Permissible domain walls in monoclinic ferroelectrics. Part II. The case of MC phases

Biran, I.; Gorfman, S.

doi:10.1107/S2053273324002419

研究论文

基础
进展

国际标准编号：2053-2733

第80卷| 第3部分| 2024年5月| 第293-304页

https://doi.org/10.107/S2053273324002419

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单斜晶系中允许的畴壁铁电体。第二部分。案例M（M）_C相位

伊多·比兰 ^一和塞门·戈夫曼 ^一 ^*

^一特拉维夫大学材料科学与工程系，以色列特拉维夫沃尔夫森机械工程大楼，6997801
^*通信电子邮件：gorfman@tauex.tau.ac.il

捷克捷克科学院L.Palatinus编辑(收到日期：2023年10月29日； 2024年3月13日接受；在线2024年4月29日)

本文是澳大利亚墨尔本IUCr 2023大会的一部分，旨在纪念IUCr成立75周年。

单斜铁电相普遍存在于各种功能材料中，尤其是混合离子钙钛矿氧化物。这些相可以表现为规则有序的长程晶体结构或自组装四方/菱面体纳米畴的宏观平均值。单斜铁电相的结构和物理性质在探索铁电性、铁弹性、巨压电性晶体、陶瓷和外延薄膜的多铁性。然而，这一主题的复杂性带来了挑战，特别是在解读单斜结构域的微观结构方面。论文I【Biran&Gorfman（2024）】。《水晶学报》。A类80，112–128]通过配对形成的畴微结构连接的几何原理M（M）_AB公司阐明了类型单斜结构域。具体而言，如Fousek&Janovec最初介绍的那样，建立了“允许的域墙”目录，其中“允许”[J.应用。物理学。(1969),40，135–142]，表示沿相应畴壁的两个单斜畴之间的无错配连接。本文继续先前的工作，详细阐述了允许畴壁的形式，以描述通过配对形成的畴微结构M（M）_C类型单斜畴。与论文I类似，为以下内容提供了84个允许的域墙M（M）_C类型域。每个允许的域壁的特征在于米勒指数，之间的转换矩阵晶体学基础畴矢量和布拉格峰的预期分离与匹配的一对畴衍射。所有这些参数都以分析形式提供，便于直观地解释结果。此外，还为所选的允许域墙实例提供了二维插图。这些发现对于各种与畴相关的计算、涉及用于畴分析的X射线衍射的研究以及畴相关物理性质的描述都有价值。

关键词：铁弹性畴;单斜对称;X射线衍射.

类似文章

1.简介

连接单斜晶系畴的容许畴壁（PDWs）的取向和性质(M（M）_A类/M（M）_B类)对称性在我们的前一篇论文中进行了深入讨论，称为论文I（Biran&Gorfman，2024 ). 除了探索单斜铁电相的动机之外，我们系统地推导了84个PDW的目录，其中包括它们对应的米勒指数，之间的定向关系晶体学基础矢量和Bragg峰之间的分离从沿着特定PDW连接的畴衍射而来。值得注意的是，我们采用了合理的近似值来获得这些量的分析表达式。我们确定了48个W型PDW和36个S型PDW，表明它们是否米勒指数独立于或依赖于自由晶格参数。此外，我们还导出了控制S型畴壁取向的伪立方晶格参数的具体组合，并证明了晶格参数的变化是如何导致畴壁旋转的。

根据Fu&Cohen（2000）)、范德比尔特和科恩（2001）)，诺赫达等人。(1999 2000年 )，单斜铁电相（MFEP）可分为M（M）_A类/M（M）_B类或M（M）_C类型。这些相位通过允许的自发极化结晶方向（如果存在）和一组独立的伪立方晶格参数来区分。这两种类型的MFEP普遍存在于铁电钙钛矿中，并经常用于描述其晶体结构的精细细节（参见例如郭等人。, 2003 ；费兰等人。, 2015 ；王等人。, 2016 ；顾等人。, 2014 ；张等人。, 2011 ). 此外，在铁电体（罗等人。2017年；宾·阿诺兹等人。, 2022 ；德奥利维拉·吉马朗斯等人。, 2022 ；王等人。, 2022 ；盖尔等人。, 2023 ).

论文I关注的是MFEPM（M）_A类/M（M）_B类类型。目前的文章扩展了相同的形式，涵盖了M（M）_C类型。由于本文的框架与论文I的框架紧密一致，因此大部分数学推导都已在支持信息中提供。有关注释的综合列表，请参阅Gorfman论文的相应部分等人。(2022 )和附录A类论文I的。

2.单斜铁电相：重要定义

2.1. 定义M（M）_C单斜相

晶体结构M（M）_CMFEP属于space-group类型下午,个人这些结构是通过从四方描述的对称相变中获得的(T型)空间组类型对4毫米,对4bm公司.“单斜”反射镜(米)/滑动(c（c）)平面平行于伪立方的两条边对齐单位单元格。space-group类型下午,个人允许自发极化方向（SPD）在此镜平面内旋转。此外，这些空间组允许对单位电池保持镜像平面。图1(一)提供了伪立方变形的可视化表示单位电池和可能的SPD旋转。

图1
的示意图M（M）_C单斜结构域。(一)单位电池和SPD的旋转。(b条)[111]-查看赤平投影，显示四方（红色）、菱面体（绿色）和单斜晶界的SPDM（M）_C（蓝色）对称。四方畴（1）、（2）、（3）分别对应于[100]、[010]和[001]SPD。菱形畴（1）、（2）、（3）和（4）对应于[111]， $[[\上划线{1}11]]$ , $[1\上一行{1}1]]$ 和 $[11\上划线{1}]]$ SPD。表1进一步解释了12个单斜域内的这些方向

2.1.1. 自发极化方向

The emergence of theM（M）_C相位T型相位提示我们通过轻微旋转（小角度）定义SPDρ)从一个单位-细胞边缘（例如[001]）朝向另一个单位（例如[100]）。这一定义产生了单斜结构域的不同取向变体，表示为M（M）_纳米，其中第一个索引n个(n个=1–3）指定SPDT型_n个在“父”四方畴中T型₁= [100], T型₂= [010], T型_三= [001]. 第二个索引米列出了单斜畸变的四个选项|米|=1–3，以便|米| ≠n个例如，单斜域M（M）₁₂其SPD从[100]旋转至[010]，而 $[{米}_{1\上划线{2}}]$ 特征从[100]向旋转 $[\left[0\上划线{1}0\右]]$ .图1(b条)代表赤平投影，说明了所有12个单斜域中的潜在SPD。

在下面，我们表示相对于笛卡尔坐标系的轴的SPD，这些轴与伪三次基向量紧密对齐。例如，在M（M）₃₁我们获得的域

$[{\left[{\bf P}\right]}_{31}=[x01]。\等式（1）]$

在这里，我们引入符号

$[x=\tan\rho\simeq\rho+O（{\rho}^{2}）.\eqno（2）]$

2.1.2. 伪立方晶格参数

图1(一)显示了M（M）_C伪立方的畸变单位单元格。相应的伪立方晶格参数一_我, α_我(我=1–3）由四个自变量定义：一, b条, c（c）, β例如，在M（M）₃₁域，我们有 $[{一}_{1} =a]$ , $[{一}_{2} =b]$ , $[{一}_{3} =c]$ , $[{\alpha}{1}={\alfa}{3}]$ = $[{{\pi}/{2}}]$ , $[{\alpha}_{2}=\beta]$ .与这些晶格参数对应的点积矩阵为

$[{left[G\right]}_{31}=\left[\matrix{{a}^{2}&0&ac\cos\beta\cr0&{b}^{2]&0\crac\cos\beta&0&{c}^2}}\right]={b}{2}{（\ left[I\ right]+\ left[{G}^{prime}\right]}_nenenebq 31}）。\等式（3）]$

这里[我]是酉矩阵

$[{left[{G}^{prime}\right]}_{31}=\left[\matrix{A&0&D\cr0&0\crD&0&C}\rift]。\等式（4）]$

假设单斜畸变很小，即保持, $[\Delta\beta=90-\beta]$ ,，我们可以写

$[\matrix{A=\显示样式{{A}^{2}}\ over{b}^{2]}}-1\simeq 2\left \在{{b}^{2}}\cos\beta\simeq\Delta\beta.\cr}\eqno（5）上]$

由此产生的单斜晶格相对于而言是不变的N个_M（M）=4对称操作全面体点编组 2个/米.原始立方晶格相对于而言是不变的N个_C=48次操作全面体点编组米三米考虑到单斜畸变可由这48个等效变体中的任何一个产生，共有 $[{无}_{\rm MD}={无}_{C}（C）/{无}_{M} =12]$ 单斜结构域变体。表1列出了这些域，包括域标识符，M（M）_纳米，的[G公司度量张量、相应的SPD以及晶格参数一₁, 一₂, 一_三, α₁, α₂, α_三.

