元数学空间具有某种背景一致性的证据。
也许随着数学不同领域之间更多联系的发现，人类数学将逐渐在元数学空间中变得更加“统一”，并且更接近于我们从蕴涵锥和最终从原始规则中所期望的。但有趣的是，即使有了相当基本的经验元数学——操作于当前人类数学知识的语料库——也可能已经看到物理化元数学的某些特征的迹象。
毫无疑问，有一天，我们将能够进行物理实验，从空间、时间和量子力学等方面对物理宇宙进行“解析”，并揭示其背后的原始规则的“切片”。但也许在经验元数学中也可能有类似的东西：构建一个元数学显微镜（或望远镜），通过它我们可以看到规则的各个方面。
27 |发明还是发现？数学与人类的关系
这是一个古老而又常被问及的问题：数学最终是被发明的还是被发现的？或者，换一种说法：数学是我们人类任意设定的东西吗？还是我们仅仅为了探索而不可避免的、基本的、在某种意义上“预先存在”的东西？在过去，这似乎是两种根本不相容的可能性。但我们在这里构建的框架在某种意义上将两者融合为一个相当出乎意料的综合。
其出发点是数学与物理学一样根植于规则，它代表了形式上的必要性.我们“体验”到的实际数学就像物理一样——基于我们对规则进行的特定采样。但关键的一点是，我们作为“观察者”的基本特征足以将这种经验限制为我们的一般数学或物理。
在某种程度上，我们可以说“数学总是存在的”——因为它的每一个方面最终都编码在规则中。但在另一种意义上，我们可以说，我们拥有的数学都是“由我们决定”的——因为它是基于我们如何对规则进行采样。但关键是抽样并不是“武断”的：如果我们谈论的是我们人类的数学，那么最终是我们进行抽样，抽样不可避免地受到我们大自然的一般特征的限制。
我们的物理项目的一个主要发现是，不需要对观察者施加太多约束，就能深度约束他们将感知到的物理定律。同样地，我们在这里假设，对于“像我们这样的观察者”来说，不可避免地会有数学的一般（“物理化”）定律，这使得数学不可避免地具有我们认为它具有的一般特征（例如，在高水平上做数学的可能性，而不必总是降为“原子”级别）。
特别是在过去的一个世纪里，人们认为数学可以用公理系统来指定，并且这些公理系统可以以某种方式“随意发明”。但我们的框架做了两件事。首先，它说“远低于”公理系统是原始的规则，在某种意义上代表了所有可能的公理系统。其次，它说，无论我们认为什么公理系统是“运行的”，我们作为观察者都可以从规则的底层结构中挑选出来。
在形式层面上，我们可以“发明”一个任意的公理系统（它将出现在规则中的某个地方），但只有某些公理系统才能描述我们作为“数学观测者”所能感知的东西。在物理环境中，我们可能会构建一些正式的物理理论，讨论空间原子（或气体中的分子）的详细模式，但我们所能进行的那种“粗粒度”观测无法捕捉到这些。换句话说，像我们这样的观察家可以感知某些类型的事物，并且可以用这些感知来描述事物。但是，如果使用错误的理论或“公理”，这些描述是不够的，只有“粉碎”到更“原子”级别的观察者才能跟踪发生了什么。
在俄罗斯有很多不同的数学和物理。但像我们这样的观察者只能“接触”到某种类型。一些与我们不同的外星人可能会接触到不同的类型，最终可能会得到不同的数学和物理。在他们内心深处，就像我们一样，会谈论统治。但他们会采取不同的样本，并描述它的不同方面。
在数学史上的大部分时间里，我们所做的数学和我们在世界上所感知的数学之间都有着紧密的联系。例如，欧几里德几何学及其整个公理结构最初被认为是我们观察到的关于世界的几何事物的理想化。但到了19世纪末，出现了这样一种想法，即人们可以创建“无实体的”公理系统，而在我们的世界经验中没有特定的基础。
是的，有很多可能可以建立的无实体公理系统.在行动中乡村学一般来说探索计算宇宙调查他们做什么很有趣。但关键是，这与数学的正常构想有很大不同。因为从某种意义上讲，数学就像物理一样，是一种“更人性化”的活动，它基于“像我们这样的观察者”对原始形式结构的理解，最终体现在规则中。
谈到物理学，“像我们这样的观察者”似乎有两个关键特征。首先，我们在计算上是有界的。第二，我们有一种感觉，那就是我们是坚持不懈的，并且有一个明确而持续的经验线索。在空间原子的层次上，我们在某种意义上不断被“改造”。但我们仍然认为它始终是“同一个我们”。
这个看似简单的假设具有深远的影响例如，它让我们经历了一段时间。从我们从每一个连续的时刻到下一个时刻都保持着经验的连续性这一概念出发，我们必然会产生一种感知连续性的概念——不仅在时间上，而且在运动和空间上。当结合规则和一般的多重计算的内在特征时，最终得出的结果是对我们如何感知宇宙运行的惊人精确的描述——这似乎与已知的核心物理定律完全一致。
关于数学，这种思考告诉了我们什么？基本的观点是，科学最终都与人类有关——物理和数学观察者之间必然存在密切的对应关系。两者在计算上都是有界的。物理观测者的时间持久性假设对数学观测者来说是随着更多陈述的积累而保持连贯性的概念。当与ruliad和多计算的内在特征相结合时，这就意味着我们已经讨论过的那种物理化的数学定律。
在数学的形式公理化观点中，人们只是想象自己发明了公理并看到了它们的结果。但我们在这里描述的是一种数学观点，它最终只是关于我们作为数学观察者采样和体验规则的方式。如果我们使用公理系统，它必须作为一种“中间语言”，帮助我们对原始规则的某个角落进行更高层次的描述。但实际的“人层次”数学——如人层次物理——在更高的层次上运行。
我们对物理世界的日常体验给我们的印象是，我们可以“直接接触”物理的许多基本特征，比如空间的存在和运动现象。但我们的物理项目暗示，这些概念在任何意义上都不是“已经存在”的；当你用像我们这样的观察者的方式“解析”原始规则时，它们只是从原始规则中产生的东西。
在数学中，不太明显（至少对所有人来说，但可能对有经验的纯粹数学家来说）可以“直接接触”任何东西。但在我们这里的数学观点中，它最终就像物理一样，并且最终也植根于规则，但不是由物理观察者采样，而是由数学观察者采样。
所以从这个角度来看数学下面的“真实”与物理下面的“现实”一样多数学抽样略有不同（尽管非常相似），但我们无论如何都不应认为它“从根本上更抽象”。
当我们把自己想象成规则中的实体时，我们可以建立一个我们可能认为是“完全抽象”的描述，来描述我们是如何获得物理“经验”的。我们基本上可以对数学做同样的事情。因此，如果我们采取常识性的观点，即物理学基本上是“真实存在的”，那么我们被迫以同样的观点看待数学换句话说，如果我们说物理宇宙是存在的，那么我们也必须说，在某种基本意义上，数学也是存在的。
这不是我们人类“只是制造”的东西，而是通过我们观察规则的特殊方式制造的东西，这最终是由我们作为观察者的特殊特征、我们对世界的特殊核心假设、我们特殊种类的感官体验等所定义的。
那么，对于数学是“发明的”还是“发现的”，我们最终能说些什么呢？两者都不是。其基础是规则，其结构是形式上的必要性。但它对我们的感知形式是由我们作为观察者的内在特征决定的。我们既不能“任意发明”下面的东西，也不能“任意发现”已经存在的东西。我们所看到的数学是基础规则中的形式必要性和我们作为实体的特殊感知形式相结合的结果。假定的外星人可能有完全不同的数学，不是因为他们的基本规则不同，而是因为他们的感知形式可能不同。物理学也是如此：尽管他们“生活在同一个物理宇宙中”，但他们对物理定律的理解可能会大不相同。
28 |人类数学可以有什么公理？
欧几里德几何学的公理在古代首次发展时，基本上被认为是为了“收紧”我们日常对几何学的印象，这将有助于推断几何学中的真理。但到了19世纪中期，在非欧几里德几何、群论、布尔代数和四元数之间，人们已经清楚地认识到，有一系列抽象公理系统可以在原则上加以考虑。到1900年左右希尔伯特（Hilbert）编程时，纯演绎过程实际上被视为其本身的目的，实际上是数学的核心——公理系统被视为“起始材料”，几乎完全是“由惯例决定的”。
即使在今天的实践中，很少有不同的公理系统被普遍使用，事实上，在一种新的科学我能够做到在几页纸上列出基本上所有的内容但为什么这些公理系统而不是其他公理系统呢？尽管公理系统最终可能是任意的，但这个概念仍然是，在研究数学的某些特定领域时，基本上应该有一个公理系统，该系统将为人们试图谈论的任何数学对象或结构提供“严格的规范”。例如，皮亚诺公理就是用来讨论整数的算术运算的。
