我们解决了振荡布朗运动的最优停止问题，即在点$x=0$处具有正分段常数波动率的扩散。让$\sigma_{1}$和$\sigma _{2}$分别表示负半线和正半线上的波动率。我们的主要结果是，当$2\sigma{1}^{2}<\sigma{2}^{2]时，对于折扣率的某些值，具有报酬$（（1+x）^{+}）^{2{$的最优停止问题的连续区域可以断开。基于自然尺度上的偏斜布朗运动是振荡布朗运动这一事实，将所得结果转化为偏斜布朗运动的相应结果。