在过去的几十年中，中心极限定理（CLT）被推广到非欧几里德数据空间。几年前，人们发现，对于圆圈上的一些随机变量，样本Fréchet平均值在总体平均值周围以一个尺度渐近波动${\mathit{<trans\; data-src="n">n个</trans>}}^{<trans\; data-src="-">负极</trans>\mathit{<trans\; data-src="\tau ">\tau </trans>}}$带指数$\mathit{<trans\; data-src="\tau ">\tau </trans>}<trans\; data-src="<"><</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src="/">/</trans>\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}$如果平均数反极点的概率密度为$\frac{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}\mathit{<trans\; data-src="\pi ">\pi </trans>}}$。作者及其合作者最近发现$\mathit{<trans\; data-src="\tau ">\tau </trans>}<trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src="/">/</trans>\mathrm{<trans\; data-src="6">6</trans>}$对于高维球体上的一些随机变量。在本文中，我们表明，更令人惊讶的是，高维球体上的现象与圆上的现象在性质上有所不同，因为它完全取决于空间的几何性质，即曲率，而不取决于反极点的密度。这就产生了几何污点的新概念。因此，球体可能会变形，例如，通过移除平均值的反极点的邻域，并在那里用平滑的过渡片粘合一个平坦的空间。这会在流形上产生污点，流形与欧几里德空间不同。我们给出了一个具有2-拖尾均值的随机变量族的示例，即$\mathit{<trans\; data-src="\tau ">\tau </trans>}<trans\; data-src="=">=</trans>\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}<trans\; data-src="/">/</trans>\mathrm{<trans\; data-src="6">6</trans>}$，其范围有一个包含平均值切割轨迹的孔。洞的大小表现出维数的诅咒，因为它可以随着维数的增加而增加，收敛到与局部Fréchet平均值相反的整个半球。我们在Kendall预设空间上的模拟地标形状和二维球体上地磁北极位置的实际数据中观察到了污点。