1.简介

岩石学和矿物学研究通常在抛光材料上进行，偏光显微镜仍然是用于此目的的基本工具。地质学学位通常包括几门涉及偏光显微镜使用的实践课程，该工具在固体化学、材料科学、考古学、陶瓷学、艺术保护和法医学等许多其他领域也很有用。不幸的是，专门学习晶体光学原理和结晶学的课程在世界各地的地质系都在减少。40年前就指出了这种情况（Donnay&Donnay，1978)从那以后几乎没有什么变化。尽管有所下降，偏光显微镜仍然是详细研究岩石和矿物的最常用工具。只有当用户理解并应用晶体光学原理时，使用这种显微镜才能获得最佳效果，但不幸的是，作为基本矿物学课程的一部分，只会定期教授有关此类领域的简短课程。

晶体光学可以被认为是物理学的一个分支，起源于对光在各向异性介质（如大多数矿物）中传播时的行为的描述。固态激光器等发现起源于晶体光学原理（Tareen&Kutty，2001）). 为了回顾早期对光学的贡献，读者可以参考Laporte（2012）在书中的介绍). 矿物学家开设晶体光学课程时，有许多经典书籍已经再版(例如菲利普斯，1971年; 盖伊，1982年; 布洛斯，1999年). 这些书强调光学理论，并为理解光学矿物学提供了基础，其使用应辅以培训和丰富多彩的教科书，包括详尽的矿物描述和光学数据(例如巴克，2014年). 不幸的是，在许多地质学院中，理论往往被忽略，而被实际的规定性方法所取代。由于缺乏理论概念，学生无法充分发展光学矿物学的技能和理解。教材的基本内容包括光的性质、各向同性和各向异性介质以及光学指标；光-物质相互作用（本质上是简单的双折射现象）；偏光显微镜及其部件和调整（包括产生干涉颜色和干涉图形）。根据这些，光学指标、干涉色和锥形显微镜（干涉图、光学符号，2V（V）双轴介质中的角度等）被大多数学生认为是最难的部分。对光学指标的良好理解对于理解所有其他困难部分和正确解释偏振显微镜观察到的现象非常有用。

具有数学发展的高级教科书，可从电磁场方程和张量的广泛使用中导出指标（Lipson等。, 2010)用于物理学、物理光学或光学科学等高度专业化的研究生课程。这些都不在光学矿物学的范围内，而且几乎从未被作为教授给地质学本科生的晶体光学的资源。大多数推荐的教科书以图形方式处理指标，包括描述指标轴测投影的图形和相关章节，以说明其使用。晶体光学并没有真正从地质学本科教育中消失，但浓缩的内容并不能帮助学生对这门学科感到自信。他们认为这很困难，许多人对振动方向、波前、轨迹、干涉颜色和干涉图形有着不必要的复杂想法。重振课堂水晶光学的一种方法是替换或补充教科书中的静态图形，这些静态图形只能通过交互式数字资源或物理模型等更动态的组件投射到课堂中。

2.光学指标教学

当学生第一次接触到各向异性介质中的光传播现象时，他们通常会感到困惑。非铜晶体材料表现出一系列折射率，而不是离散值。每折射率给定材料的振动方向与光在该方向上振动的相应速度相关。光学指示器是晶体固体在通过它的光的任何振动方向上的折射率的几何表示。指示器的构造方式使折射率绘制为与光的振动方向平行的半径。从形态学上看，各向同性材料（立方和非晶固体）的光学指标是球形的；高对称（六角形、四方形和三角形）各向异性材料的各向异性材料是具有单个光轴的球体（或旋转椭球体）；对于低对称性（正交、单斜和三斜）各向异性材料，折射体是一个具有两个光轴的三轴椭球体。

光学指示器不仅用于可视化给定光学介质折射率的范围和变化。通过对指标的相关部分进行分析，可以帮助学生详细检查光通过固体介质的行为。可以列出这种几何表示的许多用途。以下是其中的一些：（i）它可以用来说明诺依曼原理（Nye，1985）)并找出晶体任何物理性质的对称性（以折射率为例）与其结构对称性之间牢不可破的联系；（ii）指示器的光轴显示了这些光路如何不产生双折射，并且沿着它们，光的行为就像在各向同性材料中一样；（iii）也可以使用光学指示器来理解双折射现象以及偏振光的产生；（iv）材料的给定部分及其指示物产生的双折射是理解偏振显微镜操作的基础，以及光学符号、延迟、干涉和干涉颜色的概念；（v） 普通光线和非常光线的概念及其形成也可以用光学指标来理解；（vi）最后，可以使用指标非常详细地分析双折射，因为对于任何方向进入材料的任何光束，可以确定两个光束的振动方向及其相关路径。