然而，在1931年，哥德尔定理表明，实际上这些公理还不够强约束一只谈论整数：公理系统还有其他可能的模型，涉及各种各样的奇异“非标准算术”. （而且，没有有限的方法来“修补”这个问题。）换言之，即使皮亚诺公理是像欧几里德几何公理那样被发明出来的，作为描述明确的“直觉”数学事物（在这种情况下，是整数）的一种方式，它们的形式公理结构“有它自己的生命”这超出了其最初的预期目的（在某种意义上，是无限的）。
几何学和算术在某种意义上都有日常经验的基础。但为了处理无限集的集合论日常经验中从来没有明显的直觉基础。从有限集的一些推断是清楚的。但在涵盖无限集时，逐渐添加了各种公理（如选择公理），以捕捉看似“合理”的数学断言。
但一个长期以来状态不明确的例子是连续统假设，它声称“下一个明显的可能基数”
基数之后
整数的
：实数的基数（即“连续体”的基数）。这是从先前公认的集合论公理中得到的吗？如果添加了它，它甚至会与它们一致吗？20世纪60年代初，人们确立了连续统假设实际上是独立于其他公理的。
例如，在过去一个世纪左右流行的数学基础公理化观点中，人们似乎可以随意选择是否将连续统假设（或其否定）作为集合论的公理。但随着我们在这里开发的数学基础方法，这一点不再那么明确。
回想一下，在我们的方法中，一切都最终植根于规则——像我们这样的数学观察家“体验”的任何东西都只是我们对规则进行特定采样的结果。在这幅图中，公理系统是我们对原始规则进行采样的相当低级特征的一种特殊表示。
如果我们可以对ruliad进行任何类型的采样，那么我们大概可以得到所有可能的公理系统——作为中间级“分段点”，代表ruliad的不同类型。但事实上，就我们的本性而言，我们是观察者，只能对规则进行某些类型的采样。
我们可以想象“外星观察员”不会像我们这样，他们可以对连续统假设做出任何选择。但考虑到我们作为观察者的一般特征，我们可能会被迫做出特定的选择。例如，正如我们上面讨论的，在操作上，错误的选择可能与在元数学空间中“保持一致性”的观察者不相容。
比方说，我们有一个以标准符号形式表述的特定公理。“在”这个公理的“下面”，通常会在原始规则的层次上有一个巨大的eme可能配置云，可以代表公理。但“像我们这样的观察者”只能处理一个粗粒度版本，在这个版本中，所有这些不同的配置都被认为是等价的。如果来自“邻近配置”的蕴涵保持在附近，那么一切都会解决，观察者可以对正在发生的事情保持连贯的看法，例如，仅仅是关于公理的符号陈述。
但是，如果相反，如果eme的原始配置的不同隐含导致了非常不同的地方，那么观察者实际上将被“粉碎”——并且他们将不得不针对不同的eme配置，将所有事情都划分为所有不同的情况，而不是有明确的连贯的“一心一意”的事情来谈论发生了什么。或者，正如我们之前所说的，观察者最终将不可避免地被“粉碎”，并且无法得出明确的数学结论。
那么，关于连续统假设，我们可以具体说些什么呢？目前还不清楚。但可以想象，我们可以从思考
作为统治阶级“基本基数”的特征，而
表征第一级的基本基数皱纹过多例如，这可能是基于带有预言机的图灵机来解决它们的停顿问题。这可能是因为我们要得出连续统假设是错误的结论，我们必须以某种方式跨越规则和超规则，这与我们保持连贯的数学观是不一致的。换句话说，连续体假说可能在某种程度上等同于我们之前所说的，在某种意义上是最基本的“偶然事实”-正如我们生活在物理空间的特定位置一样，我们也生活在ruliad，而不是hyperruliad。
我们可能认为，无论我们在数学中看到或构建什么，实际上都是“完全抽象的”，与物理或我们在物理世界中的经验无关。但特别是当我们像人类一样思考数学时，我们遇到的“数学观测者”与物理观测者“由相同的材料组成”。这意味着，无论物理观测者存在什么一般约束或特征，我们都可以期望这些约束或特征会传递给数学观测者，因此物理观测器和数学观测器具有相同的核心特征，即计算有界性和“一致性假设”，这绝非巧合。
这意味着，在我们在物理世界的经验中所熟悉的事物和我们在数学中所表现出来的事物之间，会有一种基本的关联。我们可能会认为，欧几里德最初的公理是基于人类对物理空间的感知这一事实表明，在数学的某些“整体图景”中，它们应该被视为武断的，而不是以任何方式居中的。但关键是，事实上，我们对空间的概念是我们观察者特征的核心。因此，对于“像我们这样的观察者”来说，数学中出现的“物理-经验-信息”公理，如欧几里德几何中的公理，是不可避免的。
29 |数理艾美奖的计数
“数学的大小”与我们物理宇宙的大小相比如何？在过去，这似乎是一个荒谬的问题，试图将抽象和武断的东西与真实和物理的东西进行比较。但有了这样一种想法，即我们所经历的数学和物理都是从我们对规则的抽样中产生的，这开始显得不那么荒谬了。
在最低层次上，规则可以被认为是由我们称之为emes的存在原子组成的。作为物理观测者，我们将这些eme解释为空间原子，或者实际上是物理宇宙的最终原料。作为数学观察家，我们将它们解释为构建数学结构的终极元素。
作为所有可能计算的纠缠极限，整个规则是无限的。但作为物理或数学观察家，我们只能对其中有限的部分进行采样。这意味着我们可以有意义地提出一些问题，比如这些部分中的eme数是如何比较的，或者实际上，与数学相比，我们所经历的物理有多大。
在某些方面，电磁辐射有点像。但电磁辐射的概念是，它们是“实际存在的原子”，即“实际物质”，如物理宇宙及其历史，都是从中产生的，而不仅仅是它的“静态信息表示”。一旦我们认为一切最终都是计算性的，我们就会立即开始考虑用比特来表示它。但裁决不仅仅是一种代表。这在某种程度上是一种较低层次的东西。一切都是由“真实的东西”构成的。定义我们特殊的物理或数学经验的是我们作为观察者对规则中的内容采取的特殊样本。
所以现在的问题是这些样本中有多少个emes。或者，更具体地说，在建立我们的经验时，有多少个“对我们来说很重要”。
让我们回到我们之前多次使用过的类比：由分子组成的气体。在房间的体积中可能有
单个分子，每个分子平均每碰撞一次
秒。因此，这意味着我们在一分钟左右的时间里的“房间体验”
碰撞。或者，就更接近我们的物理项目而言，我们可能会说
因果图中的“碰撞事件”定义了我们的经历。
但这些“碰撞事件”并不是根本性的；它们具有相当于“内部结构”的东西，具有许多关于位置、时间、分子构型等相关参数。
然而，我们的物理项目表明，例如下面我们通常对空间和时间的概念，实际上我们可以对宇宙中发生的事情有一个真正的基本定义，最终以emes为单位。我们还不知道这方面的“物理尺度”，最终我们可能需要实验来确定。但是相当不可靠的估计根据各种假设，基本长度可能约为
米，基本时间在附近
秒。
根据这些估计，我们可能会得出结论，我们的“一分钟的房间体验”可能包括采样
更新事件，创建大约这个数量的空间原子。
但很明显，这在某种意义上严重低估了我们采样的eme总数。原因是我们没有考虑量子力学，也没有考虑宇宙演化的多向性。到目前为止，我们只考虑了在一个“鳃部空间位置”上的一条“时间线”。但事实上，有许多时间线索，不断分支和合并。那么，我们经历了多少？
实际上，这取决于我们鳃部空间的大小。在物理空间中，“人类尺度”大约是一米或一米
基本长度。但在鳃部空间有多大？
事实上，与基本长度相比，我们如此之大，这就是我们一贯将空间视为连续的东西的原因。鳃空间中的类比是，如果我们与“基本鳃间距离”相比很大，那么我们将不会经历这些分支的不同个体历史，而只是一个聚合的“客观现实”，在这个“客观真实”中，我们将所有分支上发生的事合并在一起。或者，换言之，鳃部空间大是让我们体验经典物理而不是量子力学的原因。
我们对鳃部空间的估计比实际空间的估计更不可靠。但可以想象的是
宇宙中的“瞬时平行时间线”，以及
被我们的瞬间体验所包围，我想在我们的一分钟的体验中，我们可能会得到接近
埃姆斯。
但即使如此，这也是一个巨大的低估。是的，它试图解释我们在物理空间和鳃部空间的范围。但后来还有规则空间-这实际上是“填充”整个规则的内容。那么我们在那个空间里有多大？本质上，这就像问有多少不同的规则序列可能与我们的经验一致。
与
emes大致是带有
节点或周围
但与我们的经验相符的实际数字较小，特别是我们将特定的规律归因于我们的宇宙这一事实反映了这一点。但当我们说“特定法律”时，我们必须认识到归纳推理的有限性这不可避免地使这些法律对我们来说至少有点不确定。从某种意义上说，不确定性是代表我们“统治空间的范围”的东西。
但如果我们想计算我们作为物理观察者“吸收”的eme，这仍然是一个巨大的数字。也许基数可能更低
-但仍然有一个巨大的指数，表明如果我们将我们在规则空间的范围包括在内，我们作为物理观测者可能会经历大量的eme，比如
.