表1
12单斜的定义(M（M）_Ctype）域

第一列包含域标识符，如图1所示(b条). 第二列显示孪生矩阵[此矩阵的定义由Gorfman解释等人。(2022)以及论文1]的附录。第三列提供每个域的SPD，参考父立方相的笛卡尔轴。第四列是用自由参数表示的伪立方晶格参数一, b条, c（c）, β.符号 $[\breve\beta=\pi-\beta]$ 用于简洁。最后一列的特点是点积的简化矩阵，定义如下 $[{\left[{G}^{prime}\right]}_{mn}]$ = $[（左[G\右]_{mn}/{b}^{2}）-[I]]$ .

域名	孪生矩阵[T型]	[对]_锰	伪立方Lp	[G公司′]_锰
M（M）₁₂	$[\left[\矩阵{0&1&0\cr 0&0&1\cr 1&0}\right]]$	[1x个0]	$[c\a\b\{{pi}\over{2}}\{{pi}\over{2}{\\beta]$	$[\left[\矩阵{C&D&0\cr D&A&0\cr0&0}\right]]$
M（M）₁₃	$[\左[\矩阵{0&0&1\cr 0&\上划线{1}&0\cr 1&0}\右]]$	[10x个]	$[c\b\a\{{\pi}\over{2}}\\beta\{\pi{\over}}]$	$[\left[\矩阵{C&0&D\cr 0&0&0\cr D&0&A}\right]]$
$[{米}_｛1\覆盖线｛2｝｝]$	$[\left[\matrix{0&\overline{1}&0\cr0&0&\ overline{1}\cr1&0}\right]]$	$[1\上一行{x} 0个]]$	$[c\a\b\{{\pi}\over{2}}\{{\ pi}\ over{2]}\\breve{\beta}]$	$[\left[\matrix{C&\overline{D}&0\cr\overline{D}＆A&0\cr 0&0}\right]]$
$[{米}_{1\上划线{3}}]$	$[\left[\矩阵{0&0&\上划线{1}\cr 0&1&0\cr 1&0}\right]]$	$[10\上划线{x}]]$	$[c\b\a\{{pi}\over{2}}\\breve{beta}\{{pi}\over{2}{]$	$[\left[\matrix{C&0&\overline{D}\cr 0&0&0\cr \overline{D}&0&A}\right]]$
M（M）₂₁	$[\left[\matrix｛1&0&0\cr 0&0&\覆盖线｛1｝\cr 0&1&0｝\right]]$	[x个10]	$[a\c\b\{{pi}\over{2}}\{{pi}\over{2}{\\beta]$	$[\left[\矩阵{A&D&0\cr D&C&0\cr0&0}\right]]$
M（M）₂₃	$[\left[\matrix{0&0&1\cr 1&0&0\cr 0&0}\right]]$	[01x个]	$[b\c\a\\beta\{{pi}\over{2}}\{{\pi}\ over{2]}]$	$[\left[\矩阵{0&0&0\cr 0&C&D\cr 0&D&A}\right]]$
$[{米}_{2\上划线{1}}]$	$[\left[\matrix{\overline{1}&0\cr0&0&1\cr0&1&0}\right]]$	$[[\上划线{x} 10个]]$	$[a\c\b\{{\pi}\over{2}}\{{\ pi}\ever{\beta}]$	$[\left[\matrix{A&\overline{D}&0\cr\overline{D}&C&0\cr 0&0}\right]]$
$[{米}_{2\上划线{3}}]$	$[\left[\matrix{0&0&\overline{1}\cr\overline{1}&0&0\cr0&0}\right]]$	$[[01\上划线{x}]]$	$[b\c\a\\breve{\beta}\{{\pi}\over{2}}\{}\pi}\ over{2]}]$	$[\left[\矩阵{0&0&0\cr 0&C&\上划线{D}\cr 0&\上中线{D}&A}\right]]$
M（M）₃₁	$[\left[\matrix{1&0&0\cr0&1&0\cr 0&1}\right]]$	[x个01】	$[a\b\c\{{\pi}\over{2}}\\beta\{\pi{\over}}]$	$[\left[\矩阵{A&0&D\cr 0&0&0\cr D&0&C}\right]]$
M（M）₃₂	$[\左[\矩阵{0&1&0\cr\上划线{1}&0\cr 0&0,1}\右]]$	[0x个1]	$[b\a\c\\beta\{{pi}\over{2}}\{{\pi}\ over{2]}]$	$[\left[\矩阵{0&0&0\cr 0&A&D\cr 0＆D&C}\right]]$
$[{米}_｛3\覆盖线｛1｝｝]$	$[\left[\matrix{\overline{1}&0\cr0&\overline{1}&0\cr 0&1}\right]]$	$[[\上划线{x} 01年]]$	$[a\b\c\{{\pi}\over{2}}\\breve{\beta}\{{\ pi}\ over{2]}]$	$[\left[\矩阵{A&0&\上划线{D}\cr 0&0&0\cr \上划线}\right]]$
$[{米}_{3\上划线{2}}]$	$[\left[\matrix{0&\overline{1}&0\cr1&0\cr 0&0&1}\right]]$	$[[0\上一行{x} 1个]]$	$[b\a\c\\breve{\beta}\{{\pi}\over{2}}\{}\pi}\ over{2]}]$	$[\left[\matrix｛0&0&0 \cr 0&A&\上划线｛D｝\cr 0&\上划线｛D｝&C｝\right]]$

2.2. 域对

这里我们介绍了不同类型的结构域对，分别表示为“T同胞平面”（TSBP）、“T同胞交叉”（TSBC）、“T-planar-1”（TP1）、“S-planar-2”（TP2）、“T-semiplanar”（TSP）、“C-semi-croversed”（TSC）和“T-crossed”（TC）。每对电涌保护器之间的角度可以使用公式（2）计算和表1的第三列表2中列出了与域对类型相关的信息的综合摘要（见图2 –8).

表2
单斜晶系的定义M（M）_C域对类型

第一列和第二列提供域对的完整名称和缩写名称。第三列给出了每对的简明定义。第四列指定角度ξSPD之间的函数ρ（定义如图1所示). 第五列指示相应的域对的数量，而最后一列引用相应的图。

域对类型全名	简称	形式化定义	$[\xi，\breve{\xi}]$	N个对	图。
T形槽板	TSBP公司	$[{米}_{nk}{米}_{n\粉碎{\上划线{k}}]$	2ρ	6	图2
T兄弟交叉	TSBC公司	M（M）_国家银行M（M）_荷兰, \|k个\|≠\|我\|	$[\sqrt 2\rho]$	12	图3
T平面-1	TP1公司	M（M）_国家银行M（M）_毫升\|k个\| =米, \|我\| =n个, 肯尼亚> 0	$[{{\pi}\over{2}}\pm2\rho]$	6	图4
T平面-2	第2页	M（M）_国家银行M（M）_毫升\|k个\| =米, \|我\| =n个, 肯尼亚< 0	$[{{\pi}\over{2}}]$	6	图5
T型半平面	TSP公司	M（M）_国家银行M（M）_百万,n个≠米	$[{{\pi}\over{2}}+O（{\rho}^{2}）]$	6	图6
T型半交叉	TSC公司	$[{米}_{nk}{米}_{m\粉碎{\上划线{k}}，n\ne m]$	$[{{\pi}\over{2}}+O（{\rho}^{2}）]$	6	图7
T型交叉	总费用	M（M）_国家银行M（M）_毫升 n个≠米, \|k个\| ≠ \|我\|,	$[｛\pi｝\over｛2｝｝\mp\rho+O（｛\rho｝^｛3｝）]$	24	图8

图2
“T-sibling-planar”类型的示意图M（M）_C单斜结构域对。术语“T兄弟姐妹”是指T型域父级。该图包括：(一)[111]-查看立体投影，描述了12个单斜域内的SPD。(b条)[110]-查看赤平投影重点是T兄弟对类型，起源于四方T型₁和T型₂域。

图3
与图2相同

但对于M（M）_C“T-siblining-croversed”类型的单斜结构域对。

图4
与图2相同

但对于TP1（T-planar-1）类型M（M）_C单斜结构域对。图形重叠的连接(例如 M（M）₁₂M（M）₂₁和 $[{米}_{1\粉碎{\上划线{2}}}{米}_{2\粉碎{\上划线{1}}]$ )以不同的颜色和线宽绘制。

图5
与图4相同

但对于TP2型（T-planar-2）结构域对的情况。如图4所示

，我们使用不同的颜色和宽度来实现图形化的重叠连接，例如 $[{米}_{13}{米}_{3\粉碎{\上划线{1}}]$ 和 $[{米}_{1\粉碎{\上划线{3}}}{米}_{31}]$ .

