椭圆曲线

椭圆曲线结构

椭圆曲线由Weierstrass模型给出

年²+一个₁xy+a（xy+a）_三y=x^三+一个₂x个²+一个₄x+a（x+a）₆,

其判别式为非零。也可以定义椭圆曲线一

年²=x^三+一个₄x+a（x+a）₆.

上的仿射点E类表示为双分量向量[x，y]; 无穷远点，即恒等式群法则的元素，由单分量向量表示[0].

给定系数向量[a₁，一个₂，一个_三，一个₄，一个₆]或[a₄，一个₆]，函数埃利尼特初始化并返回厄尔结构。另一个可选参数允许在无法指定基字段的情况下指定基字段根据曲线系数推断。此结构包含所需的数据椭圆曲线相关函数，通常作为第一个参数传递。初始化时跳过昂贵的数据：它们将是动态的在需要时计算，然后插入结构中。这个精确布局厄尔结构未定义，不应直接使用。以下成员函数可用，取决于基础域。

所有域。

* 第1页,a2类,a3类,a4类,a6：的系数椭圆曲线。

* b2型,b4号机组,b6号机组,b8号机组：b-曲线的不变量；在里面特征！=2，对于Y=2y+a₁x+a（x+a）_三，曲线方程成为Y（Y）²=4倍^三+b条₂x个²+2亿₄x+b₆=：克（x）。

* 补体第四成份,c6号机组：曲线的c-不变量；特性！=2,3，对于X=X+b₂/12和Y=2y+a₁x+a（x+a）_三，曲线方程成为Y（Y）²=4倍^三-（c）₄/12） X-（c₆/216).

* 圆盘：曲线的判别式。这只需要非零，不一定是单位。

* j：j曲线的非变量。

它们的用法如下：

? E=椭圆体（[0,0,0，a4，a6]）；? E.b4号机组%2=2*a4? E.disc公司%3=-64*a4^3-432*a6^2

在ℂ上的曲线。

这尤其包括在ℚ上定义的曲线此部分返回当前存储在结构中的数据，如果存在；否则计算到默认精度，该精度是固定的埃利尼特时代（通过t_真实D域参数，或实际精度默认情况下）。功能厄尔时期允许重新计算（并缓存）以下数据现在的 实际精度.

* 地区：定义E的复杂晶格体积。

* 根是一个向量，其三个分量包含复数所附b模型Y右侧g（x）的根²=克（x）。如果根都是实数，则按递减值排序。如果只有一个是真实的，它是第一个组件。

* 欧米茄: [ω₁,ω₂]，形成基础的周期定义E的复晶格。第一分量ω₁是（正）实周期，换句话说，Néron的积分微分dx/（2y+a₁x+a（x+a）_三)在E（ℝ）的标识组件的连接组件上。第二分量ω₂是一个复杂的时期，因此τ = (ω₁)/(ω₂)属于庞加莱半平面（正虚部）；不一定符合标准基本域。它被归一化，使得Im（ω₂) < 0和Re（ω₂)=0，当E盘>0（E（ℝ）有两个相连的分量），或Re（ω₂) = ω₁/2

* 埃塔是包含准周期η的行向量₁和η₂这样η_我= 2ζ(ω_我/2） ，其中ζ是周期格上的Weierstrass zeta函数；看见埃尔泽塔特别是，勒让德关系成立：η₂ω₁- η₁ω₂=2πi。

警告。至于周期格的基的方向，请注意，许多源代码都使用了相反的约定，其中ω₂/ω₁有正虚部和我们的ω₂是他们的消极情绪。我们的约定τ=ω₁/ω₂确保PSL的行动₂是天然的：[a，b；c，d].τ=（aτ+b）/（cτ+d）=（aω₁+bΩ₂)/（cω）₁+dΩ₂),而不是扭曲的。（在上述逆过程中，我们的τ为-1/τ约定。）

ℚ上的曲线_第页.

我们建议为此类曲线输入一个定义在ℚ上的模型。无论如何，如果输入近似模型t_PADIC系数，它将是替换为电梯至ℚ输入），然后将根据该提升量计算所有数量模型。

目前只有带乘法缩减的曲线（分割或非分裂），即v_第页（j） <0，由非平凡函数支持。在这种情况下，曲线在分析上与ℚ_第页^*/q个^ℤ:= E类_q个(ℚ_第页)，对于某些p-adic整数q（Tate周期）。在特别地，我们有j（q）=j（E）。

* 第页是剩余特征

* 根是具有单个分量的向量，等于p-adic根e₁所附b型Y的右侧g（x）²=克（x）。点（e₁，0）对应-1∈ℚ_第页^*/q个^ℤ在泰特参数化下。

* 塔特返回[u²，u，q，[a，b]，Ei，L]亨尼亚特·梅斯特雷（CRAS t.308，p.391–395，1989）：q如上所述，u∈ℚ_第页（平方码{-c₆})是这样的φ^*dx/（2y+a₁x+a（x+a）_三)=u dt/t，式中φ：E_q个→ E是同构（精确到符号），dt/t是正则不变微分泰特曲线；u个²∈ ℚ_第页不依赖于φ。（技术性：如果u∉ℚ_第页，它存储为二次型t_POLMOD公司.)参数[a，b]满足4u²b.agm（sqrt{a/b}，1）²=1，如定理2所示(位置。引文。).工程安装描述了2个等分曲线的序列（生成核通过[0,0]）E_我：y²=x（x+A_我)（x+A_我-B类_我)二次收敛朝向奇异曲线E_面向对象最后，L是Mazur-Tate-Teitelbaum的ℒ-不变量，等于对数_第页数量/v_第页（q） ●●●●。

𝔽上的曲线_q个.

* 第页是𝔽的特征_q个.

* 不是#E（𝔽_q个).

* cyc公司给出了E（𝔽）的循环结构_q个).

* 消息返回E（𝔽_q个).

* 组收益[不,cyc公司,消息]即e（𝔽_q个)作为阿贝尔群结构。

在ℚ上的曲线。

无论模型是最小的还是不是，但无论何时，坚持使用最小模型都是一个好主意gcd（c₄，c₆)很容易考虑（较小的加速）。施工

E=ellminimal模型（E0，&v）

取代原来的E型₀通过最小模型E，变量变化v允许在两个模型之间切换：

所有转换点（P0，v）电流变化点inv（P，v）

分别映射点P₀在E上₀到其上的图像E、 和E上的点P到E上的前图像₀.

