1.简介

多层脂质组合在生命系统中起着许多重要作用。例如，增加蛋白质复合物的体积浓度[如线粒体嵴（Fontanesi，2015）)或在叶绿体中的类囊体堆栈中（Mustárdy等。, 2008)]提供电绝缘（例如轴突周围的髓鞘；Bean，2007年)调节组织的结构和渗透性（例如皮肤角质层；岩壁等。, 2012). 也使用多层结构在体外通常由刚性基质支撑，用于研究各种生物物理现象，如膜膨胀（Kuklin等。, 2020)膜融合（庞培等。, 2005)以及生物膜和药物分子之间的相互作用（Jaksch等。, 2015; 曼吉亚皮亚等。, 2017). 除了用作研究自然发生的膜堆的工具外，支撑的多层膜组件还发现了越来越多的实际应用，例如在疾病诊断中（Sloan等。, 2013)，电池感应（Minner等。2014年)和药物输送（Joo等。, 2013)，并显示出作为催化底物的潜力（Heath等。, 2017)和可调谐光子晶体（Lenhert等。, 2010). 这种应用依赖于对多层膜系统的结构和动力学以及支撑它们的生物物理过程的全面理解。因此，这一领域的进一步发展与描述它们的实验和理论模型的发展密不可分。

多层膜结构的集体动力学非常适合用散射方法进行研究。在动态等技术方面光散射（DLS）、中子自旋回波光谱（NSE）和X射线光子相关光谱（XPCS），样品的动力学作为两种能量的函数进行了探测(即动力学的时间尺度）和动量传递。这使得可以根据波动发生的长度刻度来描述观察到的波动。例如，NSE技术能够研究在10ps和100ns之间的弛豫时间q个-小角中子散射（SANS）覆盖区域内的矢量，即0.02至～0.5º之间（Holderer&Ivanova，2015年)；这大致对应于膜集体波动模式的能量和长度尺度（凯利等。, 2019). 较小时间和长度尺度上的动力学(即单个分子的运动）可以用非弹性中子散射（Rheinstädter等。, 2004). 对于具有较长松弛时间和较大长度尺度的动力学（例如沿相边界的毛细管波），可以使用XPCS或DLS（Sikharulidze等。, 2002; 辛哈等。2014年). 通过在同一系统上采用几种互补技术，可以构建色散关系的整体图（Rheinstädter等。, 2006). 通过结合XPCS和NSE，在广泛的长度尺度和时间尺度上研究了近晶膜的表面起伏，以研究毛细波，分离正常方向和平面内方向的动力学（Sikharulidze等。2003年). 最近，掠入射中子自旋回波光谱（GINSES）已被证明可以提供更多关于支撑双层在更大长度尺度（最高达1µm）上的动力学信息。GINSES在磷脂膜的膜堆上的测量显示出一种平面内振荡模式，这种模式以前在多层软物质中没有观察到（Jaksch等。, 2017). 随后，在掠入射小角度中子散射（GISANS；Jaksch等。, 2019).

为了解释上述散射技术的结果，有必要对潜在的物理现象进行合理的理论描述，并将此理论基础与实验观测联系起来。在支撑多层系统的情况下，Romanov和Ul'yanov的工作提供了理论基础，以下称为Romanov模型（Romanov&Ul'ianov，2002). 罗曼诺夫模型最初用于表征支撑液晶近晶薄膜的行为，它描述了与固体支撑相邻的离散层系统的涨落光谱以及相关散射。这项综合工作的结果已被用于解释有关波动幅度的实验数据（孔德克等。, 2017)和波动频率（Brotons等。, 2005)并验证描述支撑多层系统动力学的替代模型（Constantin等。2003年).

在这项工作中，罗曼诺夫和乌里扬诺夫的严格理论框架被扩展到了时域，并进一步发展到膜同步器软件。该软件能够计算静态和动态结构因子，并可用于解释支撑软多层系统的实验散射数据。我们首先介绍了计算背后的数学框架，然后简要讨论了实现，最后评估了各种输入参数对最终结果的影响，并讨论了如何在实践中使用这些信息。

2.理论

2.1. 罗曼诺夫模型

罗曼诺夫模型的完整描述可以在其他地方找到（罗曼诺夫·乌尔扬诺夫，2002)；然而，在此重申要点是有益的。该公式基于以下系统N个等距分布的离散平行层d日_层，自由能由表面积分给出，

哪里u个_n个是（标量）z（z）-层的位移（垂直于基底）n个在点第页_⊥在中xy公司平面，B类和K（K）分别为层压缩常数和弹性常数，γ是表面张力，积分是一个曲面积分。