图6
与图2相同

但对于M（M）_CTSP（T半平面）型单斜畴对。

图7
与图2相同

但对于M（M）_CTSC（T半杂交）型单斜结构域对。

图8
与图2相同

但对于M（M）_CTC（T-交叉）型的单斜结构域对。

3.不同域对之间PDW的取向

确定两个任意域之间PDW方向的关键步骤（表1)已经在论文I的相应章节中进行了阐述。这些步骤包括计算差值[G公司′]_n个− [G公司′]_米并计算其各自的特征值和特征向量。如论文一所述，我们给出了每种域对类型代表的详细推导。然而，为了简洁起见，大多数技术细节都在支持信息中提供。

3.1. 连接T型同胞平面（TSBP）域对的PDW

支持信息部分S1.1演示了典型TSBP域对的PDW方向推导 $[{米}_{1\粉碎{\上划线{2}}}M_{12}]$ 它揭示了这对域可以通过两个PDW连接，每个PDW垂直于方向 $[{\rm TSBP}_{i}^{\左（1,2\右）}]$ :

$[[{\rm TSBP}^{（1）}]=\左（\matrix{1\cr0\cr0}\right）\quad[{\rma TSBP{^{\左（2\right）}]=\左（\矩阵{0\cr1\cr0}\rift）。\等式（6）]$

如论文一所示，这些向量的分量具有米勒指数PDW平面的。这个米勒指数这两种PDW都与晶格参数无关。根据Fousek&Janovec（1969）)这些是W墙.

3.2. 连接T型同胞交叉（TSBC）域对的PDW

支持信息部分S1.2演示了典型TSBC域对的PDW方向推导M（M）₁₂M（M）₁₃它表明，这对域可以沿着垂直于向量的PDW连接 $[{\rm TSBC}_{i}^{\左（1,2\右）}]$ :

$[[{\rm TSBC}^{（1）}]=\左（\matrix{0\cr\上划线{1}\cr1}\right）\quad[{\rma TSBC{^{\左（2\right）}]=\左（\矩阵{2\cru\cru}\rift）。\等式（7）]$

墙，垂直于[TSBC⁽¹⁾]，可以称为W墙。相比之下米勒指数的S形墙[TSBC公司⁽²⁾]取决于单斜畸变参数u个，定义如下

$[u={{2}\ over{Delta\beta}}\ left（{{a}\ over{b}}-1\ right）.\eqno（8）]$

值得注意的是，虽然等式（8）中的分子和分母涉及小的单斜畸变，其比值一般不小。明确地，u个强烈依赖于和Δβ值得注意的是，该畴壁的取向与单斜晶格参数无关c（c）.表3突出显示以下情况米勒指数S墙是有理数。

表3
特殊情况M（M）_C单斜畸变，导致S墙有理米勒指数对于TSBC域对

第1列：晶格参数的相关条件。第2列：对应值 $[u=（{2}/{\Delta\beta}）[（{a}/{b}）-1]]$ 第3列：特征值λ_3TSBC公司矩阵的[G公司′]₁₂ − [G公司′]₁₃.案例λ_3TSBC公司=0表示域之间的晶格完全重叠。第4列：米勒指数数据仓库的。

晶格参数	u个	λ_3TSBC公司	S墙方向
一=b条	0	$[\sqrt{2}\Delta\beta]$	(100)
Δβ= 0	∞		(011)
$[\Delta\beta=[（{a}/{b}）-1]]$	2	$[\sqrt{6}\Delta\beta]$	(111)

3.3. 连接T-planar-1（TP1）型域对的PDW

支持信息部分S1.3演示了代表性TP1域对之间PDW方向的推导M（M）₁₂M（M）₂₁它揭示了垂直于向量的两个W墙的存在 $[{\rm TP1}_{i}^{\左（1,2\右）}]$ :

$[[{\rm TP1}^{左（1\右）}]=\左（\matrix{1\cr\上划线{1}\cr0}\右）\quad[{\rma TP1{^{右（2\右。\等式（9）]$

3.4。连接T-planar-2（TP2）型域对的PDW

支持信息部分S1.4展示了代表性TP2型畴对之间PDW取向的更复杂推导M（M）₁₂和 $[{米}_｛2\smash｛\overline｛1｝｝｝]$ 分析表明存在两个PDW，每个PDW垂直于向量 $[{\rm TP2}_{i}^{\左（1,2\右）}]$ :

$[\left[{\rm TP2}^{\left（1\right）}\right]=\ left（\matrix{g\cr1\cr0}\right）\quad\left[{\rma TP2{^{\leaft（2\right）}\reight]=\ leaft（\metrix{\overline{1}\crg\cr0}\ right）。\等式（10）]$

这里我们介绍了符号

$[g=s+\sqrt{1+{s}^{2}}\eqno（11）]$

和

$[s={{a}\在{a-c}}\Delta\beta.\eqno（12）上]$

两个PDW都是S墙。它们的方向似乎受到晶格参数的显著影响c（c）,一和Δβ但独立于b条.表4展示了两种特殊/有利的情况，其中这些壁垂直于具有有理米勒指数的方向。

表4
单斜变形的特殊情况，导致S墙有理米勒指数分离TP2域对

列的描述与表3相同，只有第三列包含特征值λ_{3TP2号机组}矩阵的 $[{\left[G'\right]}_{2\粉碎{\overline{1}}}-{\left[{G}'\rift]}_}12}]$ .

晶格参数	秒	λ_{3TP2号机组}	【TP2】⁽¹⁾]-墙方向	【TP2】⁽²⁾]-墙方向
Δβ= 0	0		（110）	$[（\上一行{1}10)]$
c（c）=一	∞	$[-2（｛a｝/｛b｝）\增量\贝塔]$	(100)	(010)

3.5。连接T型半平面（TSP）畴对的PDW

支持信息部分S1.5给出了代表性TSP类型域的PDW定向推导M（M）₃₁M（M）₂₁因此，两个PDW垂直于向量 $[{\rm TSP}_{i}^{左（1,2\右）}]$ 已确定：

$[\left[｛\rm-TSP｝^｛（1）｝\right]=\left（\matrix｛0\cr\overline｛1｝\cr 1｝\right）\quad\left[｛\rm-TSP｝^｛（2）｝\right]=\left（\matrix｛2\cr-t\cr t｝\right）。\等式（13）]$

在这种情况下，使用了以下符号：

$[t={{2}\ over{Delta\beta}}\ left（{{c}\ over{b}}-1\ right）.\eqno（14）]$

表5列出了S墙垂直于[TSP的特殊情况⁽²⁾]，展示理性米勒指数。值得注意的是，墙的方向通常与晶格参数无关一.

表5
同表3仅适用于T半平面型畴对的情况

这里的第二列包含以下特殊值 $[t=（｛2｝/｛\Delta\beta｝）[（｛c｝/｛b｝）-1]]$ 第三列包含矩阵的特征值 $[[{G}']_{21}-[{G}']_{31}]$ 。不匹配连接的条件仅与以下情况相关：λ_{3TSP（3TSP）}≠0（否则域可以沿任何平面连接）。

晶格参数	t吨	λ_{3TSP（3TSP）}	[贸易服务提供商⁽²⁾]-墙方向
$[（{c}/{b}）-1=\Delta\beta]$	2	$[\Delta\beta\sqrt 6]$	(111)
$[（{c}/{b}）-1=（Delta\beta）/{2}]$	1	$[\Delta\beta\sqrt 3]$	(211)
Δβ= 0	∞		(011)
b条=c（c）	0	$[\Delta\beta\sqrt2]$	(100)
$[1-（{c}/{b}）=\Delta\beta]$	$[\上划线{2}]$	$[\Delta\beta\sqrt 6]$	$[（11\上划线{1}）]$
$[1-（{c}/{b}）=（Delta\beta）/{2}]$	$[\overline｛1｝]（上一行｛1｝）$	$[\德尔塔\贝塔\平方英尺6]$	$[（21\上划线{1}）]$

3.6. 连接T型半交叉（TSC）结构域对的PDW

支持信息部分S1.6提供了TSP型代表对的PDW方向推导 $[{米}_{31}{米}_｛2\smash｛\overline｛1｝｝｝]$ 分析表明，这对可能通过两个PDW连接，垂直于向量 $[{\rm TSC}_{i}^{\左（1,2\右）}]$ :

$[\left[{\rm TSC}^{（1）}\right]=\left（\matrix{2\crt\cr\overline{t}}\right）\quad\left[[{\rma TSC{^{（2）}\reght]=\ left（\ matrix}0\cr1\cr1}\rift）。\等式（15）]$

与上面讨论的一些情况类似，这里同时存在W型和S型畴壁（DW）。[TSC⁽¹⁾]S墙表现合理米勒指数包含在表5中.

