1.拒绝Tertium非Datur
直觉主义逻辑可以简洁地描述为经典逻辑没有亚里士多德的排中律：
\[\标签{LEM}A\vee\neg A（反向A）\]或经典的双重否定消除定律：
\[\标记{DNE}\neg\neg A\右箭头A\]而是用矛盾法则：
\[（A\右箭头B）\右箭头（（（A\右箭头\neg B）\右箭头\ neg A）\]和根据虚假推断:
\[\负A\右箭头（A\右箭头B）。\]Brouwer[1908]观察到LEM是从有限情况，然后无正当理由地扩展到关于无限集合。例如，让\（x，y\）范围覆盖自然数字\（0，1，2，\ldots\）和let \（B（y）\）缩写\（（\primepred（y）\old和\primepred（y+2）），其中表示“（y）是质数。”（B（y）\vee\neg B（y经典地，因为为了确定数字是素数，我们只需要检查它是否有除数严格地介于自身和1之间。
但如果\（A（x）\）缩写\（\存在y（y\gt x\old和B（y）），则为了断言\（\对于所有x（A（x）\ v e \ neg A（x））\）直觉上我们需要有效的（参见。教会教育论文)确定是否存在一对孪生素数的方法大于任意自然数\（x，\），到目前为止没有这样的方法已知。一个显而易见的半有效的方法是列出使用埃拉托斯特尼筛的改进的素数对（逐个生成自然数，并删除每个数字\（y\）不能满足\（B（y）\）），如果有一对对于大于（x）的双素数，这个方法最终会找到第一个。然而，（对于所有x A（x））表示双素数猜测，尚未被证明或反驳，因此在目前我们的知识状态，我们不能断言所有x（A（x）\vee\neg A（x））或（对于所有x A（x
有人可能会反对，这些例子取决于双胞胎素数猜想尚未解决。许多Brouwer最初的“反例”依赖于问题（如费马最后定理）解决了的。但对Brouwer来说，一般LEM相当于一先验的假设每一个数学问题有一个解决方案——他拒绝的一个假设哥德尔的不完全性定理被用了四分之一个世纪。
拒绝LEM具有深远的影响。一方面：
- 直觉上，荒诞还原只有证明消极的语句，因为\（\neg\neg A\rightarrow A\）一般来说不成立。（如果是这样，LEM会紧随其后方式桥墩从直观可证明的\（\neg\neg（A\vee\负A）。\））
- 直觉命题逻辑没有有限命题真实的解释。有无数不同的直觉主义逻辑和经典逻辑之间的公理系统。
- 并不是每个命题公式都有一个直观的等价析取或合取范式，由素数构成仅使用\（\vee\）和\（\oldand.\）的公式及其否定
- 并不是每个谓词公式都有一个直观等价的prenex范式，所有量词都在前面。
- 而\（对于所有x\neg\neg（A（x）\vee\neg A（x直觉谓词逻辑，对于所有x（A（x）vee\negA（x））不是；因此，所有x（A（x）\vee\neg A（x与直觉谓词逻辑一致。
另一方面：
- 形式\（a）闭语句的每一个直观证明\vee B）可以有效地转化为直观证明关于\（A\）或\（B，\）的直觉证明，类似地，对于闭存在陈述。
- 直觉主义命题逻辑在有限构造过程一致适用于的意义每一个命题公式，要么产生一个直观的证明或者证明不存在这样的证据。
- 直觉主义逻辑的否定片段（没有\（\vee \）或\（\exists\））包含经典逻辑的忠实翻译，以及直觉算法和经典算法也是如此。
- 直觉主义算法可以通过公理得到一致的扩展这与经典算术相矛盾，使得递归数学。
- Brouwer的争议直觉分析，与LEM冲突，可以形式化并显示一致相对于经典和直觉正确亚理论。
2.直觉一阶谓词逻辑
形式化的直觉主义逻辑自然受到非正式Brouwer-Heiting-Kolmogorov对直觉主义真理的解释，在上的条目中概述数学哲学中的直觉主义和直觉逻辑的发展.逻辑运算的构造独立性，\vee、\rightarrow、\neg、\forall、\exists\）与经典情况，例如，（A\vee B\）等于\（\neg（\negA\oldand\negB），\）和\（\exists xA（x）\）等价到\（对于所有x\neg A（x）。\）从B-H-K的观点来看，一个句子形式\（A\vee B\）断言\（A，\）或构造了\（B，\）的证明；while \（\neg（\negA\oldand\negB） \）断言已经构造了一个算法，该算法将有效转换证明\（\neg A\）和\（否定B）分别成为已知矛盾的证明。
以下是Hilbert-style形式主义（mathbf{H–IQC}）Kleene[1952]（参见Troelstra和van Dalen[1988]）代表直觉主义一阶谓词逻辑。语言\（L\）\（\mathbf{H–IQC}\）具有的谓词字母\（P，Q（.），\ldots\）所有算术和单个变量\（x，y，z，\ldots\）（带或不带下标\（1，2，\ldots\）），以及符号\（\oldand，\vee、\rightarrow、\neg、\fall、\exists\）表示逻辑连接词和量词，以及括号（，）。这个原子的（或首要的)公式of \（L\）是如下表达式\（P，Q（x），R（x，y，x）\（0）元、（1）元和（3）元谓词字母；也就是说，用单个变量符号是一个素数公式。这个（格式良好）公式（L）的归纳定义如下：
- 每个原子公式都是公式.
- 如果\（A\）和\（B\）是公式，\（（A\old和B）也是，（A\vee B）、（A\rightarrow B）和（neg A\）
- 如果\（A\）是公式并且\（x\）是一个变量，那么\（对于所有xA）和（存在xA）是公式.
通常，我们使用\（A，B，C）作为格式良好的元变量公式和\（x，y，z）作为单个变量的元变量。预期应用（例如直觉算术）我们使用\（s，t）作为元变量条款; 在以下情况下纯谓词逻辑，术语只是单个变量。安公式（a）中变量（x）的出现是跳跃如果它在限定词\（对于所有x \）或\（存在x，\）的范围内否则自由的.直觉上与经典一样，\（A\left-rightarrow B）\）缩写\（（（A\右箭头B）\ oldand（B\当这导致否时，右箭头A）、\）和括号将被省略混乱。
推理有三条规则：
Modus Ponens公司
从（A\）和（A\右箭头B，\）得出\（B\）
\（全部）-简介
从\（C\右箭头A（x），\），其中\（x\）是一个不在\（C，\）结束\（C\右箭头\表示所有x A（x）。\）
\（\存在\）-消除
从\（A（x）\右箭头C，\），其中\（x\）是一个不在\（C，\）结论\（\存在x A（x）\右箭头C）中自由出现
公理都是以下形式的公式，其中在最后两个模式，子公式\（A（t）\）是将术语“（t）”的出现表示中每出现一次“（x）”\（A（x），\）和\（t）中没有空闲变量作为替换的结果。
\[\开始{数组}{l}A\右箭头（B\右箭头A）\\（A\右箭头B）\右箭头（（（A\右箭头（B\右箭头C））\右箭头\\A\rightarrow（B\right箭头（A\old和B））\\（A\旧和B）\右箭头A\\（A\旧和B）\右箭头B\\A\right箭头（A\vee B）\\向右箭头（A\vee B）\\（A\右箭头C）\右箭头（（（B\右箭头C）\右箭头（（A\ V E B）\向右箭头C））\\（A\右箭头B）\右箭头（（（A\右箭头\neg B）\右箭头\ neg A）\\\负A\rightarrow（A\right arrow B）\\\对于所有xA（x）\右箭头A（t）\\A（t）\右箭头\存在xA（x）\结束{数组}\]A类证明是任何有限的公式序列，每个公式都是根据推理规则，（一）的公理或直接结果或两）序列的前面公式。任何证据都可以说证明它的最后一个公式称为定理或可证明公式一阶直觉谓词逻辑。A类推导公式\（E\）从一集合\（F\）假设是公式的任意序列，每个都属于\（F\）或是公理或立即数根据推理规则序列，这样\（E\）是序列的最后一个公式。如果是这样推导存在，我们说\（E\）是可衍生自\（F）
