摘要
Zarankiewicz猜想(ZC)指出,交叉数cr$(K{m,n})$等于$Z(m,n):=\floor{frac{m}{2}}\floor}\frac{m-1}{2{}}\loor{frac{n}{2neneneep}\floor{n-1}{{2}{}$。自从Kleitman验证了$K_{5,n}$的ZC(从中可以很容易地看出$K_}6,n}$ZC)以来,在ZC方面几乎没有取得什么进展;最显著的例外是计算机辅助结果。为了更深入地理解这个众所周知的困难猜想,我们研究了$K_{5,n}$的最优(即交叉极小)图。具有$Z(m,n)$交叉的$K_{m,n}$(所谓的Zarankiewicz绘图)的广为人知的自然绘图包含对极顶点,即度-$m$顶点对,使得它们的$K_{m,2}$诱导绘图没有交叉。对足顶点在Kleitman的归纳证明cr$(K_{5,n})=Z(5,n)$中也起着重要作用。我们深入探讨了$n$偶数的$K_{5,n}$的最优绘图中反足顶点的作用。我们证明了如果{$n\equiv2$(mod4)},则$K_{5,n}$的每个最优图都有反足顶点。我们还展示了$K_{5,4(r+s)}$(对于$r,s\ge 0$)的一个双参数最优图族$D_{r,s}$,没有对足顶点,并证明了如果$n\equiv 0$(mod 4),那么$K_{5,n}$的每一个没有对足顶点的最优图对于某些整数$r,s$都同构于$D_{r,s}$(顶点旋转)。作为推论,我们证明了如果$n$是偶数,那么$K_{5,n}$的每个最优图都是Zarankiewicz图的叠加,对于某些非负整数$r,s$,图同构于$D_{r,s}$。