摘要
在本文中,我们提出了一个多尺度框架,用于求解无尺度分离的非均匀介质中的亥姆霍兹方程以及波数可能较大的高频区域中的亥姆霍兹方程。主要创新点在于,我们的方法在计算自由度方面实现了接近指数的收敛速度,使用网格大小为$O(1/k)$的粗格栅,而不会受到众所周知的污染影响。其核心思想是对解空间进行非重叠区域分解及其相关的粗尺度分解,以适应介质特性和波数;这种分解受到多尺度有限元法(MsFEM)的启发。我们证明了粗糙部分是低复杂度的,因为它可以通过局部基函数以接近指数的收敛速度逼近,这是由于限制算子的紧致性,该限制算子将亥姆霍兹-哈莫函数映射到它们在边上的插值残数,而精细部分是局部的从而可以使用右手侧的本地信息有效地计算它。这两部分的结合产生了我们的多尺度方法的整体近似指数收敛速度。我们的方法与文献中的多尺度方法有许多联系,我们将对此进行详细评论。我们从理论和数值上证明了我们方法的有效性;一致地观察到并证实了指数收敛速度。此外,我们观察到我们的方法对于数值媒体中的高对比度的鲁棒性。在我们的论述中,我们特别关注二维问题,因为在这种情况下,非重叠区域分解的几何结构最容易解释;最后将概述对3D的概括。