在第一部分中，本文研究了Grassmann流形上正则定向$k$-平面丛的特征秩{希腊}_欧氏$n$-空间中定向$k$-平面的{n，k}$。如果$k=3$或$k=4$，它会显示无限多个新的精确值，如果$k\geq 5$，它还会显示所讨论数字的新下限。在第二部分中，这些结果使我们能够改进$\mathbb的一般上界{Z}（Z）_{2} $-杯长$\tilde{希腊}_{n，k}$。特别是对于$\tilde{希腊}_{2^{t}，3}$（$t\geq3$）我们证明了杯长等于$2^{t} -3个$，这验证了富卡亚（Tomohiro Fukaya）2008年的推测的相应主张。