直觉主义命题逻辑是\（\mathbf｛H–IQC｝\）的子系统，当语言仅限于由命题字母（P，Q，R、 \ldots\）使用命题连接词（\oldand，\vee，\rightarrow）和（neg，），只有命题假设是已使用。因此，最后两条推理规则和最后两条公理命题子系统中没有模式。
如果，在直觉主义公理模式的给定列表中命题或一阶谓词逻辑，表达规律根据虚假推断:
\[\neg A\rightarrow（A\right arrow B）\]被经典的双重否定消除法则所取代挪威船级社：
\[\neg\neg A\rightarrow A\]（或者，如果直觉主义的否定法则简介：
\[（A\右箭头B）\右箭头（（（A\右箭头\neg B）\右箭头\ neg A）\]替换为LEM），一个用于经典命题逻辑或（mathbf{H–CQC}）经典谓词逻辑结果。自假手术前和法律矛盾的是经典定理，直觉逻辑是包含在经典逻辑中。在某种意义上，经典逻辑也是包含在直觉主义逻辑中；见下文第4.1节。
需要注意的是，虽然LEM和DNE等效为模式在\（\mathbf{H–IPC}，\）上含义
\[（\neg\neg A\右箭头A）\右箭头（A\vee\neg A）\]不是（mathbf{H–IPC}的定理模式\（\mathbf{T}）基于直觉逻辑，如果（E）是任意的公式\（L（\mathbf{T}）\），然后根据定义：
\（E）是可判定的\（\mathbf{T}\）当且仅当\（\mathbf{T}\）证明\（E\vee\neg E.）
\（E）是在中稳定\（\mathbf｛T｝\）当且仅当\（\mathbf{T}\）证明\（\neg\negE\rightarrowE.）
\（E）是可在中测试\（\mathbf{T}\）当且仅当\（\mathbf{T}\）证明\（\negE\vee\negE\）
可决定性意味着稳定性，但反过来并非如此。的连词稳定性和可测试性等同于可判定性。布鲁尔他自己证明了“荒谬的荒谬相当于荒谬”（Brouwer[1923C]），因此形式\（\neg A\）是稳定的；但在\（\mathbf{H–IPC}\）和\（\mathbf{H–IQC}）素数公式及其否定是无法确定，如下文第5.1节所示。
Hilbert-style系统（\mathbf{H–IQC}）用于直觉主义逻辑的元数学研究推论的强制线性化及其对公理的偏好规则使其成为建立可衍生性的笨拙工具。A类直觉主义的自然演绎系统谓词逻辑来自演绎系统\（\mathbf{D}，\）见条目第3节经典逻辑在这本百科全书中，通过省略身份的符号和规则，并取代了双重否定消除的经典规则（DNE）用直觉否定消去规则表达前任falso公司:
- （印度）
- 如果\（F）包含\（A）和\（F需要（B）
证明\（\mathbf{H–IQC}\）等价于\（\mathbf｛N–IQC｝\）是桥式起重机反之亦然，这个：
演绎定理
如果\（B\）可从\（A\）和可能的其他公式\（F，\）导出所有变量在\（A\）中保持不变是，不使用任何变量\（x\）在\（A，\）中自由出现，除非假设\（A\）在推理之前的推导中没有出现），则\（A\右箭头B\）可从\（F.\）导出
这个基本结果大致表示了规则\（\右箭头一） \（\mathbf{I}，\）的\）可以通过推导定义的归纳法。其他规则\（\mathbf{I}\）基本上由桥式起重机，对应于中的\（（向右箭头E）\）\（\mathbf{N–IQC}；\）和\（\mathbf{H–IQC}\）可在\（\mathbf{N–IQC}\）中证明
为了说明演绎定理的有用性，请考虑（显然微不足道）定理模式A正确（\mathbf{H–IPC}\）中的证明需要五行：
- \（A\向右箭头（A\右箭头A）\）
- \（（A\向右箭头（A\右箭头A））\向右箭头（（A\右箭头A）\右箭头B）A） ）\）
- \（（A\右箭头（A\左箭头A）\右箭头A）\向右箭头A）\）
- \（A\向右箭头（（A\右箭头A）\向右箭头A）
- \（向右箭头A\）
其中1、2和4是公理，3、5来自前面的几行桥式起重机。然而，\（A\）可从\（A~）派生（as假设），因此演绎定理允许我们得出结论，存在（a\右箭头a\）的证明。（事实上刚才提出的\（A\rightarrow A\）的形式证明是演绎定理的构造性证明！）
重要的是要注意，在从假设公式中的假设为就好像他们所有的自由变量都被普遍量化了一样，所以（对于所有的x A（x））都可以从假设（A（x）。）然而，变量\（x\）将是各种各样的（未持有常数），使用\（所有人）-介绍；因此不能使用演绎定理得出（错误地）所有x A（x）的（A（x因此，通过\（存在\）-消除，\（存在x A（x）\rightarrow\对于所有x A（x））\）都可以在\（\mathbf{H–IQC}中证明。\）作为演绎定理在谓词逻辑中的正确使用示例，考虑所有的隐含意义x\负A（x）。\）为了证明这在\（\mathbf{H–IQC}，\）中是可证明的，我们首先从\（A（x）\）中导出\（对于所有x（x）变量保持不变：
- \（对于所有x\neg A（x）\rightarrow\neg B（x）\）
- \（A（x）\右箭头（\对于所有x \负A（x
- \（A（x）\）（假设）
- \（对于所有x\neg A（x）\rightarrow A（x）\）
- \（（对于所有x\neg A（x）\rightarrow A（x对于所有x\negA（x））\）
- \（（对于所有x\neg A（x）\rightarrow\neg B（x））\right arrow\neg\对于所有x\neg A（x）\）
- \（对于所有x\neg A（x））
这里1、2和5是公理；4来自2，3来自方式桥墩; 6和7来自前面的行方式桥墩; 因此没有变量发生变化。演绎定理告诉我们在（a（x）的（mathbf{H–IQC}）中有一个证明\右箭头\neg\代表所有\）x\（\neg A（x），\）和的一个应用程序\（\存在\）-消除将\（P\）转换为\（存在x A（x）\rightarrow\neg\所有x负A（x诡谋如第5.1节所示，在\（\mathbf{H–IQC}，\）中不可证明如下所示。
（\mathbf{H–IQC}）和\（\mathbf{N–IQC}\）是直觉主义命题逻辑和谓词逻辑。第一个这样的微积分由Gentzen[1934-5]定义，参见Kleene[1952]。序贯系统，证明了与\（\mathbf{H–IQC}\）和\（\mathbf{N–IQC}，\）保持跟踪明确证明每一步的所有假设和结论，更换桥式起重机（消除了中间产物公式）通过切割规则（可以显示为子系统的容许规则（参见第4.2节）省略）。
当形式主义的细节不重要时，从现在起我们效仿Troelstra和van Dalen[1988]出租“\（\mathbf{IQC}\）”或“\（\tathbf{IPC}\”请参阅直觉谓词或命题的任何形式系统逻辑，类似地“\（\mathbf｛CQC｝\）”和经典谓词和命题逻辑。
\（\mathbf{IPC}\）和\（\mathbf{IQC}\）都满足插值定理例如：如果\（A\）和\（B\）是命题公式至少有一个共同的命题字母，并且如果\右箭头B\）可在\（\mathbf{IPC}，\）中证明，则有一个公式\（C，\）只包含出现在两者中的命题字母\（A\）和\（B，\）使得\（A\右箭头C\）和\（C\右箭头B\）是可证明的。这些主题在Kleene中讨论[1952]和Troelstra和Schwichtenberg[2000]。
当然，身份可以添加到直觉主义逻辑中，因为应用（例如算术），等号符号通常是被视为满足公理的可分辨谓词常量对于等价关系（自反性、对称性和及物性）和其他非逻辑公理（例如，原始递归加法和乘法的定义）。身份是可判定的，直觉主义和古典主义，但直觉主义外延相等并不总是可判定的；参见关于在条目第3节中的Brouwer连续性公理数学哲学中的直觉主义.