3.7. 缺少连接T交叉型（TC）域对的PDW

支持信息第S1.7节讨论了这样一个事实，即通常不存在连接TC类型域对的PDW。

4.变换矩阵和布拉格峰之间的分离

支持信息部分S2提供了两个域的伪三次基向量之间的“Delta”变换矩阵的推导米和n个.这些矩阵[ΔS公司]定义如下：

$[左（矩阵{{\bfa}}{1n}和{\bf-a}}{2n}&{\bf a}}}{3n}}右）=\左（矩阵}{\bfa}}{1m}和。\等式（16）]$

推导这些矩阵的方法与论文I中描述的程序一致。这些变换矩阵支持各种域相关计算，例如精确计算沿相关PDW连接的相应域对中SPD之间的角度。最值得注意的是，形式主义提供了布拉格峰分离的表达式香港（HKL）从这些畴对衍射而来。这种分离可以使用矩阵计算[ΔS公司*]在相应的倒数晶格矢量之间：

$[\left（\matrix{{\bfa}}{1n}^{*}&{\bva}}{2n}^}&{\bf a}}{3n}^{*}}\ right）=\left右）（\left[I\right]+[\Delta{S}^{*}]）。\方程式（17）]$

这导致了Bragg峰相对于区域倒数坐标系的分裂表达式米:

$[\left（\matrix{\Delta H\cr\Delta K\cr\Delta L}\right）=[\Delta{S}^{*}]\ left（\tright）。\等号（18）]$

这种分裂通常在高分辨率单晶衍射实验中进行测量（Gorfman&Thomas，2010 ；弗根捷夫等人。, 2016 ；张等人。, 2018 ；雀等人。, 2018 ；戈夫曼等人。, 2011 , 2020 , 2021 , 2022). 因此，表达式（18）直接应用于识别三维衍射图案中的连通域对。值得注意的是，当单斜畸变参数（5）很小，这些变换矩阵的元素以及布拉格峰分离的分量都可以通过分析获得（参见S2.1–S2.6节中的相应表达式）。

5.数值示例

在本节中，我们将说明PDW的基本原理以及相关Bragg峰之间的分离，重点是TP1和TP2类型的畴对。假设这些对有一个共同的单斜双轴，我们可以在垂直于该轴的单斜镜平面内的2D图上说明这些域之间的联系[图1中突出显示了该平面(一)].

对于TP1案例，我们说明了域之间的连接M（M）₁₂M（M）₂₁。这些域具有晶格参数c（c） 一 b条 $[｛\pi｝/｛2｝｝]$ $[{{\pi}/{2}}]$ β和一 c（c） b条 $[{{\pi}/{2}}]$ $[{{\pi}/{2}}]$ β分别为（表1). 对于这个数值示例，我们假设和β= 88°. 根据（9）这些域沿着（110）或 $[（1\上划线{1} 0个)]$ PDW，两面墙垂直于镜像平面。图9(一)说明了这些域的（110）-连接。值得注意的是，这些域可以自组织成薄片型微结构模式，其中M（M）₁₂和M（M）₂₁区域沿PDW法线周期性交替。这种安排引入了金所讨论的“自适应”阶段的概念等人。(2003 )、Viehland&Salje（2014年 ). 在这个概念中，畴的交替和小型化创造了宏观长期周期性和对称性由畴的体积比控制的状态，而不仅仅是它们的晶格参数。图9(一)说明了这种交替的可能性，同时避免了域小型化的影响。此外，图9(b条)描述了这些畴的倒易晶格，清楚地表明从相应匹配畴衍射的布拉格峰之间的分离发生在平行于PDW法线的方向。值得注意的是，如Wang（2006）所述，由于畴小型化和周期性，可能会出现额外的衍射效应 , 2007 )在四方和菱面体纳米畴的情况下。

图9
TP1型域对的图示M（M）₁₂（域1）和M（M）₂₁（域2）沿（110）PDW连接。(一)真实空间图解：域由单斜镜平面内的2D晶格表示（该平面在图1中突出显示

). 域1和域2的晶格节点分别用红色和蓝色标记。阴影平行四边形显示了伪立方的放大截面单位电池带有明确标记的相关晶格参数。(b条)互惠空间图示：香港0域1和域2（分别为红点和蓝点）的倒易晶格截面；虚线与PDW平行，箭头表示PDW法线。相应的倒格子点之间的间隔沿PDW法线。

对于TP2案例，我们阐明了M（M）₁₂和 $[{米}_{2\上划线{1}}]$ 域。这些域具有相应的晶格参数c（c） 一 b条 $[{{\pi}/{2}}]$ $[{{\pi}/{2}}]$ β和一 c（c） b条 $[{{\pi}/{2}}]$ $[{{\pi}/{2}}]$ $[\breve\beta]$ 分别为（表1). 根据（10）这些域可以沿S墙形成连接(克10）和 $[（\上一行{1} 第0组)]$ 。在这个具体的数值示例中和β=88°，我们根据（11）得出和（12）,克≃ 0.52. 图10(一)说明了 $[{米}_{12} {米}_{2\上划线{1}}]$ 沿着(克10）平面，如图9所示(一)，而图10(b条)提供了它们对应的倒格子的可视化表示。需要注意的是，该墙的方向可能会随着晶格参数的变化而变化。

图10
同图9

但对于TP2域对的情况M（M）₁₂（域1）和 $[{米}_{2\上划线{1}}]$ （域2）沿允许的(克10）域墙。值得注意的是，这个PDW是一个S墙，即根据方程（10），这面墙的方向取决于自由单斜晶格参数

6.汇总表

前面的段落和支持信息概述了PDW方程式的推导米勒指数，晶格基矢量之间的取向关系，以及从代表性畴对衍射出的布拉格峰的分离。对于所有其他域对，也可以导出类似的方程。此处提供的表格和图表列出了所有84个现有PDW的相应数量。完整列表包括：

12个连接“T-sibling-planar”类型域对的PDW。所有这些都是W墙。

24个PDW连接“T-sibling-croversed”类型的域对。其中12个是W形墙，另外12个是S形墙。

连接“T-planar-1”型域对的12个PDW。所有这些都是W墙。

连接“T-planar-2”型域对的12个PDW。所有这些都是S形墙。

12个连接“T半平面”型畴对的PDW。其中六个是W墙，另外六个是S墙。

12个连接“T半交叉”型域对的PDW。其中六个是W墙，另外六个是S墙。

表6 –11包含84个PDW的列表，包括36个S墙和48个W墙。每个表包括PDW编号、连接域的标识符、米勒指数在相应的PDW中，布拉格峰之间的取向关系和倒数空间间隔从该畴对衍射而来。此外，这些表的第五列包含SPD之间的近似角度，提供零或最小域壁电荷，这意味着SPD（如表1所示)畴壁两侧的标记应与畴壁法线上的投影相同。例如，表6显示TSBP对M（M）₁₂和 $[{米}_｛1\smash｛\overline｛2｝｝｝]$ 可以沿着平行于（100）或（010）晶格平面的PDW连接。根据表1这些域包含与方向平行（或反平行）的极化矢量x个0]或 $[1\上一行{x} 0个]]$ 这些方向到（100）法线的投影等于1，而这些方向到平面法线的投影为 $[\pm x（下午x点）]$ 因此，（100）DW应使用极化矢量分隔域 $[\left[1x0\right]\|\[1\上划线{x} 0个]]$ 它们之间的角度接近0。相反，（010）DW应使用极化矢量分隔域 $[\left[1x0\right]\|\[\上划线{1} x0个]]$ 它们之间的夹角接近180°。