在此几何图形中，层N个对应于固定基板(即 u个_N个=0），层1是自由表面。假设层的运动n个仅由于弹性力产生，−d日⁻¹(δF类/δu个_n个)和粘性力，η_三Δ_⊥(∂u个_n个/∂t吨)（其中η_三是层滑动粘度），可以构造一组方程来定义每个层的运动。如果另外假设在平行于基板的方向上，各层的范围是无限的，并且运动受形式的平面波控制

二维傅里叶变换产生了一组线性齐次方程，可以通过求解这些方程来给出系统的本征模式(即本征频率和层位移振幅 u个_n个^(我)对于每个模式我). 在最初的工作中，这些方程是在极限情况下解析求解的和使用切比雪夫多项式。在这项工作中，所有值的根都是用数字找到的q个_⊥图1显示了四层和九层系统的本征模式（除不动基板外）.

图1 波动幅度和本征频率的比较ω我用于不同层n个，模式我和总层数N个对于给定的q个⊥.波长(一)和(b条)标准化，以便ω我=N个− 1= 1; 波动幅度同样归一化为我=N个− 1. 除了区分相邻层外，颜色并不重要。

空间相关函数通过方程（1）中的自由能表达式获得。这可以在傅里叶表示中重新表述为

哪里M（M）_纳米是三对角矩阵的矩阵元素

哪里

注意方程（4）直接源自描述层运动的线性齐次方程组。在一级近似下，每一层仅与上下层相互作用，当以矩阵形式书写时，产生三对角性。空间层位移相关函数由下式给出

在最初的工作中，使用切比雪夫多项式再次求解相关函数。最后，通过计算X射线（电子）或中子（核）散射长度标记的原子位置来确定预期散射强度(即散射长度密度与其倒数卷积）。这相当于计算Patterson函数用于膜堆

因此散射强度由下式给出

哪里ρ_秒是层中分子的面积密度ρ_M（M）是沿分子散射长度密度（SLD）的傅里叶变换z（z）轴。请注意，尽管它们共享相同的物理单位，并且在原始模型中确实都由相同的符号表示，但这两个量问和q个是不同的，不应混淆。小写q个是与方程（2）中引入的平面波相关联的波矢量并在方程（3）中形成积分变量.大写字母问是散射矢量，这是一个实验变量。在上面的公式中，方程（8一)给出了散射长度密度对比度的贡献，方程（8b条)给出了层-层距离的贡献，方程（8c)给出了均方位移和方程（8）的贡献d日)给出了层位移相关函数，

哪里∧是薄膜表面的空间范围。有关如何实现这些方程并将其扩展到时域的详细信息，请参见支持信息.

3.结果

由于模型中存在大量实验变量，因此依次检查每个变量的影响是有益的。通过这种方式，可以建立一个关于每个参数如何影响支撑层片系统动力学的综合图。为了帮助解释，还使用一个简单的指数模型拟合了一组模拟的中间散射函数，该模型具有以下形式的振荡分量

哪里A类是高原的大小，B类是振荡的振幅，β是衰减常数， γ是振荡的相对频率δ是振荡的相位。图2显示了这些参数的图形表示，以及模拟中间散射函数的拟合示例。虽然这个简单的模型没有完美地复制模拟数据，但它足以识别出最感兴趣的参数集，以便进行进一步的实验研究（例如，具有强烈振荡的缓慢衰减）。除非另有说明，否则用于生成本节其余部分结果的参数如表1所示.

图2 (一)显示条款贡献的插图A类,B类和β（虚线）到S公司适合式（10）中（实线）。(b条)代表性计算的中间散射函数，S公司(问,τ)，使用表1中给出的参数对于N个=3、5和10（圆）。随后用方程式（10）拟合计算数据（虚线）。

3.1. 散射矢量：问_⊥和问_z（z）

散射向量将中间散射函数以及动力学与观测到的长度尺度联系起来。对于平面外散射矢量问_z（z），动力学对相关峰的位置非常敏感，如图3所示.高原的高度随着增加而逐渐降低问_z（z）同时与基西格条纹和相关峰振荡。这个衰减常数在一系列波谷和波峰之后，前者与相关峰重合。这减缓了相关峰值处的动力学S公司(问)被称为de Gennes变窄，并有很好的记录（de Gennes，1959; 持有人等。, 2007; Sobolev，2016年; 吴等。, 2018). 关键的是，中间散射函数中的振荡幅度也在相关峰附近出现极大值。这大概是因为问-值一是显式地探测平均层-层分离距离，从而探测层-层相关函数。当考察层间间距在常数下的行为时，可以发现这种效应的必然结果问_z（z）。结果显示在支持信息并强调了系统对样品厚度微小变化的敏感性。为了进行模型验证问_z（z）该值将位于高阶布拉格峰值的肩部；这里，中间散射函数（ISF）的振荡仍然很强，动力学速度足够快，不需要很长的傅里叶时间。

图3 不同平面外散射矢量的模拟结果概述。(一)散射强度τ对于不同的总层数=0。中间散射函数随时间变化的演化问z（z）如所示(b条)中的所有数据(c)用于选定的示例。(d日)拟合值的相应演变。中带阴影的绿色条(d日)突出显示了最清楚地观察到集体动态行为的区域。使用的标准参数值见表1.