3.直觉数论（Heyting算术）\（\mathbf{HA}\）
直觉（Heyting）算术（mathbf{HA}）和经典（皮亚诺）算术（mathbf{PA}）共享相同的一阶语言和相同的非逻辑公理；只是逻辑不同。在除了逻辑连接词、量词、括号和单个变量\（x，y，z，\ldots\）（也用作元变量），算术语言\（L（\mathbf{HA}）\）有一个二元谓词符号\（=，\）单个常量\（0，\）一元函数常数\（S，\）和有限或可数无穷多基本递归函数的附加常量包括加法与乘法；准确的选择取决于口味以及便利性。条款由变量和\（0\）构建使用函数常数；特别是，每个自然数\（n\）在语言中由数字\（\mathbf{n}\）通过将\（S）\（n）次应用于\（0）（例如，\（S（S（0））\）获得（2）的数字。基本公式形式为\（=t） \）其中\（s，t\）是术语，以及复合配方奶粉是像往常一样从这些中获得。
\（\mathbf｛HA｝\）的逻辑公理和规则是一阶直觉谓词逻辑非逻辑公理包括自反公理、对称公理和传递公理\（=\）的属性：\[\对于所有x（x=x），\]\[\对于所有x，对于所有y（x=y\rightarrow y=x），\]\[\对于所有x，对于所有y，对于所有z（（x=y\oldandy=z）\rightarrow x=z）；\]公理将\（0）描述为最小自然数：
\[\对于所有x\neg（S（x）=0），\]将（S）描述为一对一函数的公理：
\[\对于所有x，对于所有y（S（x）=S（y）向右箭头x=y），\]\（S\）的扩展等式公理：
\[\对于所有x\对于所有y（x=y\右箭头S（x）=S（y））；\]每个函数常数的原始递归定义方程，特别是：\[\对于所有x（x+0=x），\]\[\for all x\ for all y（x+S（y）=S（x+y））；\]和乘法：\[\对于所有x（x\cdot 0=0），\]\[\对于所有x，对于所有y（x\cdot S（y）=（x\cdot y）+x）和（通用闭包数学归纳法的模式，适用于任意公式\（A（x）\）：
\[（A（0）\旧和\对于所有x（A（x）\右箭头A（S（x）））\rightarrow\对于所有x（x）。\]所有函数常数的扩张等式公理都是可导的根据（S）的等式公理和原始递归函数公理。
自然序关系\（x\lt y\）可以在\（\mathbf{HA}\）通过\（\existsz（S（z）+x=y），\）或通过如果符号和前置器的基本递归定义方程：\[Pd（0）=0，\]\[\对于所有x（Pd（S（x））=x）\]和截止减法：\[\对于所有x（x\dot-minus 0=x），\]\[\对于所有x，对于所有y（x\dot-minus S（y）=Pd（x\Dot-minus y））是以形式主义呈现\（\mathbf{HA}\）证明了比较法律
\[对于所有x，对于所有y（x y x=y y y x）]最小数原理的直观形式任意公式\（A（x）\）：
\[\开始{对齐}\对于所有x[&\对于所有y（y\lt x\rightarrow（A（y）\vee\neg A（y&（存在y（（y\lt x\old和A（y））和所有z（z）\lt y\rightarrow\neg A（z））\\vee\&\对于所有y（y\lt x\rightarrow\neg A（y））]。\结束{对齐}\]这个假设是必要的，因为并非所有的算术公式都是在\（\mathbf{HA}.\）中可以判定。然而，\（对于所有x，对于所有y（x=y\vee\neg（x=y））可以通过数学归纳法直接证明，并且因此：
- 素数公式（以及所有无量词公式）在\（mathbf{HA}.\）中是可判定和稳定的
如果\（A（x）\）在\（\mathbf{HA}，\）中是可判定的，那么通过归纳\（x）也是（对于所有y（y x向右箭头A（y））和（存在y（y\lt x\旧和A（y））。\）因此：
- 所有量词都在其中的公式有界的是在\（mathbf{HA}.\）中可判定且稳定
算术公式的集合\（\Delta_0\），其中量词有界是经典量词的最低层次基于交替模式的算术层次prenex公式中的量词。In\（\mathbf{HA}\）不是每个公式有婚前协议形式，但Burr[2004]发现了一个简单的直觉主义算术层次结构与经典层次结构逐级对应。仅用于以下两个定义，\（对于所有x \）表示由有限多个通用数字量词组成的块，并且类似地，（exists x）表示有限多个存在的块数字量词。根据这些约定，Burr的类\（\Phi_n\）和（\Psi_n\）定义为：
- \（\Phi_0=\Psi_0=\Delta_0，\）
- \（\Phi_1）是所有x形式的所有公式的类A（x）\），其中\（A（x）\）位于\（\Psi_0.\）对于\（n\ge 2，\）\（\Phi_n\）为所有x[A（x）\rightarrow形式的所有公式的类\存在y B（x，y）]\），其中\（A（x）\）位于\（\Phi_{n-1}\）和\（B（x、y）\）中位于\（\Phi_{n-2}，\）
- \（\Psi_1）是形式为\（\exists x）的所有公式的类A（x）\），其中\（A（x）\）位于\（\Phi_0.\）对于\（n\ge 2，\）\（\Psi_n\）为形式为（A\右箭头B\）的所有公式的类，其中\（A\）位于\（\Phi_n\）中，而\（B\）位于\（\ Phi_{n-1}中。）
相应的经典prenex类定义更简单：
- \（\Pi_0=\Sigma_0=\Delta_0，\）
- \（Pi_{n+1}）是所有形式的公式的类x A（x）\），其中\（A（x）\）在\（\ Sigma_n，\）中
- \（\Sigma_{n+1}\）是该形式的所有公式的类\（\ exists x A（x）\）其中\（A（x）\）位于\（\Pi_n.\）
Peano算术\（\mathbf{PA}\）来自Heyting算术\（\mathbf{HA}\），方法是将LEM或\（\neg\negA\rightarrow A\）添加到逻辑公理列表，即使用经典公理而不是直觉主义逻辑。以下结果在碎片中仍然有效包含归纳模式的\（\mathbf{HA}\）和\（\mathbf{PA}\）仅限于\（\Delta_0\）公式。
伯尔定理：
- 每个算术公式在\（\mathbf{HA}\）到其中一个类\（\Phi_n.\）中的公式
- \（\Phi_n\）中的每个公式在\（\mathbf｛PA｝\）到\（\Pi_n，\）中的公式，反之亦然。
- \（\Psi_n\）中的每个公式在\（mathbf{PA}）转换为\（\Sigma_n，\）中的公式，反之亦然。
\（mathbf{HA}）和（mathbf{PA}）是理论上的证明如第4节所示。每个人都能够（数字方面）表达自己的证明谓词。由哥德尔著名的不完全性定理，如果是一致的，则\（\mathbf{HA}\）和\（\mathbf{PA}\）都不能证明其自身的一致性。
4.基本证明理论
4.1将经典逻辑转换为直觉逻辑
直觉主义逻辑的一个基本事实是它具有相同的与经典逻辑一样的一致性强度。对于命题逻辑Glivenko[1929]首次证明：
格列文科定理
任意命题公式（A\）是经典可证的，如果并且只有当\（\neg\neg A\）是直观可证明的。
尽管如此，Glivenko定理并没有扩展到谓词逻辑任意谓词公式\（A\）是经典可证明的，如果和仅当\（\neg\neg A\）在直觉谓词逻辑中可证明加上“双重否定移位”模式。
\[\标记｛DNS｝\对于所有x\neg\neg B（x）\rightarrow\neg\ neg\\]更复杂的否定翻译属于从经典到直觉主义理论，独立于哥德尔和根岑，与语言\（L）另一个公式\（g（A）\）（没有\（vee）或\（存在），这样：
- 经典谓词逻辑证明\（A\leftrightarrow g（A）.\）
- 直觉谓词逻辑证明\（g（A）\left-rightarrow\neg\负值g（A）
- 如果经典谓词逻辑证明\（A，\），那么直觉主义谓词逻辑证明\（g（A）.\）
根据以下归纳定义，证明很简单of（g（A）\）（使用Gentzen的言外之意的直接翻译，而不是哥德尔（Gödel）\（\旧和\）：
\[\开始{align*}g（P）&\text{is}\neg\negP，\text{if}P\text{is质数}\\g（A\oldand B）&\text｛is｝g（A）\oldand g（B）\\g（A\vee B）&\text{is}\neg（neg g（A）\oldand\neg（B））\\g（A\右箭头B）&\text{是}g（A）\右箭头g（B）\\g（负A）&\text{is}负g（A）\\g（对于所有xA（x））&\text{is}（对于所有x g（A（x）））\\g（存在xA（x））&\text{is}\neg\表示所有x\neg g（A（x，））。\结束{align*}\]对于每个公式\（A，\）\（g（A）\）是直观可证的，如果和只有当\（A\）可以经典地证明。特别是，如果（B\oldand\neg B）对于某些公式（B，）和（g（B）是经典可证的\oldand\neg（B）直观地证明。因此：
- 经典谓词逻辑和直觉谓词逻辑是等价一致的。
经典数到直觉数的否定翻译理论更简单，因为直觉主义的素数公式算法是稳定的。因此，\（g（s=t）\）可以被视为\（s=t，\）和其他条款不变。每一个的否定翻译数学归纳法图式的实例是相同的模式和其他非逻辑的算术公理是它们的自己的负面翻译，因此：
- （一） （II）、（III）和（IV）也适用于数论。
哥德尔[1933e]将这些结果解释为：直觉逻辑和算术更富有的比经典逻辑和算术，因为直觉主义理论区分了经典等价且具有相同性质的公式稠度强度作为经典理论。尤其是哥德尔不完全性定理适用于（mathbf{HA}）以及\（\mathbf｛PA｝.\）
将负面解释扩展到分析的直接尝试失败因为可数选择公理的否定翻译是不是直觉分析的定理。然而，这是一致的直觉分析，包括布鲁的争议连续性原理，由Kleene的函数形式表示递归可实现性（参见下文第6.3节）。由此可见直觉数学，只能用all来表示标准的逻辑连接词和量词与经典数学的忠实翻译\（存在。）
这一点很重要，因为Brouwer的直觉分析是与LEM不一致。然而，如果\（A\）是任何消极的公式（不带\（\ vee \）或\（\ exists \））然后是\（\ neg\ neg A\右箭头A\）是可以用直觉逻辑证明的。A类直觉分析与经典分析的调和这些线条的灵感来自Troelstra[1977]和Kripke[2019]莫斯科[2017年]。
