集成到平面波基的技巧

Question

我正在读这篇文章https://arxiv.org/abs/hep-th/9705200部分原因让我很困惑。为了说明他们的方程式（1），作者做出以下声明：\开始{align*}K（t）&=\lim_{x'到x}\int\dfrac{d^4k}{（2\pi）^4}e^{ik\cdot（x-x'）}\left（e^{-ik\cdot，x-x'\\&=\int\dfrac{d^4k}{（2\pi）^4}e^{tX_aX_a}\结束{align*}具有$X_a=D_a+i k_a$，个索引(美元$)参考欧几里德向量，以及$D_a（美元）$可以是阿贝尔协变导数，也可以不是，我们可以选择。

谁能告诉我如何展示这篇文章吗？

Answer 1

假设我们想计算量子力学矩阵元$$\langle{x}|{e^{-tH（\hatp，\hatx）}}|{y}\rangle，\quad[\hat x，\hat p]=i。$$我们使用$$\langle｛x｝|｛hat p｝|｛\psi｝\rangle=-i\partial_x\langle｛x｝|｛\psi｝\rangle，quad\langle｛x｝|｛hat x｝|｛\psi｝\rangle=x\langle｛x｝|｛\psi｝\rangle，$$按照以下步骤进行$$\语言{x}|{e^{-tH（\hat p，\hat x）}}|{\psi}\rangle=e^{-tH（-i\partial_x，x）}\langle{x}|{\psi}\range，\n非数字\\=\int\frac{dk}{2\pi}e^{-tH（-i\partial_x，x）}\langle{x}|{k}\rangle\langle}k}|{psi}\range，nonumber\\=\int\frac{dk}{2\pi}e^{-tH（-i\partial_x，x）}e^}ikx}\langle{k}|{psi}\rangle，\nonnumber\\=\int\frac{dk}{2\pi}e^{ikx}e^{-tH（-i\partial_x+k，x）}\langle{k}|{\psi}\rangle，\n非数字\\=\int\frac{dk}{2\pi}e^{ikx}\langle{k}|{\psi}\rangle e^{-tH（-i\partial_x+k，x）}1。\非数字$$现在设置$|{\psi}范围=|{y}范围$回忆一下$\langle{k}|{y}\rangle=e^{-iky}$得到$$\langle{x}|{e^{-tH（\hat p，\hat x）}}|{y}\rangle=\int\frac{dk}{2\pi}e^{ik（x-y）}e^{-tH（-i\partial_x+k，x）}1$$其中$\部分_x$衍生品对其右边的一切都起作用，直到到达$\partial_x 1=0$.