质数
素数是算术的组成部分。它们是一种特殊类型的数字，因为它们不能分解成更小的因子。
13是素数，因为13是1乘以13（或13乘以1），仅此而已。没有其他方式可以将13表示为某物乘以某物。
另一方面，12不是素数，因为它分裂成2乘6或3乘4。第一个素数是2。接下来是3。然后是5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、101、103、107、109、113等等。
如果你看一下前10000个素数，您将看到一个没有明显模式的数字列表。他们甚至有一种神秘的气氛；如果你不知道它们是质数，你可能不知道如何继续
顺序。事实上，如果你真的发现了一个简单的模式，你就会在有史以来最优秀的大脑失败的地方取得成功。
因为这是一个数学家真正困惑的领域。
我们确实对素数有相当多的了解，如果你想了解更多关于这个主题的信息，可以从Chris Caldwell的网站开始：已知最大素数我们知道素数序列永远存在。我们知道它变薄了。你走得越远，他们就越稀少。我们甚至有一个简单的公式，可以粗略估计有多少个素数，而不必逐个计算。然而，尽管素数数百年来一直是数学家深入研究的对象，但仍有一些相当基本的问题尚未解决。
黄金双胞胎
如果你往下看素数列表，你会经常看到两个连续的奇数，比如3和5、5和7、11和13、17和19、29和31。我们称这些素数对{第页,第页+ 2}初生双胞胎.
证据表明，无论你想看多少素数，你最终都会发现更多双胞胎的例子。然而，这可能会让你感到惊讶，目前尚不清楚这是否属实。他们可能会走到尽头。但似乎更可能的是，像素数一样，素数双胞胎的序列将永远延续下去。然而，数学尚未提供严格的证明。当数学家们不理解某件事时，他们会做的其中一件事就是为那些让他们困惑的物体制作更大更好的例子。我们没有主意了，所以我们收集了更多的数据——这正是我们在这个网站上所做的；如果你展望第2节，你会发现我已经收集了已知最大的十对素数双胞胎.
素三元组
如果你在列表中搜索素数的三元组{第页,第页+ 2,第页+4}，你不会发现很多。事实上，在开头只有一个{3,5,7}。
很容易看出原因。正如G.H.Hardy和J.E.Littlewood所观察到的[HL22]，三者中至少有一个可以被3整除。
显然，把三个素数挤到四个素数的范围内要求太高了。然而，如果我们将范围增加到6并寻找组合{第页,第页+ 2,第页+6}或{第页,第页+ 4,第页+ 6},我们发现了大量的例子，从{5，7，11}，{7，11，13}，}，[11，13，17}，,13，17,19}，#17，19,23}，#37，41,43}，……开始。。。。这就是我们所说的素数三元组，该网站的主要目标之一是收集所有已知的最大示例。正如双胞胎一样，人们相信——但并不确定——素数三胞胎的序列将永远延续下去。
素数四元组
类似的考虑也适用于四人组，此时我们需要{第页,第页+ 2,第页+ 6,第页+8}是质数。
再一次，看起来它们似乎无限期地继续着。最小的是{5,7,11,13}。我们不计算{2,3,5,7}，即使它是一个更密集的分组。
这是一个孤立的例子，不符合事物的模式。出于技术原因，我们也不计算{3,5,7,11}。
序列继续为{11、13、17、19}、{101、103、107、109}、}、191193、197、199}、821、823、827、829}。。。。通常的名称是素数四胞胎，虽然我也看到了术语满屋子的, 年代际素数四重奏（！）和黄金十年−由十进制数字构成的图案参考。所有大于5的素数都以1、3、7或9中的一个结尾，四个（大）四元组中的四个素数总是出现在同一个十元组中。因此，每个单位数字都必须有一个。为了说明这一点，这里有另一个例子；被证明是最小的2000位素数四元组，由格德·兰普雷希特2017年10月：
101999+ 205076414983951,
101999+ 20507641498395三,
101999+ 205076414983957,
101999+ 205076414983959.
