这是为什么？
这里没有什么深刻的理由要求以这种或那种方式去做。选择权在你，是出于方便还是偏好。
我想你会从向量复习中受益匪浅。任何向量都可以写成
$$\mathbf{v}=v_x\mathbf1{\hat{x}}+v_y\mathbf2{\hat{y}}+v _z\mathbf{\hat1{z}}$$
哪里$v_x$,$v_y$和$v_z$（标量分量）只是实数；$\mathbf｛\hat｛x｝｝$,$\mathbf{\hat y}$和$\mathbf{\hat{z}}$是相应的吗基向量-这些长度为1，轴对齐，表示方式多种多样$\{\mathbf{\hat{x}}，\mathbf{\hat{y}}$,$\{\mathbf{\hat{I}}，\mathbf{\hat{J}}$,$\{\mathbf{\hat{i}}、\mathbf{\hat{j}}和\mathbf-{\hat-{k}}$,$\{\mathbf{e_1}、\mathbf{e_2}、\ mathbf}e_3}$等。你可以想想$v_x\mathbf{\hat{x}}$,$v_y\mathbf{\hat y}$和$v_z\mathbf{\hat{z}}$截至（轴对齐）矢量分量$\mathbf v美元$，它们只是基向量的单独缩放版本（每个都由对应的标量分量$\mathbf v美元$).
(图像源)
这只是矢量加法。
表示的长度$\mathbf{v}$通过$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$，也可以将该向量写为
$$\mathbf{v}=v\mathbf{\hat{v}}$$
哪里$\mathbf｛\hat｛v｝｝$是同一方向上的单位向量。右侧是单位长度向量的长度调整$v（美元）$.
这个单位向量$\mathbf{\hat{v}}$将具有与原始组件成比例的组件；也就是说，它是向量：
$$\mathbf{\hat{v}}=\frac{v_x}{v}\mathbf{\hat{x}}+\frac{v_y}{v{\mathbf2{hat{y}}+\frac}v_z}{v}\mathbf{\hart{z}}$$
（x分量：$v_x/v，\$y分量：$v_y/v，\$z分量：$v_z/v$; 这些平方的总和为1）。
对于位于x-z平面内的向量，它们将是
$$\mathbf｛v｝=v_x\mathbf｛\hat｛x｝｝+v_z\mathbf｛\hat｛z｝$$
和
$$\mathbf{\hat{v}}=\frac{v_x}{v}\mathbf{\hat{x}}+\frac{v_z}{v{mathbf}$$
“似乎这可能与我们只需要使用E的一个组件在第一种情况下找到它”
您没有在那里使用单个组件。这本书使用了一个卷曲的r，我无法在这里重现，所以我将使用$\mathbf{\rho}$而不是。这个$\mathbf{\hat\rho}$向量有两个分量
$$\mathbf{\hat\rho}=\frac{\rho_x}{\rho}\mathbf{\hat{x}}+\frac}\rhoz}{\rro}\mat血红蛋白{\hat{z}}$$
哪里$\rho_x=-x$，以及$\rho_z=z\$（根据图表中的标签）。
所以你真的把他们都考虑进去了同时. The$\mathbf{\hat{\rho}}$当你沿着x轴移动时，单位向量实际上是改变方向的，从-L到L（因为它一直指向P美元$)-每个部件都是位置的函数x美元$，和都在变化。但由于线性，你可以单独积分矢量分量（分割积分），也就是说，因为它只是加法。作为基本向量$\mathbf{\hat{x}}$和$\mathbf{\hat{z}}$是常数，你可以把它们从积分中拉出来。
但这也意味着您可以单独处理标量分量，并在完成后添加适当的基向量（只要您跟踪哪个分量是哪个分量）。这里，由于示例2.2中设置的对称性，结果是$\mathbf{E}$为零。
您可以选择使用向量本身，也可以暂时忽略被积函数的向量性质，然后分别使用单个标量分量，在末尾添加基向量以重建向量量。
换句话说，您可以对这两个问题使用这两种方法。