一些例行程序——即信号发生器,省略,ellsearch公司,前壁-需要可选包装elldata公司（John Cremona的数据库）。在这种情况下，函数埃利尼特将允许替代输入，例如埃利尼特（“11a1”）.使用此包的函数需要在中加载大型数据库的块内存，需要至少2MB的堆栈以避免堆栈溢出。

* 消息返回E（ℚ）的生成器（如果已知）（来自John克雷莫纳数据库）

数字字段上的曲线。

* 核燃料返回核燃料附加到数字字段的结构在其上定义E。

* bnf公司返回bnf公司附加到数字字段的结构定义E或引发错误（如果核燃料可用）。

* 欧米茄,埃塔,地区：复周期向量，与E的复杂嵌入物相连的准周期和晶格区域，顺序与E.nf.根部.

减少

设E是在ℚ上定义的曲线_第页由p-积分模型给出；如果曲线在p处有良好的缩减，我们可以定义其缩减有限域𝔽上的~{E}_第页:

? E=椭圆体（[-3,1]，O（5^10））；\\E/ℚ5? Et=椭圆体（E，5）? ellcard（Et）\\~{E}/𝔽5有7分%3 = 7? 埃里尼特（E，7）***顶层：ellinit（E，7）***                 ^ —  —  —  — ***ellinit：ellinit中的模不一致：5！=7

同样，如果在数字字段K上定义了曲线，并且𝔭是有限剩余域的极大理想𝔽_q个，我们定义减少~{E}/𝔽_q个前提是E在𝔭处具有良好的还原性。E/ℚ是一个重要的特例：

? E=椭圆体（[-3,1]）；? 系数（E.disc）%2 =[2 4][3 4]? Et=椭圆体（E，5）；? ellcard（Et）\\~{E}/𝔽5有7分%4 = 7? ellinit（E，3）\\在3时下降不良%5 = []

一般数字字段类似：

? K=n单位（x^2+1）；E=椭圆体（[x，x+1]，K）；? 理想因子（K，E.disc）\\三个不良还原素数%2 =[  [2, [1, 1]~, 2, 1, [1, -1; 1, 1]] 10][ [5, [-2, 1]~, 1, 1, [2, -1; 1, 2]]  2][[5, [2, 1]~, 1, 1, [-2, -1; 1, -2]]  2]? P=理想三聚体（K，3）；\\良好还原的素数? 理想形（K，P）%4 = 9? Et=椭圆体（E，P）；? ellcard（Et）\\~{E}/𝔽9有4分%6 = 4

如果模型在𝔭处不是局部最小值，则上述操作将失败：elllocaled公司和厄尔变化曲线允许减少到那种情况。

一些功能，如埃拉普,电子贺卡,ellgroup（ellgroup）和椭圆形的甚至隐式地将给定方程替换为考虑非奇异点群的局部极小模型~{E}^纳秒因此，即使曲线的还原性很差，它们也是有意义的。

ell2覆盖（E）

如果E是ℚ上的椭圆曲线，则返回曲线E的处处局部可解2-圈。对于每个封面，返回一对[R，P]，其中y²-R（x）是四次曲线P是E（k）上的点，其中k=ℚ（x）[y]/（y²-R（x））。E也可以作为埃兰基特（E）,或者作为一对[e，f]，其中e是一条椭圆曲线，由埃兰基特f是e的二次扭曲，然后我们寻找f上的点。

? E=椭圆体（[-25,4]）；? C=ell2覆盖（E）#C类%2 = 2? [R，P]=C[1]；R（右）%3=64*x^4+480*x^2-128*x+100? 第[1]页%4=-320/y^2*x^4+256/y^2*x^3+800/y^2*x^2-320/y ^2*x-436/y^2? 埃里森曲线（E，Mod（P，y^2-R））%5 = 1? H=超ellratpoints（R，10）%6 = [[0,10], [0,-10], [1/5,242/25], [1/5,-242/25], [2/5,282/25],[2/5,-282/25]]? A=substvec（P，[x，y]，H[1]）%7 = [-109/25, 686/125]

库语法为消息ell2覆盖（GEN E，长prec）.

ellL1（E，{r=0}）

返回的r阶导数s=1时的值椭圆曲线E/ℚ的L函数。

? E=椭圆体（“11a1”）；\\消失的顺序是0? 电话L1（E）%2 = 0.2538418608559106843377589233? E=椭圆体（“389a1”）；\\消失的顺序是2? 电话L1（E）%4=-5.384067311837218089235032414电子29? ellL1（E，1）%5 = 0? ellL1（E，2）%6 = 1.518633000576853540460385214

此函数的主要用途，在低的精确度消失顺序使用ellanalytic曲柄，是计算领导任期高的检查（或使用）桦木和Swinnerton-Dyer猜想：

? \第18页realprecision=18位有效数字? E=ellinit（“5077a1”）；ellanalytic曲柄（E）时间=8ms。%1 = [3, 10.3910994007158041]? \第200页realprecision=202个有效数字（显示200个数字）? ellL1（E，3）时间=104 ms。%3 = 10.3910994007158041387518505103609170697263563756570092797 [...]

E的类似功能和更通用的功能定义的通用数字字段可通过弗林.

库语法为消息电话1（GEN E，long r，long bitprec）.

elladd（E，z1（零）,z2型)

上的点z1和z2之和对应于E的椭圆曲线。

库语法为消息埃拉德（发电机E、发电机z1、发电机z2）.

鞣花（E，n）

计算系数a_n个椭圆曲线的L函数E/ℚ，即根据模块性定理得出的权重2的新形式的系数（Taniyama-Shimura-Weil猜想）。E必须是厄尔结构超过ℚ作为输出埃利尼特.E必须由积分模型给出，不一定是最小的，尽管最小的模型将使函数速度更快。

? E=椭圆体（[1，-1,0,4,3]）；? 埃拉克（E，10）%2 = -3? e=ellchange曲线（e，[1/5,0,0,0）；\\在5点时不是最小值? ellak（e，10）\\浪费但有效%3 = -3? E=ellminimalmodel（E）；\\现在最小? 埃拉克（E，5）%5 = -3

如果模型在许多坏素数下不是最小的，那么对于那些可以被坏素数整除的n，函数的速度会变慢。速度应与其他n相当：

? 对于（i=1,10^6，ellak（E，5））时间=699毫秒。? 因为（i=1,10^6，ellak（e，5））5很糟糕，速度明显较慢时间=1079 ms。? 对于（i=1,10^5，ellak（E，5*i））时间=1477 ms。? 对于（i=1,10^5，ellak（e，5*i）），速度仍然较慢，但平均不会太快时间=1569 ms。

库语法为消息石首鱼（发电机E、发电机n）.