但我们可以说，我们超越了“日常人类规模的体验”。例如，让我们问一下“体验”我们的整个宇宙。在物理空间中，我们当前宇宙的体积约为
比“人类尺度”大倍（而人类尺度可能是
大于“空间原子尺度”的倍）。在鳃部空间，可以想象我们当前的宇宙是
比“人类规模”大两倍。但与规则空间的大小相比，这些差异绝对微不足道。
我们可能会尝试超越“普通人类经验”，例如，使用科学和技术工具测量事物。是的，然后我们可以考虑“体验”到
米，或接近量子历史的“单线”。但归根结底，仍然是规则的大小占主导地位，而这正是我们可以预期的，构成我们对物理宇宙体验的绝大多数emes的来源。
好的，那么数学呢？当我们思考我们可能称之为人类尺度数学的东西，并谈论毕达哥拉斯定理之类的东西时，“下面”有多少个eme？将我们的定理“编译”为典型的传统数学公理，我们已经看到，我们通常会得到包含以下内容的表达式：，
符号元素。但是，如果我们“低于它”，将这些符号元素（可能包括变量和运算符）编译成“纯计算元素”，我们可以将其视为emes，会发生什么呢？我们已经看到了一些例子，比如组合子，这些例子表明，对于传统的数学公理结构，我们可能需要另一个因素，也许大致是
.
这些都是令人难以置信的粗略估计，但也许有一个暗示，与数学观察者从人的尺度到eme相比，物理观察者从人类尺度到与eme相对应的空间原子，还有“更进一步”的路要走。
然而，就像在物理学中一样，这种“静态深入研究”并不是数学的全部。当我们谈论像毕达哥拉斯定理这样的东西时，我们实际上指的是元数学空间中的一整套“人类等价”点。“可能点”的总数基本上是包含勾股定理的蕴涵锥的大小。蕴涵锥的“高度”与证明的典型长度有关，对于当前的人类数学来说，这可能需要数百步。
这将导致包含锥非常粗略地
定理。但在这个“多大”的范围内，与特定的“人类公认”定理相对应的变体云是什么呢？经验元数学可以提供关于这个问题的额外数据。但是，如果我们粗略地想象，每种证明都有一半是“灵活的”，那么我们最终会得到这样的结果
变体。因此，如果我们问有多少个eme对应于毕达哥拉斯定理的“经验”，比如说，
.
为了给“日常物理体验”做一个类比，我们可以考虑一个数学家思考数学概念，也许实际上每分钟思考几十个定理——根据我们极其粗略和推测性的估计，虽然典型的“特定人类尺度的物理体验”可能涉及
emes，具体的人类规模的数学经验可能涉及
emes（例如，与我们宇宙中物理原子的数量相当的数字）。
如果我们不考虑“日常数学经验”，而是考虑全人类探索的数学? 在我们描述的尺度上，这些因素并不是很大。在人类数学史上，只有几百万个定理被发表过。如果我们考虑一下为数学服务所做的所有计算，这是一个更大的因素。我怀疑数学软件是这里的主要贡献者，我们可以估计Wolfram语言到目前为止，与“人类数学”相对应的操作可能是
.
但就像物理学一样，所有这些数字与规则尺寸引入的数字相比都相形见绌。我们基本上讨论了从emes到特定公理到定理的特定路径。但实际上，该规则包含了所有可能的公理系统。如果我们开始考虑枚举这些数据，并有效地“填充所有规则空间”，那么最终会得到成倍增长的eme。
但是，就像感知到的物理定律一样，在数学中，就像人类所做的那样，我们实际上只是采样的规则空间的一小部分。这就像是对我们想象中的算术之类的东西可以从一整套可能的公理系统中推导出来的想法的概括。它不仅仅是一个公理系统；但这也不是所有可能的公理系统。
人们可以想象，将规则学和经验元数学结合起来，以估计人类等价公理系统（及其从emes构建的公理系统）的“广度”。但答案似乎比我们一直在估计的物理规模要小得多。
重要的是要强调，我们在这里讨论的内容是非常粗糙和推测性的。事实上，我认为它的主要价值在于提供一个例子，说明如何在规则及其周围框架的背景下通过事物想象思维。但根据我们所讨论的内容，我们可能会得出一个非常初步的结论，即“人类经验物理”比“人类经验数学”更大。两者都涉及大量的呕吐物。但物理学似乎涉及更多。从某种意义上说，即使有了所有的抽象概念，人们仍怀疑，就我们而言，“数学中的最终结果要比物理中的少”。尽管以任何普通的人类标准衡量，数学仍然包含着绝对数量巨大的emes。
30 |一些历史（和哲学）背景
我们现在称之为“数学”的人类活动大概可以追溯到史前。最初可能是“一只山羊”、“一对山羊”等，后来变成了抽象数字的故事这完全可以通过计数标记来表示。在巴比伦时代，以城市为基础的社会的实用性导致了涉及算术和几何的各种计算，基本上包括我们现在所称的“数学”最终可以被认为是这些思想的概括.