表6
12个连接T型同胞平面域对的PDW汇总

第1列：DW编号。第2列和第3列：域标识符（按照图1中的定义和表1). 第4列：米勒指数数据仓库的。第5列：SPD之间的角度，对应于零DW电荷的条件。第6列：变换矩阵([ΔS公司])域的基向量之间米₁n个₁域的基向量米₂n个₂第7列：布拉格峰与指数的分离H（H）, K（K）, 我从这些区域衍射。

N个	M（M）_{米₁n个₁}	M（M）_{米₂n个₂}	(香港特别行政区)	ξ(°)	[ΔS公司]（2）Δβ)	[ΔB类] (2Δβ)
1	M（M）₁₂	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{2}}]$	(100)	0	$[\左（\矩阵{0&0&0\cr\上划线{1}&0\cr 0&0}\右）]$	$[K\左（\矩阵{1\cr0\cr0}\右）]$
2	M（M）₁₂	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{2}}]$	(010)	180	$[\left（\matrix｛0&\overline｛1｝&0\cr 0&0&0\cr 0&0&0｝\right）]$	$[H\左（\矩阵{0\cr 1\cr 0}\右）]$
三	M（M）₁₃	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{3}}]$	(001)	180	$[\left（\matrix{0&0&\overline{1}\cr 0&0~0\cr 0~0}\right）]$	$[H\左（\矩阵{0\cr 0\cr 1}\右）]$
4	M（M）₁₃	$[{米}_｛1\smash｛\overline｛3｝｝｝｝]$	(100)	0	$[\左（\matrix{0&0&0\cr 0&0\ cr\上划线{1}&0&0}\右）]$	$[L\左（\矩阵{1\cr 0\cr 0}\右）]$
5	M（M）₂₃	$[{米}_｛2\smash｛\overline｛3｝｝｝]$	(010)	0	$[\left（\matrix｛0&0&0 \cr 0&0&0 \cr 0&\覆盖线｛1｝&0｝\right）]$	$[L\左（\矩阵{0\cr 1\cr 0}\右）]$
6	M（M）₂₃	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{3}}]$	(001)	180	$[\左（\矩阵{0&0&0\cr 0&0&\上横线{1}\cr 0＆0}\右）]$	$[K\左（\矩阵{0\cr 0\cr 1}\右）]$
7	M（M）₂₁	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{1}}]$	(100)	180	$[\左（\矩阵{0&0&0\cr\上划线{1}&0\cr 0&0}\右）]$	$[K\左（\矩阵{1\cr0\cr0}\右）]$
8	M（M）₂₁	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{1}}]$	(010)	0	$[\left（\matrix{0&\overline{1}&0\cr0&0&0\cr 0&0}\right）]$	$[H\左（\矩阵{0\cr 1\cr 0}\右）]$
9	M（M）₃₁	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{1}}]$	(001)	0	$[\left（\matrix{0&0&\overline{1}\cr 0&0~0\cr 0~0}\right）]$	$[H\左（\矩阵{0\cr 0\cr 1}\右）]$
10	M（M）₃₁	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{1}}]$	(100)	180	$[\左（\matrix{0&0&0\cr 0&0\ cr\上划线{1}&0&0}\右）]$	$[L\左（\矩阵{1\cr 0\cr 0}\右）]$
11	M（M）₃₂	$[{米}_｛3\smash｛\overline｛2｝｝｝]$	(010)	180	$[\左（\矩阵{0&0&0\cr 0&0\ cr 0&\上划线{1}&0}\右）]$	$[L\左（\矩阵{0\cr 1\cr 0}\右）]$
12	M（M）₃₂	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{2}}]$	(001)	0	$[\左（\矩阵{0&0&0\cr 0&0&\上横线{1}\cr 0＆0}\右）]$	$[K\left（\matrix｛0\cr 0\cr 1｝\right）]$

表7
同表6但对于连接T型同胞交叉域对的PDW

N个	M（M）_{米₁n个₁}	M（M）_{米₂n个₂}	(香港特别行政区)	ξ(°)	[ΔS公司] ( $[{{\Delta\beta}/{2}}]$ )	[ΔB类] ( $[{{\Delta\beta}/{2}}]$ )
13	M（M）₁₂	M（M）₁₃	(2你)	0	$[\左（\matrix{0&0&0\cr\上划线{2}&\上划线}&\下划线{u}\cr2&u&u}\right）]$	$[（K-L）\左（\矩阵{2\cru\cru}\右）]$
14	M（M）₁₂	M（M）₁₃	$[（0\上一行{1}1)]$	180	$[\left（\matrix{0&\overline{2}&2\cr0&\surline{u}&u\cr0&\ overline}&u}\right）]$	$[（2\overline｛H｝+u\overline｛K｝+u\overline｛L｝）\left（\matrix｛0\cr\overline｛1｝\cr 1｝\right）]$
15	M（M）₁₂	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{3}}]$		0	$[\left（\matrix{0&0&0\cr\上划线{2}&\overline{u}&u\cr\下划线{2{&\overrine{u{u}\right）]$	$[（上划线{K}+\上划线{L}）\左（\matrix{\上划线{2}\cr\下划线{u}\cru}\右）]$
16	M（M）₁₂	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{3}}]$	(011)	180	$[\left（\matrix{0&\overline{2}&\overrine{2neneneep \cr0&\surrine{u}&\surline{u{cr0&u&u}\right）]$	$[（2H+uK+u\上划线{L}）\左（\矩阵{0\cr1\cr1}\右）]$
17	M（M）₁₃	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{2}}]$	$[（\上一行{2} u个\上划线{u}）]$	0	$[\left（\matrix{0&0&0\cr\上划线{2}&u&\overline{u}\cr\下划线{2{&u&\上划线}\right）]$	$[（上划线{K}+\下划线{L}）\左（\矩阵{\上划线{2}\cru\cr\上划线}\右）]$
18	M（M）₁₃	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{2}}]$	(011)	180	$[\left（\matrix{0&\overline{2}&\overrine{2neneneep \cr0&u&u\cr0&\overline{u}&\surline{u}}\right）]$	$[（2H+u\上划线{K}+uL）\左（\矩阵{0\cr1\cr1}\右）]$
19	$[{米}_｛1\smash｛\overline｛2｝｝｝]$	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{3}}]$	$[（\上一行{2} 无人机)]$	0	$[\左（\matrix{0&0&0\cr2&\上划线{u}&\上中线{u}\cr\上划线}&u&u}\right）]$	$[（K+上划线{L}）\左（\矩阵{上划线{2}\cru\cru}\右）]$
20	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{2}}]$	$[{米}_｛1\smash｛\overline｛3｝｝｝｝]$	$[（0\上一行{1}1)]$	180	$[\left（\matrix{0&2&\overline{2}\cr0&\overrine{u}&u\cr0&\overline{u}&u}\right）]$	$[（2H+u\上划线{K}+u\下划线{L}）\左（\矩阵{0\cr\上划线}\cr1}\右）]$
21	M（M）₂₃	M（M）₂₁	(u个2u个)	0	$[\left（\matrix{u&2&u\cr0&0&0\cr\上划线{u}&\上划线{2}&\上划线}\右）]$	$[（上划线{H}+L）\左（\矩阵{u\cr2\cru}\右）]$
22	M（M）₂₃	M（M）₂₁	$[（\上一行{1}01)]$	180	$[\左（\matrix{u&0&\上划线{u}\cr2&0&\overline{2}\cru&0&\overline{u}}\right）]$	$[（uH+2K+uL）\left（\matrix{\overline{1}\cr0\cr1}\right）]$
23	M（M）₂₃	$[{米}_｛2\smash｛\overline｛1｝｝｝]$	$[（\上一行{u} 2个)]$	0	$[\left（\matrix{u&\overline{2}&\overrine{u}\cr0&0\cru&\surline{2]&\overvline{u}}\right）]$	$[（H+L）\左（\矩阵{\上划线{u}\cr 2\cr u}\右）]$
24	M（M）₂₃	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{1}}]$	(101)	180	$[\left（\matrix{u&0&u\cr\上划线{2}&0&\上划线[2}\cr\下划线{u}&0&\上划线}\right）]$	$[（u\上划线{H}+2K+uL）\左（\矩阵{1\cr0\cr1}\右）]$
25	M（M）₂₁	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{3}}]$	$[（上划线{u}\上划线{2} u个)]$	0	$[左（矩阵{\上划线{u}&\上划线}&u\cr0&0&0\cr\上划线[u}&\上划线{2}&u}\right）]$	$[（上划线{H}+\上划线{L}）\左（\matrix{\上划线{u}\cr\下划线{2}\cru}\right）]$
26	M（M）₂₁	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{3}}]$	(101)	180	$[\left（\matrix{\overline{u}&0&\overline{u}\cr\ overline}2}&0&\overling{2}\cru&0&u}\right）]$	$[（uH+2K+u\上划线{L}）\左（\矩阵{1\cr0\cr1}\右）]$
27	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{3}}]$	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{1}}]$	$[（u\上划线{2} u个)]$	0	$[\left（\matrix｛u&\overline｛2｝&u\cr 0&0&0\cr\overline｛u｝&2&\overline｛u｝｝\right）]$	$[（上划线{H}+L）\左（\矩阵{u\cr\上划线{2}\cru}\右）]$
28	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{3}}]$	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{1}}]$	$[（\上一行{1}01)]$	180	$[\left（\matrix{u&0&\overline{u}\cr\overline{2}&0&2\cru&0&\overlline{u}}\right）]$	$[（uH+2\overline｛K｝+uL）\left（\matrix｛\overline｛1｝\cr 0\cr 1｝\right）]$
29	M（M）₃₁	M（M）₃₂	(你2)	0	$[\left（\matrix{\overline{u}&\overline{u}&\overrine{2}\cru&u-2\cr0&0}\right）]$	$[（H+\上划线{K}）\左（\矩阵{u\cru\cr2}\右）]$
30	M（M）₃₁	M（M）₃₂	$[（\上一行{1}10)]$	180	$[\left（\matrix{\overline{u}&u&0\cr\overline{u}&u&0 \cr\ overline[2}&2&0}\right）]$	$[（u\上划线{H}+u\下划线{K}+2\上划线}）\左（\矩阵{\上划线[1}\cr1\cr0}\右）]$
31	M（M）₃₁	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{2}}]$	$[（u\上划线{u} 2个)]$	0	$[\left（\matrix｛\overline｛u｝&u&&\overline｛2｝\cr\overline｛u｝&u&&\overline｛2｝\cr 0&0&0｝\right）]$	$[（H+K）\左（\矩阵{u\cr\上划线{u}\cr2}\右）]$
32	M（M）₃₁	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{2}}]$	（110）	180	$[\left（\matrix{\overline{u}&\overline{u}&0\cru&u&0\cr \overlline{2}&0}\right）]$	$[（uH+u\上划线{K}+2L）\左（\矩阵{1\cr1\cr0}\右）]$
33	M（M）₃₂	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{1}}]$	$[（\上一行{u} u2型)]$	0	$[左（\matrix{u&\overline{u}&\overrine{2}\cru和\overline{u}和\overrine{2}\cr0&0}\right）]$	$[（H+K）\左（\矩阵{\上划线{u}\cru\cr2}\右）]$
34	M（M）₃₂	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{1}}]$	（110）	180	$[\left（\matrix{u&u&0\cr\上划线{u}&\overline{u}和0\cr\overline{2}&\surline{2}&0}\right）]$	$[（u\上划线{H}+uK+2L）\左（\矩阵{1\cr1\cr0}\右）]$
35	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{1}}]$	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{2}}]$	$[（上划线{u}\上划线{u} 2个)]$	0	$[\left（\matrix{\overline{u}&\overline{u}-2\cru&u&\overrine{2}\cr0&0}\right）]$	$[（上划线{H}+K）\左（矩阵{上划线{u}\cr\上划线{u}\cr2}\右）]$
36	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{1}}]$	$[{米}_｛3\smash｛\overline｛2｝｝｝]$	$[（\上一行{1}10)]$	180	$[\left（\matrix{\overline{u}&u&0\cr\overline{u}&u&0 \cr2&\overlline{2}&0}\right）]$	$[（u\上划线{H}+u\下划线{K}+2L）\左（\矩阵{上划线{1}\cr1\cr0}\右）]$