ISF的行为随着增长问_⊥如图4所示在较小的面内散射矢量下，平台与相对较强的振荡保持接近一致。相反，对于较大的面内散射矢量，ISF衰减到很低的平台，几乎没有振荡。高水平/强振荡和低水平/弱振荡之间的过渡发生在问_⊥≃ 0.005–0.008 Å⁻¹该阈值标记了观察到集体行为的近似边界，并被认为与主要膜振荡的波长相对应，在这种情况下为～80 nm。有趣的是，这几乎与通过GISANS（Jaksch等。, 2019).

图4 不同面内散射矢量的模拟结果概述。中间散射函数随时间变化的整体演化问⊥一些有代表性的例子如(一)和(b条)，同时(c)显示了拟合值的相应演变。带阴影的绿色条突出显示了最清晰地观察到集体动态行为的区域。使用的标准参数值见表1.

3.2. 层数：N个

增加系统层数的效果如图5所示堆叠中薄片的数量主要以两种方式影响观察到的动力学。首先，层的数量影响静态结构系数 S公司(问，0），如图3所示(一). 增加层数会产生更尖锐的布拉格峰和更多的条纹结构因素。如上所示，散射函数S公司(问,τ)对被探测的散射矢量相当敏感(即邻近问_z（z）达到静态结构系数的峰值）。然而，通过探测布拉格峰肩上的散射矢量，可以在一定程度上降低这种灵敏度。

图5 不同值的模拟结果概述N个，总层数。中间散射函数随时间变化的整体演化N个一些代表性示例如所示(一)和(b条)分别是。(c)显示每次计算所用的时间（点）和预期t吨≃ [N个(N个+1）]/2相关性（虚线）。使用的标准参数值见表1.

其次，层的数量影响整个系统的动态：存在的层越多，可用能量模式的数量越大。重要的是，这意味着最靠近固体表面的层的波动幅度以离散（不一定是线性）方式变化。这样做的效果是，动力学行为并不随层数线性变化，如图5中较深和较浅的条纹所示(一). 对于实验系统来说，这可能是一个问题，因为精确的层数不一定是已知的，也不一定是照明样品上的常量。然而，一般来说，可以看出，增加层数会抑制集体动力学（较低的振荡幅度），减缓整体动力学（较小的衰减常数）。

还应注意，增加系统中的层数会增加计算时间；这可以在图5中看到(c). 在单核上，五层系统的一个ISF的计算时间约为180秒。计算时间随t吨≃ [N个(N个+1）]/2，直接源于相关函数总数的相关性u个_纳米必须在具有N个层。对于较大的系统，观察到计算时间的增长速度比这种三角缩放更快，这很可能是由于与存储和操作超大阵列相关的瓶颈造成的。

3.3. 层压缩模量：B类

层压缩模量描述了层抵抗面积变化的能力；压缩模量越高，层越硬。在脂质多层体系中，压缩模量与层的组成（赛义德马辛等。, 2019)以及头部组的水合作用（Binder&Gawrisch，2001)因此，确定何时表征多层样品非常有用。作为层压缩模量函数的动力学行为如图6所示可以看出，随着膜压缩模量的增加，ISF振荡的振幅减小，平台高度增加。这种动力学特征的减弱是意料之中的，因为在给定的热能下，较硬的膜比较软的膜承受的变形更小。在图6中(b条)还可以看出，振动频率随着压缩模量的增加而增加。

图6 不同层压缩模量的模拟结果概述。中间散射函数随时间变化的整体演化B类一些代表性示例如所示(一)和(b条)，同时(c)显示了拟合值的相应演变。带阴影的绿色条突出显示了集体动态行为最稳定的区域。使用的标准参数值见表1.

3.4. 层滑粘度：η_三

决定层间粘性相互作用的层滑动粘度对系统动力学也有重大影响（图7). 在低粘度下，中间散射函数的初始衰减很快，振荡幅度很大。随着粘度的增加，系统变得更加阻尼，从而初始衰减变慢，振荡幅度减小，平台高度增加。振动振幅中的小峰值η_三≃0.001 Pa s是拟合过程的伪影，因为拟合函数的振荡部分具有均匀的振幅，并且没有捕获模拟中出现的衰减振幅。

图7 不同层滑动粘度的模拟结果概述。中间散射函数随时间变化的整体演化η三一些代表性示例如所示(一)和(b条)，同时(c)显示了拟合值的相应演变。使用的标准参数值见表1.