希腊时代出现的哲学传统将数学视为一种推理。但是，虽然许多算术（除了无穷大和无穷小的问题）都可以用明确的计算方法来考虑，但精确的几何学立即需要一种理想化，具体来说就是一个没有范围的点的概念，或者等价于空间的连续性。为了在这种理想化的基础上进行推理，出现了定义公理并从中进行抽象推论的想法。
但数学究竟是什么东西呢？柏拉图谈到了我们在外部世界中感觉到的东西，以及我们在内部思想中概念化的东西。但他认为数学的核心是第三类事物的一个例子：来自理想形式的抽象世界的事物。根据我们目前的想法，理想形式的概念和规则的概念之间立即产生了共鸣。
但在过去两千年数学实际发展的大部分时间里，关于它最终是什么的问题都存在于背景之中。17世纪末，当牛顿和其他人将力学“数学化”时，他们迈出了重要的一步，最初以类似欧几里得的公理的形式展示了他们的所作所为。18世纪，数学作为一个实践领域被视为对世界特征的某种精确理想化，尽管其中建造了越来越精细的形式推导塔。与此同时，哲学，通常将类数学逻辑视为一个系统示例，其中有一个正式的推导过程，其“必要”结构不需要参考现实世界。
但在19世纪上半叶，出现了几个系统的例子，公理虽然受到世界特征的启发，但最终似乎是“刚刚发明”（例如群论、弯曲空间、四元数、布尔代数…）.对越来越严格的要求（尤其是对于微积分和实数的性质）的推动导致了对公理化和形式化的更多关注——一些非构造的“纯形式”证明的出现进一步强调了这一点。
但是，如果数学要形式化，它的底层原语应该是什么？一个显而易见的选择似乎是逻辑，它最初是由亚里士多德发展成一种人类论证的目录，但两千年后，人们觉得这是基本的和不可避免的。因此，弗雷格（Frege）、怀特黑德（Whitehead）和罗素（Russell）之后，试图从“纯逻辑”（以及集合论）开始“构建数学”。逻辑在某种意义上是一种相当低级的“机器代码”，怀特黑德和罗素在他们的1910数学原理，得到1+1=2。
与此同时，从1900年左右开始，希尔伯特走了一条稍微不同的道路，基本上用我们现在所称的符号表达式来表示一切，并建立了公理作为这些之间的关系。但应该使用什么公理？希尔伯特似乎觉得数学的核心不在于任何“外部意义”，而在于由所使用的任何公理建立起来的纯粹形式结构。他想象，不知何故，数学的所有真理都可以从公理中“机械地推导”出来，就像他所说的那样，与我们目前的观点有一定的共鸣，就像“大自然伟大的计算机器”这是为了物理。
然而，并非所有数学家都认同这种数学是什么的“形式主义”观点。1931年，哥德尔成功地从传统用于算术的形式公理系统内部证明了这个系统具有根本的不完整性，这使得它无法对某些数学陈述发表任何意见。但哥德尔似乎对数学保持了一种更为柏拉图式的信念：即使公理化方法不够完善，数学的真理在某种意义上仍然“无所不包”，而且人类大脑有可能“直接接触”它们。虽然这和我们看到的数学观察者进入规则的画面不太一样，但这里又有一些明确的共鸣。
但是，好吧，在过去的一个世纪里，数学是如何运作的呢？通常情况下，对于“下面有公理”的想法，至少有口头上的支持——通常假设这些公理来自集合论。人们非常重视形式演绎和证明的概念，但不是从公理的形式构建方面，而是从提供叙事性解释的角度，帮助人们理解为什么某些定理可能会遵循他们所知道的其他事物。
有一个“数学逻辑”领域涉及使用类似数学的方法来探索形式公理系统的类似数学方面。但是（至少直到最近），这与数学的“主流”研究之间几乎没有互动。例如，数学逻辑中的核心现象，如不可判定性，似乎与典型的纯数学相去甚远，尽管数学中许多实际的长期未解决的问题似乎确实会遇到。
但是，即使形式公理化可能只是数学的一个小插曲，它的思想无疑给我们带来了二十世纪最重要的智力突破：计算的抽象概念。现在已经清楚的是，在某种基本意义上，计算比数学更普遍。
在哲学层面上，人们可以将规则视为包含所有计算。但数学（至少是人类所做的）是由“像我们这样的数学观察者”在规则中取样和感知的东西来定义的。
对于从事纯数学的数学家来说，最常见的“核心工作流程”是首先想象可能是真的（通常是通过直觉过程，感觉有点像“直接接触数学真理”），然后“反向”尝试构造证明。然而，作为一个实际问题，绝大多数“世界上完成的数学”并没有遵循这个工作流程，而是“向前跑”——进行计算。而且没有理由至少在计算的内部有任何“人性化特征”；它可以只涉及原始的计算过程。
但传统的纯数学工作流程实际上取决于使用“人的水平”步骤或者，如前所述，如果我们认为低级公理操作类似于分子动力学，那么它涉及到在“流体动力学”层面上操作。
一个世纪前，“全球理解数学”的努力集中于试图为所有事物找到共同的公理基础。但随着数学的不同领域被探索（尤其是跨越现有学科的代数拓扑），似乎数学中也存在“自上而下”的共性，实际上直接在“流体动力学”层面。在过去的几十年里，使用范畴理论的思想作为高水平思考数学的一般框架变得越来越普遍。
但也一直在努力逐步建立一种抽象的物质形式的“更高范畴理论”。这方面的一个显著特点是出现了与几何学和数学逻辑的联系，对我们来说与ruliad的联系及其特点。
范畴理论的成功使人们在过去十年左右的时间里对数学的其他高级结构方法产生了兴趣。一个显著的例子是同伦类型理论。基本概念是描述数学对象的特征，而不是使用公理来描述它们应该具有的属性，而是使用“类型”来表示“对象是什么”（例如，“从实数到整数的映射”）。这种类型理论的特点是，与传统的数学结构和符号以及进行明确的证明和其他元数学概念相比，它更倾向于“立即计算”。事实上，关于类型及其等价物的问题随之而来非常像我们讨论的问题是，我们将多路系统用作数学元模型。
同伦类型理论本身可以建立为一个形式化的公理系统，但公理中包含了多少元数学陈述。一个关键的例子是单价公理，它本质上声明等价的事物可以被视为相同的。现在从我们的角度来看，我们可以看到这本质上是一种元数学粗粒化的陈述，也是一种基于数学观察者假设的属性定义什么应该被视为“数学”的定义。
当柏拉图介绍理想形式及其与外部世界和内部世界的区别时，即使是对计算的基本概念的理解也不例外多计算而未来的统治仍将持续两千多年。但现在我们的设想是，在某种意义上，一切都可以被视为理想形式世界的一部分，理想形式是规则的，不仅数学，物理现实实际上都是这些理想形式的表现。
但一个关键的方面是我们如何对规则的“理想形式”进行采样。这就是我们作为人类“观察者”的“偶然事实”进入的地方。数学的形式公理化观点可以看作是对规则的一种低级描述。但关键是，这种描述与像我们这样的观察者所感知到的，或者我们将成功地将其视为人类水平的数学不一致。
一个世纪前，有一场运动，将数学（以及它碰巧的其他领域）超越其起源，纳入人类对世界的感知。但我们现在看到的是，虽然规则中体现了一个与我们人类无关的潜在“理想形式的世界”，但我们人类所做的数学必须与我们对该潜在结构进行的特定采样相关联。
这并不是说我们可以“随意”挑选样本；我们所做的抽样是人类的基本特征重要的一点是，这些基本特征决定了我们作为数学观察者和物理观察者的特征。这一事实导致了我们的物理经验和数学定义之间的深刻联系。
从历史上看，数学最初是人类对物理世界感知的一种形式化的理想化。然而，在这一过程中，它开始认为自己是一种更纯粹的抽象追求，与人类的感知和物理世界相分离。但现在，有了计算的一般概念，更具体地说，有了规则的概念，我们可以在某种意义上看到这种抽象的极限是什么。尽管很有趣，但我们现在发现的是，它不是我们所说的数学。相反，我们称之为数学的东西是由人类感知的一般特征微妙而深刻地决定的事实上，本质上也是决定我们对物理世界的感知的相同特征。
现在，知识基础和理由都不一样了。但从某种意义上说，我们对数学的看法已经完全改变了。我们现在可以看到，数学实际上与物理世界和我们对它的特殊感知有着深刻的联系。我们作为人类可以做我们称之为数学的事情，原因基本上与我们作为人类设法解析物理世界到我们可以对其进行科学研究的程度是一样的。
31个|数学未来的含义
在讨论了一些历史背景之后，现在让我们讨论一下我们在这里讨论的东西对数学的未来在理论和实践上意味着什么。
在理论层面上，我们将数学故事描述为探索鲁里亚人从这一点上，我们可能会认为，在某种意义上，数学的最终极限将是处理整个规则。但像我们这样的观察家——至少是以我们通常的方式做数学——恐怕做不到。事实上，由于我们作为数学观测者的局限性，我们不可避免地只能对规则的微小部分进行采样。
但正如我们所讨论的，正是这一点使我们体验到了我们所讨论过的那种“数学的一般规律”。正是从这些定律中，我们得到了“数学的大规模结构”的图像，这在许多方面与我们从物理学中得到的物理宇宙的大规模结构的图像相似。