晶体光学入门课程通常从一开始就包括光学指标的概念。学生必须内化两种相关类型指标（单轴和双轴）及其变体的特征，以充分利用其用途。这需要像晶体学的许多其他领域一样的空间可视化能力。物理模型的使用在教授其他需要空间可视化的晶体学概念方面已经很成熟，例如点对称性团体（Gremilon，1982; 图雷特，2004)或者只是为了使用普通的球杆模型来帮助可视化分子和结构（Turner，1971). 然而，对于光学指标，学生通常必须依赖专业教科书中的数字，这些数字通常描述了椭球体或椭球体截面的轴测投影及其在固体-光相互作用情况下的主要相关特征（Nesse&Schultze，2004)比如光轴、振动方向、波法线、波前和光线的方向。在课堂上，椭球的实际操作经验通常仅限于足球（各向同性椭球）和橄榄球（单轴椭球）；对于双轴椭球体，没有明显的类似物（可能是压缩橄榄球）（图1). 然而，这些物体都不能进行几何分析。

图1 用相应的类似物表示各向同性（左）、单轴（中）和双轴（右）指标（下）。

光学指示器上的数字资源相当稀缺。Danakas（2017）利用Wolfram的可计算文档格式编写了一个有价值的交互式计算演示). 它允许制作光学指示器和正常表面的三维虚拟模型（或k个表面）的任何主要折射率组合。该工具可用于可视化和虚拟操纵椭球体以及相应的光轴，但其目的是用作物理光学的支撑材料，而不是用作更实用的光学分支，如晶体或矿物光学。在YouTube上，可以观看四个视频短片，展示正、负光学信号单轴和双轴指标的三维动画（nightwach123，2012）)以及其他有趣的视频，这些视频将指示矩阵部分与相应的干扰颜色相关联（Hirsch，2017). 尽管它们没有交互功能，但这些功能也很有用。最后值得一提的是，吉尔·克雷斯波（Gil Crespo）的一本光学矿物学在线书籍（2016）)包括基于晶体光学教科书中常见的图形的非常有趣的交互式三维设计。

关于指标的有形模型，有许多使用木材的开创性项目（Rogers，1934年)和片状赛璐珞（Smith，1938)，并且在线自制说明也可以方便地获得，以便使用丙烯酸板材更新这些模型（Hirsch，2003). 所有这些模型都由椭球体的联锁部分组成，因此它们的表面实际上不在模型中。新的低成本三维打印方法可以改进这些有形模型并使其现代化。

增材制造业已经成为一种常见的生产方式，在大学里经常可以找到三维打印服务。还为家庭用户推出了价格合理的打印机。因此，利用三维打印的教学资源是一个新兴的课题。具体来说，在晶体学和化学领域，最近有一些关于晶体有形模型制作的论文（Casas&Estop，2015）)，晶胞（Moeck等。2014年; 罗登堡等。, 2015)以及原子、分子、键和轨道（格里菲斯等。, 2016; Paukstelis，2018年; Smiar&Mendez，2016年). 本文对晶体光学三维打印教学资源进行了扩充。提出了一些指标的三维解剖难题。这些已经用于巴塞罗那奥托诺马大学地质学本科生的晶体光学教学。模型可以按比例缩放并打印为各种尺寸。对于课堂演示，建议使用大型模型，而对于个人操作，较小的尺寸（手的尺寸）更方便。所示模型的相应可打印STL文件可用作支持信息.

3.打印的模型

3.1. 生产过程

可打印的STL文件是从使用SolidWorks 2011年软件（Onwubolu，2011). 从给定的椭球体开始，按照所需的方向进行切割，以生成解剖拼图。考虑到指标高度对称（例如，它们都是中心对称的），解剖难题通常包括一些相同的片段以及它们的右手和左手版本。

在工件平面的中间也设计了一些孔。然后使用丙烯腈-丁二烯-苯乙烯（ABS）长丝在UP Plus三维打印机上打印设计好的作品。将磁铁插入平面上的孔中（注意其极性），并使用ABS胶水粘贴。磁铁帮助拼图的组件(即椭球），但可以通过将拼图拆分为多个部分来观察所需的截面（图2).