埃兰（E，n）

计算第一个n个傅里叶系数的矢量a_k个对应于在数字域上定义的椭圆曲线E。如果E在ℚ上定义，则曲线可以由任意模型，不一定最小，尽管一个最小的模型会使函数更快。在更一般的情况下数字字段中，模型必须在2以上的所有素数处局部最小和3。

库语法为消息埃伦（发电机E，长n）.也可以是消息埃兰Q_zv（发电机e，长n），其中返回一个t_向量小而不是t_VEC（沃尔沃汽车公司），节省内存。

ellanalytic曲柄（E{每股收益})

返回的L函数在s=1时消失的顺序椭圆曲线E/ℚ和第一非零导数的值。收件人确定此顺序，假设任何值小于每股收益是零。如果每股收益省略，2^{-b/2号机组}使用，其中b是当前的位精度。

? E=椭圆体（“11a1”）；\\排名0? ellanalytic曲柄（E）%2 = [0, 0.2538418608559106843377589233]? E=椭圆体（“37a1”）；\\排名1? ellanalytic曲柄（E）%4 = [1, 0.3059997738340523018204836835]? E=椭圆体（“389a1”）；\\等级2? ellanalytic曲柄（E）%6 = [2, 1.518633000576853540460385214]? E=ellinit（“5077a1”）；\\等级3? ellanalytic曲柄（E）%8 = [3, 10.39109940071580413875185035]

E的类似功能和更通用的功能通用数字字段的定义可通过弗林和弗夫诺德泽尔.

库语法为消息ellanalytic曲柄（GEN E，GEN eps=NULL，长位prec）.

ellap（E，{p}）

让E类成为厄尔结构作为输出埃利尼特，附椭圆曲线E/K。如果字段K=𝔽_q个是有限的，返回由方程式#E（𝔽）定义的Frobenius t的轨迹_q个)=q+1-t。

对于定义的其他字段和定义有限剩余字段的p𝔽_q个，返回Frobenius的踪迹，用于E的约简：参数如果K=ℚ，最好省略p_ℓ（否则我们必须有p=▽）和必须是素数（K=ℚ）或素数理想（K是一般数域）带渣场𝔽_q个否则。方程式不必是最小值甚至在p处积分；当然，最小模型会更有效。

对于数字字段K，Frobenius的轨迹是a_第页定义曲线L系列的欧拉乘积系数，其中函数名称：L（E/K，s）=∏_坏p（1-a）_第页（尼泊尔）^-秒)^-1∏_良好的p（1-a）_第页（尼泊尔）^-秒+（尼泊尔）^1-2秒)^-1.

当有限域的特征较大时这个海洋数据包将加快计算速度。

? E=椭圆（[0,1]）；\\y^2=x^3+0.x+1，在Q上定义? 此处需要ellap（E，7）%2=-4\\#E（F7) = 7+1-(-4) = 12? 电子贺卡（E，7）%3=12\\正常? E=ellinit（[0,1]，11）；\\在F_11上定义? ellap（E）\\无需重复11%4 = 0? ellap（E，11）\\。。。但它也有效%5 = 0? ellgroup（E，13）\\哎哟，输入不一致！***顶层：ellap（E，13）***                 ^ —  —  — --***ellap：Rg_to_Fp中的不一致模量：1113? a=ffgen（ffinit（11,3），'a）；\\定义Fq个：=F11^3? E=椭圆体（[a+1，a]）；\\y^2=x^3+（a+1）x+a，在F上定义q个? 埃拉普（E）%8 = -3

如果曲线是在比ℚ更通用的数字字段上定义的，最大理想p必须在理想素数格式。p处没有局部极小性假设。

? K=单位（a^2+1）；E=椭圆体（[1+a，0,1,0,0]，K）；? fa=理想系数（K，E.disc）%2 =[  [5, [-2, 1]~, 1, 1, [2, -1; 1, 2]] 1][[13, [5, 1]~, 1, 1, [-5, -1; 1, -5]] 2]? ellap（E，fa[1,1]）%3=-1\\非分裂乘法约简? ellap（E，fa[2,1]）%4=1\\分裂乘法约简? P17=理想素数（K，17）[1]；? ellap（E，P17）%6=6\\减少良好? E2=所有变化曲线（E，[17,0,0]）；? ellap（E2，P17）%8=6\\相同，从非最小模型开始? P3=理想素数（K，3）[1]；? ellap（E，P3）\\OK:E在P3处最小%10 = -2? E3=ellchange曲线（E，[3,0,0,0]）；? ellap（E3，P3）在P3处不积分***顶层：ellap（E3，P3）***                 ^ —  —  —  — ***ellap：Rg_to_ff:Mod（0，3）中的不可能反转。

使用的算法。如果E/𝔽_q个通过主假想值具有CM我们使用一个快速的显式公式（本质上包括Kronecker符号和Cornacchia算法），单位为O（log q）²一点操作。否则，我们使用Shanks-Metre的baby-step/giant-step方法，该方法在时间Õ（q^1/4)使用Õ（q^1/4)存储，因此成为当q约为30位时，不合理。在这个范围以上东南亚算法可用，启发性地使用Õ（log q）⁴、和200位数的素数变得可行。小型我们使用Mestre的（p=2），Kohel的（p=3,5,7,13），Satoh Harley的特征（全部在Õ（p²n个²))或Kedlaya's（inÕ（p n^三))算法。

库语法为消息埃拉普（发电机E，发电机p=空）.

埃尔比勒（E，z1（零）,z2型)

已弃用的别名ellheight（E、P、Q）.

库语法为消息贝壳（发电机E、发电机z1、发电机z2、长脉冲）.

ellbsd（E）

E是数字域上的椭圆曲线，返回实数数c，使得Birch和Swinnerton-Dyer猜想预测L（左）_E类^（r）（1） /r！=c R S，其中R是等级，R是调节器S塔特-沙法列维奇集团的红衣主教。

? e=椭圆体（[0，-1,1，-10，-20]）；\\排名0? ellbsd（e）%2 = 0.25384186085591068433775892335090946105? lfun（e，1）%3 = 0.25384186085591068433775892335090946104? e=ellinit（[0,0,1，-1,0]）；\\排名1? P=ellheegner（e）；? ellbsd（e）*ellheight（e，P）%6 = 0.30599977383405230182048368332167647445? lfun（e，1,1）%7 = 0.30599977383405230182048368332167647445? e=椭圆体（[1+a，0,1,0,0]，n椭圆体（a^2+1）；\\排名0? ellbsd（e）%9 = 0.42521832235345764503001271536611593310? lfun（e，1）%10 = 0.42521832235345764503001271536611593309

库语法为消息ellbsd公司（GEN E，长prec）.

ellcard（E，{p}）

让E类成为厄尔结构作为输出埃利尼特，已连接椭圆曲线E/K。如果K=𝔽_q个是有限的，返回E组（𝔽_q个).