正如我们所讨论的，与物理空间的相干结构相对应的是，可以用高级概念进行数学计算，而不必总是降到“原子”级。元数学空间的有效一致性导致了“纯元数学运动”的概念，实际上，在不同数学领域之间实现高水平转换的可能性。这表明，在某种意义上，“数学的所有高级领域”最终都应该由“高级二元论”联系在一起，其中一些已经被发现，但许多仍有待发现。
用物理化的术语思考元数学也暗示了另一种现象：本质上是元数学中的重力模拟如前所述，与物理空间超图中的“较大活动密度”导致物理空间测地线路径偏移的方式直接类似，因此元数学空间中的较大“蕴涵密度”也将导致元数学空间测地线路偏移。当蕴涵密度足够高时，这些路径可能不可避免地会全部收敛，导致人们可能认为的“元数学奇点”。
在时空情况下，一个典型的模拟将是所有测地线都有有限长度的地方，或者实际上是“时间停止”的地方。在我们的元数学观点中，它对应于一种情况，即“所有证明都是有限的”，或者换句话说，在这种情况下，一切都是可以决定的，并且不再存在“基本困难”。
如果没有其他影响，我们可以想象，在物理宇宙中，重力的影响最终会导致万物坍塌成黑洞。元数学中的类比是，数学中的一切都将“崩溃”为可判定的理论。但在未考虑的影响中，有一个是持续扩张，或者实际上是新的物理或元数学空间的创建，在某种意义上是由底层的原始计算过程形成的。
然而，像我们这样的观察家会如何看待这一点？在统计力学中，进行粗粒化的观察者可能会感知到“宇宙的热寂”。但在分子水平上，有各种详细的运动，反映了一个持续的不可简化的计算过程。而且不可避免地会有一个无限的可能“可还原性片段”的集合在这里被发现，只是不一定与我们作为观察者的任何当前能力相一致。
这对数学意味着什么？可以想象，这可能表明，在“高级数学”中，基本上可以发现的东西只有这么多，而实际上却没有“扩大我们作为观察者的范围”，或者从本质上改变我们对人类做数学意味着什么的定义。
但在所有这些之下，仍然是原始计算和规则。我们知道，这种情况会一直持续下去，实际上会不断产生“无法简化的惊喜”。但我们应该如何研究“原始计算”呢？
本质上，我们想对计算宇宙进行无拘无束的探索，就像我在一种新的科学我们现在称之为乡村学我们可以将其视为比数学更抽象、更基础的东西，事实上，正如我们所论证的那样，它不仅是数学，也是物理的基础。
Ruliology是一项丰富的智力活动，例如作为自然界和其他地方许多过程的模型来源很重要。但这是一个计算不可约性和不可判定性几乎处处可见的地方，而不是一个我们可以轻易期待像我们这样的观测者可以理解的“一般定律”，就像我们在物理学中看到的，现在在数学中看到的那样。
我们认为，以规则为基础的数学最终是以低于公理系统的结构为基础的。但考虑到他们对数学史的熟悉程度，使用公理系统作为数学的一种“中间尺度元模型”是很方便的，就像我们在这里所做的那样。
但是，使用公理系统的“工作流”是什么？事实上，受规则学启发的一种可能性是系统地构建公理系统的蕴涵锥，逐步生成公理系统所暗示的所有可能定理。虽然这样做在理论上很有意思，但它通常不会在实践中以（目前）熟悉的数学结果的方式达到很多。
但假设一个人正在考虑一个特定的结果。这一证明将对应于蕴涵锥内的一条路径。以及自动定理证明就是系统地找到这样一条路径，通过各种技巧，通常比仅仅枚举蕴涵锥中的所有内容更有效。然而，在实践中，尽管已有半个世纪的历史，自动定理证明在主流数学中几乎没有什么用处。当然，在典型的数学工作中，证明被视为概念的高级阐述的一部分，这并没有帮助，但自动化证明往往在“公理机器代码”与人本叙事没有任何联系。
但如果一个人还不知道自己想要证明的结果呢？部分直觉来自一种新的科学可以有一些“有趣的结果”，它们仍然足够简单，可以通过某种显式搜索找到，然后通过自动定理证明进行验证。但据我所知，迄今为止，通过自动定理证明，只有一个意想不到的重要结果被发现：我2000年关于布尔代数最简单公理系统的结果.
事实上，当涉及到使用计算机进行数学时，绝大多数时间都不是用来构造证明，而是用来进行“正向计算”和“获得结果”（是的，通常是数学软件). 当然，在这些正向计算中，有许多类似的操作减少,可满足Q,PrimeQ公司这基本上是通过内部寻找证据来实现的，但它们的输出是“只是结果”而不是“为什么是真的解释”。(发现等式证明-顾名思义，这是一种生成实际证据的情况。）
无论是根据公理和证明进行思考，还是仅仅根据“获得结果”进行思考，最终总是要处理计算。但关键问题是计算是如何“打包”的。一个人是在处理武断、原始、低级的结构，还是在处理更高层次、更“人性化”的东西？
正如我们所讨论的，在最低层次上，一切都可以用规则来表示。但当我们同时做数学和物理时，我们所感知到的并不是原始规则，而是它的某些高级特征。但这些应该如何表示？最终，我们需要一种人类能够理解的语言，它能够捕获我们感兴趣的底层原始计算的特定特性。
从计算的角度来看，数学符号可以被认为是对此的一种粗略尝试。但在这个方向上，最完整、最系统的努力是我过去几十年来所做的努力：现在全尺寸计算语言这就是Wolfram语言（和Mathematica）。
最终，Wolfram语言可以表示任何计算。但关键是要让人们更容易地表示人们关心的计算：捕捉作为现代人类思维一部分的高级构造（无论是多项式、几何对象还是化学物质）。
这个语言设计过程（是的，我花了大量的时间）是艺术和科学的奇妙结合，这既需要深入研究事物的本质，也需要创造性地设计方法，使人类能够接触到这些事物并在认知上方便。在某种程度上，这有点像决定单词，因为它们可能出现在人类语言中，但这是一种更有结构和要求的东西。
这是我们最好的方式代表“高级”数学数学不是在公理（或更低）“机器代码”层次上，而是在人类数学家通常思考的层次上。
不过，我们肯定还没有“完成任务”。Wolfram Language目前有大约7000个内置基本结构，其中至少有一个几千可以被视为“主要是数学”。但尽管该语言长期以来包含以下结构代数数,随机游走和有限群，它还没有代数拓扑或K-理论的内置结构。近年来，我们慢慢添加更多类型的纯数学结构-但要达到现代人类数学的前沿，可能需要也许还有一千个为了使它们有用，所有这些都必须仔细而连贯地设计。
Wolfram语言的强大功能不仅来自于能够以计算的方式表示事物，而且能够用事物进行计算并获得结果。能够表示一些纯数学结构是一回事，但能够用它进行广泛计算则是另一回事。
Wolfram语言在某种意义上强调了“正向计算”工作流。近年来，另一个流行的工作流是校对助理一种方法是定义一个结果，然后作为一个人尝试填写步骤以创建它的证明，计算机验证这些步骤是否正确地组合在一起。如果步骤是低水平的，那么所拥有的是类似于典型的自动定理证明的东西，尽管现在是用人力尝试的，而不是自动完成的。
原则上，可以以模块化的方式构建更高级别的“步骤”。但现在的问题与计算语言设计中的问题基本相同：创建既精确到可以立即进行计算处理，又“方便认知”到可以被人类有效理解的原语。事实上，一旦完成设计（经过几十年我可以说做这样的事情很难)，与花费人力（即使有计算机协助）整理证据相比，让计算机只进行计算可能会有更多的“杠杆作用”。
人们可能会认为，一个证据对于确保自己得到正确答案至关重要。但正如我们所讨论的，当一个人处理人的数学水平时，这是一个复杂的概念。如果我们进入一个完全公理化的层次，很典型的情况是会涉及到各种迂腐的条件。如果下面我们假设1/0=0，我们有“正确答案”吗？或者这在人类数学的“流体动力学”层面上无关紧要吗？
关于计算语言至少如果写得好，它会提供清晰简洁的事物说明，就像一个好的“人类证明”应该做的那样。但计算语言有一个巨大的优势，那就是它可以用来创建新的结果，而不仅仅是用来检查一些东西。
值得一提的是，除了“计算结果”和“寻找证据”之外，还有另一个潜在的工作流。它是“这里有一个对象或一组用于创建一个对象的约束；现在可以找到有关这方面的有趣事实”。键入到Wolfram|Alpha公司有点像罪^4（x）（是的，需要有“自然数学理解”才能将这样的东西翻译成精确的Wolfram语言）。这里没有明显的“计算”。相反，Wolfram|Alpha所做的是“说一些有趣的事情”，比如它在一个周期内的最大值或积分。
从原则上讲，这有点像探索蕴涵关系，但关键的是要额外挑选出“人类感兴趣”的蕴涵。（在实施上，这是一个非常受限的探索。）
将这些不同的工作流与人们可以调用的工作流进行比较是很有趣的实验数学有时，这个术语基本上只用于研究已知数学结果的显式示例。但更强大的概念是想象通过“做实验”.
