编程实践

一组数字的中位数是指当项目按排序顺序排列时，项目数为奇数时，中间的数字，或当项目数为偶数时，中位数是中间两个数字的平均数；例如，{3741265}的中位数是4，{4213}的中值是2.5。计算中值的常规算法一次考虑整个数字集；这个流媒体该算法重新计算数字集每个连续前缀的中值，并可应用于无限序列的前缀。例如，原始数字序列的流媒体是3、5、4、3.5、3、3.5和4。

使用两个堆计算流中值。所有小于或等于当前中间值的数字都位于左侧堆中，其排列方式使最大数字位于堆的根。所有大于或等于当前中值的数字都位于右侧堆中，这样安排的目的是使最小数字位于堆的根。请注意，等于当前中值的数字可以在任意一个堆中。两个堆中的数字计数相差永远不会超过1。

当进程开始时，两个堆最初是空的。输入序列中的第一个数字被添加到其中一个堆中，不管是哪个堆，并作为第一个流中值返回。然后将输入序列中的第二个数字添加到另一个堆中，如果右堆的根小于左堆的根，则交换两个堆，并返回两个数字的平均值作为第二个流中值。

然后开始主要算法。将输入序列中的每个后续数字与当前中值进行比较，如果它小于当前中值，则添加到左侧堆中，如果它大于当前中值，那么添加到右侧堆中；如果输入数字等于当前中值，则将其添加到计数较小的堆中，如果计数相同，则任意添加到其中一个堆中。如果这导致两个堆的计数相差超过1，则会删除较大堆的根并将其插入较小堆中。然后，如果计数不同，则将当前中值计算为较大堆的根，如果大小相同，则计算为两个堆的根的平均值。

您的任务是编写一个函数来计算序列的流媒体。完成后，欢迎您阅读或运行建议的解决方案，或在下面的评论中发布自己的解决方案或讨论练习。

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20世纪20年代，威廉·阿克曼（Wilhelm Ackermann）演示了一种非原始递归的可计算函数，解决了计算理论发展过程中的一个重要争论。他的函数有几个版本，其中最常见的是

在非负整数上定义米和n个。即使是非常小的输入，函数也会快速增长；例如，A（4,2）是大约20000位的整数。

您的任务是实现Ackermann的功能。完成后，欢迎您阅读或运行建议的解决方案，或在下面的评论中发布自己的解决方案或讨论练习。

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汉明码由理查德·汉明于1950年发明，是一种通过噪声信道传输数据的方法，使接收者能够纠正简单的错误。发送器将奇偶校验位添加到传输流中，这样，当数据位和奇偶校验位相结合时，可以识别和纠正数据位或奇偶校验比特中的任何单位错误。所需奇偶校验位的数量由汉明规则给出d日+第页+ 1 ≤ 2^第页哪里d日是数据位数第页是奇偶校验位的数目。码字的长度c（c）它结合了数据位和奇偶校验位d日+第页，汉明代码描述为(c（c），d日). 我们将说明如何使用4位数据字，它需要3个奇偶校验位才能满足汉明规则（2是不够的，因为4+2+1>4，但3是足够的，因为4+3+1≤8），并由（7,4）描述。

汉明码的一个特定实例使用两个矩阵，G公司生成器矩阵和H（H）综合征矩阵。以下是（7,4）汉明码的样本生成器（左）和综合征（右）矩阵：

1 0 0 0 1 1 1    1 0 1 1 1 0 0
0 1 0 0 0 1 1    1 1 0 1 0 1 0
0 0 1 0 1 0 1    1 1 1 0 0 0 1
0 0 0 1 1 1 0

生成器矩阵表示为[我:一个]由一个单位矩阵组成我在最左边的四列（数据位数）和奇偶校验编码矩阵中一个在最右边的三列中（奇偶校验位的数量）。对于一个矩阵；它的构造必须确保每个数据位都由两个或多个奇偶校验位进行检查，这样奇偶校验比特的组合就不会与数据位重叠。表示综合征矩阵[一个^T型:我]由奇偶编码矩阵的转置组成一个在最左边的四列中，单位矩阵在最右边的四列。

数据字通过将其乘以生成矩阵进行编码，所有算术均为模2；我们给出了一个矩阵乘法的算法上一次练习例如，数据字[1 0 0 1]被编码为[1 0 0 1 0 0 1]，如下所示：

|1|
                                  | 0 |
              | 1 0 0 0 1 1 1 |   | 0 |
| 1 0 0 1 | * | 0 1 0 0 0 1 1 | = | 1 |
              | 0 0 1 0 1 0 1 |   | 0 |
              | 0 0 0 1 1 1 0 |   | 0 |
                                  | 1 |