? E=椭圆体（[-3,1]，5）；电子贺卡（E）%1 = 7? t=ffgen（3^5，t）；E=ellinit（[t，t^2+1]）；电子贺卡（E）%2 = 217

对于定义的其他字段和定义有限剩余字段的p𝔽_q个，返回E的约简顺序：参数p为最佳如果K=ℚ，则省略left_ℓ（否则我们必须有p=▽）并且必须是素数（K=ℚ）或素数理想（K是一般数域）残渣场𝔽_q个否则。方程式不必是最小值甚至在p处积分；当然，最小模型会更有效。该函数考虑了归约的非奇异点组p处曲线的最小模型，所以当曲线具有不良还原。

? E=椭圆体（[-3,1]）；? 系数（E.disc）%2 =[2 4][3 4]? ellcard（E，5）\\同上！%3 = 7? ellcard（E，2）\\添加剂还原%4 = 2

当有限域的特征较大时这个海洋数据包将加快计算速度。另请参见埃拉普获取已实现算法的列表。

库语法为消息电子贺卡（发电机E，发电机p=空）.也可以是消息电子贺卡（发电机E、发电机p）其中p不是无效的.

ellchange曲线（E，v）

更改椭圆曲线E的数据通过使用向量更改坐标v=[u，r，s，t]，即如果x'y'是新的坐标，那么x=u²x'+r，y=u^三y'+su（y’+su）²x’+t。E必须是厄尔结构作为输出埃利尼特.特价情况v=1也用于代替[1,0,0,0]来表示微小的坐标变化。

库语法为消息ellchange曲线（发电机E、发电机v）.

所有转换点（x，v）

更改点的坐标或使用向量的点x的向量v=[u，r，s，t]，即如果x'和y'是新的坐标，那么x=u²x'+r，y=u^三y'+su（y’+su）²x'+t型（另请参见ellchange曲线).

? E0=椭圆体（[1,1]）；P0=[0,1]；v=[1,2,3,4]；? E=所有变化曲线（E0，v）；? P=所有变化点（P0，v）%3 = [-2, 3]? 埃利森曲线（E，P）%4 = 1? 电流变化点inv（P，v）%5 = [0, 1]

库语法为消息厄尔切点（发电机x，发电机v）.互易函数消息所有更改点inv（发电机x，发电机ch）反转坐标变化。

所有更改点inv（x，v）

使用更改点的坐标或点x的矢量同构的逆v=[u，r，s，t],即，如果x'和y'是旧坐标，则x=u²x'+r，y=u^三y'+su（y’+su）²x'+t（倒数厄尔切点).

? E0=椭圆体（[1,1]）；P0=[0,1]；v=[1，2，4]；? E=所有变化曲线（E0，v）；? P=所有变化点（P0，v）%3 = [-2, 3]? 埃利森曲线（E，P）%4 = 1? 所有更改点inv（P，v）%5=[0，1]\\我们得到P0

库语法为消息所有更改点inv（发电机x，发电机v）.

ellconvertname（ellconvert名称）(名称)

转换椭圆曲线名称，如elldata公司数据库，从字符串变为三元组[导体,等基因类,指数]. 它还将三元组转换回曲线名称。示例：

? ellconvertname（“123b1”）%1 = [123, 1, 1]? ellconvertname（%）%2=“123b1”

库语法为消息ell转换名称（发电机名称）.

elldivpol（E，n，{v='x}）

n除多项式f_n个对于曲线E变量v.在标准符号中，对于任意仿射点P=（X，Y）曲线和任何n≥0的整数，我们有[n] P=（φ_n个（P） ψ（ψ）_n个（P） ：ω_n个（P） ：ψ_n个（P）^三)关于一些多项式φ_n个,ω_n个,ψ_n个在里面ℤ【a】₁，一个₂，一个_三，一个₄，一个₆][X，Y]。我们有f_n个（十） =ψ_n个（十）对于n奇数，以及（f）_n个（十） =ψ_n个（X，Y）（2Y+a₁X+a（X+a）_三)对于n偶数。我们有（f）₀=0，f₁= 1, （f）₂=4倍^三+b条₂X（X）²+2亿₄X+b₆, （f）_三=3倍⁴+b条₂X（X）^三+3亿₄X（X）²+3个b₆X+b8，（f）₄=f₂（2倍⁶+b条₂X（X）⁵+5亿₄X（X）⁴+10亿₆X（X）^三+10亿₈X（X）²+（b）₂b₈-b条₄b₆)X+（b）₈b₄-b条₆²)),...当n为奇数时，f的根_n个是仿射的X坐标n扭转子群E[n]中的点；当n为偶数时，根第页，共页_n个是E[n]\中仿射点的X坐标当n>2时，分别为E[2]。当n=2时，在E[2]中。对于n<0，我们定义f_n个：=-f_-n个.

库语法为消息埃尔迪夫波尔（发电机E，长n，长v=-1）哪里v（v）是一个可变数字。

埃列斯努姆（w，k{旗帜= 0})

k是一个偶数正整数，计算格点w处重量k的艾森斯坦级数，如下所示厄尔时期，即

（2iπ/ω₂)^k个（1+2/ζ（1-k）∑_n≥1n个^k-1号机组q个^n个/（1-q）^n个)),

其中q=exp（2iπτ）和τ：=ω₁/ω₂属于复杂的上半平面。也可以直接输入w=[ω₁,ω₂]，或椭圆曲线E，如下所示埃林特.

? w=ellperiods（[1，I]）；? 埃利斯努姆（w，4）%2 = 2268.8726415508062275167367584190557607? 埃利斯努姆（w，6）%3=-3.977978632282564763电子33? E=椭圆体（[1,0]）；? 埃利斯努姆（E，4）%5 = -48.000000000000000000000000000000000000

什么时候？旗帜非零且k=4或6，则返回椭圆不变量g₂或g_三，因此年²=4倍^三-克₂x-克_三是E的Weierstrass方程。

? g2=埃利斯努姆（E，4，1）%6 = -4.0000000000000000000000000000000000000? g3=elleisnum（E，6，1）\\~0%7=0.E-114-3.909948178422242682 E-57*I号

库语法为消息埃利斯努姆（GEN w，long k，long flag，long prec）.