通常，这些实验不是在公理层次上进行的，而是在相当高的层次上进行（例如，使用Wolfram语言的原语指定的东西）。但典型的模式是列举大量案例，看看发生了什么，最令人兴奋的结果是发现了一些意想不到的现象、规律或不规则。
从某种意义上说，这种方法比数学更通用：它可以应用于任何计算性的东西，或任何由规则描述的东西。实际上，它是乡村学以及它是如何探索计算宇宙和ruliad的。
人们可以把纯数学中的典型方法看作是蕴涵结构的逐渐扩展，用人类检查（也许用计算机）他们考虑添加的语句。实验数学在元数学空间中有效地朝着某个“方向”发展，可能会跳出一些数学观察者目前所关注的隐含结构。
这在乡村学中非常常见的一个特征是，人们可以遇到无法确定的情况数学观测器的“邻近”蕴涵结构在某种意义上是“填充得足够多”的，因此它通常没有与不可判定性相关的无限证明路径。但实验数学所能达到的东西并没有这样的保证。
当然，好的是实验数学可以发现与现有数学“相去甚远”的现象。但是（就像在自动定理证明中一样）不一定有任何人类可以理解的“叙述性解释”（如果存在不可判定性，可能根本就没有“有限解释”）。
那么，这一切与我们对数学基础新思想的整个讨论有什么关系呢？在过去，我们可能会认为数学最终必须通过计算出越来越多的特定公理的结果来进步。但我们所争论的是，有一个甚至远低于公理系统的基础设施，其低级探索是规则学的主题。但我们称之为数学的东西实际上是更高层次的东西。
Axiom系统是某种中间建模层，是一种“汇编语言”，可以用作“原始规则”之上的包装器。最后，我们认为，这种语言的细节对于我们称之为数学的典型事物来说并不重要。但从某种意义上讲，这种情况与实际计算非常相似：我们需要一种“汇编语言”，它可以使我们最容易地完成我们想要的典型高级任务。在实际计算中，这通常是用RISC指令集实现的。在数学中，我们通常想象使用像ZFC这样的公理系统。但反数学倾向于指出，可能有更容易理解的公理系统，可以用来实现我们想要的数学。（最终甚至ZFC有限在它能到达的地方。）
但如果我们能找到这样一个“RISC”数学公理系统，它就有可能对蕴涵锥进行更广泛的实际探索。虽然没有保证，但它也可以被“设计”为更容易被人类理解。但最终，实际的人本数学通常会在远高于它的水平上运行。
现在的问题是，我们所讨论的“数学物理化的一般规律”能否直接用于对人类数学做出结论。我们已经确定了一些特征，比如高等数学的可能性，以及数学领域之间广泛二重性的期望。我们知道，结构特征中的基本共性可以通过范畴理论之类的东西来捕捉。但问题是可以找到和使用哪些更深层的一般特征。
在物理学中，我们的日常经验使我们立即想到远高于空间原子水平的“大规模特征”。在数学方面，我们迄今为止的典型经验处于较低水平。因此，现在的挑战是更全球化、更元数学化地思考，实际上更像物理学。
然而，归根结底，我们所说的数学就是数学观测者所感知的。因此，如果我们问数学的未来，我们也必须问数学观察者的未来。
如果我们看看物理学的历史，仅仅基于我们人类可以用我们的独立感官“观察”到的东西，就已经有很多东西需要理解了。但随着越来越多种类的探测器的出现，从显微镜到望远镜到放大器等等，物理观测器的领域逐渐扩大，由此感知到的物理定律也随之扩大。今天，随着观测器实际计算能力的提高，我们可以预期，我们将逐渐看到新的物理定律（比如与迄今为止“它只是随机的”分子运动或系统的其他特征有关）。
正如我们上面所讨论的，我们可以看到我们作为物理观察者的特征与从规则空间中的一个特定“有利点”“体验”规则相关（就像我们从物理空间中的某个特定有利点“体验”物理空间一样）。假定的“外星人”可能会从规则空间的另一个有利位置体验规则，导致他们的物理定律与我们的物理定律完全不一致。但随着我们的技术和思维方式的进步，我们可以预期，我们将逐渐能够扩大我们在规则空间的“存在”（就像我们在物理空间使用航天器和望远镜一样）。这样我们就能“体验”不同的物理定律。
我们可以预计这个故事对于数学来说非常相似。我们已经从ruliad的某个有利位置“体验”了数学。假定外星人可能会从另一个角度经历它，并建立自己的“副神论”，与我们的数学完全不一致。我们数学的“自然进化”对应于蕴涵结构的逐渐扩展，在某种意义上是规则空间的逐渐扩展。实验数学有潜力发射一种“元数学空间探测器”，可以发现完全不同的数学。不过，首先，这将是一个“原始规则”。但是，如果继续追求，它可能会指向一种“统治空间的殖民化”，这将逐渐扩大数学观察者的领域。
我们在这里讨论的数学物理化一般定律是基于当前数学观测者的特征（反过来，这些特征又高度基于当前物理观测者）。对于我们还不知道的“增强型”数学观测者，这些定律会是什么样子。
今天的数学是“原始计算人性化”的一个很好的例子。另外两个例子是理论物理和计算语言。在所有情况下，我们都有可能逐步扩大观察员的范围。毫无疑问，这将是一种技术和方法的混合，以及扩展的认知框架和理解。我们可以使用规则学或实验数学来“跳出”原始规则。但我们将看到的大多数是“非人性化”的计算不可约性。
但也许在某个地方会有另一块计算可简化性：一个不同的“岛”，可以在上面建立“外星”一般定律。但就目前而言，我们存在于我们目前的可还原性“孤岛”上。在这个岛上，我们看到了我们讨论过的特殊类型的一般定律。我们首先在物理学中看到了它们。但是在那里我们发现它们可能会出现非常一般地来自低层计算结构-最终从我们称之为ruliad的一般结构出发。现在，正如我们在这里讨论过的，我们意识到我们称之为数学的东西实际上是基于完全相同的基础——结果是它应该显示相同类型的一般规律。
这是一种与我们以前形成的数学及其基础截然不同的观点。但是，我们所讨论的与物理学的深刻联系，使我们现在能够对元数学有一个物理化的观点，它既能告诉我们现在的数学是什么，也能告诉我们对数学这一非凡追求的未来会是什么。
一些个人历史：这些思想的演变
追溯到近45年前，实现这里所描述的想法是一段漫长的个人旅程。随着时间的推移，零件已经非常直接、稳定地建造。但其他部分却令人惊讶，甚至令人震惊。为了达到现在的状态，我需要重新思考一些长期存在的假设，并采用我所认为的完全不同的思维方式——尽管，具有讽刺意味的是，我最终意识到，这种思维方式的许多方面都在很大程度上反映了我在实践和技术层面所做的一切。
