复杂性评估
自动控制 \(^0\) NP-hard公司 PSPACE公司 P（P） P/聚乙烯
两个不同的节点 \（a） 和 \（b） 在二部图的同一个二部中，如果另一个二部分中正好有两个节点不相邻，则称之为朋友 \（a） 或 \（b） 。对于节点 \（v\） 在二分图中，让 \（f（v）\） 是 \(1\) 如果 \（v\） 没有朋友，并且 \(0\) 否则。 输入 无向二部图 \（G\） ，表示为邻接矩阵，以及 A值 \（k_v\in\｛0,1\｝\） 对于每个节点 \（v\） 位于 \（G\） .
输出 如果每个节点都是True \（v\） 在的顶部二分 \（G\） 满足 \（k_v=f（v）\） ，否则为False。
问题1的输入示例 \（G\） 如下图所示： 
\（k=（1,1,1）\）
问题1的输出示例 的顶部双分区中没有节点对 \（G\） 是好友：节点 \(1\) 和 \(3\) 在底部双分区中没有不相邻的节点，而其他两对在底部双划分中都只有一个节点，而这两个节点都不相邻。 因此， \（f（v）=1） 对于顶部双分区中的所有三个节点，我们输出True。
在二部图中 \（G\） ，一个子集 \（S\） 的上半部分的节点 \（G\） 和一个子集 \（T\） 如果每个节点都位于 \（S\） 与中的每个节点相邻 \（T\） .双液的大小为 \（|S|\cdot|T|\） . 输入 无向二部图 \（G） ，表示为邻接矩阵，以及 一个整数 \（k\） ，以二进制形式写入。
输出 如果为True \（k=20-C） ，其中 \（C\） 是双液的最大尺寸 \（G） ，否则为False。
问题2的输入示例 \（G\） 如下图所示： \（k=17）
问题2的输出示例 \（G\） 有一个大小的酒杯 \(3\) 由顶部二分体的第三个节点及其三个邻居组成，并且没有更大的二分体。 因此， \（C=3\） 所以我们输出True。
对于正整数 \（n\） 和 \（米\） ，定义以下数量： \（f（n）\） 是第二小的独立素因子 \（n\） 如果 \（n\） 至少有两个不同的基本因子。 如果一个唯一的素数 \（p\） 划分 \（n\） ，然后 \（f（n）=p\） ，如果没有素数除法 \（n\） （因为 \（n=1） 或 \（n=0\） )那么 \（f（n）=1） . \（MOD（n，m）\） 是整数 \（q\） 具有 \（0\leq q<m\） 这样的话 \（n-q\） 可被整除 \（米\） .
二部图 \（G\） 具有 \（n\） 顶部双分区中的节点和 \（米\） 底部双分区中的节点对应于非负整数 \（c） 由定义 \（c=\sum_{i=0}^{m-1}d_i\cdot（n+1）^{i}） ，其中 \（d_i\） 是节点的度数 \（i） 在底部的两个分区中。 输入 无向二部图 \（G\） ，表示为邻接矩阵， 一个整数 \（k\） ，以二进制形式写入，以及 一个正整数 \（u\） ，以二进制形式写入（具有默认值 \(23\) 如果没有提供）。
输出 如果为True \（k=MOD（12）f（c）+5，u） ，其中 \（c） 是对应于的整数 \（G\） ，否则为False。
问题3的示例输入 \（G） 如下图所示： \（k=18）
问题3的输出示例 \（u=23） 默认情况下。 我们有 \（n=3） 和 \（m=4） 等等 \（c=2\cdot 4^0+1\cdot 4^1+1\cdot 4^2+2\cdot 4^3=150\） .自 \（150=2） ，因此 \（f（c）=3\） ，所以 \（MOD（12）f（c）+5，u）=MOD（41，23）=18） ，因此我们输出True。
对于二部图 \（G\） 让 \（e（G）\） 表示中的边数 \（G\） .对于整数 \（n，m） 具有 \（m>0） 定义 \（MOD（n，m）\） 为整数 \（q\） 具有 \（0\leq q<m\） 这样的话 \（n-q\） 可除以 \（米\） . 输入 无向二部图 \（G\） 表示为邻接矩阵，以及 一个整数 \（0\leq k<341） ，以二进制形式写入。
输出 如果为True \（k=MOD（110（e（G））^2+102（G），341）） ，否则为False。
问题4的输入示例 \（G） 是下图： \（k=139）
问题4的输出示例 \（G\） 有 \(6\) 边缘，所以 \（国防部（110\cdot 6^2+102\cdot 6341）=国防部（4572341）=139） ，所以我们输出True。
