1.简介
图表T型–T型（V1.0Beta）是一个用户友好的程序，用于在三维欧氏空间中嵌入有限图和/或周期图，以生成单位距离图，同时限制一些度量属性。这些度量属性(例如边长度）在嵌入过程中实时计算，以便更好地理解输入图的拓扑特性如何影响相应单位距离图的几何特性。天等。(2024
)已使用图表T型–T型广泛理解1-周期排列的拓扑性质(T型O（运行）4)四面体控制着这种排列与链状硅酸盐矿物和相关合成化合物中观察到的链状排列度量的相容性。
开发用于生成和操作图以及计算其图论性质的软件和编程语言已经做了很多工作：例如Wolfram语言（图和矩阵）；MATLAB软件（门克和门克，2022年);Sage公司（乔伊纳，2007); Java语言(JGraphT公司)（米切尔等。, 2019); C++语言(Boost图形库)（锡克等。, 2002); Python语言(NetworkX公司)（哈格伯格等。, 2008). 然而，此类软件和编程语言在嵌入图形的同时限制其度量属性的选项有限。相反，他们专注于通过相应的邻接矩阵对图进行操作，并计算图的各种属性。
软件程序，如系统（Delgado-Friedrichs和O'Keeffe，2003年)和ToposPro公司（布拉托夫等。, 2014)专门设计用于对晶体结构中观察到的周期网络进行拓扑和几何分析。这些程序链接到3、2和1周期网的数据库[例如网状化学结构资源（RCSR）和拓扑类型数据库（TTD）]。然而，此类数据库包含的1-周期图数量有限，例如，与Day&Hawthorne（2022）生成的~1500个非同构1-周期图相比，RCSR数据库仅包含11个1-周期图). 这个Systre公司该程序还可用于嵌入以标签形式表示的周期网络商图.与商图的使用相关的方法(例如特雷西等。, 1997, 2004)用于生成与沸石硅酸盐有关的0到3周期结构，包括1周期杆和管（Treacy等。, 2023). 还使用类似方法生成和描述了与硅酸盐结构无关的其他类型的1-周期结构（O'Keeffe&Treacy，2021）, 2022).
然而，用于描述和生成周期网络的商粒度方法的测试(例如钟等。, 1984; Eon，1998年, 1999; 克莱，2004年)与Day&Hawthorne（2022）使用的方法相比)揭示了几个问题。对于某些顶点连通性(即c（c）五第页)，商粒度方法不会生成所有可能的非同构网络。例如，对于顶点连接2五1三五2，生成周期网的商粒度方法[由Chung描述等。(1984)]生成三个非同构1-周期网（链图）2五1三五2Day&Hawthorne生成的链图（2022). 天等。(2024)已使用图表T型–T型检查为什么某些嵌入可以发生，而其他嵌入无法发生，即什么控制链结构的可能拓扑。要做到这一点，图形必须独立于欧几里德空间生成（并且没有对称约束）。这与商粒度描述和周期网络生成的向量方法（Chung等。, 1984)以及同构商图生成的网络的几何分析（Eon，1998, 1999)，其中使用图的几何方面生成和描述网络(即使用度量索引描述的顶点）。基于上述原因，Day&Hawthorne（2022年)开发了一种生成1-周期图的新方法，并在这里介绍了该程序图表T型–T型用于在欧几里德空间中嵌入此类图形。
软件程序GraphTea公司（罗斯塔米等。, 2014一,b)是作为图论入门的教育工具编写的，并且有一个可视化例程来帮助学生理解图形(例如顶点次数、循环边和/或有向边等.）.使用GraphTea公司，用户可以通过更改顶点的相对位置和边的长度来绘制和操作二维图形。然而GraphTea公司可视化界面的设计是为了促进图形的视觉理解，而我们感兴趣的是将图形嵌入欧几里德空间。使用GraphTea公司，不能在二维或三维欧氏空间中嵌入图形，同时限制其度量属性。图表T型–T型是从GraphTea公司整合这些功能，并在Day广泛使用等。(2024)如上所述。
1.1. 术语
第二天等。(2024)我们定义了以下术语：
链条：安排(T型O（运行）4)n个−四面体，（1）在单个方向上无限连接在一起，（2）具有周期性（平移）对称性，以及（3）可以通过消除相邻四面体之间的单个连接而分解为两部分。
功能区：安排(T型O（运行）4)n个−（1）在一个方向上无限链接在一起的四面体，（2）具有周期（平移）对称性，（3）不能通过消除相邻四面体之间的单个链接而分成两部分。
图表：图表，G公司= (五,E类)，由一组顶点组成(五)和一组无序的顶点对，称为边(E类).