早在20世纪70年代末，作为一名年轻的理论物理学家，我就发现了使用计算机进行数学计算的“秘密武器”。到1979年，我已经超越了现有的系统决定建立我自己的但它的基础应该是什么？一个关键目标是以计算的方式表示数学过程。我思考了我在实践中发现有效的方法。我学习了数学逻辑的历史。最后，我提出了当时我认为最明显、最直接的方法：一切都应该基于符号表达式的转换。
我很确定这实际上是一种很好的通用计算方法，我们在1981年发布的系统命名为SMP（“符号操作程序”）以反映这种普遍性。历史确实证明了符号表达范式的力量，正是从这一点上，我们才得以建造出巨大的技术塔现代Wolfram语言但一直以来，数学都是一个重要的使用案例，事实上，我们已经看到了四十年的验证，即符号表达式转换的核心思想是一个良好的数学元模型。
什么时候？Mathematica于1988年首次发布我们称之为“用计算机做数学的系统”，其中“做数学”的意思是用数学进行计算并得到结果。人们很快就利用Mathematica进行了各种实验，以创建和演示证明。但绝大多数实际用途是直接计算结果，几乎没有人对查看内部工作原理感兴趣，无论是作为证据还是其他形式。
但在20世纪80年代，我开始探索简单程序的计算宇宙就像细胞自动机一样。而做这一切都是为了观察系统的持续行为，或者实际上是计算的历史（通常是计算不可简化的）。尽管我有时会谈论使用我的计算方法来做“实验数学”，但我并不认为我特别认为我正在研究的计算的实际进展就像数学过程或证明一样。
1991年，我开始研究一种新的科学在这样做的过程中，我试图系统地研究计算过程的可能形式，很快我就被引导到替代系统和符号系统我以不同的方式将其视为沃尔夫拉姆语言的最小理想化多路系统.我非常确定在某些领域一种新的科学将适用。我不确定的三个是生物、物理和数学。
但到了20世纪90年代末，我对前两个问题有了相当多的了解，并开始学习数学。我知道Mathematica和后来成为Wolfram语言的东西是“实用数学”的良好表现。但我认为，为了理解数学的基础，我应该研究数学的传统低级表示：公理系统。
在这样做的过程中，我很快就能够简化为多路系统——证明是路径：
我一直在想，像我所认为的违背了计算不可化归性数学逻辑的早期结果。我很高兴地看到，通过多向系统的思考，可以很好地澄清和明确地阐明许多事情。
我在探索一般简单程序方面的经验得出了这样的结论：计算不可约性，因此不可判定性是相当普遍的。所以我认为这很神秘为什么不可判定性在数学中似乎如此罕见，而数学家通常如此。我怀疑事实上不可判定性就在眼前，我通过做实验数学得到了一些证据。但为什么数学家们没有更多地遇到这种情况呢？我开始怀疑这与数学史有关，也与数学倾向于扩展其主题的思想有关，即“在这样一个定理仍然成立的情况下，如何将其推广？”
但我还想知道历史上用于数学的特定公理系统。它们很容易放在几页上。但为什么是这些而不是其他呢？遵循我探索所有可能系统的一般“规则”方法，我刚刚开始列举可能的公理系统-很快发现其中许多都有丰富而复杂的含义。
但在这些可能的系统中，数学中历史上使用的公理系统位于哪里？我进行了搜索，大约在第50000公理能够寻找布尔代数最简单的公理系统.证明它是正确的给了我第一次认真自动定理证明的经验.
但什么样的证据呢？我试图理解它，但很明显不是人类容易理解的东西-阅读它的感觉有点像试图阅读机器代码。我认识到问题在某种意义上是缺少“人类连接点”——例如，中间引理（就像人类语言中的单词）具有上下文意义。我想知道怎样才能找到“人类会关心的”外稃？我惊讶地发现，至少对于布尔代数的“命名定理”来说简单的标准可以重现它们.
几年过去了。我断断续续地思考着两个最终相关的问题。一个是如何表示执行历史记录Wolfram语言程序。另一个是如何表示证据。在这两种情况下，似乎都有各种各样的细节，而且似乎很难有一个结构来捕获进一步计算或任何类型的一般理解所需的内容。
与此同时，在2009年，我们发布了Wolfram|Alpha公司。它的一个特点是“逐步”数学计算但这些并不是“一般的证据”：而是以非常特殊的方式为人类读者合成的叙事。尽管如此，Wolfram | Alpha和Wolfram语言中的一个核心概念是将世界上尽可能多的事物整合到知识中。我们为城市、电影、格子、动物等做了这些。我也想过为数学定理做这件事。
我们做了一个试点项目-关于连分式的定理。我们浏览了数学文献，评估了扩展我们为Wolfram|Alpha建立的“自然数学理解”的难度。我设想了一个工作流这将把自动定理生成与定理搜索混合在一起，在其中定义一个数学场景，然后说“告诉我有关这个的有趣事实”。2014年，我们开始让数学界参与大规模策展工作将数学定理形式化。但尽管如此，似乎只有那些已经参与数学形式化的人才会在意；除了少数例外，在职数学家似乎并不认为这与他们所做的事情有关。
然而，我们继续缓慢前进。我们与校对助理开发人员合作。我们策划了各种数学结构（如功能空间). 我估计我们需要1000多个新的Wolfram语言函数来涵盖“现代纯数学”，但如果没有一个明确的市场，我们就无法激发巨大的设计（更不用说实现）努力，尽管这在一定程度上是为了向数学的知识起源致敬，例如，我们做了一个最终成功的项目使欧几里得式几何可计算.
然后在2010年代后期，又发生了一些“证据相关”的事情。早在2002年，我们就开始使用等式逻辑自动定理证明来获得如下函数的结果完全简化。但我们还没有想出如何呈现生成的证据。2018年，我们终于推出了发现等式证明-允许对证明进行编程访问，并使我能够批量探索证明集合。
几十年来，我一直对我所说的“符号话语语言“：将计算语言的概念扩展到“日常话语”，以及人们可能希望在法律合同中表达的内容。在这和我们参与计算契约的想法之间区块链技术，我开始探讨人工智能伦理和“宪法”。在这一点上，我们也开始介绍基于机器学习的函数到Wolfram语言中。和我的“人类不可理解”的布尔代数证明作为“经验数据”-我开始探索可解释性的一般问题和有效证据。
不久之后我们物理项目的意外突破从20世纪90年代开始，我对基础物理的计算基础有了进一步的认识，终于有可能理解主要已知物理定律的潜在起源。这项工作的核心，尤其是对量子力学的理解-曾经多路系统.
