为什么我们需要/有算子和表示法（Kraus表示法）？

Question

我正在Nielsen&Chuang阅读，我正在阅读关于算子和表示的部分。他们进行了推导。

为什么把幺正变换和环境状态捆绑在一起，而不是把它们分开，对我们来说很重要也很有用？

此外，E_k如何是运算符？它不只是一个期望值，所以它是一个单标量吗？

另外，如果这真的是这里发生的事情，请告诉我。

谢谢您！

Answer 1

为了补充丹尼尔的回答，$_千$是一个运营商，而不是标尺，因为尼尔森&庄的符号很潦草。这意味着$E_k=\iota_k^\匕首U\iota_0$哪里$\iota_k:\mathbb C^d\to\mathbbC^d_otimes\mathbb-C^{d'}$通过定义$|x\rangle\mapsto|x\rangle\otimes|e_k\rangle$.因此$_千$是映射的运算符$$\mathbb C^d\overset{\iota_0}\to\mathbb C:d\otimes\mathbbC^{d'}\ overset}\to\ mathbb C ^d\otimes\mathbb C^{d'}\ overset{iota_k^\dagger}\ to\ mathbbC ^d，，$$也就是说，$E_k\in\mathbb C^{d\乘以d}$.尼尔森和创写道$|e_k\rangle=\iota_k$滥用符号，大概是为了保持符号更干净。

举个例子，让你更好地感受到美元\iota$操作员工作-if美元$ 是产品运营商$U=U_1\表示U_2$，然后\开始{align*}E_k|x\rangle&=\iota_k^\dagger（U_1\otimes U_2）|x\rangle\otimes|E_0\rangle\\&=\iota_k^\匕首（U_1|x\rangle\otimes U_2|e_0\rangle）\\&=U_1|x\rangle\langle e_k|U_2|e_0\rangle\结束{align*}为所有人x美元$意思$E_k=\langle E_k|U_2|E_0\rangle U_1$当然，总的来说，美元$不是产品形式，因此$_千$和系统环境$U美元$不是那么简单。

Answer 2

形式主义对于描述噪声变换很有用$\mathcal{E}$仅在感兴趣的系统中$\mathcal{H}$.

根据这本书，你可以选择一个正交基$\{e_i\}_i$使环境处于基本状态$|e_0\范围$.

此时您有了Kraus操作符，它将环境的操作嵌入到映射中$\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$

Answer 3

补充丹尼尔和弗雷德里克的答案：算符和表示法甚至比尼尔森和庄氏推导法可能暗示的更有用——尽管，从教学的角度来看，推导法非常有用。

在这本书的推导中，算符和表示被用来描述量子系统是如何变化的在某些环境的影响下因此，在这种情况下，$\rho美元$描述了相互作用之前的量子系统$\mathcal｛E｝（\rho）$描述了相互作用后的完全相同的量子系统。系统的大小没有改变.

但一般来说，运算符和表示可以做得更多。以下是两个量子信道示例，其中量子系统的大小发生变化:

1. 在状态中添加量子位$|0\范围$到您的系统。在这种情况下，只有一个Kraus操作员$E_0=|0范围$.
2. 从你的系统中“扔掉”一个量子比特。这与追踪量子比特。克劳斯操作人员$E_0=语言0|$和$E_1=语言1|$

当然，人们可以想出更复杂的例子。我只想强调一个事实，即运算符和表示可以用来描述量子系统可以经历的任何物理过程，即使系统的大小发生了变化.