表8
同表6但对于连接T-planar-1型域对的PDW

N个	M（M）_{米₁n个₁}	M（M）_{米₂n个₂}	(香港特别行政区)	ξ(°)	[ΔS公司]	[ΔB类]
37	M（M）₁₂	M（M）₂₁	$[（\上一行{1}10)]$	90	$[\left（\matrix{\overline{1}&0\cr\overline{1}&0\cr 0&0}\right）]$	$[（上划线{H}+\上划线{K}）\左（\矩阵{上划线{1}\cr1\cr0}\右）]$
38	M（M）₁₂	M（M）₂₁	（110）	90	$[\left（\matrix{\overline{1}&\overline{1}&0\cr1&1&0\cr0&0}\right）]$	$[（H+\上划线{K}）\左（\矩阵{1\cr1\cr0}\右）]$
39	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{2}}]$	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{1}}]$	$[（\上一行{1} 10个)]$	90	$[\left（\matrix{\overline{1}&0\cr\overline{1}&0\cr 0&0}\right）]$	$[（上划线{H}+\上划线{K}）\左（\矩阵{上划线{1}\cr1\cr0}\右）]$
40	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{2}}]$	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{1}}]$	（110）	90	$[\left（\matrix{\overline{1}&\overline{1}&0\cr1&1&0\cr0&0}\right）]$	$[（H+\上划线{K}）\左（\矩阵{1\cr1\cr0}\右）]$
41	M（M）₁₃	M（M）₃₁	$[（\上一行{1}01)]$	90	$[\左（\矩阵{\上划线{1}&0&1\cr0&0\cr\上划线}&0~1}\右）]$	$[（上划线{H}+\上划线{L}）\左（\矩阵{上划线{1}\cr0\cr1}\右）]$
42	M（M）₁₃	M（M）₃₁	(101)	90	$[\left（\matrix{\overline{1}&0&\overline{1}\cr0和0&0\cr1和0&1}\right）]$	$[（H+\上划线{L}）\左（\矩阵{1\cr0\cr1}\右）]$
43	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{3}}]$	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{1}}]$	$[（\上一行{1}01)]$	90	$[\左（\矩阵{\上划线{1}&0&1\cr0&0\cr\上划线}&0~1}\右）]$	$[（上划线{H}+\上划线{L}）\左（\矩阵{上划线{1}\cr0\cr1}\右）]$
44	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{3}}]$	$[{米}_｛3\smash｛\overline｛1｝｝｝]$	(101)	90	$[\left（\matrix{\overline{1}&0&\overline{1}\cr0和0&0\cr1和0&1}\right）]$	$[（H+\上划线{L}）\左（\矩阵{1\cr0\cr1}\右）]$
45	M（M）₂₃	M（M）₃₂	$[（0\上划线{1}1)]$	90	$[\left（\matrix{0&0&0\cr0&\上划线{1}&1\cr0&\overline{1}&1}\right）]$	$[（上划线{K}+\下划线{L}）\左（\矩阵{0\cr\上划线{1}\cr1}\右）]$
46	M（M）₂₃	M（M）₃₂	（011）	90	$[\左（\矩阵{0&0&0\cr 0&\上划线{1}&\上中线{1}\cr 0~1}\右）]$	$[（K+\上划线{L}）\左（\矩阵{0\cr1\cr1}\右）]$
47	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{3}}]$	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{2}}]$	$[（0\上一行{1}1)]$	90	$[\left（\matrix{0&0&0\cr0&\上划线{1}&1\cr0&\overline{1}&1}\right）]$	$[（上划线{K}+\下划线{L}）\左（\矩阵{0\cr\上划线{1}\cr1}\右）]$
48	$[{米}_｛2\smash｛\overline｛3｝｝｝]$	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{2}}]$	（011）	90	$[\左（\矩阵{0&0&0\cr 0&\上划线{1}&\上中线{1}\cr 0~1}\右）]$	$[（K+\上划线{L}）\左（\矩阵{0\cr1\cr1}\右）]$