起初，我们只是使用了多路系统的知识也可以表示公理数学以及为我们的物理思考提供类比的证据（“量子观测者实际上可能正在完成临界点对补全”、“因果图就像更高的类别”等）但后来我们开始怀疑，我们在熟悉的物理定律中看到的出现现象是否也会影响数学，以及它是否会给我们带来“批量”版的元数学。
我长期以来一直在研究从离散的“计算”元素到“体”行为的转变，首先是因为我对热力学第二定律感兴趣，该定律延伸了一直追溯到1972年12岁，然后关注我的工作20世纪80年代中期的细胞自动机流体现在，随着物理项目中底层超图中物理空间的出现。但“批量”元数学可能是什么样的呢？
我们的物理项目的一个特点与热力学有共同之处，即其观察行为的某些方面几乎不依赖于其组成部分的细节。但他们依靠什么呢？我们意识到这一切都与观察者和他们的互动有关（根据我将其描述为第四种科学范式)一般的“多计算”过程在下面进行。对于物理学，我们对“像我们这样的观察者”可能具有的特征有了一些了解（实际上，他们似乎是与我们的意识概念密切相关). 但“数学观察者”可能是什么样的呢？
在最初的框架中，我们将物理项目称为“寻找宇宙规律”。但就在我们启动项目的时候，我们意识到这并不是真正正确的描述。我们开始谈论规则多路系统相反，这是“运行每一条规则”，但在这条规则中，观测者只感知到一小部分，特别是可以显示涌现的物理定律。
但这种“运行所有规则”的结构是什么？最后，它是一个非常基本的东西：所有可能计算的纠缠极限，我称之为统治阶层规则基本上不依赖任何东西：它是独特的，其结构是形式上的必要性。因此，在某种意义上，规则“必然存在”——并且，我认为，我们的宇宙也必须如此.
但我们可以认为规则不仅是物理的基础，也是数学的基础。因此，我得出结论，如果我们相信物理宇宙的存在，那么我们必须结论——有点像柏拉图，数学也是存在的.
但所有这些与公理系统和元数学思想有什么关系呢？2020年下半年，我又收到了两份意见。首先，跟进中的注释一种新的科学，我做了一个“经验元数学”的广泛研究欧几里得定理网络，以及一些数学形式化系统。第二，为了庆祝他们发明100周年，我做了一个广泛的规则学和其他组合词研究.
我开始工作了在2020年秋天的这篇文章上，但我觉得我错过了一些东西。是的，我可以用我们物理项目的形式主义来研究公理系统。但这真的触及了数学的本质吗？我早就认为公理系统真的是数学的“原材料”——尽管我早就收到了信号，但它们并不能很好地反映出纯粹数学家对事物的严肃性和审美取向。
在我们的物理项目中，我们一直以再现已知的物理定律为目标。但是，理解数学基础的目标应该是什么？它似乎总是围绕着公理系统和证明过程。当“应用于表达式的替换规则”的相同概念似乎跨越了我最早的数学计算、物理项目的基础结构以及公理系统的“元模型”的努力时，这感觉像是验证。
但不知怎的，规则和如果物理存在，那么数学就必须存在的想法让我意识到，这最终不是正确的描述水平。这些公理是介于“原始规则”和“人性化”之间的一种中间层次，在这种层次上，纯数学是正常进行的。起初我觉得这很难接受；一个多世纪以来，公理系统不仅主导了对数学基础的思考，而且它们似乎也非常适合我个人的“符号规则”范式。
但渐渐地，我确信，是的，我一直都错了，公理系统在许多方面都没有抓住要点。真正的基础是规则，公理系统是一个相当难用的“机器代码式”描述，在不可避免的一般“元数学的物理化定律”下面出现，这意味着对于像我们这样的观察者来说，有一种从根本上更高层次的数学方法。
起初我认为这与我对事物的一般计算观点不一致。但后来我意识到：“不，恰恰相反！”这些年来，我一直在构建Wolfram语言，以“在人类层面”将计算过程与数学联系起来。是的，它可以表示和处理公理系统。但这从来没有感觉特别自然。这是因为它们处于一个尴尬的水平——无论是在原始规则和原始计算的水平上，还是在我们人类定义数学的水平上。
但现在，我认为，我们开始对我们所称的数学真正是什么有了一些明确的认识。我在这里所做的只是一个开始。但在它明确的计算示例和它的概念论证之间，我觉得它正在指向一个广泛且难以置信的丰富的新理解——尽管我没有看到它的到来——我现在非常兴奋。
注释和感谢
25多年来，Elise Cawley一直在告诉我她对数学基础的主题（更确切地说是柏拉图式的）观点，认为一切都建立在构建的公理系统之上是一种现代主义，没有抓住要点。从这里所描述的，我现在终于意识到，是的，尽管我一再坚持相反的观点，但她一直在告诉我的事情一直都是正确的！
我感谢詹姆斯·博伊德（James Boyd）和尼克·穆尔津（Nik Murzin。（薛西斯和约拿单现在也发展同伦类型理论的联系.)
我与许多人进行了有益的背景讨论（一些是最近的，一些是很久以前的），包括理查德·阿萨尔、杰里米·阿维加德、安德烈·鲍尔、凯文·布扎德、马里奥·卡内罗、格雷格·查廷、哈维·弗里德曼、蒂姆·高尔斯、汤姆·黑尔斯、卢·考夫曼、玛丽安·马利亚利斯、诺姆·梅吉尔、阿萨夫·佩雷斯、达娜·斯科特、马修·苏季克、，迈克尔·特罗特和弗拉基米尔·沃沃德斯基。
我想认出标准梅吉尔，的创建者元数学系统他于2021年12月去世。（在他去世前不久努力简化证明我的布尔代数公理.)
本报告的大部分具体发展现场直播或其他记录，长期可用工作笔记本档案-在Wolfram物理项目网站.
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词汇表
这里新出现的或以不熟悉的方式使用的术语表
状态是规则，规则更新规则的系统。这样一个系统演变的连续步骤是可以相互应用的规则集合。
使用公理表示数学的传统基础方法，在这里被视为原始规则和人类尺度数学之间的中间。
替换和共替换的组合，对应于对包含模式的表达式进行的一整套可能的转换。
与鳃图极限相对应的空间，鳃图在多路图中提供了共同祖先（或纠缠）的映射。
替换的对偶操作，在该操作中，要转换的模式表达式被专门化，以允许给定的规则与其匹配。
根据我们的框架，存在的最小元素。在物理学中，它可以被识别为“空间原子”，但一般来说，它是一个实体，其唯一的内部属性是它与其他实体不同。
受特定节点影响的多路图或标记事件图的扩展区域。蕴涵锥是物理空间中光锥在元数学空间中的模拟。
一块元数学空间，由许多小蕴涵锥编织在一起构成。隐含结构是数学观察者可能有效感知到的一个粗略模型。
从初始节点集合开始的包含圆锥体的组合。
根据符号模式的规则重写（树结构）符号表达式的过程。（在中称为“操作员系统”一种新的科学。组合器是一种特殊情况。）
作为数学家对规则进行采样的实体可能会有效地做到这一点。数学观测者应该与物理观测者具有某些核心的人类衍生特征。
数学表达式或数学语句所在的空间。空间可以通过鳃图获得一个几何图形作为其构造的极限。
一种表示进化过程的图，其中每个步骤都有来自给定状态的多个结果。多向图是我们物理项目和一般多计算范式的核心。
数学的平行类比，对应于假定的外星人或其他人对规则的不同抽样。
包含模式变量的符号表达式(x_等，或数学逻辑中的∀量词）。
将元数学结构视为物理宇宙的元素的概念。
隐锥的另一个术语。
标记事件图中从公理到给定语句的子图。
多向图中表示表达式之间等价的路径，或标记事件图中表示给定语句可构造性的子图。
所有可能的计算过程的纠缠极限，被认为是物理学和数学的最终基础。
在时间上从锯齿叶理上取下的规则状切片的极限。鳃部空间或物理空间规则状“方向”上的类似物。
在元数学空间的局部区域中聚集语句的观察者通过试图覆盖这些语句的结果而有效地分离语句的过程。
一种符号表达式，通常包含双向规则，通常可从公理推导出来，从而表示引理或定理。
一种更新事件，其中符号表达式（可能是规则）根据给定规则通过替换进行转换。
一种图形，表示通过更新事件来转换表达式或语句（“令牌”）。
可在两个方向应用的模式表达式的转换规则（用表示).
为通过不同事件生成的变量指定不同名称的过程。