图2 这些指标是作为解剖谜题产生的，可以很容易地分离出来观察给定的部分(一)或完全组装以获得椭球形状(b条).

在组装椭球体之前，这些碎片被喷涂以掩盖磁铁。可以使用贴纸、针或牙签指示相关方向（光轴、振动方向、波法线和光路）。

3.2、。单轴模型

设计并打印了三种单轴模型。它们不仅可以用来分析单轴椭球体中的各种截面，还可以用来描述光与光学单轴物质之间的相互作用。

作为一个例子，制作了两个解剖拼图，其中包含八块，可以分解以显示单个圆形截面和两个正交主截面。这些是以长条的形状产生的（正的光学符号；图3一)和扁圆（负光学符号；图3c（c）)椭球体。这些模型可用于可视化各向同性的方向，以及光线如何沿光轴方向进入椭球体而不会分裂为两条不同的光线（图3b条和3d日). 这些模型还可用于说明垂直于光轴的法向波射线的特殊情况。在这种情况下，可以获得两条普通光线。这两条光线具有相同的法向波和射线方向，但它们以不同的相关折射率以不同的速度垂直振动（其中一条沿光轴方向）。在扁椭球体的情况下，沿光轴方向振动的光线最快，而在该方向具有最慢光线的长椭球体则相反（图4).

图3 打印的单轴指示器，显示(一)长形和(c（c）)扁椭球体。光轴用牙签高亮显示(b条)和(d日).

图4 垂直于单轴介质光轴进入的光线的分裂。(一)牙签是入射光线（以及两条折射光线）的波法线；红色箭头表示折射光线的振动方向。(b条)蓝色箭头表示折射光线的方向（它们重合）。(c（c）)模型的另一个观点是，很明显，这两条光线都是普通的，虽然它们以不同的速度传播，但它们共享相同的轨迹。

制作了一个不同的长椭球体解剖拼图，包含12块。可以将其分解，以显示圆形截面和一个主截面以及两个附加的任意（但相互正交）椭圆截面（图5一). 这个模型也可以用来可视化各向同性的方向，但它是专门为说明随机波法线的一般情况而设计的。波法线与光线从各向同性介质（如空气、玻璃或树脂）进入各向异性材料的轨迹一致。入射角为0°时(即垂直于材料表面入射的光线，就像在偏振显微镜的通常透射几何结构中一样），该方向也是由双折射产生的两条光线的波法线。垂直于波法线的截面可以用来定位与两条折射光线相对应的两个振动方向，因为它们平行于椭圆截面的轴（图5b条). 最后，通过分解包含两个振动方向之一和共享波法线的右侧部分中的椭球体，也可以很容易地确定两条射线的方向。对于其中一个截面，振动方向是椭圆截面的轴。因此，相应的共轭方向与之垂直，并与波法线重合（图5c（c）). 在这种情况下，由于波法线和射线方向一致，射线是普通的（这种射线的行为就像在各向同性材料中一样）。相反，对于其他截面，振动方向不是椭圆截面的轴，因此共轭方向(即射线方向）与波法线不一致，射线称为异常（图6). 与两条射线“相关”的折射率由椭球体内振动方向的长度表示。对于这个12块模型（长椭球体），非常光线的折射率比普通光线高，因此它对应于光学正的单轴材料（图5d日).

图5 光线进入单轴介质分裂的一般情况。红色箭头表示振动方向，蓝色箭头表示灯光方向。其中一条射线很普通(c（c）)]另一个很特别。

图6 获得单轴介质中异常射线方向的图解程序。半椭球体(一)可以用来在一张纸上画画(b条)椭圆，振动方向可用于计算射线方向(即共轭方向）。蓝色箭头(c（c）)已经贴在模型的截面上，小标签指示了这条异常光线的振动方向。

最后，还制作了一个细长椭球体的额外解剖拼图。这是一个与图4所示相似的模型，但在这种设计中，模型可以放置在六角形棱镜内，也可以像椭球体一样进行剖切（图7). 这可以用来举例说明晶体形态和光学椭球体之间的关系，即诺依曼原理。

图7 六角棱镜内的单轴椭球体。光轴（旋转轴）必须与棱镜的六角轴重合。

3.3. 双轴模型

设计并打印了五种类型的双轴模型。

三轴椭球体被设计成八块分割拼图。对于这种设计，只有两种形状的碎片，它们是相同形态的对映体版本。该模型的一个用途是显示双轴椭球体（XY公司,XZ公司和YZ公司平面）并突出显示毫米这些类型的椭球体的对称性（图8). 该模型还可用于说明光线沿椭球轴之一的方向进入双轴光学介质的情况。对相关截面的观察有助于说明，由双折射产生的两条光线的振动方向将具有与三轴指标的其他两个轴“相关”的折射指数，并且，与之前看到的情况一样，再次获得两条普通光线。（图9).