4.2直觉逻辑和算术的可接受规则
哥德尔[1932]观察到直觉主义命题逻辑这个析取性质:
- （DP）
- 如果\（A\vee B\）是一个定理，则\（A\）是定理或\（B\）为一个定理。
Gentzen[1935]建立了闭合的析取性质直觉谓词逻辑的公式。由此可知如果直觉逻辑是一致的，那么\（P\vee\neg P\）不是定理，如果（P）是原子公式。Kleene[1945，1952]证明了直觉一阶数论也有相关的（参见。弗里德曼[1975]）存在属性:
- （EP）
- 如果（存在x A（x））是一个封闭定理，那么对于一些封闭定理项\（t，\）\（A（t）\）是一个定理。
析取和存在属性是非经典理论特有的一般现象。这个可接受规则理论的规则理论是封闭的。例如，Harrop[1960]观察到规则：
- 如果（负A）是一个定理，那么（负A\右箭头B）\vee（\neg A\rightarrow C）\）
直觉命题逻辑可接受因为如果\（A，\）\（B\）和\（C\）是这样的任何公式\右箭头（B\vee C）\）可在\（\mathbf{IPC}，\）然后\（\neg）中证明A\rightarrow B）\vee（\neg A\right arrow C）\）可在中证明\（\mathbf{IPC}.\）Harrop的规则不是可衍生的在里面\（\mathbf{IPC}\），因为公式
\[（负A\右箭头（B\vee C））\右箭头（（\neg A\rightarrow B）\vee（\negA\rirtarrow C））\]无法直观地证明。另一个重要的示例（\mathbf{IPC}\）的可容许不可导规则是Mints的规则：
- 如果\（（A\rightarrow B）\rightarrow（A\vee C）\）是一个定理，那么是\（（（A\右箭头B）\右箭头A）\ V（（A\右箭头B\右箭头C）。\）
经典命题的二值真值表解释逻辑\（\mathbf{CPC}\）给出了一个简单的证明（\mathbf{CPC}\）的可容许规则是可推导的：否则分配给\（A，\）\（B，\）等会使假设成立结论为false，用例如（P\rightarrow P\）代替指定为“true”和\（P\oldand\neg P\）的字母那些被指定为“假”的人会有证据假设和无法证明的结论。直觉主义的事实情况更有趣会导致许多自然的问题，其中一些这些问题最近得到了回答。
通过推广造币厂规则，维瑟和德容确定了一个连续强可容许的递归可数序列他们推测，形成基础对于\（\mathbf{IPC}\）的容许规则在这个意义上，每个可接受的规则都可以从析取性质和序列的规则之一。建筑于Ghilardi[1999]和Iemhoff[2001]的工作成功地证明了猜想。Rybakov[1997]证明了（\mathbf{IPC}\）的可容许规则是可判定的，但没有有限的基础。Visser[2002]表明他的规则也是可接受的（mathbf{HA}，）和（mathbf{HA}\）的命题规则根据马尔可夫原理MP（定义见第5.2节（见下文）。最近，Jerabek[2008]为属性为no的\（\mathbf{IPC}，\）的可接受规则基础中的规则衍生出另一个。
直觉主义的可接受规则知之甚少谓词逻辑。Pure\（\mathbf{IQC}，\）没有单独或谓词常量具有以下显著的可接受规则\（A（x）\）没有可用变量，但\（x\）：
- 如果（存在x A（x））是一个定理，那么（对于所有x A（x））也是一个定理
并非所有可接受的\（\mathbf{IQC}\）谓词规则都是可接受的例如，对于所有基于\（\mathbf｛IQC｝；\）的正式系统，\（\mathbf{HA}\）显然违反了刚才所述的规则。维瑟证明在[1999]中\（mathbf{HA}）是（Pi_2）完成的，在[2002]中\（\mathbf{HA}\）\（+\）MP具有与相同的谓词可接受规则\（\mathbf{HA}.）Plisko[1992]证明了谓语逻辑of \（\mathbf{HA}\）\（+\）MP（\（\mathbf｛IQC｝\）的语言，所有这些语言的统一替换算术语言中的实例可以在\（\mathbf{HA}\）\（+\）MP）是\（\Pi_2\）完备的；维瑟[2006]将这个结果推广到一些具有建设性意义的一致性不包含在中的\（\mathbf｛HA｝\）的扩展\（\mathbf{PA}.\）
虽然它们还没有完全分类，但可接受的规则直觉谓词逻辑的马尔可夫法则对于可判定谓词：
- 如果（对于所有x（A（x）\vee\neg A（xA（x）是一个定理，所以它是（存在x（x）。）
以及以下内容授权独立性规则（其中\假设（y）不会在（A（x））中自由出现：
- 如果\（对于所有x（A（x）\vee\neg A（x\右箭头存在y B（y））是一个定理，所以是x A（x）\右箭头B（y））。\）
这两个规则也适用于\（\mathbf{HA}。\）相应的无法证明的暗示（分别为MP和IP）直觉上，被哥德尔的（mathbf{HA}）的“辩证法”解释（参见。第6.3节）。因此，隐含（CT）对应于Heyting算法中最有趣的可接受规则，让我们称之为Church-Kleene规则:
- 如果（对于所有x都存在y A（x，y））是\（\mathbf｛HA｝\）则有一个数\（n\）使得，在\（\mathbf{HA}，\）具有Gödel数的部分递归函数\（n）是总数，并将每个（x）映射到满足（a（x，y））的（y）此外，\（A（\mathbf{x}，\mathbf{y}）\）是可证明的，其中\（\mathbf{x}）是自然数（x）的数字\（\mathbf{y}\）是\（y）的数字
将马尔可夫规则与否定翻译相结合，得出经典算法和直觉算法证明相同的结果形式为\（对于所有x，存在y A（x，y）\）的公式，其中\（A（x，y）是不含量词的。一般来说，如果（A（x，y））是可证明的可判定的在\（\mathbf{HA}\）中，如果\（对于所有x都存在y A（x，y）\）是一个封闭的定理古典的算术\（\mathbf{PA}，\）Church Kleene规则的结论即使在直觉主义的算术。如果\（\mathbf{HA}\）证明\（对于所有x，对于所有y（A（x，y）），然后通过Church-Kleene规则（A（x，y））的特征函数有一个Gödel数\（m，\）在\（\mathbf{HA}；\）so中可证明\（\mathbf{HA}\）证明\（对于所有x\存在y A（x，y）\leftrightarrow\对于所有x\存在y\存在zB（\mathbf{m}，x，y，z）\），其中\（B\）是无量词，并且相邻的存在量词可以是在\（\mathbf{HA}.\）中进行收缩，结果是\（\mathbf{HA}\）和\（\mathbf{PA}\）具有相同的可证明递归函数。
这里有一个证据证明，规则“If\（\ for all x（a\vee B（x））”是一个定理，所有x B（x）的（a\vee）“（其中（x）不是（A）中的可用不允许用于\（\mathbf{HA}，\），如果\（\mathbf{HA}\）是一致的。哥德尔编号提供了一个无量词公式\（G（x）\），用数字表示谓词“\（x\）是\((0 = 1).\)” 由直觉逻辑决定无量词算术公式，（mathbf{HA}）证明\（对于所有x（存在y G（y）\vee\neg G（x））。）然而，如果\（\mathbf｛HA｝\）证明\（\存在yG（y）\vee\对于所有x\neg G（x）\）则通过析取属性，\（\mathbf{HA}\）必须证明\（存在yG（y））或（所有x\neg G（x）。）第一种情况是不可能，通过一致性假设的存在性事实上，\（\mathbf{HA}\）证明了所有真正的无量词句子。但第二种情况也是不可能的哥德尔第二不完全性定理，因为x\neg G（x）\）表示\（\mathbf｛HA｝.\）的一致性
5.基本语义
表示公式（或模式）（F\）的最直接方法是可证明的形式系统\（\mathbf{S}\）是构造一个\（\mathbf｛S｝.\）中\（F\）的证明但是如果一个公式（或一些模式的替换实例）发生不可证明的在\（\mathbf{S}，\）中，如何知道这个事实？我们未能找到证据可能表明无法证明，但一般来说并不具有决定性，除非证明搜索是Gentzen系统中的一个标准搜索直觉主义命题逻辑。通常需要的是解释（\mathbf{S}\）是关于声音在这个意义上，每个可证明的公式都是有效的根据解释。然后显示\（F\）无法证明的在\（\mathbf{S}\）中，它足以表明\（F\）是无效根据解释，通常是构造反模型至\（F.\）
如果系统\（\mathbf{S}\）是完成进行解释，在这个意义上，根据解释可以在\（\mathbf{S}，\）中证明，然后用间接的方法表明公式（或模式）在\（\mathbf{S}\）中是可证明的根据解释确立其有效性。完整性不会总是伴随着健康；例如，Heyting算法是健全的但对于中所述的可实现性解释不完整第5.2节。
直觉主义系统激发了各种解释，包括贝丝的台球，拉西奥瓦和西科尔斯基的拓扑模型、Heyting代数、公式as-type、，Kleene的递归可实现性，Kleene和Aczel斜线和基于sheafs和topoi的模型。在所有这些中解读克里普克[1965]的可能世界语义直觉主义谓词逻辑在这方面是健全和完整的，最像经典模型理论。递归可实现性另一方面，解释试图有效实施直觉主义真理的B-H-K解释。
5.1直觉逻辑的克里普克和贝思语义
A类克里普克构造\（L\）的（\mathbf{K}\）由偏序集\（K\）节点和a领域功能D给（k）中的每个节点分配一个有人居住的集合\（D（k），\）这样如果\（k\le k'，\）那么\（D（k）\子结构D（k'）。\）在加法\（\mathbf{K}\）有一个强制关系确定为跟随。
对于每个节点\（k\），让\（L（k）\）成为扩展\（L\）的语言\（D（k）.\）中所有元素的新常数到每个节点\（k\）和每个（0）元谓词字母（每个命题字母）赋值\（f（P，k）=\）真的或离开\（f（P，k）\）未定义，符合if（k\le k’）和\（f（P，k）=\）真的则\（f（P，k'）=\）真的也。这样说：
\（k）\（V破折号\）\（P）当且仅当\（f（P，k）=\）真的.