链图：链的1-周期图形表示(T型O（运行）4)n个−四面体，其中四面体及其之间的连接分别表示为顶点和边。链图只包含对应链的拓扑信息(T型O（运行）4)n个−四面体，不包含任何几何信息。
几何图形：几何图是至少部分由几何方法定义的图。一个常见的定义将几何图形描述为在欧几里德平面上具有直边的图形。然而，出于我们的目的，我们将几何图形定义为出现在欧氏空间中的具有直边的图.
单位距离图：具有单位长度所有边的几何图；在这里，我们将稍微推广这个定义：所有边都是等长的。链图一旦嵌入到欧氏空间中，就被转化为几何图；如果任何图嵌入了等边约束，那么它就是一个单位距离图。因此，几何图或单位距离图是图或链图的嵌入。
三。图表T型–T型嵌入算法
3.1. 嵌入过程
以下是对如何T型–T型和T型⋯T型约束被集成到三维嵌入算法中。
（i）T型–T型距离：通过将边视为根据胡克定律表现的概念弹簧，可以限制链接顶点之间的距离：
哪里F类秒是弹簧力，k个是弹簧系数（刚度）和x个是弹簧相对于平衡弹簧长度的位移量。这里，平衡弹簧长度代表理想值T型–T型四面体链中的距离（3.06±0.15º）。增加弹簧位移需要增加F类秒由于未链接顶点之间的排斥。
（ii）T型⋯T型分隔：未链接顶点之间的距离受到库仑定律所描述的相互排斥作用的限制，
哪里F类c（c）是库仑力，K（K）是库仑常数，q个1和q个2是与每个顶点相关的电荷吗T型、和第页是顶点（电荷）之间的距离。由于所有顶点都表示[SiO4]4−四面体，所有电荷都是相同的，只需设置为1。库仑常数，K（K），调整为增加或减少F类c（c）.
作用于所有顶点和合成坐标的净名义力(x个,年和z（z）)可以计算每个顶点的。在这个计算中，F类秒缩放比例可能不同于F类c（c）允许嵌入任何链图，即使T型–T型和T型⋯T型约束不能完全满足。在这种情况下，T型⋯T型分离是不现实的（小于1.16倍T型–T型距离），以便识别与四面体链的观测度量不兼容的特定链拓扑。
嵌入过程优化的成本函数包括（1）最小化标称值之间的差异T型–T型距离和图中链接顶点的计算间距，以及（2）在差值为正的情况下，最小化图中未链接顶点之间的标称最小距离和计算的链接顶点间距之间的差值，在差值为负的情况下为差值零权重。
3.2. 嵌入式软件：图表T型–T型
图表T型–T型（V1.0Beta）是一个基于web的可视化软件，用于在三维欧几里德空间中嵌入图形，同时限制生成的单位距离图的度量属性。使用3D弹簧力算法计算单位距离图的度量属性，其中初始弹簧长度(T型–T型距离）可以设置为任何值(例如〈T型–T型〉 = 3.06±0.15 Å). 该算法是使用开源算法构建的3d力梯度和ng图形（附录A类). 第三种开源算法，d3-力（附录A类)使用的是利用Verlet集成（Verlet，1967)，通常应用于n个-积分牛顿运动方程的身体问题，其中顶点代表质量等于1的物体（所有顶点代表相同的物体T型阳离子，例如硅4+).