解码是逆运算，将综合征矩阵乘以编码数据：

                    | 1 |
                    | 0 |
| 1 0 1 1 1 0 0 |   | 0 |   | 0 |
| 1 1 0 1 0 1 0 | * | 1 | = | 0 |
| 1 1 1 0 0 0 1 |   | 0 |   | 0 |
                    | 0 |
                    | 1 |

如果所有结果位均为零，则传输成功且无错误，输入代码为编码的前四位[1 0 0 1]。但如果有传输错误，则该综合征会指向它。例如，如果接收者接收到的传输为[1 0 1 1 0 0 1]，则综合征计算为[1 01]，这与H（H）矩阵，表示传输的第三位出错，因此消息不是[10 1 1]，而是[1 0 0 1]，这是正确的。

您的任务是编写使用上述汉明码对消息进行编码和解码的函数。完成后，欢迎您阅读或运行建议的解决方案，或在下面的评论中发布自己的解决方案或讨论练习。

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程序通常需要生成各种格式的数字输出，大多数语言都为此提供了库；例如，C提供了打印函数，其中包括d日和（f）十进制数（整数）和浮点数的格式规范。

您的任务是编写格式化整数和浮点数的库函数；你可以遵循C语言或其他语言的格式约定，也可以发明自己的格式。完成后，欢迎您阅读或运行建议的解决方案，或在下面的评论中发布自己的解决方案或讨论练习。

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计算机科学中一个著名的问题是背包问题，在背包问题中，你要从人群中找出与给定目标相加的项目组合，通常带有某种约束条件，例如最大化项目的价值。在今天的问题中，我们希望找到第一种可能的组合k个正整数流中的整数，其和为n个例如，给定输入流4、8、9、2、10、2、17、2、12、4、5…，我们希望在读取第三个2后立即找到包含4、2、10,2、2的背包，而不读取其后的12、4和5。

你的任务是编写一个接受参数的程序k个和n个和输入流，并返回第一个可能的背包。完成后，欢迎您阅读或运行建议的解决方案，或在下面的评论中发布自己的解决方案或讨论练习。

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整数的分区是所有整数集合的集合，这些整数集合之和等于给定的整数。例如，4的分区是集合的集合（（1 1 1 1）（1 1 2）（1 3）（2 2）（4））。我们计算了一个整数在上一次练习。在今天的练习中，我们将列出分区。

这个过程是递归的。只有一个分区0，即空集（）。有一个1的单独分区，即集合（1）。有两个2的分区，集合（11）和（2）。有三个3的分区，集合（11）、（12）和（3）。有五个4的分区，集合（1 1 1 1）、（1 1 2）、（13）、（2 2）和（4）。有7个5的分区，集合（11 11）、（11 12）、（12 2）、（13）、（14）、（23）和（5）。在每种情况下，下一个较大的分区集都是通过添加每个整数来确定的x个小于或等于所需整数n个到由n个−x个，消除任何重复项。

您的任务是编写一个函数，生成给定整数的所有分区集。完成后，欢迎您阅读或运行建议的解决方案，或在下面的评论中发布自己的解决方案或讨论练习。

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在计算机出现之前，大多数计算都是借助于表格：对数表、正弦表等等。这些表格无处不在，不可或缺，而且错误百出。需要对数字进行因子分解的数字理论家使用了数字的最小素因子表。最古老的这样的表可以追溯到1603年（它包含了所有数字中最小的素因子，达到750），而新的表则是在1909年德里克·N·莱默（Derrick N.Lehmer）的最小素因子表达到1000万时才开始构建的（他是德里克·H·莱默的父亲）；Maarten Bullynck给出了历史这是一个大表格中的示例页面，显示了所有小于1000的数字中的最小素因子；可被2和5整除的数字被省略，素数被跳过：

