摘要
我们讨论了(群的)2-交叉模的(点)同伦理论,已知其用一个对象忠实地表示Gray 3-群胚,也有连通的同伦3-类型。2-交叉模映射之间的同构关系将以类似于严格Gray函子之间的Crans的1-变换的方式定义,然而是指向的,因此这对应于Baues的二次模映射之间的同构关系。尽管2-交叉模态射之间的同伦关系通常不是等价关系,但我们证明了如果$A$和$A'$是2-交叉模,并且$A$的基础群$F$是自由的(简而言之,$A$是自由到一阶的),那么2-交叉模之间的同伦性映射$A\到A'$,在这种情况下,等价关系。此外,如果为$F$指定了一个选定的基$B$,那么我们可以定义一个2-交叉模的2-groupoid$HOM_B(a,a')$映射$a\到a'$,连接它们的同伦,以及同伦之间的2-fold同伦,其中后者对应于1-变换之间的Crans的2-变换。我们为一个2-交叉模$a$定义了部分分辨率$Q^1(a)$,它的基础群是自由的,具有正则选择基,以及到a$的投影映射${\rm-proj}\colon-Q^1。这个分辨率(是余弦的一部分)导致了2-交叉模映射之间同伦(lax同伦)的较弱概念,我们对其进行了充分的发展和描述。特别地,给定2-交叉模$A$和$A'$,存在一个2-广群${HOM}_{\rm LAX}(A,A')$of(strict)2-交叉模将$A\映射到A'$,以及它们的LAX同伦和LAX 2-折叠同伦。(严格)2-交叉模映射$f\colon a\to a'$是松弛同伦等价的相关概念具有三取二的性质,并且在retracts下是封闭的。