到每个节点\（k）和每个\（（n+1）\）元谓词字母\（Q（\ldots），\）分配的（可能为空）集合\（T（Q，k）\）\（（n+1）\）-（D（k）\）元素的元组，如果k'）然后\（T（Q，k）\子结构T（Q、k'）。\）这样说：
\当且仅当，d_n）\以T（Q，k）表示。\）
现在定义\（k\）\（\Vdash\）\（E\）（可以读取“”\（k\）“军队\（E\）“）用于复合句\（L（k）\的（E）归纳如下：
| \（k\）\（\短划线\）\（（A\旧和B）\） |
如果\（k\）\（\破折号\）\ |
| \（k）\（V破折号\）\（A \ V B）\） |
如果\（k\）\（\Vdash\）\ |
| \（k\）\（\ V破折号\）\[（A\右箭头B）\） |
如果，对于每个\（k'\ge k，\）if\（k'）\（Vdash\）\（A\），则\（k'）\（V破折号\）\（B） |
| \（k）\（V破折号\）\（负A） |
如果没有\（k'\ge k\）做\（k'）\（Vdash\）\（A.） |
| \（k）\（V破折号\）\（所有x A（x）\） |
if for every（k'\ge k\）and every（d\in d（k'），\）\（k'\）\（\破折号\）\（A（d）.\） |
| \（k）\（V破折号\）\（存在x A（x）\） |
如果对于某些\（d \ in d（k），\）\（k \）\ |
任何此类强制关系都是一致的:
对于没有句子（A\）和没有句子（k\），这两种情况都是\（\破折号\）\（A\）和\（k\）\
和单调的:
如果\（k\le k'\）和\（k\）\（Vdash\）\\（答：）
克里普克的健全性和完备性定理确定（L）的句子在直觉上是可证明的谓词逻辑当且仅当它被每个克里普克构造。从而表明，对于所有x负P（x）\右箭头\存在x P（x）\）在直觉上是不可证明的，它是足以考虑具有\（K=\{K，K'\}，\）\（K\lt的Kripke结构k'，\）\（D（k）=D（k'）=\=\{0\}.\) 而显示相反的是可以直观证明的（没有实际出示证据），人们只需要一致性以及任意Kripke模型的单调性\（\Vdash.\）的定义
等式语言的克里普克模型可以解释节点由任意等价关系决定，服从单调性。对于直觉算术的应用，正常的模型（通过每个节点的标识来解释相等性的那些节点）这就足够了，因为自然数的相等是可以决定的。
命题克里普克语义特别简单，因为任意命题公式是直觉可证明的，如果且只有当它被每个克里普克模型的根所强制时框架（节点集\（K\）及其部分排序）是具有最少元素（根).例如，带有\（K=\{K，K'，K''\}，K\ltk'\）的Kripke模型和\（k\lt k''，\）以及\（P\）仅在\（k'，\）处为true表明\（P\vee\neg P\）和（\neg P\ved\neg\neg P \）在中不可证明\（\mathbf{IPC}.\）
每个终端节点或叶克里普克模型是一个经典模型模型，因为叶子强制每个公式或其否定。只有那些出现在公式\（E，\）中的命题字母节点\（k'\），使得\（k\le k'，\）与决定是否或者不是（k）力有效地使用（L（mathbf{IPC}）的每个公式一类有限Kripke结构，其中包括\（E）如果存在。由于所有定理的类\（\mathbf{IPC}\）是可递归枚举的，我们得出结论：
\（\mathbf{IPC}\）实际上是可判定的。有一个递归确定每个命题公式（E，）的过程（E）是否是（mathbf{IPC}，）的定理要么是\（E\）的证明，要么是（有限的）Kripke反模型。
Gentzen于年首次获得了（mathbf{IPC}）的可判定性1935.\（\mathbf{IQC}\）的不可判定性来自通过否定解释，\（\mathbf{CQC}\）的不可判定性。
熟悉的非教学逻辑图式对应于结构Kripke模型的特性，例如：
- DNS适用于每个有限框架的克里普克模型。
- \（（A\rightarrow B）\vee（B\rightarrow A）\）适用于每个克里普克具有线性有序框架的模型。相反，每个命题在\（\mathbf{IPC}+（A\rightarrow B）中无法推导的公式\vee（B\右箭头A）有一个Kripke反模型有序框架（参见下文第6.1节）。
- 如果\（x\）在\（A\）中不可用，则\（对于所有x（A\vee B（x））\右箭头（A\vee\forall x B（x））\）在每个Kripke模型中都成立\（\mathbf{K}\）具有常量域（因此，对于所有\（k）中的（k，k'）MP也是如此。
贝丝的语义表，灵感来自Brouwer的概念传播早于克里普克的语义；特洛伊斯特拉和范·乌尔森对历史进行权威性的描述。对于现代版本的Beth语义便于与Kripke语义进行比较Beth结构是Kripke结构，其中部分有序集\（K\）是以\（K_0\）为根的根树a中的强制条件Beth模型与中的相同克里普克模型有两个例外。\（A\vee）的强制条件B） Beth模型中的）和（存在x A（x））如下所示，其中分支of是最大线性序子集\le k_1\le k_2\le…\）第页，共页
| \（k）\（V破折号\）\（A \ V B）\） |
如果通过\（K\）的\（K\）的每个分支都包含一个节点\（k'\ge-k\）这样\（k'\）\（\Vdash\）\\（B.\） |
| \（k）\（V破折号\）\（存在x A（x）\） |
如果通过\（K\）的\（K\）的每个分支都包含一个节点\（k'\ge-k\）这样，对于某些\（d\inD（k’）.\） |
使用时间类比，Beth模型允许在两个替代品，或对存在物的见证声明，推迟到更多信息，可能更多信息个人可用。克里普克模型需要立即在两个备选方案之间做出决定，或立即选择见证来自当前领域的存在论陈述个人。
Kripke模型和Beth模型是建立直觉形式系统的性质；cf.Troelstra和vanDalen[1988]，Smorynski[1973]，de Jongh and Smorynsdi[1976]，Ghilardi[1999]和Iemhoff[2001]，[2005]。然而，没有纯粹的直觉证明，每个句子都是有效的Kripke和Beth模型可在\（\mathbf{IQC}）中证明哥德尔，克雷塞尔[1958]的观察证实Beth语义的直觉谓词逻辑的完备性是等同于Brouwer拒绝的Markov原理MP。
此外，Dyson和Kreisel[1961]表明，如果弱完成Beth语义（即，如果没有不可证明的句子在每个Beth模型中都适用）那么以下结果MP持有：\[\tag{GDK}\对于所有\alpha_{B（\alpha）}\neg\neg\存在x R（\alfa，x） \rightarrow\neg\neg\表示所有\alpha_{B（\alpha）}\存在xR（α，x），\]其中\（x\）覆盖所有自然数，\（阿尔法）覆盖所有自然数的无限序列，\（B（alpha）\）缩写\（\代表所有x（\alpha（x）\leq 1），\）和\（R\）表示\（\alpha\）和\（x.\）的原始递归关系相反，GDK需要\（\mathbf{IQC}的弱完整性。\）这个有趣的原则被认为是一个需要\（R\）的模式如果没有量词，则可以对Brouwer Fan定理的形式。它比MP弱，但在当前的直觉分析系统中无法证明。克莱塞[1962]建议GDK最终可以根据直觉数学尚未被发现的性质。
通过修改克里普克模型的定义“爆炸节点”迫使每个句子，维尔德曼[1976]和de Swart[1976]2独立发现了完整性证明只使用直觉逻辑。然而，Veldman质疑具有爆炸节点的克里普克模型具有直观的意义数学对象。
5.2 Heyting算法的可实现语义
实现直觉真理B-H-K解释的一种方法算术是与（mathbf{HA}）的每个句子（E）相关联一些算法的数字代码集合确立（E.）的建设性真理继克莱恩[1945]之后数字\（e \）实现英语的一个句子基于逻辑形式\（E\）的归纳算术：
| \（e）实现（r=t） |