      0    1    2    3    4    5    6    7    8    9
 1        --    3    7   --    3   --   --    3   17
 3   --   --    7    3   13   --    3   19   11    3
7--3--11 3--7 3--
 9    3   --   11    3   --   --    3   --   --    3
11   --    3   --   --    3    7   13    3   --   --
13   --   --    3   --    7    3   --   23    3   11
17   --    3    7   --    3   11   --    3   19    7
19   --    7    3   11   --    3   --   --    3   --
21    3   11   13    3   --   --    3    7   --    3
23   --    3   --   17    3   --    7    3   --   13
27    3   --   --    3    7   17    3   --   --    3
29   --    3   --    7    3   23   17    3   --   --
31   --   --    3   --   --    3   --   17    3    7
33 3 7--3-13 3--7 3
37----3--19 3 7 11 3--
39    3   --   --    3   --    7    3   --   --    3
41   --    3   --   11    3   --   --    3   29   --
43   --   11    3    7   --    3   --   --    3   23
47   --    3   13   --    3   --   --    3    7   --
49    7   --    3   --   --    3   11    7    3   13
51    3   --   --    3   11   19    3   --   23    3
53   --    3   11   --    3    7   --    3   --   --
57    3   --   --    3   --   --    3   --   --    3
59   --    3    7   --    3   13   --    3   --    7
61   --    7    3   19   --    3   --   --    3   31
63    3   --   --    3   --   --    3    7   --    3
67   --   --    3   --   --    3   23   13    3   --
69    3   13   --    3    7   --    3   --   11    3
71   --    3   --    7    3   --   11    3   13   --
73   --   --    3   --   11    3   --   --    3    7
77    7    3   --   13    3   --   --    3   --   --
79   --   --    3   --   --    3    7   19    3   11
81    3   --   --    3   13    7    3   11   --    3
83   --    3   --   --    3   11   --    3   --   --
87    3   11    7    3   --   --    3   --   --    3
89   --    3   17   --    3   19   13    3    7   23
91    7   --    3   17   --    3   --    7    3   --
93    3   --   --    3   17   --    3   13   19    3
97   --   --    3   --    7    3   17   --    3   --
99    3   --   13    3   --   --    3   17   29    3

例如，该表显示，在标题为9的列和标题为23的行中，923的最小素数是13，997是小于1000的最大素数。要计算一个数的因子，请在表中找到它的最小素因子，用除法计算剩余的余因子，然后重复计算，直到余因子为素。

在建立表格时，最小素因子是通过筛选计算的，而不是通过试验划分。该设置与Eratostennes的Sieve相同，只是使用了整数而不是布尔值，并且筛子中的每个项目都初始化为1。然后是每个连续的最小素数第页已过筛选，但未进行更改真的到假，在第页已更改为第页（忽略其他值）。与普通筛号相同的优化-仅奇数，从平方开始第页，并在以下情况下停止第页²大于n个-请在此处申请。

您的任务是编写一个筛选最小素因子的函数，并使用该函数编写一个程序来构建如上所述的因子表。完成后，欢迎您阅读或运行建议的解决方案，或在下面的评论中发布自己的解决方案或讨论练习。

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我不知道这个问题是从哪里来的；要么是家庭作业，要么是面试问题。尽管如此，这很简单也很有趣：

取一个整数数组并对其进行分区，以便数组中的所有偶数整数都位于数组中所有奇数整数之前。您的解决方案必须在数组大小上花费线性时间，并且只能在恒定的额外空间内就地操作。

您的任务是编写指定的函数。完成后，欢迎您阅读或运行建议的解决方案，或在下面的评论中发布自己的解决方案或讨论练习。

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勒让德符号和它的近亲雅可比符号用于模运算，以确定一个数字一是模量的二次剩余米.一个数字一如果存在数字，则为二次剩余x个这样的话x个²≡一（修订版米)且仅在以下情况下定义一和米是共同质数。例如，一²（mod 7）用于一从0到6是列表0²（mod 7）=0，1²（mod 7）=1，2²（mod 7）=4，3²（mod 7）=2，4²（mod 7）=2,5²（mod 7）=4和6²（mod 7）=1，因此7的二次残数为1、2和4（0被排除在外，因为它不是7的同素）。雅可比符号考虑任何奇数模；legendre符号仅限于奇数素数模。符号通常写在括号中一结束米，如下所示：。有时符号用水平标尺写在一和米，有时它写在一行上(一/米).

legendre/jacobi符号可以根据以下三个终止规则进行计算：

1. (0 /米) = 0

2.（1）/米)=1

3. (2 /米)=-1，如果米mod 8∈{3,5}或1如果米模8∈{1,7}

以及以下三个缩减规则：

4.[折减系数2]（2一/米) = (2 /米) × (一/米)

5.[减小模数米] (一/米) = (一（修订版米) /米)如果一≥米或一< 0

6.[减少奇数余素数一和米] (一/米) = −(米/一)如果一≡米≡3（模4），或(米/一)否则

因此，如果一是二次剩余，-1，如果一不是二次剩余，如果一和米不是共同总理。

我们的各种素数程序都使用了legendre/jacobi符号的定义，但这种定义不起作用；对于某些值一和米它返回了错误的结果，对于的其他值一和米它进入了一个无限循环。这个练习解决了这个问题。

您的任务是编写一个函数，使用上述规则计算legendre/jacobi符号。完成后，欢迎您阅读或运行建议的解决方案，或在下面的评论中发布自己的解决方案或讨论练习。

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