在过去的几十年里，随机过程的弱收敛理论已经成为分析各种统计的渐近性质的标准工具。通常，在具有上确界度量的有界函数空间中考虑弱收敛性。然而，在某些情况下，这些空间中的弱收敛无法成立。示例包括线性回归模型中的经验copula和尾部相关过程以及在基础分布缺乏一定平滑度的情况下的剩余经验过程。为了解决这个问题，引入了局部有界函数的一个新度量，并发展了相应的弱收敛理论。关于新度量的收敛性与表收敛和次收敛有关，并且弱于一致收敛。然而，对于连续极限，它等价于局部一致收敛，而在温和的边条件下，它意味着$L^{p}$收敛。对于上面提到的例子，在新度量不涉及上确界距离的情况下，建立了关于新度量的弱收敛性。应用这些结果获得了重采样过程的渐近性质和良好性检验。