埃列塔（w）

返回拟周期[η₁,η₂]附着到晶格基w个= [ω₁, ω₂].或者，w个可以是椭圆曲线E作为输出埃利尼特，在这种情况下，附加到周期的准周期点阵基埃米加菌（即，埃塔（E.eta）)返回。

? 埃列塔（[1，I]）%1=[3.141592653589793238462643383，9.424777960769379715387930149*I]

库语法为消息埃列塔（GEN w，长prec）.

ellformal微分（E，{n=系列精度}，{t='x}）

设ω：=dx/（2y+a₁x+a（x+a）_三)是不变微分形式附于某些椭圆曲线的E模型(埃利尼特形式），η=x（t）ω。返回n个术语(系列精度默认情况下）f（t），g（t）形式参数t=-x/y中的两个幂级数ω=f（t）dt，η=g（t）dt：f（t）=1+a₁t+（a）₁²+一个₂)t吨²+..., g（t）=t^-2+...

? E=椭圆体（[-1,1/4]）；[f，g]=细胞形态微分（E，7，not）；? （f）%2=1-2*t^4+3/4*t^6+O（t^7）? 克%3=t^-2-t^2+1/2*t^4+O（t^5）

库语法为消息ellformal微分（GEN E，long precdl，long n=-1）哪里n个是一个可变数字。

ellformalexp（E，{n=系列精度}，{z='x}）

椭圆形式指数费用附在E上的是从形式可加律到E的形式群的同构归一化为椭圆对数的倒数（参见ellformallog细胞):费用o L=Id.返回n项功率系列：

? E=椭圆体（[-1,1/4]）；Exp=ellformalexp（E，10，'z）%1=z+2/5*z^5-3/28*z^7+2/15*z^9+O（z^11）? L=ellformallog（E，10，t）；? 子集（Exp，z，L）%3=t+O（t^11）

库语法为消息ellformalexp格式（GEN E，long precdl，long n=-1）哪里n个是一个可变数字。

ellformallog（E，{n=系列精度}，{v='x}）

形式上的椭圆对数是t K[[t]]中的L系列这样d L=ω=dx/（2y+a₁x+a（x+a）_三)，正则不变量微分附加到模型E上。它给出了同构从E的形式群到加性形式群。

? E=椭圆体（[-1,1/4]）；L=ellformallog（E，9，'t）%1=t-2/5*t^5+3/28*t^7+2/3*t^9+O（t^10）? [f，g]=ellformaldifferential（E，8，t）；? L’-f型%3=O（t^8）

库语法为消息ellformallog公司（GEN E，long precdl，long n=-1）哪里n个是一个可变数字。

ellformal点（E，{n=系列精度}，{v='x}）

如果E是椭圆曲线，则返回形式参数t=-x/y中椭圆曲线E的形式群在oo:x=t^-2-一个₁吨^-1-一个₂-一个_三t+。。。y=-t^-3-一个₁吨^-2-一个₂吨^-1-一个_三+...返回n个术语(系列精度默认情况下）系数为ℤ[a的级数₁，一个₂，一个_三，一个₄，一个₆].

? E=椭圆体（[0,0,1，-1,0]）；[x，y]=ellformalpoint（E，8，t）；? x个%2=t^-2-t+t^2-t^4+2*t^5+O（t^6）? 年%3=-t^-3+1-t+t^3-2*t^4+O（t^5）? E=椭圆体（[0,1/2]）；ellformal点（E，7）%4=[x^-2-1/2*x^4+O（x^5），-x^-3+1/2*x^3+O（x^4）]

库语法为消息ellformal点（GEN E，long precdl，long n=-1）哪里n个是一个可变数字。

ellformalw（E，{n=系列精度}，{t='x}）

返回附加到椭圆曲线E的形式幂级数w，在变量t中：w（t）=t^三（1+a）₁t+（a）₂+一个₁²)t吨²+...+ O（吨^n个)),它是形式参数t:=-x/y中-1/y的形式展开式在oo（取n=系列精度如果省略n）。这个w的系数属于ℤ[a₁，一个₂，一个_三，一个₄，一个₆].

? E=椭圆体（[3,2，-4，-2,5]）；ellformalw（E，5，'t）%1=t^3+3*t^4+11*t^5+35*t^6+101*t^7+O（t^8）

库语法为消息ellformalw公司（GEN E，long precdl，long n=-1）哪里n个是一个可变数字。

ellfromeqn（P）

给定由仿射方程f（x，y）=0定义的亏格1平面曲线，返回系数[a₁，一个₂，一个_三，一个₄，一个₆]Weierstrass的雅可比方程。这允许为一般平面三次曲线或二元四次曲线或双二次模型。函数实现f⟼（f）^*公式Artin，Tate和Villegas（《数学进展》198（2005），第366–382页）。

在下面的示例中，该函数用于在扭曲的Edwards之间进行转换坐标和Weierstrass坐标。

? e=ellfromeqn（a*x^2+y^2-（1+d*x^2*y^2））%1=[0，-a-d，0，-4*d*a，4*d*a^2+4*d^2*a]? E=椭圆体（ellfromeqn（y^2-x^2-1+（121665/121666*x^2*y^2）），2^255-19）；? i首字母（ellcard（E）/8）%3 = 1

附在两个立方体之和上的椭圆曲线如下所示

? ellfromeqn（x^3+y^3-a）%1=[0，0，-9*a，0，-27*a^2]

同余数问题。设n为整数，如果²+b条²=c²a b=2 n，然后在第一个方程中用2n/a替换b，我们得到（a²+（2年）²)-c（c）²)一个²= 0.我们设置x=a，y=ac。

? En=ellfromeqn（（x^2+（2*n/x）^2-（y/x）|2）*x^2）%1=[0，0，0，-16*n^2，0]

例如，23是全等的，因为曲线有一个无限级的点，即：

? ellheegner（ellinit（缩写（En，n，23））%2 = [168100/289, 68053440/4913]

库语法为消息ellfromeqn公司（发电机P）.

ellfromj（j）

返回系数[a₁，一个₂，一个_三，一个₄，一个₆]固定的椭圆曲线对于j变量j，给定的模型是任意的；例如，在有理数，它一般不是最小的，甚至不是积分的。

? v=ellfromj（1/2）%1 = [0, 0, 0, 10365/4, 11937025/4]? E=ellminimalmodel（ellinit（v））；E[1..5]%2 = [0, 0, 0, 41460, 190992400]? F=ellminimalmodel（elltwist（E，24））；F[1..5]%3 = [1, 0, 0, 72, 13822]? [E.disc、F.disc]%4 = [-15763098924417024000, -82484842750]

对于rational j，以下程序返回积分最小鉴别曲线和给定j不变量：

ellfromj最小值（j）={my（E=ellinit（ellfromj（j）））；my（D=ellminimaltwist（E））；ellminimalmodel（elltwist（E，D））；}? e=ellfromjminimal（1/2）；电子光盘%1 = -82484842750

使用旗帜=1英寸ellminimaltwist（ellminimalt扭曲）而是返回最小导体曲线。例如，如果j=1728，这将返回一个不同的曲线（导体32而不是64）。

库语法为消息ellfromj公司（发电机j）.

ell生成器（E）

如果E是有理数上的椭圆曲线，则返回附属于E的Mordell-Weil集团的自由部分。这取决于这个elldata公司正在安装数据库并引用曲线，等等仅适用于小导线的曲线。如果E是有限域上的椭圆曲线_q个作为输出，由埃利尼特，返回组E的最小生成器集（𝔽_q个).