根据牛顿运动定律，使用Barnes–Hut迭代计算作用于特定单位距离图顶点的净力(n个-身体）模拟（Barnes&Hut，1986). 对于F类秒计算，k个可调节，以允许偏离设定的弹簧长度。对于F类c（c）计算，K（K）可调节，以允许发生T型⋯T型间隔小于阈值γ=3.713？（小于1.16倍T型–T型距离）。这个F类c（c）计算涉及所有唯一的顶点对和运行时(第页t吨)的图表T型–T型算法随着顶点数呈指数增长(n个)在输入图中增加(第页t吨按比例增加n个2). 因此，第页t吨对于具有多个顶点的链图来说，是不切实际的大。为了避免此问题，Barnes–Hut模拟将相邻顶点分组为身体并计算出物体电荷中心的位置。计算从每个物体电荷中心施加在所有其他物体上的净斥力，并在每次迭代后用于计算每个顶点的新位置。使用四叉树结构对顶点进行分组，其中链被划分为q个c（c）包含n个质量控制顶点。平均位置n个质量控制顶点在F类c（c）计算和生成的顶点坐标。然而，q个c（c）可以进行调整，以及q个c（c）方法n个,n个质量控制减少和中的错误F类c（c）减少。如果q个c（c）=n个，那么n个质量控制=1，Barnes–Hut模拟与brute-force算法没有区别，其中F类c（c）计算所有唯一的顶点对。当然，通过设置q个c（c）=n个，最终顶点坐标的位置误差将小于q个c（c）<n个但会导致值第页t吨这是不切实际的大。这些位置误差相对于允许值而言通常可以忽略不计T型–T型变化。
这个嵌入参数在里面图表T型–T型包括弹簧系数(k个)，库仑常数(K（K）)弹簧长度、阻力系数、θ、时间步长和冷却时间，所有这些都可以由用户调整。在每次迭代后，可以增加阻力系数来抑制顶点的移动，以减少振荡并加快收敛速度。Theta调整为增加或减少q个c（c）在Barnes–Hut模拟中。调整时间步长以增加或减少每次迭代的速度，并控制如何执行每个运动方程的离散化。在计算停止之前，将调整冷却时间以增加或减少迭代次数。包含具有大量顶点的重复单位的单位距离图通常需要大量迭代才能达到收敛，因此需要相对较长的冷却时间。
非同构链图可能需要稍微不同的嵌入参数来生成满足T型–T型和T型⋯T型约束。此外，可以使用不同的参数嵌入单链图，以生成满足T型–T型和T型⋯T型约束。因此，这一天等。(2024)通过嵌入一系列链图来确定每个参数的理想范围图表T型–T型直到最小值T型⋯T型分离最大化，平均T型–T型距离和平衡弹簧长度最为吻合。这些参数按天列出等。（2024年，表1-4）。一些单位距离图显示了在许多重复单位上发生的失真[例如调制链和螺旋链（白天等。, 2024)]因此必须输入图表T型–T型通过乘法n个t吨（重复单元中的顶点数）对，其中对对于大多数链图，=9–50。例如2五2三五2链图对=9对应于带有n个顶点，其中n个= ∑第页×对=4×9=36个顶点。
如第2.1节所述，四面体之间的平均距离(T型–T型在链状硅酸盐矿物中观察到的距离为3.06º，因此将平衡弹簧长度设置为图表T型–T型到3.06º似乎可行。然而，使用如此小的弹簧长度会导致单位距离图，因为顶点看起来非常接近，所以在视觉上很难理解。为了克服这个问题，我们将弹簧长度设置为50.00，以确保用图表T型–T型很容易理解。虽然这增加了一些链图的收敛时间（最短冷却时间），但不会影响图表T型–T型输出（单位距离图的几何结构）为F类秒和F类c（c）和结果T型–T型距离和T型⋯T型分离量简单地按16.34倍（3.06×16.34=50.00 Au和γ= 50 × 1.16 = 58 Å). 嵌入过程完成后，可以重新缩放(例如50/16.34=3.06º和58/16.34=3.55º），以便将其与T型–T型距离和T型⋯T型晶体结构中观察到的分离。
3.2.1、。嵌入过程的收敛性
在图表T型–T型，当嵌入过程的第一阶段开始时，所有顶点都占据相同的位置(x个,年,z（z）=0，0，0），因此T型–T型距离和T型⋯T型分隔为零。随着嵌入的进行，T型–T型距离将接近设定的弹簧长度T型⋯T型由于包括F类c（c）.平均值T型⋯T型间隔将增加，直到T型–T型到达某一点的距离（受到k个，弹簧系数），使得F类秒不再适用于T型⋯T型分离。此时，单位距离图具有聚合的.
