摘要
我们研究了任意闭黎曼流形$M$上$-\varepsilon^2\Deltau+W'(u)=0$的解空间的整体变分性质。我们的技术受到了极小超曲面变分理论最新进展的启发,并扩展了与相变理论的著名类比。首先,我们证明了最低正能级下的解是稳定的,或者是由min-max得到的,并且具有指数1。我们证明,如果就$M$的Cheeger常数而言,$\varepsilon$不够小,那么就没有有趣的解。然而,我们证明了上述方程的min-max解的数量随着$varepsilon到0$而趋于无穷大,并且它们的能量具有次线性增长。正如G.Smith最近所示,对于通用度量,对于固定的$\varepsilon$,解的数量是有限的,从这个意义上来说,这个结果是尖锐的。我们还表明,min-max解的能量以$\varepsilon到0$的形式在极限界面周围累积,这些极限界面是光滑嵌入的最小超曲面,其面积随重数次线性增长。对于具有${\rm Ric}_M>0$的一般度量,最低正能量水平下解的极限界面是Mazet-Rosenberg意义下最小面积的嵌入最小超曲面。最后,我们证明了最小最大能量值是由Marques-Neves定义的面积泛函的宽度从下而有界的。