小心。当组不是循环的，形状为ℤ/d₁ℤ x个ℤ/d日₂ℤ 带有d₂|d日₁，返回的点[P，Q]ellgenerators不需要有d阶₁和d₂：确实如此P有订单d₁，但我们只知道Q是E（𝔽_q个)/<P>并且Weil配对w（P，Q）具有d阶₂,看见??ellgroup（ellgroup）.如果需要d阶R的生成器[P，R]₂，查找x使得R=Q-[x]P的阶数为d₂通过求解离散对数问题₂]Q=[x]（[d₂]P） 在循环群中订单d₁/天₂.如果d₁/d日₂有一个大主要因素。

库语法为消息信号发生器（发电机E）.

ellglobalred（E）

设E为厄尔结构作为输出埃利尼特附属的到数字域上定义的椭圆曲线。此函数用于计算算术导体和全局Tamagawa数c。如果定义E，结果[N，v，c，F，L]略有不同超过ℚ（域D=1英寸埃利尼特)或在数字字段上（域D是一个数字域结构，包括n单位（x）代表ℚ！）：

*N是曲线的算术导体，

*v是一个过时的字段，为了向后兼容而保留。如果E在ℚ上定义，v将E的坐标更改为标准最小积分模型(ellminimal模型在中提供更便宜的方式）；如果E定义在另一个数字字段上，v给出一个积分模型的坐标变换(椭圆模型提供了它以更便宜的方式）。

*c是当地Tamagawa数字c的乘积_第页，一个数量这就进入了Birch和Swinnerton-Dyer猜想，

*F是N的因子分解，

*L是一个向量，其第i个条目包含本地数据在N的第i个素理想因子处，即。L[i]=elllocaled（E，F[i，1]）如果E是在ℚ上定义的，则局部坐标更改已被删除并替换为0；如果定义了E在另一个数字域上，局部坐标变为局部极小值模型是相对于v提供的积分模型给出的（因此从积分模型开始，使v微不足道，或者先应用v）。

库语法为消息ellglobalred公司（发电机E）.

ellgroup（E，{p}{旗帜})

让E类成为厄尔结构作为输出埃利尼特，已连接对于椭圆曲线E/K，我们首先描述当场K=𝔽_q个是有限的，它计算有限阿贝尔群的结构E（𝔽_q个):

*如果旗帜=0，返回结构[]（平凡组）或[d₁]（非平凡循环群）或[d₁，天₂]（非循环群）E（𝔽_q个)~ℤ/d₁ℤ xℤ/天₂ℤ, 带有d₂|d日₁.

*如果旗帜=1，返回三元组[h，cyc公司,消息]，其中h是曲线基数，cyc公司将组结构作为循环群的乘积（根据旗帜= 0). 更确切地说，如果d₂> 1,输出为[d₁d日₂，[日]₁，天₂]，[P，Q]]其中P是订单d₁[P，Q]生成曲线。小心。不能保证Q有顺序d₂，其中最坏的情况需要昂贵的离散对数计算。只有那个健康教育（E、P、Q、d₁)有订单d₂.

对于定义的其他字段和定义有限剩余字段的p𝔽_q个，返回E的约简结构：参数如果K=ℚ，最好省略p_ℓ（否则我们必须有p=▽）和必须是素数（K=ℚ）或素数理想（K是一般数字字段）带渣场𝔽_q个否则。允许曲线有坏的p处的约化，在这种情况下，我们考虑p点最小模型约简的非奇异点。

如果旗帜=0，方程在p处不必是极小的或甚至是积分的；属于当然，最小模型会更有效。

如果旗帜=1，请求的生成器取决于模型，然后必须在p处最小，否则抛出异常。使用椭圆模型和/或埃洛卡雷德首先要简化为这种情况。

? E=椭圆（[0,1]）；\\y^2=x^3+0.x+1，在Q上定义? ellgroup（E，7）%2=[6，2]\\Z/6 x Z/2，非循环? E=椭圆体（[0,1]*Mod（1,11））；\\在F_11上定义? ellgroup（E）\\无需重复11%4 = [12]? ellgroup（E，11）\\。。。但它也有效%5 = [12]? ellgroup（E，13）\\哎哟，输入不一致！***顶层：ellgroup（E，13）***                 ^ —  —  —  — --***ellgroup：Rg_to_Fp中的模不一致：1113? EL组（E，7，1）%6=[12，[6，2]，[[修改（2，7），修改（4，7）]

现在让我们考虑不良还原曲线，在这种情况下，我们返回非奇异点（循环）群的结构，满足#E类_纳秒(𝔽_第页)=p-a_第页:

? E=椭圆体（[0,5]）；? ellgroup（E，5，1）%2=[5，[5]，[[修改（4，5），修改（2，5）]]? ellap（E，5）%3=5时的加性减少? E=椭圆体（[0，-1,0,35,0]）；? EL组（E，5，1）%5=[4，[4]，[[修改（2，5），修改（2、5）]]? ellap（E，5）%6=1在5处拆分乘法约简? ellgroup（E，7，1）%7=[8，[8]，[[修改（3，7），修改（5，7）]]? ellap（E，7）%8=-1\\ 7时的非分裂乘法约简

库语法为消息电话组0（GEN E，GEN p=NULL，长标志）.也可以是消息ellgroup（ellgroup）（发电机E、发电机p），对应到旗帜= 0.