如果\（r=t\）为真。 |
| \（e）实现（A和B） |
如果\（e \）对一对\（f，g）\进行编码，使\（f \）实现\（a \）并且（g）实现了（B） |
| \（e）实现（A） |
如果（e）对一对（（f，g）进行编码，则如果（f=0），则\（g）实现\（A，\），如果\（f\gt 0），则\（g）\（B.\） |
| \（e）实现（A向右箭头B） |
如果，每当\（f \）实现\（A，\），则\（e \）第h部分递归函数定义在\（f），其值实现\（B.\） |
| \（e）实现（否定A） |
如果没有（f）实现（A） |
| \（e）实现\（\对于所有x A（x）\） |
如果，对于每一个部分递归函数在\（n\）处定义，其值实现\（A（\mathbf{n}） |
| \（e）实现（存在x A（x）） |
如果（e）编码一对（n，g）和（g）实现\（A（\mathbf{n}）。\） |
如果某个数实现了任意公式，则该公式是可实现的通用闭合。注意，不是（A\）和（neg A\）都是对于任何公式\（A.），基本结果是：
纳尔逊定理[1947]
如果\（A\）在\（\mathbf{HA}\）中可从可实现公式导出\（F，\）则\（A\）是可实现的。
一些非教条主义原则可以证明是可以实现的。对于例子，马尔可夫原理（用于可判定公式）可以用模式表示
- （百万英镑）
- \（对于所有x（A（x）\vee\neg A（x\右箭头\存在x A（x）。\）
虽然在\（\mathbf{HA}中无法证明，\）MP可以通过非正式地使用马尔可夫原理的论证。但是可实现性是一种基本上非经典的解释。在\（mathbf{HA}）可以表达递归选择公理CT（代表“教会论文”），与LEM相矛盾但可以（建设性地）实现。因此，根据纳尔逊定理，\（mathbf{HA}\）\（+\）MP\（+\）CT是一致的。
Kleene使用数字可实现性的变体来证明满足Church-Kleene规则；同样的论点也适用于\（\mathbf{HA}\）与MP或CT，以及用于\（\mathbf{HAneneneep \）\（+\）MP\（+）CT.在Kleene和Vesley[1965]和Kleene[1969]中，功能取代了数字作为实现对象，建立形式化直觉分析及其在a下的闭包丘克-克莱恩规则的二阶版本。
Nelson定理确立了\经典谓词逻辑的一些定理。如果，至每个\（n）-放置谓词字母\（P（\ldots），\）公式\（f（P）\）分配了\（L（\mathbf{HA}）\）和\（n\）自由变量，如果（L（mathbf{HA}）的公式（f（A））来自以下公式\通过替换每个素数公式（P（x_1，\ldots，x_n））通过\（f（P）（x_1，\ldots，x_n），\），则\（f（A）\）称为算术替换实例例如，如果表示“（y）”的公式\（L（\mathbf{HA}）\是代码和（x）在代码为“（y\）”的句子被分配给\（P（x，y），\），然后（假设\（\mathbf{HA}\）是一致的）替换实例\（\ for all y（\ exists x P（x，y）\vee\neg\存在x P（x，y））\（\mathbf{HA}，\）及其双重否定也是如此。接下来是\（\否定\对于所有y（存在x P（x，y））为在\（\mathbf{IQC}.\）中无法证明
De Jongh[1970]将可实现性与Kripke建模相结合，以显示直觉主义命题逻辑（mathbf{IPC}）和（\mathbf{IQC}\）的片段是算术完全的对于\（mathbf{HA}.\）简单存在公式的统一赋值谓词字母足以证明：
德容定理（用于IPC）[1970]
如果语言（L）的命题公式（a）不可证在\（\mathbf{IPC}，\）中，然后是\（A\）在\（\mathbf{HA}.\）中不可证明
这个版本的德容定理的证明不需要可实现性；参见Smorynski[1973]。例如，Rosser的哥德尔不完全性定理的形式提供了一个句子\（L（mathbf{HA}）的（C\），这样\（mathbf{PA}\）既不能证明也不能证明\（C\）或\（\neg C，\）通过析取属性\（\mathbf｛HA｝\）无法证明\（（C\vee\neg C）。\）但德容的语义证据还证明，每一个直觉上无法证明的限制类型的谓词公式有一个算术公式使用句法方法，Daniel Leivant[1979]扩展了de Jongh的所有直觉上无法证明的谓词公式的定理，证明\（\mathbf{IQC}\）对于\（\bf｛HA｝.\）关于历史论述和使用抽象可实现性和Beth模型而不是Kripke模型。
没有声称数字可实现性与直觉算术真理，尼尔森观察到公式\（A\）的\（L（\mathbf｛HA｝）\）谓词“\（y\）实现“（A\）”可以由另一个公式（缩写为“（y\realizesrel A\）”），以及模式\（A\leftrightarrow\存在y（y\realizesrel A）\）是与Troelstra[1973]所示一致\leftrightarrow\存在y（y\realizesrel A）\）是相等的超过（mathbf{HA}）到“扩展的教会论文”ECT是一种更强大的CT版本，支持在“几乎为负”的假设（不包含\（\vee，\）和with（\ exists x）仅适用于素数公式）。虽然\（\mathbf{HA}\）是正确的，但对于Kleene的数字可实现性，下一个定理表明\（mathbf{HA}\）+对于这种解释，ECT既合理又完整。
Troelstra的特征定理（对于基于（mathbf{HA}）的数字可实现性[1973]
如果\（A\）是语言\（L（\mathbf{HA}），\）的封闭公式，则：
- \（\mathbf{HA}\）+ECT\（\vdash\）\（（A\leftrightarrow\存在y（y\实现了A）。\）
- \（mathbf{HA}）+ECT（vdash）（A）当且仅当\（\mathbf{HA}）\（\vdash\）\（存在y（y\realizesrel A）。）
在Troelstra认为是俄罗斯递归数学的形式化（参见上的条目构造数学),形式为\（（y\realizesrel A）\）的每个公式都有一个等价的“经典”prenex形式\（A'（y）\）由以交替开头的无量词子公式形式为\（\neg\neg\存在x的“经典”量词\)和\（对于所有z\neg\neg，\），所以\（存在yA'（y）\）是一种（A.）的prenex形式
6.附加主题和进一步阅读
6.1亚直觉和中间逻辑
目前，这部百科全书中还有其他几个条目在各种上下文中处理直觉逻辑，但弱命题逻辑和强命题逻辑的处理似乎缺乏。许多这样的逻辑已经被识别研究。以下是几个例子。
A类亚直觉命题逻辑可以从以下位置获得\通过限制语言或削弱逻辑，或两者兼而有之。第一个极端的例子是\（\mathbf{RN}，\）带有单个命题变量的直觉逻辑以其发现者Rieger和Nishimura[1960]命名。\（\mathbf{RN}\）的特征是Rieger-Nishimura公司晶格无穷多个非等价公式的唯一命题变量为\（P\）的每个公式都是直觉主义逻辑等价于某些（F_n.）西村的版本为
\[\开始{align*}F_{\infty}&=P\rightarrow P\\F_0&=P\oldand\neg P\\F_1和=P\\F_2&=\负P\\F{2n+3}&=F{2n+1}\vee F{2n+2}\\F_2n+4}&=F_2n+3}\右箭头F_2n+1}。\结束{align*}\]在\（mathbf{RN}\）中，\（F_{2n+1}\）和\（F_2n+2}\）都不表示其他的；但是，（F{2n}）意味着（F{2 n+1}，）和（F{2n+1} \）分别表示\（F_｛2n+3｝\）和\（F_｛2n+4｝.\）
