所有素数平方梅森除数都是威弗里奇除数
作者:Chris Caldwell
人们经常问梅森(Mersenne)数字(带素数指数)是平方自由的。我们证明的定理以下内容很有可能是因为Wieferich素数非常罕见!但在解释这一点之前,让我们暂停一下,休息一下。
- 定理。
- 让对和q个成为素数。如果对2 划分M(M)q个, 然后是2(对-1)/2选择1(国防部对2)因此特别地,对是一个Wieferich素数。
- 证明。
首先要注意的是对和q个一定很奇怪。其他地方我们已经展示了如果对划分Mq个,然后对= 2千卡+1表示某个整数k个.所以
2q个≡ 2(对-1)/2k个≡1(mod对2).
向k个次幂给出了定理的第一个结果。回想一下Wieferich素数是质数吗对对于其中2对-1≡1(mod对2),这样我们可以提高2的模方程k个第个完成证明的权力。∎
注释。唯一一个Wieferich素数小于67000000000000分别是1093和3511。第一个不满足全部力定理的第二个定理从不除Mq个(带有q个素数),所以Mq个对于所有素数都是无平方的小于4●1012.
如果我们允许混合成的指数,然后是每个奇数平方n个2无限地除数许多“梅森”2米-1;只是制造米任意倍数的(n个2),式中(n个)是欧拉函数. 那我们就知道了n个2除以2米-1(和的确b米-1代表所有人b 相对地首要的到n个)由欧拉定理.