一个状态自发地打破某种对称性意味着什么？

Question

我目前正在阅读这篇论文我发现以下陈述令人困惑：

第4页：

为了研究对称SRE态，我们进一步要求态的集合${|\psi_{I}\rangle}$不会自发地破坏对称性。对于精确的对称性，这意味着每个单独的状态${|\psi_{I}\rangle}$不会破坏对称性（即不是猫状态），这由对称SRE条件保证。

我的问题是，一个状态自发地打破某种对称性意味着什么？据我所知，一个状态满足某种对称性，如果$U_g|\psi\rangle=e^{i\theta}|\ps2\rangle$.用于猫状态$|\psi\rangle=|\uparrow\uparrolr\uparrow。。。\排列+|\向下箭头\向下箭头\向下箭头\向下箭头\向下箭头。。。\范围$和$\mathbb美元{Z}（Z）_{2}$从上到下旋转的对称性，$|\磅/平方英寸$看起来仍然是对称的。那么为什么说猫态打破了对称性？

Answer 1

如果没有进一步的上下文，很难精确地描述，但一般来说，如果哈密顿量具有某种对称性，但其基态（或其他感兴趣的本征态）不具有相同的对称性，则一个状态会自发地破坏对称性。在QM中，对称性由酉（或反酉）算子表示。

在公式中，比如美元$代表对称性和$|\psi\范围$自发对称破缺（SBS）是指

\开始{align}[H，U]&=0\\[|\psi\rangle\langle\psi|，U]&\neq 0。\结束{对齐}

在某些情况下，人们对吉布斯态等其他统计状态感兴趣$\rho_G=\exp{（-\beta H）}/Z$.

鉴于上述定义，人们很容易意识到$\rho_G$SBS只能在热力学极限（TDL）下发生，其中$\rho_G$在H美元$不再需要平滑。

对于其他州，以下情况成立。如果$|\psi\范围$是非简并本征态H美元$，它必然具有与H美元$虽然在TDL中，状态的定义更为复杂，但这在有限大小和热力学极限下都成立。换句话说，是$|\psi\范围$破坏对称性就是对应于退化特征值。事实上，如果特征值是退化的，那么对应的子空间中就没有定义良好的状态概念。任何选择都与其他选择一样好。

Answer 2

描述破缺对称的更数学方法如下。假设理论域在群的一些非平凡表示中变换G美元$我们这么说G美元$是理论的对称性美元$是的平凡表示G美元$更准确地说，如果G美元$是一个紧凑的仪表组，我们可以查看美元$作为$L^2美元$的功能G美元$自身。我的意思是，如果我们想象一个固定的现场配置$\phi_e$及其转换$\phi_g=U（g）\phi_e$，然后我们可以定义$f（g）=S[\phi_g]$作为一个以组元素作为输入并输出数字的函数。如果适当地调节/重新规范化，则可以集成$\int dg|f（g）|^2$得到一个有限的答案。这意味着我们可以分解（本质上是傅里叶变换）$f（g）$通过Peter-Weyl定理，可以说动作是在一个特定的表示中。这是一种奇特的表达方式G美元$如果作用在与场上的群作用相对应的场重定义下是不变的，则为对称。我喜欢用这种方式来描述它的原因是，你可以使用Peter-Weyl定理，从一个非平凡但低维的表示中添加一个小的贡献，来精确地说明“柔和地”打破对称意味着什么。

然后，我们可以将自发破缺对称定义为当基态流形处于G美元$，并且当基态流形处于G美元$。这也适用于G美元$.我喜欢这样描述它，因为它可以立即打开戈德斯通定理的工具（戈德斯通玻色子是这个未破子群的生成器），并解释Elitzur定理很快，作为一种物理状态从未在规范组的非平凡表示中，以免这些自由度成为物理自由度。