摘要
2007年,Carlet和Ding引入了两个参数,分别用$Nb_F$和$Nb_F$表示,量化了一般函数$F$在有限阿贝尔群之间的平衡以及它们的导数$D_a F(x)=F(x+a)-F(x)$,$a\在G\setminus\{0\}$中的(全局)平衡(提供了函数非线性的指示)。这些作者研究了这两个测度的性质和密码学意义。他们提供了与非线性$\mathcal{NL}(F)$到$NB_F$相关的S-box不等式,并特别获得了非线性的上界,该上界统一了Sidelnikov-Chabaud-Vaudenay的界和覆盖半径界。在2009年WCC研讨会和2011年的会后会议上,对这些参数进行了进一步研究;特别是,第一个参数应用于函数$F+L$,其中$L$是仿射的,提供了更多的非线性参数。2010年,受Costas阵列研究的推动,Panario\emph{等人}为有限Abelian群上的置换引入了两个参数,称为模糊性和亏性,以分别测量导数的内射性和满射性。这些作者还研究了这两个测度的一些基本性质和密码学意义。随后进行了进一步的研究,但没有将第二对参数与第一对参数进行比较。在本文中,我们观察到模糊度与$NB_F$是相同的参数,直到加法常数和乘法常数(即直到缩放)。我们对$NB_F$上的结果分别进行了必要的比较和统一,这些结果是在专门讨论这些参数的五篇论文中获得的。我们将一些已知结果推广到任何Abelian群,更重要的是,我们得到了关于这些参数的许多新结果。