这是我们计划研究亚黎曼（sR）拉普拉斯（Laplacian）谱渐近性的系列论文的第一篇，并推广黎曼（Riemannian）情形下关于Weyl测度、量子极限、量子遍历性、准模和迹公式的经典结果。即使从偏微分方程的角度对亚椭圆算子进行了很好的研究，但整体几何和动力学方面的问题也没有得到太多的关注。正如我们将看到的，在最简单的情况下，sR设置中的结果声明与黎曼设置中的完全不同。

让我们考虑一个封闭的sR度量$\mathrm{<trans\; data-src="3">三</trans>}$-具有定向接触分布的维流形。接触形式有一个特权选择，有一个关联的Reeb向量场和一个与Popp度量一致的标准体积形式。在Reeb流是遍历的假设下，我们为任何相关sR-Laplacian的本征函数建立了量子遍历性（QE）定理。极限测度由归一化Popp测度给出。

这是第一次为次椭圆算子建立这样的结果，而通常的Shnirelman定理为具有遍历测地流的闭黎曼流形上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子产生QE。

为了证明我们的定理，我们首先建立了一个微局部Weyl定律，它允许我们识别极限测度，并证明本征函数在sR-Laplacian特征流形上的微局部集中。然后，我们沿着这个特征流形导出了Birkhoff范式，从而表明，在某种意义上$\mathrm{<trans\; data-src="3">三</trans>}$-尺寸接触结构是微局部等效的。这个正规形式的量子版本提供了sR-Laplacian的有用的微局部因式分解。使用正规形式、因式分解和遍历性假设，我们最终建立了方差估计，QE由此得出。

我们还得到了第二个结果，该结果在没有任何遍历性假设的情况下是有效的：每个量子极限（QL）都可以分解为两个相互奇异的测度之和：第一个测度支持于单位余切丛，并且在sR测地流下是不变的，第二个测度支持sR-Laplacian的特征流形，并且在Reeb流的升力下不变。此外，我们证明了对于大多数QL，第一个测度为零。