摘要
设$(\mathcal{G},\Gamma)$是有限群的抽象图。如果$\Gamma$是有限的,我们可以用自然的方式$(\hat{\mathcal{G}},\Gamma)$构造群的profinite图,其中$\hat}\mathcal{G}(m)$是所有$m\in\Gamma$$\mathca{G}$的profinite-完成。这主要是因为$\Gamma$是有限的,所以它已经是profinite了。本文通过构造$\overline{\Gamma}$(其中$\Gamma$被密集嵌入)的profinite图,然后定义群$(\widehat{\mathcal{G}},\overline{\Gamma})$的profinitegraph来处理无限情况。我们还证明了基本群$\Pi_1(\widehat{\mathcal{G}},\overline{\Gamma})$是$\Pi_1^{abs}(\mathcal{G},\ Gamma)$的profinite完备。这回答了路易斯·里贝斯(Luis Ribes)于2017年出版的《Profinite Graphs and Groups》一书中的开放性问题6.7.1。随后,我们推广了Luis Ribes和第二作者的一篇论文的主要定理,证明了如果$R$是一个几乎自由的抽象群,而$H$是$R$的有限生成子群,那么$\上划线{N_{R}(H)}=N_{hat{R}}(\上划线})$回答了Ribes一书中的开放问题15.11.10。最后,我们推广了Sheila Chagas和第二作者的一篇论文的主要定理,证明了每个虚拟自由群都是子群共轭可分的。这回答了同一本《肋骨》中的开放式问题15.11.11。