表9
同表6但对于连接T-planar-2型域对的PDW

N个	M（M）_{米₁n个₁}	M（M）_{米₂n个₂}	(香港特别行政区)	ξ(°)	[ΔS公司]	[ΔB类]
49	M（M）₁₂	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{1}}]$	$[（\上一行{1} 第0组)]$	90	$[\左（\矩阵{\上划线{1}&g&0\cr{\下划线{g}}^{-1}&1&0\cr 0&0}\右）]$	$[（上划线{H}+{g}^{-1}\上划线{K}）\left（\matrix{\overline{1}\crg \cr0}\ right）]$
50	M（M）₁₂	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{1}}]$	(克10)	90	$[\左（\矩阵{\上划线{1}&{\下划线{g}}^{-1}&0\crg&1&0\cr 0&0&0}\右）]$	$[（{g}）^{-1}高+\上划线{K}）\左（\矩阵{g\cr1\cr0}\右）]$
51	M（M）₁₃	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{1}}]$	$[（\上一行{1} 0克)]$	90	$[\left（\matrix｛\overline｛1｝&0&g\cr 0&0&0\cr｛\overline｛g｝｝^｛-1｝&0&1｝\right）]$	$[（上划线{H}+{g}^{-1}\上划线{L}）\左（矩阵{上划线{1}\cr 0\cr g}\右）]$
52	M（M）₁₃	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{1}}]$	(克01)	90	$[\left（\matrix{\overline{1}&0&{\overrine{g}}^{-1}\cr0&0\crg&0&1}\right）]$	$[（{g}）^{-1}高+\overline｛L｝）\left（\matrix｛g\cr 0\cr 1｝\right）]$
53	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{2}}]$	M（M）₂₁	(1克0）	90	$[\left（\matrix{\overline{1}&\overline{g}&0\cr{g}^{-1}&1&0\cr 0&0}\right）]$	$[（H+{g}^{-1}\上横线{K}）\左（\矩阵{1\cr g\cr 0}\右）]$
54	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{2}}]$	M（M）₂₁	$[（\上一行{g} 10个)]$	90	$[左（矩阵{上划线{1}和{g}^{-1}和0\cr\上划线{g}和1&0\cr0&0&0}\右）]$	$[（{g}^{-1}\上划线{H}+\下划线{K}）\左（\矩阵{\上划线}\cr1\cr0}\右）]$
55	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{3}}]$	M（M）₃₁	(10克)	90	$[\left（\matrix｛\overline｛1｝&0&\overline｛g｝\cr 0&0&0\cr｛g｝^｛-1｝&0&1｝\right）]$	$[（H+{g}^{-1}\上横线{L}）\左（\矩阵{1\cr0\crg}\右）]$
56	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{3}}]$	M（M）₃₁	$[（\上一行{g} 01年)]$	90	$[左（矩阵{上划线{1}&0&{g}^{-1}\cr0&0&0\cr\上划线{g}&0~1}\右）]$	$[（{g}^{-1}\上划线{H}+\下划线{L}）\左（\矩阵{\上划线}\cr0\cr1}\右）]$
57	M（M）₂₃	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{2}}]$	$[（0\上一行{1} 克)]$	90	$[\左（\矩阵{0&0&0\cr0&\上划线{1}&g\cr0＆{上划线{g}}^{-1}&1}\右）]$	$[（上划线{K}+{g}^{-1}\上划线{L}）\左（\矩阵{0\cr\上划线}\crg}\右）]$
58	M（M）₂₃	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{2}}]$	(0克1)	90	$[\左（\矩阵{0&0&0\cr0&\上划线{1}&{上划线{g}}^{-1}\cr0＆g&1}\右）]$	$[（{g}）^{-1}K+\上划线{L}）\左（\矩阵{0\cr g\cr 1}\右）]$
59	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{3}}]$	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{2}}]$	(01克)	90	$[\left（\matrix｛0&0&0 \cr 0&\overline｛1｝&\overline｛g｝\cr 0&｛g｝^｛-1｝&1｝\right）]$	$[（K+{g}^{-1}\上横线{L}）\左（\矩阵{0\cr1\crg}\右）]$
60	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{3}}]$	M（M）₃₂	$[（0\上一行{g} 1个)]$	90	$[左（矩阵{0&0&0\cr0&\上划线{1}&{g}^{-1}\cr0&上划线{g}&1}\右）]$	$[（{g}^{-1}\上划线{K}+\下划线{L}）\左（\矩阵{0\cr\上划线}\cr1}\右）]$

表10
同表6但对于连接T型半平面畴对的PDW

N个	M（M）_{米₁n个₁}	M（M）_{米₂n个₂}	(香港特别行政区)	ξ(°)	[ΔS公司] $[[（\Delta\beta）/{2}]]$	[ΔB类] $[[（\Delta\beta）/｛2｝]]$
61	M（M）₁₂	M（M）₃₂	(t吨2t吨)	90	$[左（矩阵{上划线{t}和上划线{2}和\上划线{t}\cr 0&0\cr t&2&t}\右）]$	$[（H+\上划线{L}）\左（\矩阵{t\cr2\crt}\右）]$
62	M（M）₁₂	M（M）₃₂	$[（\上一行{1}01)]$	90	$[左（矩阵{上划线{t}&0&t\cr\上划线{2}&0~2\cr\上中线{t}&0&t}\右）]$	$[（t上划线{H}+2\上划线{K}+t下划线{L}）\左（\矩阵{上划线{1}\cr 0\cr 1}\右）]$
63	M（M）₁₃	M（M）₂₃	(tt公司2)	90	$[左（矩阵{\上划线{t}&\上划线}&\下划线{2}\crt&t&2\cr0&0}\right）]$	$[（H+\overline｛K｝）\left（\matrix｛t\cr t\cr 2｝\right）]$
64	M（M）₁₃	M（M）₂₃	$[（\上一行{1}10)]$	90	$[左（矩阵{\上划线{t}&t&0\cr\上划线}&t-0\cr\下划线{2}&2&0}\右）]$	$[（t上划线{H}+t上划线}K}+2\上划线{L}）\左（\矩阵{上划线{1}\cr 1\cr 0}\右）]$
65	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{2}}]$	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{2}}]$		90	$[左（矩阵{\上划线{t}&2&\上划线}\cr0&0&0\crt&\上中线{2}&t}\右）]$	$[（H+\上测线{L}）\左（\矩阵{t\cr\上测线上{2}\crt}\右）]$
66	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{2}}]$	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{2}}]$	$[（\上一行{1}01)]$	90	$[左（矩阵{上划线{t}&0&t\cr2&0&\上划线{2}\cr\上划线}&0&t}\右）]$	$[（t上划线{H}+2\上划线{K}+t下划线{L}）\左（\矩阵{上划线{1}\cr 0\cr 1}\右）]$
67	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{3}}]$	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{3}}]$		90	$[\左（\矩阵{\上划线{t}&\上划线}&2\crt&t&\上中线{2}\cr0&0}\右）]$	$[（上划线{H}+K）\左（矩阵{上划线{t}\cr\上划线{t}\cr2}\右）]$
68	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{3}}]$	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{3}}]$	$[（\上一行{1}10)]$	90	$[\left（\matrix｛\overline｛t｝&t&0\cr\overline｛t｝&t&0\cr2&\ overline｛2｝&0｝\right）]$	$[（t上划线{H}+t上划线}K}+2L）\左（\矩阵{上划线{1}\cr 1\cr 0}\右）]$
69	M（M）₂₁	M（M）₃₁	(2tt公司)	90	$[\左（\matrix{0&0&0\cr\上划线{2}&\上划线}&\下划线{t}\cr2&t}\right）]$	$[（K+\上划线{L}）\左（\矩阵{2\crt\crt}\右）]$
70	M（M）₂₁	M（M）₃₁	$[（0\上一行{1}1)]$	90	$[\left（\matrix{0&\overline{2}&2\cr0&\surline{t}&t\cr0&\ overline}&t}\right）]$	$[（2\上划线{H}+t\上划线{K}+t\下划线{L}）\左（\矩阵{0\cr\下划线{1}\cr1}\右）]$
71	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{1}}]$	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{1}}]$	$[（\上一行{2} tt公司)]$	90	$[\left（\matrix{0&0\cr2&\overline{t}&\overrine{t{cr\overline{2}&t&t}\right）]$	$[（K+\overline{L}）\左（\matrix{\overline{2}\crt\crt}\右）]$
72	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{1}}]$	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{1}}]$	$[（0\上一行{1}1)]$	90	$[\left（\matrix{0&2&\overline{2}\cr0&\overrine{t}&t\cr0&\ overline}&t}\right）]$	$[（2\上划线{H}+tK+tL）\左（\矩阵{0\cr\上划线{1}\cr1}\右）]$