\（\mathbf{IPC}\）的片段缺少一个或多个逻辑连接符限制语言和附带的逻辑，因为直觉连接词\（\oldand，\）\（\vee，\）/（\rightarrow，\）\（neg）在逻辑上独立于（mathbf{IPC}）Rose[1953]证明了无含意片段（没有\（\rightarrow\））在可实现性方面是完整的感觉如果没有\（\rightarrow\）的命题公式\（E\）是（数）-可实现则（E）是（mathbf{IPC}）的一个定理结果与：
罗斯定理[1953]
\（\mathbf｛IPC｝\）在可实现性方面是不完整的。
设（F）为命题公式\[（（\neg\neg D\右箭头D）\右箭头（\neg\neg D\vee\neg D）\右箭头（\neg\neg D\vee\neg D）\]其中\（D\）是\（（neg P\vee\neg Q）和（P，）是质数。每（F）的算术替换实例是可实现的（使用经典逻辑），但在\（\mathbf{IPC}.\）中无法证明\（F\）
因此，对于，\（\mathbf{IPC}\）在算术上是不完整的\（mathbf{HA}）（+）ECT（参见第5.2节）。
最小逻辑\（\mathbf{ML}\）来自直觉逻辑通过删除假手术前Kolmogorov[1925]指出片段已经包含了对经典逻辑的否定解释保留两个量词，参见Leivant[1985]。最小逻辑可以证明特殊情况\（\neg A\rightarrow（A\right arrow\neg B）\）属于假手术前表示否定。科拉西托、德容和瓦尔达斯[2017]研究各种亚动物逻辑，每个弱于\（\mathbf{ML}.\）
坦能【2017】提出了一种激进的直觉主义核心逻辑\其中演绎定理是随同牺牲假手术前.不可满足的假设只包含虚假；因此，（否定A\vdash（A\rightarrow B）），但\（否定A，不否定B）（除非（B）是（bot））。所有核心证明处于正常状态；在核心推导中，所有假设都是相关的.
Griss对Brouwer的否定用法提出质疑，反对矛盾律和假手术前值得注意的是直觉数学实际上不需要否定，因为\（0=1）是一个已知的矛盾，所以可以用（a）来定义\右箭头0=1。\）然后假手术前可以表述为\（0=1\右箭头A，\）和矛盾法则可从（\mathbf{H}.\）的剩余公理
安中间命题逻辑是否一致包含所有公理的命题公式集合\（\mathbf{IPC}\）并在桥式起重机和用任意公式替换命题字母。每个中间命题逻辑包含在\（mathbf{CPC}中。）一些特殊的中间命题逻辑，其特征是添加一个或多个经典正确但直观的研究了（mathbf{IPC}，）的不可证明公理模式广泛。
最简单的中间命题逻辑之一是Gödel Dummett逻辑\（\mathbf｛LC｝，\）通过将\（\mathbf{IPC}\）模式\（（A\右箭头B）\vee（B\右箭头A） \）它仅在所有Kripke帧上有效，其中节点的偏序是线性的。哥德尔[1932]使用了连续强中间逻辑的无限序列表示（mathbf{IPC}）没有有限的真实解释。对于每个正整数\（n，\）让\（\mathbf{G_n}\）为\（\mathbf{LC}\）加上模式\（（A_1\rightarrow A_2）\vee\ldots\vee（A_1\ oldand\ldots\oldand A_n\rightarrow A_｛n+1｝）。\）那么\（\mathbf{G_n}\）是对所有且仅对那些没有超过\（n\）个节点。
Jankov逻辑\（\mathbf{KC}，\）将原则可测试性\（\neg A\vee\neg\neg A，\）显然不具有析取性质。克里塞尔·普特南逻辑\（\mathbf{KP}，\）通过将模式\（（\neg A\右箭头（B\vee C））\rightarrow（（\neg A\右箭头B）\vee（\neg A\rightarrow C），\）具有析取属性，但不满足所有Visser规则。中间产物通过添加模式获得的逻辑
\[（（\neg\neg D\rightarrow D）\右箭头（D\vee\neg D））对应于Rose的反例，也对应于\（\mathbf{IPC}\）具有析取属性。Iemhoff[2005]证明了\（\mathbf{IPC}\）是唯一具有根据所有Visser规则关闭的析取属性。Iemhoff和Metcalfe[2009]为（mathbf{IPC}）和一些中间产物的广义可容许性逻辑。Goudsmit[2015]是对中间逻辑，有一个全面的参考书目。
中间命题逻辑（mathbf{L}）被称为具有有限框架性质如果上有一类有限框架Kripke-valid公式正是其中的定理\（mathbf{L}.\）许多中间逻辑，包括\（mathbf{LC}\）和\（\mathbf{KP}，\）具有此属性。Jankov[1968]使用了有限根Kripke框架的无限序列证明了是许多中间逻辑的连续体。De Jongh、Verbruge和Visser[2009]证明了每个带有有限框架属性是命题逻辑属于\（\mathbf{HA（L）}，\）即该语言中所有公式的类（\mathbf{IPC}\）的所有算术替换实例在\（\mathbf{HA}\）的逻辑扩展中可以通过\（\mathbf｛L｝.\）
中间命题逻辑（mathbf{L}）是在结构上完成如果对\（\mathbf{L}\）可接受的每个规则都是可在\（\mathbf{L}，\）和遗传结构上完成如果每个中间逻辑扩展\（\mathbf{L}\）为结构上也很完整。每个中间逻辑\（\mathbf{L}\）有一个结构竣工\（\mathbf{\上划线{L}}，\）通过连接其所有可接受规则获得\（\mathbf{LC}\）和\（\mathbf{G_n}\）是遗传结构完整的。While期间\（\mathbf{IPC}，\）\（\mathbf{RN}\）和\（\mathbf{KC}\）不是结构完整，其结构完整性是遗传的结构完整。有关这些结果和更多信息，请参见Citkin[2016，其他互联网资源]。
一些中间谓词逻辑，正在扩展\（\mathbf{IQC}\）和在替换下关闭的是\（\mathbf{IQC}\）\（+\）DNS（第4.1节），\（\mathbf{IQC}\）\（+）MP（参见第5.2节），\（\mathbf{IQC}）\（+\）MP\（+）IP（参见第4.2节），以及常域直觉逻辑\（\mathbf｛CD｝\）通过将所有x（A\vee）的模式\（\添加到\（\mathbf{IQC}\）获得B（x））\右箭头（A\vee\表示所有x B（x，））\）表示所有公式\（A，\）\（B（x））和（x）在造币厂、奥尔霍维科夫和Urquhart[2013]表明，\（\mathbf{CD}\）没有插值性质，驳斥其他人早期发表的证明作者。
6.2基本直觉模态逻辑
本节仅简要介绍直觉主义模态逻辑。任何古典的模态逻辑通过替换底层经典命题或谓词逻辑直觉主义命题或谓词逻辑。辛普森[1994]和Plotkin和Stirling[1986]为适用于多种使用。
基本直觉主义模态命题逻辑（mathbf{iK}）具有作为公理：
- 模态中直觉逻辑的所有命题公理带有逻辑连接词的语言\（\wedge、\vee、\rightarrow、，\leftrightarrow、\neg、\）逻辑常量\（\top\）和\（\bot、\）一元运算符\（\Box\）（必要），以及
- 克里普克分配模式的所有替换实例\（\方框（A\右箭头B）\右箭头（A\方框右箭头\方框B） ；\）
作为推理规则，以下所有替换实例：
- 方法：从\（A\）和\（（A\右箭头B），\）推断\（B，\）和
- 必要性：从\（A\）推断\（\方框A\）
\（\mathbf{iL}\）添加到\（\mathbf{iK}\）Löb公理模式\（\方框（\方框A\右箭头A）\右箭头\方框A\）
\（\mathbf{iK4}\）将传递公理模式添加到\（\mathbf{iL}\）\（A框\右箭头\ A框\ A框）
一元运算符\（\菱形\）（可能性），经典等价到\（\neg\Box\neg\），增加直觉模态语言。辛普森认为正确的经典模态逻辑（mathbf{K}）的直觉类比是Plotkin和Stirling’s（\mathbf{IK}）治疗\（\lozenge\）作为附加基元，并添加到\（\mathbf｛iK｝\）模式：
