我们知道$\测试版$是独一无二的蓝色。证据如下。考虑一般线性估计器$$\hat{\boldsymbol{\beta}}_\mathbf{A}=\hat{\boldsymbol{\beta}}_\text{OLS}+\mathbf{A}\mathbf{Y}=\bigl[（\mathbf｛x｝^\text｛T｝\mathbf｛x｝）^｛-1｝\mathbf｛x｝^\text｛T｝+\mathbf｛A｝\bigr]\mathbf｛Y｝$$偏见$\hat{\boldsymbol{\beta}}_\mathbf{A}$是$$\开始{align}\mathbb{E}\bigl[\hat{\boldsymbol{\beta}}_\mathbf{答}-\beta\，\vert\mathbf{x}\bigr]&=\mathbb{E}\bigl[\hat{\boldsymbol{\beta}}_\mathbf{答}-\beta\，\vert\mathbf{x}\bigr]\\[6pt]&=\mathbb{E}\bigl[\hat{\boldsymbol{\beta}}_\text{OLS}+\mathbf{A}\mathbf{Y}-\boldsymbol{\ beta}\bigr\vert\mathbf}x}]\\[6pt]&=\boldsymbol{\beta}+\mathbf{A}\mathbf{x}\boldsymbol{\ beta}-\boldsimbol{beta}\\[6pt]&=\mathbf{A}\mathbf{x}\boldsymbol{\beta}，\\[6pt]\结束{对齐}$$因此，无偏性的要求$\hat｛\boldsymbol｛\beta｝_\mathbf｛A｝$是$$\mathbf{Ax}\beta=0$$现在证据表明我们可以假设$\mathbf{Ax}=0$从这里开始。无论如何，其余的证据我都很清楚。
我不清楚为什么会在这里$\mathbf{Ax}\beta=0\暗示\mathbf{Ax{=0$.我就这么说$\mathbf{Ax}\beta=0\暗示\mathbf{x}\beta\in\mathrm{Ker}（\mathbf1{A}）$，这是一个较弱的条件。换句话说，对于$\hat{\boldsymbol{\beta}}_\mathbf{A}$为了不偏不倚，我们为什么要问$\mathbf{A}$包含整个子空间$\mathrm{span}（\mathbf{x} _1个，\点，\mathbf{x} K（_K）)$（dim K）而不仅仅是子空间$\mathrm｛span｝（\mathbf｛x｝\beta）$（尺寸1）？
对于这一点，一个可能的答案是，出于某种原因$\mathbf｛Ax｝\beta=0$需要为所有人保留$\beta\in\mathbb{R}^K$。但我不明白为什么我们应该假设这种情况$\beta\in\mathbb{R}^K$，作为$\测试版$这是一个未知的常数因子，它取决于具体的回归问题。
这个论点有什么问题？如果您对此有任何帮助，我们将不胜感激。