最小值、最大值和平均值T型–T型距离和T型⋯T型分离是实时计算和报告的，这样用户可以确定特定的单位距离图何时收敛。一旦达到收敛，顶点将继续响应F类秒和F类c（c）每个顶点都会围绕一个点振动，以响应这些力。在达到收敛之前，报告T型–T型距离和T型⋯T型分离将趋向于更高或更低的值，尽管发生这种情况的速度可能相对较慢，这取决于k个,K（K）以及阻力系数。对于使用大值收敛的单位距离图k个和K（K），顶点振荡的程度可能相对较大，收敛永远不会导致任何给定顶点的一组坐标，而是一个坐标范围。因此，平均T型–T型距离和最小值T型⋯T型分离度报告为范围[R〈T型–T型\9002；和R \9001T型⋯T型〉最小值在当天的表1-4中等。(2024)]并被称为兼容性参数它们对应的单位距离图。请注意T型⋯T型始终报告为最小值，对于某些单位距离图T型–T型和T型⋯T型可忽略不计（当k个和K（K）相对较小），这些值报告为单个整数（表示为〈T型–T型〉和T型⋯T型最小值)而不是上述范围。
使用嵌入的链图图表T型–T型生成已收敛的单位距离图可以描述为：
（i）兼容的：如果单位距离图收敛到T型–T型和T型⋯T型满足约束条件时，相应的链图可能对应于四面体链，并被视为潜在的兼容的具有晶体结构。
（ii）不兼容：如果单位距离图收敛到T型–T型和/或T型⋯T型如果不满足约束条件，则相应的链图不能对应于四面体链，因此考虑不相容的带有晶体结构。如果单位距离图不收敛（第4.3节)，它是不兼容的。
4.示例：使用嵌入链图图表T型–T型
4.3. 细化嵌入参数：4五2鞋带图形
假设起点为默认嵌入参数集（第3.2节)，可以迭代嵌入给定的链图，并根据兼容性参数（报告的T型–T型距离和T型⋯T型分离）的结果单位距离图朝向理想值的趋势(即如果平均值T型–T型每次嵌入迭代时，距离趋向于设定的弹簧长度）。
到达端点并确定每个嵌入参数的精确值，从而生成具有理想几何体的单位距离图(即 T型–T型距离尽可能接近设定的弹簧长度）可能比较困难且耗时。然而，对于大多数图，嵌入参数不需要细化到使用图表T型–T型是为了确定链图是否与晶体结构的度量兼容或不兼容，这几乎总是可以在完全细化每个嵌入参数之前很好地确定。在下面的示例中，我们展示了如何通过迭代优化k个和K（K），可以确定给定的链图是兼容的还是不兼容的。
考虑图7中的链图(一)具有顶点连接4五2作者称之为鞋带图形并加载到图表T型–T型作为示例链图6。为了确定此链图是否兼容，我们首先将其嵌入图表T型–T型使用图7中的默认嵌入参数(b)和n个设置为10以最小化终止效果。使用这些嵌入参数，链图快速收敛到具有R〈的单位距离图T型⋯T型〉最小值=28.056–28.541Ω和R〈T型–T型〉=37.310–43.306º，因此不兼容（使用默认嵌入参数），因为设置的弹簧长度为30º。接下来，我们可以将嵌入参数设置为Day推荐的参数等。(2024)如图8所示使用这些参数，链图收敛到单位距离图的速度要慢得多T型⋯T型最小值=33.208Ω和R〈T型–T型〉=50.003–50.006 Au，因此不兼容（使用图8中所示的嵌入参数)作为T型⋯T型最小值（=33.208º）小于设定的弹簧长度（50º）。在这里，k个已增加，并且K（K）相对于k个和K（K）用于将此图嵌入到图7中(b). 因此，双方之间的竞争较少F类秒和F类c（c）以及一旦图8中的单位距离图，顶点振荡的程度可以忽略不计已经收敛；从图7的兼容性参数比较中可以明显看出这一点(一)和8如表1所示。接下来，可能希望增加T型⋯T型最小值（如图8所示)通过增加K（K）和减少k个这些结果如表1所示（第[3]-[5]行），其中K（K）从−1.2增加到−2.5到−10.0，同时保持k个相同（0.001）。这导致了T型⋯T型最小值接近允许的阈值γ=58 Au，但R〈也逐渐增加T型–T型〉远离设定的弹簧长度（50º）。这种行为在具有高平均顶点连通性的链图中很常见(例如 4五2)并且是不相容图的特征。
