亚黎曼流形$\widetilde{E（2）}中极小曲面的稳定性$

摘要

本文研究了具有三维次黎曼流形结构的保向欧氏平面等距线组的泛覆盖空间中的光滑定向曲面。该结构被构造为群上欧氏度量对某些完全不可积左不变分布的限制。然后，曲面的亚黎曼面积被定义为正交投影到该分布上的单位法向场的长度的积分。我们计算了次黎曼表面积的第一变分公式，并从中导出了极小性准则。这里，如果曲面是次黎曼面积泛函在紧支撑正态变分下的临界点，我们称之为曲面极小。我们证明了这种情况下的极小性并不等价于次黎曼平均曲率的消失。然后，我们证明了欧几里德平面是极小的当且仅当它平行于或正交于$z$-轴（其中$z$–坐标对应于等距的旋转角度）。我们还得到了图的极小条件，并给出了极小图的例子。本文中考虑的示例特别表明，曲面在黎曼（在本例中为欧几里德）意义下的极小性并不意味着其次黎曼极小性，反之亦然。接下来，我们考虑最小曲面的稳定性。为此，我们导出了次黎曼面积的第二变分公式，并用它证明了最小欧氏平面是稳定的。我们引入了一类切线平面垂直于次黎曼结构平面的曲面，并将其称为垂直曲面。特别是，对于此类曲面，第二个变分公式被大大简化。然后证明了完全连通的垂直极小曲面是欧几里德平面或螺旋面，螺旋面是不稳定的。这意味着下面的Bernstein型结果：一个完全连通的垂直极小曲面是稳定的，当且仅当它是一个正交于$z$-轴的欧几里得平面。