摘要
让$\{\mathsf{T} _(T)\}_{t>0}$是$\sigma$-有限测度空间$(\Omega,\mathscr{a},\mu{T} _(T)(f) \右|^2\frac{\mathrm{d} t吨}{t} \大)^{\frac12}.$$经典的Littlewood-Paley-Stein不等式断言,对于任何$1<p<infty$,存在两个正常数$\mathsf{L}^{mathsf}{T}}{p}$和$\mathf{S}^{mathsf{T}{p{$,使得$$\big p}\le\big\|G^{\mathsf{T}}(f)\big\ |_{p}\le \mathsf{S}^{\mathsf{T}}_{p{\对于L_p(\Omega)中的所有f\,$$,其中$\mathrm{f}$是从$L_p{T} _(T)\}_{t>0}$L_p(\Omega)$的$。最近,Xu证明了$\mathsf{L}^{mathsf{T}}{p}\lesssimp$为$p\rightarrow\infty$,并提出了$\mathsf}L}^}\mathsf{T}{p{$为$p \rightarrow\infty$的最优顺序问题。通过证明$\mathsf{L}^{\mathsf{T}}{p}$的这个上限估计实际上是最优的,我们解决了Xu的开放问题。我们的论证基于与任意给定鞅相关联的特殊对称扩散半群的构造,使得其任意$f\inL_p(\Omega)$的平方函数$G^{\mathsf{T}}(f)$与$f$的鞅平方函数逐点可比。我们的方法还扩展到向量值和非交换设置。