二部图 \（G\） 具有 \（n\） 顶部双分区中的节点和 \（米\） 底部双分区中的节点对应于二进制字符串 \（\） 长度的 \（m \ cdot n \） 如下所示：对于任何整数 \（0\leq i<n\） 和 \（0\leq j<m\） ，位 \（（j+m\cdot i）\） 属于 \（\） 是 \(1\) 如果节点之间有边 \（i） 在顶部的二分区和节点中 \（j） 在底部二分区中，以及 \(0\) 否则。 对于图灵机器 \（T\） 和二进制字符串 \（\） ，我们写 \（t（t，s）\） 对于 \（T\） 在给它停止之前 \（\） 作为输入，或 \(-1\) 如果 \（T\） 给予时从不停止 \（s \） 作为输入。 输入 无向二部图 \（G\） ，表示为邻接矩阵， 一个正整数 \（k\geq 1） ，以二进制形式写入，以及 图灵机 \（T\） ，以二进制表示（如果没有提供，则使用示例输入中的图灵机的默认值）。
输出 如果为True \（k=t（t，s）\） ，其中 \（\） 是对应于 \（G\） ，否则为False。
问题5的输入示例 \（G\） 如下图所示： \（k=6） \（T\） 是从状态开始的图灵机 \(0\) 并指向磁带上最左侧的符号，并具有以下转换规则： 当前状态 当前符号 新建符号 方向 新建州 0 0 0 正确的 1 0 1 0 正确的 三 1 0 0 正确的 2 1 1 0 正确的 三 2 0 0 正确的 停止 2 1 0 正确的 三 三 0 0 正确的 4 三 1 0 正确的 三 4 0 0 正确的 1 4 1 0 正确的 1
问题5的输出示例 \（G\） 对应于二进制字符串 \（s=110000011011） 当图灵机 \（T\） 在上运行 \（\） ，它在每个步骤中的状态顺序是 \(0,3,3,4,1,2\) ，然后 \（T\） 停了下来。 因此， \（t（t，s）=6） ，因此我们输出True。
二部图 \（G\） 具有 \（n\） 顶部双分区中的节点和 \（米\） 底部双分区中的节点对应于二进制字符串 \（\） 长度的 \（m \ cdot n \） 如下所示：对于任何整数 \（0\leq i<n\） 和 \（0\leq j<m\） ，位 \（（i+n\cdot j）\） 属于 \（\） 是 \(1\) 如果节点之间有边 \（i） 在顶部的二分区和节点中 \（j） 在底部二分区中，以及 \(0\) 否则。 对于图灵机器 \（T\） 和二进制字符串 \（\） ，我们写 \（t（t，s）\） 对于 \（T\） 在给它停止之前 \（\） 作为输入，或 \(-1\) 如果 \（T\） 给予时从不停止 \（s \） 作为输入。 输入 三人组 \（（G，k，T）\） 用一元表示，由 无向二部图 \（G\） , 一个正整数 \（k \ geq 1 \） 、和 图灵机 \（T\） （如果没有提供，则使用示例输入中的默认值Turing机器）。
输出 如果为True \（k=10+t（t，s）\） ，其中 \（\） 是对应于 \（G\） ，否则为False。
问题6的输入示例 \（G\） 如下图所示： \（k=20） \（T\） 是从状态开始的图灵机 \(0\) 并指向磁带上最左侧的符号，并具有以下转换规则： 当前状态 当前符号 新建符号 方向 新建州 0 0 0 正确的 0 0 1 0 正确的 1 1 0 0 正确的 2 1 1 0 正确的 1 2 0 0 正确的 三 2 1 0 正确的 4 三 0 0 正确的 停止 三 1 0 正确的 停止 4 0 0 正确的 5 4 1 0 正确的 4 5 0 0 正确的 5 5 1 0 正确的 三
问题6的输出示例 \（G） 对应于二进制字符串 \（s=101100001011） .当图灵机器 \（T\） 在上运行 \（\） ，它在每个步骤中的状态顺序是 \(0,1,2,4,4,5,5,5,5,3\) ，然后 \（T\） 停了下来。 因此， \（t（t，s）=10） ，因此我们输出True。
二部图中的匹配 \（G\） 是一套 \（M\） 的边缘 \（G\） 这样就不会有两条边 \（M\） 与同一顶点相关。 A匹配 \（M\） 如果没有其他匹配的边数超过 \（M\） . 定义多项式 \（p（x）=8x^2-78x+178） . 输入 无向二部图 \（G\） 表示为邻接矩阵，以及 一个整数 \（k\） ，以二进制形式写入。
输出 如果为True \（k=b+p（a）\） ，其中 \（a） 是中最大匹配的边数 \（G\） 、和 \（b） 是中的最大匹配数 \（G） ，否则为False。
问题7的输入示例 \（G\） 如下图所示： \（k=19）
问题7的输出示例 \（G） 最多有三个匹配项 \(3\) 边缘。 因此， \（a=b=3） 、和 \（p（a）=16） ，因此我们输出True。