我们研究了在（0,2]^d$中指数为$\boldsymbol{\alpha}=（\alpha_1，\ldots，\alpha_d）的算子稳定分布的吸引域中，$\mathbb{Z}^d$（$d\geq1$）上的随机游动$\mathbf{S}_n$：特别地，我们允许沿不同坐标的标度不同。我们证明了一个强更新定理，即格林函数$G（\mathbf{0}，\mathbf{x}）$作为$\|mathbf}x}到+\infty$沿着“最喜欢的方向或比例”的一个急剧渐近：（i）如果$\sum_{i=1}^d\alpha_i^{-1}<2$（这让人想起$d=1$[17]时的Garsia-Lamperti条件）；（ii）如果地方的条件成立（让人想起Doney的[13，公式（1.9）]，当$d=1$时）。我们还提供了Green函数$G（\mathbf{0}，\mathbf2{x}）$的统一边界，当$\mathbf{x}$远离这个最喜欢的方向或缩放时，可以锐化估计值。这些结果极大地改进了现有文献，这些文献主要关注最受欢迎的标度中的情况$\alpha_i\equiv\alpha$，甚至忽略了均值为非零的情况$1,2）$。我们的大多数估计依赖于新的一般（多变量）局部大偏差结果，这在文献中是缺失的，也是他们自己感兴趣的。