| 挑选出来的k个和K（K） | R〈T型–T型〉 (Å) | R〈T型⋯T型〉最小值(Å) | 图。 | | [1]k个= 0.0008,K（K）=−1.2（默认嵌入参数） | 37.310–43.306 | 28.056–28.541 | 7(b) | | [2]k个= 0.0035,K（K）=−0.003（建议嵌入参数） | 50.003–50.006 | 33.208* | 8 | | [3]k个= 0.001,K（K）= −1.2 | 53.058–56.157 | 37.509–37.556 | – | | [4]k个= 0.001,K（K）= −2.5 | 55.865–60.986 | 40.257–40.418 | – | | [5]k个= 0.001,K（K）= −10.0 | 66.156–77.272 | 51.127–51.351 | – | | [6]k个= 0.001,K（K）= −50.0 | 91.301–116.635 | 72.474–73.803 | 9(一) | | [7]k个= 0.0015,K（K）= −50.0 | 83.188–100.236 | 66.615–67.524 | – | | [8]k个= 0.002,K（K）= −50.0 | 75.300–96.002 | 61.624–63.184 | – | | [9]k个= 0.0025,K（K）= −50.0 | 74.139–91.431 | 57.597–59.950 | 9(b) | | [10]k个= 0.003,K（K）= −50.0 | 不收敛 | – | | [11]k个= 0.004,K（K）= −50.0 | 不收敛 | – | | [12]k个=0.02，K（K）=−50.0 | 不收敛 | 9(c（c）) | | |
![[图7]](uv5025fig7thm.gif)
| 图7
(一)4五2`鞋带链图和(b)使用可视化菜单中显示的默认嵌入参数嵌入的相应单位-距离图。尽管此图收敛，但与R〈不兼容T型–T型\9002；和R \9001T型⋯T型〉最小值分别显著大于和小于设定的弹簧长度（30°）。 |
![[图8]](uv5025fig8thm.gif)
| 图8
这个4五2`使用Day推荐的嵌入参数嵌入鞋带的单位距离图等。(2024). 此图收敛并具有T型–T型距离（R〈T型–T型〉=50.003–50.006 Au）与设定弹簧长度（50 Au）非常一致，但不兼容T型⋯T型最小值= 33.208 Å. |
在图9中(一)（表1，第[6]行），K（K）增加到−50和R〈T型⋯T型〉最小值=72.474–73.803 Au，但为了适应这种变化，R〈T型–T型〉也增加了，现在大约是设定弹簧长度的两倍。因此，现在可以尝试迭代增加k个降低R〈T型–T型〉，如表1所示（第[7]-[12]行）；然而，k个只能在R〈之前增加到0.0025T型⋯T型〉最小值下降到以下γ=58º[图9(b)，表1，第[9]]行。的任何值k个≥0.003，其中K（K） = −50得出的单位距离图不收敛，因此表1中没有报告值对于[10]–[12]。在图9中(c（c）)，显示了非接触单位距离图，其中T型–T型距离和T型⋯T型分离显示出彼此之间的显著偏差。此时，根据表1中的结果，可以得出这样的结论：4五2`鞋带的图形是不兼容的，因为显然没有组合k个和K（K）其中T型–T型和T型⋯T型约束得到满足。虽然只有两个嵌入参数(k个和K（K）)为4五2图表，日等。(2024)确定是否无法通过迭代细化嵌入图以生成兼容的单位距离图K（K）和k个（如上所述），无论其他嵌入参数是如何设置的，图几乎总是不兼容的。
