我们推广了K.Takeuchi的方法来分类光滑Fano$3$-折叠，并用它给出了包含索引$2$points$P$的$\mathbb{Q}$-Fano$3$-folds$X$的数值可能性列表，其中Pic$X=\mathbb{Z}（-2K_{X}）$和$h^{0}（-K_{X}）\geq 4$包含索引$2$points$P$，使得$（X，P）\simeq（\{xy+Z^{2}+u^{a}=0\}/\mathb{Z}（Z）_{2} 对于某些$a\in\mathbb{N}$，我们特别证明了$（-K_{X}）^{3}\leq15$和$h^{0}（-K_{X}）\leq10$。此外，我们还证明了这种$X$对于更简单的Mori纤维空间是双向的。