Prime（主要）k个-元组
我们可以继续定义素数五元组,六角形,七胞胎,八倍体,九胞胎等等。
我必须全力以赴牛津英语词典对于最后一个−简明牛津从“八胞胎”跳到“十胞胎”。这个牛津英语词典也定义了“十二倍体”，但显然没有其他词。
假设我可以编出来，但当我想引用例如素数11-tuplet时，我将使用数字本身。我找不到通用术语“k个-中的“tuplets”牛津英语词典或者，
但这个词似乎是数学界常用的。
现在，我将定义一个首要的k个-元组作为连续素数序列，使得第一个和最后一个之间的距离在某种意义上尽可能小。
如果你认为我太含糊，有一个更精确的定义后来。
在这个网站上，我收集了我认为是已知最大的素数k个-的元组k个= 2, 3, 4, ..., 20和21。我不知道有什么素数k个-的元组k个大于21，
除了发生在质数序列开头附近的那些。
符号
乘法通常用星号表示：x个•年是x个次年。对于k个>2，有点奇怪的符号N个+b条1,b条2, ...,b条k个用于（仅在链接页面中）表示k个数字{N个+b条1,N个+b条2, ...,N个+b条k个}.
原始双胞胎表示为N个±1，简称N个加一和N个减去1。
我还使用了符号n个#将Caldwell和Dubner[CD93]作为所有小于或等于的素数乘积的方便简写n个例如，20#=2•3•5•7•11•13•17•19=9699690。
最后。。。
我想让这个网站尽可能保持最新。因此，我可以敦促你请给我发送任何新的大型素数k-tuplet.
通过研究列表，你可以明白我所说的“大”是什么意思。如果数字不太大，比如1000位数，我愿意自己仔细核对。
否则，我会很感激你如何证明你的数字是真素数。电子邮件地址：见上文。
定义
A类首要的k个-元组是一个序列k个连续的质数，在某种意义上，第一个质数和最后一个质数之间的差异尽可能小。
这个想法是为了概括质数双胞胎的概念。更准确地说：我们首先定义秒(k个)成为最小的数字秒存在的k个整数b条1<b条2< ... <b条k个,b条k个−b条1=秒和，
对于每个素数q个，不是所有余数模q个由表示b条1,b条2, ...,b条k个.A类首要的k个-元组然后定义为连续素数序列{第页1,第页2, ...,第页k个}这样，对于每个素数q个,
不是所有余数模q个由表示第页1,第页2, ...,第页k个,第页k个−第页1=秒(k个).
注意，定义可能会排除一个有限的数字（对于每个k个)质数开头的稠密簇序列-例如，{97、101、103、107、109}满足素数5元组定义的条件，
但是{3,5,7,11,13}没有，因为模3的三个残数都被表示出来了。
素数模式k个-元组
最简单的情况是秒（2） =2，对应于原始双胞胎：{第页,第页+ 2}.
接下来，秒（3） =6和两种类型的素数三元组：{第页,第页+ 2,第页+6}和{第页,第页+ 4,第页+6}，后跟秒（4） =8，只有一个图案：{第页,第页+ 2,第页+ 6,第页+8}素数四胞胎。
序列继续秒(5) = 12,秒(6) = 16,秒(7) = 20,秒(8) = 26,秒(9) = 30,秒(10) = 32,秒(11) = 36,秒(12) = 42,秒(13) = 48,秒(14) = 50,秒(15) = 56,秒(16) = 60,秒(17) = 66等等.
这是数字A008407号在N.J.A.斯隆的整数序列在线百科全书.
原始性证明
为了与已发布的类似列表保持一致，我决定不接受除真实的、已证明的素数以外的任何东西。刚刚通过费马测试的数字，一N个=一（修订版N个),
需要验证。如果N个−1或N个+1是充分分解的（通常小于三分之一），Brillhart、Lehmer和Selfridge的方法就足够了。
否则，可能必须对数字进行一般素性测试，例如Adleman、Pomerance、Rumely、Cohen和Lenstra的Jacobi和测试（例如，UBASIC中的APRT-CLE），
或椭圆曲线素性证明程序之一：阿特金和莫林的ECPP，或其继任者弗兰克、克莱因、沃思和莫林（Wirth and Morain）的FAST-ECPP，马塞尔·马丁（Marcel Martin）的Primo或安德烈亚斯·恩格（Andreas Enge）的CM。
底漆
欧几里德证明了素数无穷多。保罗·里本博伊姆收集了大量不同的证据重要定理。
我最喜欢的（不在里宾博伊姆的书中）是这样的：我们有
∏第页首要的1/(1 − 1/第页2) = ∑n个=1至∞1/n个2= π2/6.
但是π2非理性；所以左边的乘积不能是有限的因子的数量。
最简单的形式是素数定理声明素数小于x个渐近于x个/（日志x个).
这首先由哈达玛（Hadamard）和德拉瓦利·普桑（de la Vallee Poussin）于1896年独立证明。后来，de la Vallee Poussin发现了一个更好的估计：
∫单位=0至x个d日单位/（日志单位)+错误项，
其中误差项的上界为A类 x个经验（−B类√（对数x个))对于某些常数A类和B类随着更多的工作（H.-E.Richert，1967），√（logx个) 在最后一个表达式中可以替换为（日志x个)3/5（日志日志x个)−1/5.