图8 剖切双轴模型以说明其镜平面；英寸(b条)突出显示了两个旋转轴。

图9 双轴模型，显示光线沿椭球轴之一进入的情况，产生两条普通光线。

另外两个椭球体由16块组成（图10一和10d日). 这些可以分解以显示XZ公司主截面和两个倾斜相交的圆形截面。垂直于两个圆形截面的方向是光轴和XY公司截面可用于可视化两个光轴之间的角度(即光学角度或2V（V）角度）。其中一个16块椭球体的设计具有Z轴作为2的锐角平分线V（V）角度(即光学正双轴指示器；图10一)另一个是X（X）作为2的锐角平分线V（V）角度(即光学负双轴指示器；图10d日). 因此，这些椭球体可用于显示任何三轴椭球体的两个圆形截面以及相应的光轴及其相关的各向同性方向（图10c（c）和10如果). 此外，2的概念V（V）可以说明角度和双轴介质中光学符号的定义（图10b条和10e（电子）).

图10 双轴模型，光学正（顶部）和负（底部）。光轴用木棍高亮显示。除了主截面外，模型还可以沿圆形截面进行分解。

另一个八块拼图被打印出来，它可以被分解以显示XZ公司和YZ公司主截面和垂直于XZ公司平面和任意角度YZ公司平面（图11一). 这可以用来说明，在一定的入射角下，双折射也可以在双轴介质中产生一对非常光线和普通光线。波法线平行于三个主要部分之一（但不与任何轴共线）的任何光线将分裂为两条波法线相同的光线（考虑到入射角为0°）。获得的光线之一是普通的，沿着所考虑的主截面中未包含的轴振动（图11b条); 另一条射线是非寻常的，并且在主截面上并且相对于共享波法线以一定角度振动。使用该模型，我们可以考虑XZ公司与X轴成约15°角的平面。然后普通光线沿着Y（Y）-轴方向，并沿波法线移动。根据模型的形状，这是最快的光线。在这种情况下，最慢的是在XZ公司平面（垂直于波法线），并且也以与波法线约20°的角度沿该平面移动。

图11 双轴模型。牙签被用来表示与三个主要部分之一平行的波法线（但不与任何轴共线）。其中一条折射光线很普通(b条)其路径与波法线重合。另一个很特别(c（c）)其方向必须计算为共轭方向。

最后，制作了另一个八块分割拼图，展示了三个相互垂直的截面，它们是随机定向的(即它们都不是主截面或圆形截面，尽管其中一个椭圆截面是沿着其两个半轴切割的；图12一). 该模型可用于说明光线以随机方向进入双轴介质的一般情况。这里，任何光线都会分裂成两条具有相同波法线的光线（考虑到入射角为0°；图12b条). 考虑到包含波法向和每个振动方向的两个截面，很明显，两个振动方向或波法向均未沿包含波法方向和相应振动方向的指标的椭圆截面的半轴定向。然后，必须将两条射线的轨迹计算为相应椭圆截面上振动方向的共轭方向（图12c（c）). 因此，这两种光线都是非同寻常的。

图12 双轴模型，可用于说明双轴介质中双折射的一般情况。波前是一个椭圆，其半轴指示折射光线的振动方向[中的红色箭头(b条)和(c（c）)]. 两条射线的方向可以在相应的椭圆截面中计算为共轭半径[中的白色箭头(c（c）)]. 这两种光线都很特别。

4.结论

提出了不同的光学指标三维解剖难题。这些可以用作研究一些晶体光学概念的支撑材料（光学指标、诺依曼原理、双折射、光学各向同性方向、光轴、光学符号、延迟、普通和非常光线、，等。). 所呈现的谜题只是三维设计和打印的巨大潜力的例子，为学生和教师提供了额外的资源，以克服学习和教学光学概念的困难，这些概念需要抽象和空间可视化的能力。

上述九种指标（四个单轴模型和五个双轴模型）被设计为解剖难题。这些文件作为可打印的STL文件免费提供，可在支持信息鼓励教育工作者在讲座中使用和调整这些模式。