埃利希格纳（E）

设E是有理数上的椭圆曲线，假设为（分析）排名1。这将返回曲线上的非扭转有理点，其标准高度等于椭圆调节器的乘积分析Sha。

这使用了Cohen GTM 239中描述的Heegner点方法；复杂性与导体的平方根和点的高度（因此，最好将其应用于强Weil曲线）。

? E=椭圆体（[-157^2,0]）；? u=ellheegner（E）；打印（u[1]，“\n”，u[2]）69648970982596494254458225/166136231668185267540804538962435089604615078004307258785218335/67716816556077455999228495435742408? ellheegner（ellinit（[0,1]））\\E排名为0！***顶层：ellheegner（E=ellinit***                 ^ —  —  —  —  —  — --***埃利希纳：这条曲线甚至具有分析等级。

库语法为消息埃利希格纳（第E代）.

ellheight（E，{P}，{Q}）

设E是定义在K=ℚ或数域上的椭圆曲线，作为输出，由埃利尼特; 它不需要由最小模型给出虽然计算速度会更快。

*不带参数P、Q，返回曲线E的Faltings高度使用Deligne规范化。对于有理曲线，归一化是这样的函数返回的-（1/2）*log（ellminimalmodel（E）.面积）.

*如果存在参数P∈E（K），则返回全局Néron—表示点的高度h（P），使用克雷莫纳模椭圆曲线的算法.

*如果参数Q∈E（K）也存在，则计算双线性形式（h（P+Q）-h（P-Q））/4。

库语法为消息ellheight0（高度0）（GEN E，GEN P=空，GEN Q=空，长前缀）.也可以是消息井高（发电机E、发电机P、长预充电）（Q省略）。

ellheight矩阵（E，x）

x是点的向量，这个函数输出x相对于Néron-Tate的Gram矩阵高度，换句话说，矩阵的（i，j）分量等于ellheight（E，x[i]，x[j]）.该矩阵的秩，至少在某些情况下近似意义，给出点集的秩，如果x是E的Mordell-Weil群的基，其行列式等于E的调节器注意我们的高度标准化遵循克雷莫纳的模椭圆曲线的算法：此矩阵应被分割乘以2以符合例如Silverman的归一化。

库语法为消息ellheight矩阵（GEN E、GEN x、long prec）.

省略（E）

查找由ℚ上的任意模型定义的椭圆曲线E，在中elldata公司数据库。返回[[N、M、G]、C]其中N是克雷莫纳曲线的名称椭圆曲线数据库，M是最小模型，G是Mordell-Weil群E（ℚ）和C的自由部分是坐标从E更改为M，适用于ellchange曲线.

库语法为消息省略（发电机E）.

椭圆（x，{D=1}）

初始化厄尔结构，附在椭圆曲线E上。E是其中之一

*五分量向量[a₁，一个₂，一个_三，一个₄，一个₆]定义椭圆Weierstrass方程曲线Y（Y）²+一个₁XY+a公司_三Y=X^三+一个₂X（X）²+一个₄X+a（X+a）₆,

*2分量向量[a₄，一个₆]定义椭圆短Weierstrass方程曲线Y（Y）²=X^三+一个₄X+a（X+a）₆,

*单分量向量[j]给出了曲线的j变量，系数与下式相同ellfromj公司.

*克雷莫纳符号中的字符串，例如。“11a1”，其中如果从elldata公司数据库（如果可用）。

可选参数D描述曲线所在的域定义：

*这个_内部1（默认）：有理数字段ℚ。

*一_内部p、 其中p是素数：素数有限域𝔽_第页.

*一个_内部模块 模式（a，p），其中p是质数：素数有限域𝔽_第页.

*一t_FFELT（飞行高度层），由返回法根：相应的有限字段𝔽_q个.

*一t_PADIC，O（p^n个)：字段ℚ_第页，其中p-adic量将计算到n位数的相对精度。我们建议输入为此类曲线定义的模型超过ℚ。在任何情况下，如果您输入近似模型t_PADIC系数，它将替换为升力到ℚ（与输入的模型“接近”的精确模型）和所有数量然后根据该提升模型以给定精度进行计算。

*一t_真实x： 复数字段ℂ，其中浮点默认情况下，点数量的计算相对精度为精度（x） ●●●●。如果没有给出这样的参数实际精度当时埃利尼特将使用调用的。

*数字字段K，由核燃料或bnf公司结构；一bnf公司需要用于ellminimal模型.

*素数理想𝔭，由骄傲结构；有效条件是x是定义在数值域K上的曲线，方程是积分方程最小值为𝔭。

该参数D是指示性的：检查曲线系数兼容性，可能会改变D；例如，如果D=1和一个_内部模块找到。如果检测到不一致，则会出现错误提高：

? 椭圆体（[1+O（5），1]，O（7））；***顶层：ellinit（[1+O（5），1]，O***                 ^ —  —  —  —  —  — --***ellinit：ellinit中的不一致模量：7！=5

如果曲线系数太笼统，不适合在上述域类别中，只有基本操作（如加点）才会稍后支持。

如果曲线（在域D上看到）是奇异的，则失败并返回空向量[]。

? E=椭圆（[0,0,0,0，0,1]）；\\y^2=x^3+1，在Q上? E=椭圆（[0,1]）；\\同一曲线，短形? E=ellinit（“36a1”）；\\同样的曲线，克雷莫纳的符号? E=椭圆体（[0]）；\\j变量0的曲线? E=F2上的椭圆（[0,1]，2）：奇异曲线%4 = []? E=椭圆体（['a4，'a6]*Mod（1,5））；\\F以上5[a4，a6]，基本支持！

注意，出现了给定的j-invariant 0曲线成为36a1型但任何一个任意扭曲的先验模型都可能有已返回。请参见ellfromj公司.

的结果埃利尼特是一个厄尔结构。它至少包含其组件中的以下信息：

一₁，一个₂，一个_三，一个₄，一个₆，b个₂，b个₄，b个₆，b个₈，c₄，c₆,Δ，j。

所有这些都可以通过成员函数访问。特别是，判别式是电子磁盘，而j变量是E.j公司.

? E=椭圆体（[a4，a6]）；? E.disc公司%2=-64*a4^3-432*a6^2? E.j公司%3=-6912*a4^3/（-4*a4*3~27*a6^2）

其他组件包含特定于域的数据，这些数据通常是动态的：仅在需要时计算，然后缓存在结构中。

? E=椭圆体（[2,3]，10^60+7）；\\E超过F第页，p大? 埃拉普（E）时间=4440毫秒。%2 = -1376268269510579884904540406082? ellcard（E）；\\现在是瞬间！时间=0毫秒。? ellgenerators（E）；时间=5965 ms。? ellgenerators（E）；\\二次瞬时值时间=0毫秒。

有关椭圆曲线的成员函数的描述，请参见本节开头。

库语法为消息埃利尼特（GEN x，GEN D=空，长前缀）.

