互惠回文

2021年11月30日

在YouTube上，Michael Penn证明回文的倒数之和收敛：

\PALIN}1/p中的sum_{p\

但他并没有计算总和的收敛值。

你的任务是计算无限和。完成后，欢迎您阅读建议的解决方案，或发布您自己的解决方案或在下面的评论中讨论练习。

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5条评论»

5对“相互回文”的回应

  1. 马太福音 说
    2021年11月30日上午10:02

    您正在按大小的相反顺序将倒数相加，因此当添加下一个值时，您将收敛于一个不变的和（使用双精度时，似乎约为3.370283225788489823）。我们可以按相反的顺序生成回文（从适当小的地方开始），但可能更好的解决方案是使用Kahan求和算法(https://en.wikipedia.org/wiki/Kahan_summation_algorithm). 或者，您可以查看https://oeis.org/A118031看看答案。

  2. 马太福音 说
    2021年11月30日上午10:20

    使用Kahan求和的一些代码：

    #包含<矢量>#包含<cstdlib>#包括<cstdio>void nextpal（std:：vector<int>&s）{auto-len=s.size（）；对于（auto n=（len+1）/2；n>0；n--）{如果（s[n-1]<9）{s[len-n]=s[n-1]=s[n-1]+1；回报；}其他{s[len-n]=s[n-1]=0；}}//环绕到所有零，因此扩展s[0]=1；s.push_back（1）；}双精度到双精度（std:：vector<int>s）{双倍x=0.0，r=1.0；//从小到大应该是准确的//这里，不需要花哨的总结。for（auto i=s.begin（）；i！=s.end（）；i++）{x+=（*i）*r；r*=10.0；}返回x；}int main（int argc，char*argv[]）{长计数=标准：：strtol（argv[1]，0,0）；标准：：vector<int>s={1}；双和=0，和=0；双c=0；//补偿for（长i=1；；i++）{如果（i%count==0）{标准：：printf（“%20.18f%20.18f%ld\n”，总和，总和0，i）；}双y=1/t双；sum0+=y；//添加到naive sumy-=c；//减去校正双t=和+y；//添加到总和c=（t-总和）-y；//新增薪酬总和=t；//新增金额nextpal（s）；}}

    还有一些输出，第一列是补偿和，第二列是“朴素”和，第三列是迭代。收敛速度较慢，因此必须运行一段时间才能与OEIS值进行比较：

    $g++-墙-O3 rpalindromes.cpp-o rpalindomes$ ./rpalindromes 100000000个3.370283197792765417 3.370283199089854076 1000000003.370283231354666675 3.370283225788489823 2000000003.370283238286138516 3.370283225788489823 3000000003.370283242340789354 3.370283225788489823 4000000003.370283245217610357 3.370283225788489823 5000000003.370283247449045838 3.370283225788489823 6000000003.370283249272261195 3.370283225788489823 7000000003.370283250813768117 3.370283225788489823 8000000003.370283252149082198 3.370283225788489823 9000000003.370283253326912476 3.370283225788489823 1000000000...
  3. 马太福音 说
    2021年12月1日下午5:28

    在运行了近24小时并将前万亿个倒数相加后，我们只得到了小数点后11位，但看起来求和算法正在发挥作用(https://oeis.org/A118031给出3.370283259497）：

    3.370283259491198447 3.370283225788489823 9996000000003.370283259491199335 3.370283225788489823 9997000000003.370283259491200667 3.370283225788489823 9998000000003.370283259491201555 3.370283225788489823 9999000000003.370283259491202887 3.370283225788489823 1000000000000^C类

    每个小数位花费的时间大约是最后一个小数位的10倍，所以我把它停在那里，而不是一直运行到圣诞节。在代码中添加一些东西会很有趣，这些代码使用外推法来估计我们当前的收敛点。

  4. 马太福音 说
    2021年12月2日上午8:55

    如果将todouble（）参数设置为常量引用，则速度会更快。

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