为了计算传递函数，可以假设$f（t）=e^{s\，t}$，使用%s美元$表示拉普拉斯变量。使用变量分离$u（t，x）=t（t）\，x（x）$在里面$(1)$产量
$$\压裂{\ddot{T}（T）}{T（T）{}=\压裂{\dot{k}（x）\，\dot}x}（x）+k（x）$$
变量分离与第一边界条件（3a）美元$可以使用$T（T）=e^{s\，T}$和$X（-L）=1$。这也意味着$c=s^2$，可用于书写$\eqref{sov_eq1}$作为
$$\ddot{X}（X）=\压裂{s^2\，m（X）\，X（X）-\点{k}（X）\，\点{X}（X}）{k（X）}。\标签{5}\标签{odex}$$
通过使用变量的分离$T（T）=e^{s\，T}$，第二个边界条件（30亿美元）$也可以写成
$$s，X（L）=-\sqrt{k（L）}{m（L）{dot{X}（L）。\标签{6}\标签{odex_bc}$$
二阶常微分方程$\eqref{ode_x}$以及约束条件$X（-L）=1$和$\eqref{ode_x_bc}$等价于以下线性“时变”自治系统
$$\左\{\开始{align}\点｛z｝（x）&=\开始{bmatrix}0 & 1 \\\裂缝{s^2\，m（x）}{k（x）{&\\结束{bmatrix}z（x）\\\文本{s.t.}&\\开始{bmatrix}1&0\end{bmatrix}z（-L）=1，\quad\begin{bmatrix}s（矩阵）&\sqrt{\frac{k（L）}{m（L）{}\end{bmatrix}z（L）=0，\右端{align}。\标签{7}\标签{LTV}$$
具有$z（x）=\开始｛bmatrix｝X（x） &\dot{x}（x）\end{bmatrix}^\top$可以注意到$z（升）$间接也是%s美元$传递函数可以用
$$G（s）=\frac{\mathcal{L}\{u（t，L）\}{bmatrix}1&0\end{bmatrix}z（L）\}（s）。\标签｛8｝\标签｛tf｝$$
线性时变系统一般没有闭合形式的解析解。因此，为了求解$\eqref{LTV}$然而，该系统是线性的，这意味着最终状态$z（升）$在初始状态下是线性的$z（-L）$根据状态转移矩阵$\Phi（L，-L）$，因此$z（L）=\Phi（L，-L）\，z（-L）$状态转移矩阵的两列可以使用以下公式进行数值计算$\开始{bmatrix}1&0\end｛bmatrix｝^\top$和$\开始{bmatrix}0&1\end{bmatrix}^\top（&1）$作为的初始条件$z（-L）$分别是。一旦近似值为$\Phi（L，-L）$则可以通过求解以下线性方程组来计算初始条件$z（-L）$
$$\开始{bmatrix}\开始{bmatrix}1&0\结束{bmatrix}\\\开始｛bmatrix｝s&\sqrt{\frac{k（L）}{m（L）{}}\end{bmatrix}\Phi（L，-L）\结束{bmatrix}z（-L）=\开始{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}，\tag{9}\label{LTV_sol}$$
因此，传递函数的值来自$\eqref{tf}$对于给定的%s美元$可以通过求解获得$\eqref｛LTV_sol｝$对于$z（-L）$和使用$z（L）=\Phi（L，-L）\，z（-L）$.
当存在大量衰减时（因此当$|G |\ll 1$)获得的值$z（升）$将非常小，在这种情况下，获得的数值解可能条件很差。相反，在这种情况下，求解可能更准确$\eqref{LTV}$在相反的方向x美元$方向。例如，通过使用$\hat｛z｝（x）=z（-x）$，以便从$\eqref{LTV}$可以写为
$$\点{\hat{z}}（x）=\开始{bmatrix}0 & -1 \\\裂缝{-s^2\，m（-x）}{k（-x\结束{bmatrix}\hat{z}（x），标记{10}$$
具有$\hat{z}（-L）=z（L）$，因此计算出的状态转移矩阵为$\Phi（-L，L）$和线性方程组$\eqref{LTV_sol}$会变成
$$\开始{bmatrix}\开始{bmatrix}1&0\结束{bmatrix}\Phi（-L，L）\\\开始{bmatrix}s（矩阵）&\sqrt{\frac{k（L）}{m（L）{}}\end{bmatrix}\结束{bmatrix}z（L）=\开始{bmatrix}1\\0\结束{bmatrix}。\标签{11}$$
这可以使用以下代码在Julia中实现：
使用微分方程、控制系统、控制系统标识、绘图主功能（N）欧米茄=经验值（范围（对数（1e-2），对数（1e1），N））G=[eval_TF（1im*omega），对于ω=ω]身体部位（FRD（Omega，G））结束函数eval_TFL=1.0tspan=（-L，L）X0=[1.0 0.0；0.0 1.0]p=s^2b=[1.0 0.0]MdivK，KxdivK=材料参数（L）prob1_back=ODE问题（dx_backward！，X0[：，1]，tspan，p）prob2_back=ODE问题（dx_backward！，X0[：，2]，tspan，p）sol1=求解（prob1_back，Tsit5（）；reltol=1e-3，absol=1e-4，saveat=tspan[2]）sol2=求解（prob2_back，Tsit5（）；reltol=1e-3，absol=1e-4，saveat=tspan[2]）Phi=[sol1.u[end]sol2.u[end]]A=[b*Phi；[s*sqrt（MdivK）1]]如果是abs。（b*（A\b'））[1]sol1=求解（prob1_back，Tsit5（）；reltol=1e-10，absol=1e-11，saveat=tspan[2]）sol2=求解（prob2_back，Tsit5（）；reltol=1e-10，absol=1e-11，saveat=tspan[2]）Phi=[sol1.u[end]sol2.u[end]]A=[b*Phi；[s*sqrt（MdivK）1]返回（b*（A\b'））[1]其他的prob1_forw=ODE问题（dx_forward！，X0[：，1]，tspan，p）prob2_forw=ODE问题（dx_forward！，X0[：，2]，tspan，p）sol1=求解（prob1_forw，Tsit5（）；reltol=1e-10，absol=1e-11，saveat=tspan[2]）sol2=求解（prob2_forw，Tsit5（）；reltol=1e-10，absol=1e-11，saveat=tspan[2]）Phi=[sol1.u[end]sol2.u[end]]A=[b；[s*sqrt（MdivK）1]*Phi]return（b*Phi*（A\b'））[1]结束结束函数material_parameters（x）L=1B=5*pi/LMdivK=1#恒定波速KxdivK=-90*sin（B*x）^9#可变阻抗返回MdivK，KxdivK结束函数dx_forward！（dx，x，p，t）MdivK，KxdivK=材料参数（t）dx[1]=x[2]dx[2]=p[1]*MdivK*x[1]-KxdivK*x[2]结束函数dx_backward！（dx，x，p，t）MdivK，KxdivK=材料参数（-t）dx[1]=-x[2]dx[2]=-p[1]*MdivK*x[1]+KxdivK*x[2]结束
例如，它可以生成以下波特图：