素数理论中最重要的尚未解决的猜想，实际上是所有数学-黎曼假设断言误差项可以由函数限定表单的A类√x个日志x个.
孪生素数猜想
G.公司。H.Hardy和J.E.Littlewood第一次认真研究了初生双胞胎的分布。在他们的论文“分区数字“III…”[HL22]，他们推测出了1到之间双胞胎数量的公式x个:
2C类2 x个/（日志x个)2,
其中C类2= ∏第页素数，第页> 2 第页(第页− 2) / (第页− 1)2=0.66016…称为孪生素常数.
五、。Brun表明双胞胎序列对于∑序列来说足够薄第页和第页+2素数1 /第页汇聚孪生素数猜想表示总和有无穷多个项。
最接近于证明这个猜想的是陈敬润的结果，即存在无穷多个素数第页这样的话第页+2是素数或两个素数的乘积[HR73]。
Hardy-Littlewood Prime系列k个-元组猜想
The分区数字：III论文[HL22]继续制定关于任意素数群分布的一般猜想数字（k个-此站点的tuplet是特殊情况）：
让 b条1,b条2, ...,b条k个 是k个不同的整数。然后是数字素数群 N个+b条1,N个+b条2, ...,N个+b条k个 之间2和x大约为
H（H）k个 C类k个∫单位=2至x个d日单位/（日志单位)k个,
哪里
H（H）k个= ∏第页素数，第页≤k个 第页k个− 1(第页−v（v）) / (第页− 1)k个∏第页素数，第页>k个,第页|D类(第页−v（v）) / (第页−k个),
C类k个= ∏第页素数，第页>k个 第页k个− 1(第页−k个) / (第页− 1)k个,
v（v）=v（v）(第页)是
b条1,b条2, ...,b条k个模p和D是差异|b我−bj|, 1 ≤i＜j≤k。
中的第一个产品H（H）k个超过素数不大于k个,第二个是大于的素数k个哪个分水岭D类和产品C类k个所有素数都大于k个.
如果你把k个= 2,b条1=0和b条2=2，则v（v）(2) = 1,v（v）(第页) =第页-1用于第页> 2,H（H）2=2，以及C类k个=C类2，上面给出的孪生素数常数。
值得指出的是，使用现代数学软件素数k个-tuplet常量C类k个可以非常精确地测定。不这样做的方法是使用定义公式。
除非你很有耐心，在足够多的素数上计算乘积，比如说，精确到小数点后20位这是不可行的。
相反，有一个源自产品的有用转换黎曼ζ函数的公式：
日志C类k个= − ∑n个=2至∞对数[ζ(n个) ∏第页素数，第页≤k个(1 − 1/第页n个)] /n个∑d日|n个μ(n个/d日) (k个d日−k个).
[BLS75]John Brillhart，D.H.Lehmer&J.L.Selfridge，新素性准则和2的因式分解米± 1,数学。公司。 29(1975), 620-647.
[CD93]C.K.Caldwell和H.Dubner，初等、阶乘和多因子素数，数学。光谱 26(1993/94), 1-7.
[97层]托尼·福布斯，Prime 17元组，NMBRTHRY邮件列表，1997年9月。
[功能02]托尼·福布斯，泰坦尼克号五胞胎，500美元 189（2002年12月），12-13。
[第09页]Tony Forbes，Giganic prime三胞胎，500美元 226（2009年2月），18-19。
理查德·盖伊，数论中尚未解决的问题，第二版。，Springer-Verlag，纽约，1994年。
[HL22]G.H.Hardy和J.E.Littlewood分区数字：III；关于一个数作为素数之和的表达式，数学学报 44(1922), 1-70.
[HR73]H.Halberstam和H.-E Richert，筛法《学术出版社》，伦敦，1973年。
[Rib95]P.Ribenboim，素数记录新书，第3版。，Springer-Verlag，纽约，1995
[R96a]Warut Roonguthai，Prime四胞胎，500美元 148（1996年2月），9。
[96b兰特]Warut Roonguthai，大素数四胞胎，NMBRTHRY邮件列表，1996年9月。
[R96c]Warut Roonguthai，大素数四胞胎，500美元,153（1996年12月），4-5。
[97a兰特]Warut Roonguthai，大素数四胞胎，NMBRTHRY邮件列表，1997年9月。
[R97b]Warut Roonguthai，大素数四胞胎，500美元 158（1997年11月），第15页。