从实验角度来看，层振荡振幅的强烈影响也很有用。与层压缩模量相反，层滑动粘度不能通过X射线或中子反射率测量来确定。在最近一项关于盐浓度对脂质膜堆叠行为影响的GINSES研究中MembaneDyn公司程序表明，随着NaCl（Jaksch）的加入，层滑粘度降低等。, 2021).

3.5. 层弯曲模量：κ

图8显示了层弯曲模量如何影响动力学κ，与体积模量有关K（K）通过K（K）=κ/d日_层正如罗曼诺夫和乌尔扬诺夫在最初的工作中已经认识到的那样，弯曲模量对支撑多层系统的动力学只有极小的影响。下伏高原的高度随着增加而略有增加κ; 然而，这种影响很小，在大多数系统感兴趣的范围内可以忽略。

图8 不同层弯曲模量的模拟结果概述。(一)中间散射函数随时间变化的演化κ和(b条)一些选定的示例。使用的标准参数值见表1.

4.讨论和结论

在这项工作中，我们将数学框架扩展到时域，以计算由Romanov和Ul'yanov首次开发的支撑膜堆的静态散射函数，从而产生归一化的中间散射函数S公司(问,τ)/S公司(问,τ= 0). 这是在掠入射条件下，我们可以通过中子自旋回波光谱实验获得的一个量。从上面给出的示例中，在具有少量层、低层压缩模量和低层粘度的系统中观察到最强的振荡。此外，在较小的面内散射矢量下，可以最好地观察到振荡行为(问_⊥<0.008º），对应于较大的实际空间长度尺度，以及计划外散射矢量问_z（z）在布拉格峰的肩膀上。

实际上，先前公布的实验GINSES数据表明，支撑膜中的集体动力学比膜同步器模拟预测（见图9一). 造成这种差异的部分原因可能是散射函数过于简化。这个膜同步器程序将每个层视为一个薄膜，忽略层的厚度、散射长度密度（SLD）对比度和层的形状因子。这并不是不合理的，因为ISF被归一化为一个单位，而且测量时间太长，以至于只有一个散射矢量问可以在典型的实验中进行探索。然而，不能排除这些参数的包含(即厚度、形状系数和对比度）是进行定量分析和拟合所必需的，尽管相关的计算时间增加了。

图9 (一)实验数据的比较（之前在Jaksch上发布等。, 2017)带有薄膜丁模拟。参数如表1所示，但以下情况除外：N个= 10,B类=5×106 N米−2,η三= 1 × 10−3Pas.英寸(b条)实验数据经过了不同的背景减除和归一化处理。请注意，这只是一个例子，说明背景减法和标准化中的微小差异如何影响数据；这不合适。

对这种差异的进一步可能解释源于实验考虑。在GINSES实验中，测量的中间散射函数可能会受到测量背景的影响。特别是，由于掠入射几何形状，确定和分离散射函数弹性（非衰减）部分的不同贡献或非相干散射。这可能会导致归一化和/或背景减法中出现较大错误。这一点如图9所示(b条)，其中数据已经经历了稍微不同的归一化和背景减法。注意，图9中的模拟动力学(一)和9(b条)相同；数据尚未拟合。这些问题可以通过优化实验方法以及使用虚拟GISANS实验来解决（对于界面处的聚合物，请参见Kyrey等。, 2021)其中可以模拟这些贡献。

除了实现厚度、形状系数和对比度贡献外，在计算时间方面还有优化的余地。在实际空间和互易空间由于方程（9）中的贝塞尔函数振荡，因此精确虽然高斯截点允许通过稀疏积分点以稳定可靠的方式实现实际空间积分，但目前的瓶颈在于反向空间积分步骤。由于高频振荡，目前需要大量积分点（～2000）。自适应例程可用于优化集成步骤，但不幸的是，这些例程与程序的当前结构不兼容，需要进行重大修改。有关集成步骤和所用参数的更多详细信息，请参阅支持信息。我们认为膜同步器该程序可以以完全定量的方式用于拟合和解释实验GINSES数据，特别是在实施了上述部分（或全部）改进后。

5.代码可用性

描述界面处膜波动的Fortran代码可以在https://jugit.fz-juelich.de/nneurns/membranedyn。该存储库还包含一个Jupyter笔记本，其中包含作为模块导入的Fortran例程。

6.相关文献

以下参考引用于支持信息本文作者：乌伦贝克和奥恩斯坦（1930）).