表11
同表6但对于连接T型半交叉畴对的PDW

N个	M（M）_{米₁n个₁}	M（M）_{米₂n个₂}	(香港特别行政区)	ξ(°)	[ΔS公司] $[[（{\Delta\beta}）/{2}]]$	[ΔB类] $[[（{\Delta\beta}）/{2}]]$
73	M（M）₁₂	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{2}}]$		90	$[左（矩阵{上划线{t}和上划线{2}和t\cr0&0&0\cr\上划线{t}和\上划线{2}和t}\右）]$	$[（上划线{H}+\下划线{L}）\左（\矩阵{\上划线{t}\cr\上划线{2}\crt}\右）]$
74	M（M）₁₂	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{2}}]$	(101)	90	$[左（矩阵{上划线{t}&0&\上划线{t}\cr\上划线}2}&0&上划线{2}\crt&0&t}\右）]$	$[（tH+2K+t\覆盖线｛L｝）\左（\矩阵｛1\cr 0\cr 1｝\右）]$
75	M（M）₁₃	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{3}}]$		90	$[左（矩阵{上划线{t}&t&\上划线{2}\cr\上划线}&t&\上划线[2}\cr0&0}\right）]$	$[（H+K）\左（\矩阵{t\cr\上划线{t}\cr2}\右）]$
76	M（M）₁₃	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{3}}]$	（110）	90	$[\left（\matrix｛\overline｛t｝&\overline｛t｝&0\cr t&t&0\cr \overline｛2｝&\overline｛2｝&0｝\right）]$	$[（tH+t\上划线{K}+2L）\左（\矩阵{1\cr1\cr0}\右）]$
77	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{2}}]$	M（M）₃₂	$[（\上一行{t} 2吨)]$	90	$[左（矩阵{上划线{t}&2&t\cr0&0&0\cr\上划线{t}&2&t}\右）]$	$[（上划线{H}+\上划线{L}）\左（\矩阵{上划线{t}\cr2\crt}\右）]$
78	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{2}}]$	M（M）₃₂	(101)	90	$[\左（\矩阵{\上划线{t}&0&\上划线}\cr2&0&2\crt&0&t}\右）]$	$[（tH+2\上划线{K}+t\上划线{L}）\左（\矩阵{1\cr0\cr1}\右）]$
79	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{3}}]$	M（M）₂₃	$[（\overline）{t} t2时间)]$	90	$[\左（\矩阵{\上划线{t}&t&2\cr\上划线}&t-2\cr0&0}\右）]$	$[（上划线{H}+\上划线{K}）\左（\矩阵{上划线{t}\crt\cr2}\右）]$
80	$[{米}_{1\粉碎{\上划线{3}}]$	M（M）₂₃	（110）	90	$[\left（\matrix{\overline{t}&\overline{t}&0\crt&t&0\cr 2&0}\right）]$	$[（tH+t\上划线{K}+2\上划线{L}）\左（\矩阵{1\cr1\cr0}\右）]$
81	M（M）₂₁	M（M）₃₁		90	$[\left（\matrix{0&0&0\cr\上划线{2}&\overline{t}&t\cr\overline{2}&\overrine{t}&t}\right）]$	$[（上划线{K}+\上划线{L}）\左（\matrix{\上划线{2}\cr\下划线{t}\crt}\右）]$
82	M（M）₂₁	$[{米}_{3\粉碎{\上划线{1}}]$	(011)	90	$[\left（\matrix{0&\overline{2}&\overrine{2neneneep \cr0&\surrine{t}&\surline{tneneneep \cr0&t&t}\right）]$	$[（2H+tK+t\上划线{L}）\左（\矩阵{0\cr1\cr1}\右）]$
83	$[{米}_{2\粉碎{\上划线{1}}]$	M（M）₃₁	$[（2\上划线{t} t吨)]$	90	$[\左（\matrix{0&0&0\cr2&\上划线{t}&t\cr2&\overline{t}&t}\右）]$	$[（上划线{K}+\下划线{L}）\左（\矩阵{2\cr\上划线{t}\crt}\右）]$
84	$[{米}_｛2\smash｛\overline｛1｝｝｝]$	M（M）₃₁	(011)	90	$[\左（\矩阵{0&2&2\cr0&\上划线{t}&\上中线{t}\cr0&t}\右）]$	$[（2\上划线{H}+tK+t\上划线{L}）\左（\矩阵{0\cr1\cr1}\右）]$

表6 –11显示某些W墙具有相同的方向。表12呈现了所有不同的PDW方向及其相关细节。结果表明，所有PDW均属于五个定向家族{100}、{110}、}2你}, {克01}, {2tt公司}，因此存在45个不同方向的PDW。此外，该表显示了基于对类型和偏振方向之间的角度的PDW分布。

表12
PDW的五个定向族及其在不同类型域对之间的分布

第1列：方向族的标识符，{}表示米三米-等效方向。例如，{110}表示（011）、（101）、（110）、， $[\左（01\上划线{1}\右），（10\上划线}）]$ 和 $[（01\overline｛1｝）]$ 第2列：定向系列中不同定向的数量。第3列：特定定向系列的PDW数量。其余列：根据对类型和极化方向之间的“零电荷”角分布这些PDW。

{香港特别行政区}	M（M）	N个	TSBP 0（TSBP 0）	TSBP 180型	TSBC 0	TSBC 180型	TP1 90型	TP2 90型	TSP 90型	TSC 90型
{100}	三	12	6	6	0	0	0	0	0	0
｛110｝	6	36	0	0	0	12	12	0	0	0
{2你}	12	12	0	0	12	0	0	0	0	0
{克01}	12	12	0	0	0	0	0	12	0	0
{2tt公司}	12	12	0	0	0	0	0	0	6	6
所有墙壁	45	84

图11显示用于各种晶格参数选择的所有PDW的方向。这些墙的法线是使用赤平投影。W墙用带有实线边缘的电杆进行标记，电杆的颜色反映SPD之间的角度，接近0、90和180°（如表4所示).

图11
所有PDW法线的方向。共有45个不同的PDW取向分布在五个取向家族中。法线是使用赤平投影上的极点沿[001]方向绘制的，极点对应于由实线框成的W墙。晶格参数是任意选择的。

7.结论

在本研究中，我们应用允许畴壁几何理论（PDWs）编制了一份包含84个连接单斜晶系铁弹性畴的PDWs的综合列表M（M）_C对称性。我们的列表不仅包括米勒指数同时还包括变换相应伪三次基向量的矩阵和计算相应布拉格峰对之间倒数空间间隔的公式。这84个PDW包含45个不同的方向，并分为五个不同的定向系列。

我们对这个广泛列表的推导基于以下假设：( $[Pm\上一行{3} 米)]$ 单斜相(下午/个人)相导致形成12个铁弹性单斜畴。这种转变的第一步，从立方 $[Pm\上一行{3} 米]$ 到正方形对4毫米/对4bm公司相位，导致产生三个铁弹性畴。在第二步中，从正方形对4毫米/对4bm公司到单斜下午/个人相，这三个域中的每一个都分为一组四个单斜域。我们已经确定了六种不同类型的结构域对，分别称为“T同胞平面”、“T同胞交叉”、“T-planar-1”、“S-planar-2”、“T-semiplanar”和“T-semi-crossized”，每种结构域对都具有PDW取向的各自表达特征。如前所示（Fousek&Janovec，1969；萨普利尔，1975年 )，我们得到米勒指数PDW的值可以保持固定（W壁）或取决于单斜晶格参数的值（S壁）。我们的研究表明，S墙的方向可以由三个简单的参数决定，u个,克,t吨具有 $[u\simeq（{2}/{\Delta\beta}）[（{a}/{b}）-1]]$ , $[g=s+\sqrt{1+{s}^{2}}]$ {此处 $[s=[{a}/（a-c）]\增量\β]$ }和 $[\simeq（｛2｝/｛\Delta\beta｝）[（｛c｝/｛b｝）-1]]$ .

我们的工作结果（包括当前的和前一个）在几个方面都是有用的。首先，畴壁定向的简单解析表达式有助于描述通过畴壁旋转或畴壁运动进行的畴切换。例如，这种过程可以通过温度变化或施加外部电场来启动。其次，计算布拉格峰间距的公式（如表6所示–11)可以利用单晶X射线衍射促进单斜畴图案的研究。最后，我们提供了一些表达式，这些表达式对于精确计算各个区域的自发极化方向之间的夹角很有价值。

支持信息

支持信息。内政部：https://doi.org/10.107/S2053273324002419/lu5034sup1.pdf

资金筹措信息

已确认以下资助：以色列科学基金会（授予Semön Gorfman第1561/18号、第1365/21号；授予第1365/23号）；美国-以色列两国科学基金会（奖项编号：2018161）。

工具书类

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