声波叠加[复制]

Question

如果有一群蜜蜂，为什么它比一只蜜蜂大？这个问题听起来很愚蠢，但。。。如果它们都以相同的频率、相同的响度嗡嗡作响，并且声波的相位是随机的，那么当它们到达听者所在的位置时，它们不应该相互抵消吗？捕获物在哪里？

Answer 1

由于相位是随机的，所以波不会相干相加。。。但它们也没有连贯地相互抵消。此外，响度实际上是对声音强度的一种衡量。因此，如果我们考虑一个人产生的波1美元$具有振幅$$A_i（x，t）=A_i\cos（ωt-kx+phi_i），$$那么总振幅是$$A（x，t）=\sum_{i=1}^N A_i（x，t）=\sam_{i=1}^N A _i\cos（\omega t-kx+\phi_i），$$而强度是$$I（x，t）=|A（x，t）|^2=\left|\sum_{I=1}^N A_I\cos（\omega t-kx+\phi_I）\right|^2=\\\sum_{i=1}^N A_i^2\cos^2（\omega t-kx+\phi_i）+\sum_{i=1}^N\sum_{j=1，j\neq-i}^N A_iA_j\cos（\omega t-kx+\phi_i）\cos。$$如果我们现在通过假设相位在区间内均匀分布来平均相位$[0,2\pi]美元$，则第二项消失（无干扰），但第一项的贡献为非零$$\上划线{I（x，t）}=\frac{1}{（2\pi）^N}\int_0^{2\pi}d\phi_1…\int_0 ^{2\\pi}d\phi_N I（x、t）=\sum_{I=1}^N\frac}A_I^2}{2}。$$如果所有蜜蜂的嗡嗡声都一样大，那么$I=不适用^2/2$（实际上情况并非如此，因为声音是衰减的，即其振幅取决于每只蜜蜂的位置。）

Answer 2

你可以将其与随机样本均值为零的随机变量进行比较。一些观察结果是正面的，一些是负面的，所以会有很多抵消。然而，标准偏差会随着样本量的增加而增加。取消将导致其作为样本大小的平方根增长，而不是线性增长，但仍会增长。

同样，当你N美元$蜜蜂随机发出噪音，振幅将随着$\sqrt N美元$强度是振幅的平方，因此它将线性增长，即它将与N美元$而不是$\sqrt N美元$.

一般来说，当波浪相加时，平均功率会相加。有时，几何形状会有一些特殊性，例如特定点具有破坏性干扰，和/或点具有构造性干扰，但平均值是相加的。

你可以把所有可能波的空间想象成一个向量空间，每个特定的波都是这个向量空间中的一个向量。两个不相关的波意味着表示它们的向量是正交的，所以和的长度遵循毕达哥拉斯定理：和的平方是平方和。向量的长度表示振幅，长度的平方表示强度或功率，所以总和的幂是幂的和。