- \（\方框（A\右箭头B）\右箭头（\菱形A\右箭\菱形B）。\）
- \（\neg\lozenge\bot.）
- \（\菱形（A\vee B）\右箭头（\lozenge A\vee\菱形B）。\）
- \（（\菱形A\右箭头\Box B）\右箭头\ Box（A\rightarrowB） .\）
6.3高级主题
布鲁沃对哥德尔的影响是巨大的，尽管哥德尔从未成为直觉主义者。哥德尔[1933f]直觉命题逻辑到模态逻辑\（\mathbf｛S4｝\）在哥德尔以及Troelstra对[1933f]，哥德尔作品集第一卷。另请参见造币厂[2012]。模态逻辑的克里普克模型早于直觉主义逻辑。
直觉主义Kripke和Beth语义的替代命题逻辑和谓词逻辑包括拓扑解读斯通[1937]、塔斯基[1938]和莫斯托夫斯基[1948]（参见Rasiowa和Sikorski[1963]，Rasiowa[1974]）Scott[1968]和Krol[1978]的直觉分析。M.海兰德[1982]定义了有效地形效率并证明其逻辑是直觉主义的。对于以下内容的信息丰富的讨论鲁滕伯格的直觉逻辑和数学语义学，以及G.Bezhanishvili和W。Holliday，请参阅其他互联网资源（下文）。
直觉主义可实现语义的一种替代方法算术是哥德尔[1958]的“辩证法”解释，与每个公式（B）相关\（L（\mathbf｛HA｝）\）语言中的一个无量词公式\（B_D\）所有有限类型的直觉算法。这个“辩证法”解读属于\（B，\）调用它\（B^D，）是（所有x B_D（Y，x）都存在Y。）如果\（B\）是闭合的（mathbf{HA}，）然后（B_D（F，x））的定理对某些哥德尔理论中的项（F）更高类型的“原始递归”函数。这个从\（B\）到\（B^D\）的翻译需要选择公理有限类型）、MP和IP，因此不是严格构造的；然而，可由项\（F\）表示的数论函数\（\mathbf{T}\）正是\（\mathbf{HA}\）（和\（\mathbf{PA}）。\）解释是扩展到Spector[1962]的分析；参见Howard[1973]。清除有关说明和其他参考资料，请参阅Troelstra对年英语翻译的介绍哥德尔[1990]原件辩证逻辑文章，在Avigad和Feferman[1998]，以及Ferreira[2008]。
虽然\（\mathbf{HA}\）是经典算术的适当部分对数学对象的直觉主义态度导致实数理论（参见数学哲学中的直觉主义)偏离经典的。Kleene的功能可实现性解释，用于证明他的一致性直觉主义理论的形式化序列（“直觉分析”），更改算术公式的解释；例如，\（\neg\neg\对于所有x（A（x）\vee\neg A（x算术公式\（A（x）.\）用分析的语言，马尔可夫原理与可数的否定翻译选择公理是许多非直觉原则之一是函数可实现的（通过经典参数），因此是一致的参考Kleene[1965]、Vesley[1972]和Moschovakis[2003]。
各种具体和抽象的可实现性语义形式系统已经被逻辑学家和计算机科学家；参见Troelstra[1998]和van Oosten[2002]以及[2008]. 基本概念的变化对于建立相对一致性和相对独立性基于直觉主义逻辑的理论中的非逻辑公理；一些例如Moschovakis[1971]、Lifschitz[1979]和构造集合论和直觉集合论的可实现性概念由Rathjen[20062012]和Chen[2012]开发。早期摘要可实现性概念包括斜线Kleene[1962，1963年]、Aczel[1968]和Läuchli[1970]。科伦巴赫，阿维加德和其他人已经为部分经典数学。
阿特莫夫的证明逻辑是B-H-K解释的另一种解释直觉连接词和量词，带有（理想化的）证明扮演实现目标的角色。参见Artemov和Iemhoff[2007].
直觉主义逻辑关注的另一个研究方向Brouwer备受争议的“创作主题”经典分析原理的反例马尔可夫原理），根据Kleene和Vesley[1965]的理论。通过弱化布劳沃连续原理的克莱恩强形式选择，并添加了一条他称之为的公理克里普克模式（KP），Myhill[1967]正式确定了Brouwer的创作主题直觉分析语言中的论点。Krol[1978]和Scowcroft给出了直觉主义的拓扑一致性证明用克里普克的图式和弱连续性进行分析。克里普克他自己更喜欢弱克里普克模式（WKP），其中仍然与强烈的持续选择相冲突。克里普克[2019]和Brauer、Linnebo和Shapiro[2022]最近提供了一个吸引人的布鲁沃创作理论的模态解读主题。
Vesley[1970]发现了另一种原理(韦斯利的架构VS）可以一致地添加到\（\mathbf{FIM}\）并暗示了Brouwer需要的所有反例创建主题。特罗尔斯特拉氏广义连续选择（GC），它表征了Kleene的功能可实现性正如他的ECT描述了数字的可实现性，而Vesley的VS表示直觉主义的两个不相容的可能扩展分析，具有不同的数学性质。
继毕晓普之后，建构主义数学家传统上假设直觉主义逻辑，对概念有很强的定义。对于例如，他们等同于“最多有一个这样的数字”如果（n）和（m）是不同的numbers then not \（P（n）\）or not \自然“如果\（n）和\（m）是这样的数字：\（P（n）\（P（m），然后是（n=m）”。Shulman[2022]建议证明和反驳的“仿射”逻辑连接词和对偶翻译为直觉主义逻辑，对于构造数学更有用。
6.4推荐读数
上的条目L.E.J.布鲁沃讨论Brouwer的哲学和数学他的生平年表和包括翻译和二手资料。了解更多信息的最佳方法是阅读一些原始文件。的英文翻译Brouwer的博士论文和其他论文最初以荷兰语出现，以及德语，可在L.E.J.Brouwer：作品集[1975]，Heyting编辑。贝纳塞拉夫和普特南的本质源书包含Brouwer[1912]（英文翻译）[1949]和Dummett[1975]。Mancosu[1998]提供英语Brouwer、Heyting、，Glivenko和Kolmogorov，以及W。van Stigt的[1990]是另一个宝贵的资源。
一个令人愉快的、容易理解的和权威的介绍直觉主义数学和逻辑是维姆·维尔德曼（Wim Veldman）的[2021]。Heyting的经典之作[1956]的第三版[1971]是直觉主义哲学、逻辑和数学实践。作为强大的编辑项目的一部分出版Brouwer的Nachlass公司，van Dalen[1981]提供了Brouwer自己直觉主义的全面观点哲学。van Heijenoort[1969]中的英文翻译布鲁尔（Brouwer）[1927]（由帕森斯（Parsons）精心介绍）仍然布劳沃理论不可或缺的参考连续统。Veldman[1990]和[2005]是真实的现代例子传统的直觉主义数学实践。特洛伊斯特拉[1991]将直觉主义逻辑置于其历史背景中二十世纪建构数学的基础。Bezhanishvili和de Jongh[2005，其他互联网资源]包括直觉逻辑的最新发展。
Kleene和Vesley的[1965]给出了一个仔细的公理化处理直觉分析的一致性证明经典正确的子理论，以及对Brouwer的实数发生器理论。克莱恩氏[1969]形式化了部分递归泛函理论，实现函数可实现性的精确形式化[1965]中使用的解释和相关的q可实现性解释为直觉主义提供了Church-Kleene规则分析。
Troelstra[1973]、Beeson[1985]和Troelstra and vanDalen's[1988]（与修正)作为最全面的直觉和半直觉主义形式理论，使用构造性和经典方法，以及有用的参考书目。特洛伊斯特拉和Schwichtenberg[2000]提出了经典的证明理论，直觉逻辑与极小逻辑并行，重点关注序列系统。Troelstra[1998]提出了公式as-types和（Kleene和Aczel）对命题和谓词逻辑，以及多种应用程序。马丁·洛夫的建设性意见类型理论[1984]（参见构造数学)提供了另一个通用框架，在该框架中直觉主义推理不断发展。