![[图9]](uv5025fig9thm.gif)
| 图9
(一)4五2`鞋带的单位距离图，其中R〈T型–T型〉=91.301–116.635á，因此不兼容，其中k个=0.001和K（K）= −50. 试图降低R〈T型–T型〉,k个增加到0.0025，单位距离图(b)在R〈生产T型–T型〉=74.139–91.431〈和RT型⋯T型〉最小值= 57.597–59.950 Å. 因此，人们可以得出结论，随着k个，试图降低R〈T型–T型〉，将导致R〈减少T型⋯T型〉最小值到以下值γ= 58 Å. 如所示(c（c）)其中k个增加到0.02，则生成的单位距离图不收敛。 |
优化相容图的嵌入参数要简单得多，在大多数情况下，如果Day推荐的嵌入参数，则图的兼容性会立即显现等。(2024)使用。因此，一旦确定了图的兼容性，嵌入参数就没有完全细化到Day等。(2024)因为没有必要继续精炼进一步处理。例如，考虑图5中的图表：使用每个参数的建议值进行嵌入时，很明显图形是兼容的，因为兼容参数与T型–T型和T型⋯T型约束。然而，可以改进兼容性参数(即增加T型⋯T型最小值)通过进一步精炼属于k个和K（K）阻力系数和/或θ值也可以进行细化，但它们对最终兼容性参数的影响通常最小。
5.总结
图表T型–T型（V1.0Beta）被开发用于在三维欧氏空间中嵌入1-周期链图。它使用了概念上的spring-force算法的组合（参见附录中的开源代码链接A类)以及在嵌入过程中，未链接顶点和链接顶点之间的距离(即相应单位距离图中四面体之间的距离）被限制为与链状硅酸盐矿物和相关合成化合物中的距离一致。这里提供了一些示例来演示如何迭代优化嵌入参数(例如弹簧系数，k个和库仑系数，K（K）)以确定输入链图是否与T型O（运行）4四面体。相容链图可能会形成晶体结构，而不相容链图不太可能形成晶体结构。例如，图表T型–T型已被Day广泛使用等。(2024)他嵌入了一套由Day&Hawthorne（2022）生成的观察和假设链式安排)识别控制诸如柔性（或刚性）等属性的链图的拓扑属性。他们表明，大多数具有化学计量比的链T型O（运行）2.5–T型O（运行）2相对刚性和不相容，这可能解释了为什么在链状硅酸盐矿物或相关合成化合物中没有观察到这种链状化学计量。
5.1. 未来的工作
图表T型–T型如果允许，可用于确定多面体的任何0D到3D排列的兼容性T型–T型距离和T型⋯T型在嵌入过程之前确定在类似晶体结构中观察到的分离。目前，我们正在修改图表T型–T型允许分析四面体的混合聚合(例如硅酸铝[（Al3个+，硅4+)O（运行）n个]链）其中嵌入参数是为对应于不同阳离子的顶点集指定的(例如硅4+和Al3个+，或Si4+和As5+). 这也将允许嵌入顶点对应于Si的链图4+和O2−提供了确定O之间排斥作用的机会2负极阴离子对此类图的兼容性的影响。
此版本的图表T型–T型仍在接受作者的beta测试；请向相应作者报告任何问题或建议。基于web的版本图表T型–T型位于https://graphtt.github.io网站。可以在以下位置访问开放源代码：https://github.com/GraphTT/GraphTT.github.io/其中可以下载包含设置和运行所需的所有组件文件的Zip文件图表T型–T型本地。此Zip文件和安装说明也可作为支持信息提供。有关如何安装的信息图表T型–T型本地和如何使用图表T型–T型，参见附录A类.
资金筹措信息
这项工作得到了马尼托巴大学MCD研究生奖学金和加拿大自然科学与工程研究委员会FCH发现基金的支持。
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