省略模型（E，{&v}）

让E成为厄尔数字字段K或ℚ上的结构_第页.此函数返回积分模型。如果存在v，则设置v=[u，0,0,0]对应变量的变化：返回值为与的相同ellchange曲线（E，v）.

? e=椭圆体（[1/17,1/42]）；? e=椭圆模型（e，&v）；? e[1..5]%3 = [0, 0, 0, 15287762448, 3154568630095008]? v（v）%4 = [1/714, 0, 0, 0]

库语法为消息椭圆模型（发电机E，发电机*v=空）.

椭圆（E）

设E是数域上的椭圆曲线。如果E不是CM，则返回0，否则返回其自同态环。

? E=椭圆体（[0,0，-5，-7507900]）；? D=椭圆度（E）%2 = -27? w=quadgen（D，'w）；? P=ellheegner（E）%4 = [10,40]? Q=ellmul（E、P、w）%5=[110/7-5/49*w，85/49-225/343*w]

数字字段上的示例：

? nf=n单位（a^2-5）；? E=椭圆体（[261526980*a-584793000，-3440201839360*a+769252514800]，nf）；? 椭圆（E）%3 = -20? 椭圆体（E）[2]%4 = [1,2,5,10;2,1,10,5;5,10,1,2;10,5,2,1]

库语法为长的椭圆管（发电机E）.

椭圆可分（E，P，n，{&Q}）

给定E/K一个数字字段，E（K）中的P如果E（K）中某个R的P=[n]R，则返回1，并将Q设置为一个这样的R；否则返回0。

? K=n单位（polcyclo（11，t））；? E=椭圆体（[0，-1,1,0,0]，K）；? P=[0,0]；? 所有订单（E，P）%4 = 5? 椭圆可分（E、P、5和Q）%5 = 1? 升力（Q）%6=[-t^7-t^6-t^5-t^4+1，-t^9-2*t^8-2*t|7-3*t^6-3*t|5-2*t^4-2*t^3-t^2-1]? ellorder（E，Q）%7 = 25

我们在ℚ上使用快速多模算法，其复杂性本质上与n（logn中的多项式）无关。在数字域上，我们计算除法多项式的根和底层算法的代数复杂度为O（p⁴)，其中p为n的最大素数因子。整数n≥0可以表示为ellxn（E，n），如果需要测试多个点；这提供了一个适度的在数字字段上加速，但可能会减慢算法速度ℚ.

库语法为长的椭圆可分割的（发电机E、发电机P、发电机n、发电机*Q=空）.

椭圆（E，F）

如果椭圆曲线E和F定义在相同的数字上，则返回0字段不是同构的，否则返回[u，r，s，t]适用于厄尔变化曲线，将E映射到F。

? E=椭圆体（[1,2]）；? 椭圆（E，椭圆（[1,3]）%2 = 0? F=所有变化曲线（E，[-1,1,3,2]）；? 椭圆（E，F）%4 = [1, 1, -3, -2]

? nf=nf单位（a^3-2）；E=椭圆体（[a^2+1,2*a-5]，nf）；? F=所有变化曲线（E，Mod（[a，a+1，a^2，a^2+a-3]，nf.pol））；? v=椭圆（E，F）%3=[模式（-a，a^3-2），模式（a+1，a^3-2），模式，Mod（-a^2-a+3，a^3-2）]? 所有变化曲线（E，v）==F%4 = 1

库语法为消息埃利西索姆（发电机E、发电机F）.

椭圆（E，G{仅限图像=0}，{x='x}，}y='y}）

给定椭圆曲线E，则给出E的有限子群G作为生成点P（对于循环G）或作为其根的多项式在G的非零元素的x坐标上消失（一般情况和更高效（如果可用）。此函数返回【a】₁，一个₂，一个_三，一个₄，一个₆]商椭圆曲线的不变量E/G和（如果仅限图像为零（默认值）是有理向量函数[f，g，h]，使得等值线E→E/g由（x，y）给出⟼（f（x）/小时（x）²，克（x，y）/小时（x）^三).

? E=椭圆体（[0,1]）；? 埃勒托斯（E）%2 = [6, [6], [[2, 3]]]? E/<P>的ellisogeny（E，[2,3]，1）\\Weierstrass模型%3 = [0, 0, 0, -135, -594]? 椭圆体发生（E，[-1,0]）%4=[[0,0,0，-15,22]，[x^3+2*x^2+4*x+3，y*x^3+3*y*x*^2-2*y，x+1]

库语法为消息椭圆发生（GEN E，GEN G，long only_image，long x=-1，long y=-1）哪里x个,年是可变数字。

椭圆应用（f，g）

给出椭圆曲线f:E'→E的等式（是调用的结果到椭圆发生)，将f应用于g：

*如果g是f域中的点P，则返回图像f（P）；

*如果g:E“→E'是兼容的同系词，则返回复合词同源性f o g:E”→E。

? 一个=ffgen（101，'t）^0；? E=椭圆体（[6，53，85，32，34]*一个）；? P=[84，71]*一；? 所有订单（E，P）%4 = 5? [F，F]=椭圆（E，P）；\\f： E->f=E/<P>? 椭圆应用（f，P）%6 = [0]? F=ellinit（F）；? Q=[89，44]*一；? ellorder（F，Q）%9 = 2? [G，G]=椭圆（F，Q）；\\g： F->g=F/<Q>? gof=ellisogenyapply（g，f）；\\gof:E->G

库语法为消息椭圆形应用（发电机f、发电机g）.

椭圆体（E，{p=0}{旗帜= 0})

给定一条定义在数字域K上的椭圆曲线E，计算定义的椭圆曲线同构类集的表示假设E是有限的（见下文）。对于任何此类曲线E_我，设f_我：E→E_我成为一个理性的同系物最小度和设g_我：E_我→ E是双重同系；然后让M是这样的矩阵：_{i、 j个}是同系的最小程度E类_我→ E类_j.

函数返回一个向量[L，M]，其中L是三元组列表[英]_我，f_我，克_我] (旗帜=0），或者简单地说是E的列表_我(旗帜= 1,这样可以节省时间）。曲线E_我在[a中给出₄，一个₆]形式和第一条曲线E₁通过f与E同构₁.

同构类集是有限的，除非E在K中包含的二次顺序。在这种情况下，函数只返回二阶判别式。

如果p被设置，那么它必须是一个素数；在这种情况下，只有考虑了p的a次幂。

在一个数字域上，可能的同系度由比勒雷算法。

? E=椭圆体（“14a1”）；? [L，M]=椭圆体（E）；? LE=应用（x->x[1]，L）\\曲线列表%3 = [[215/48,-5291/864],[-675/16,6831/32],[-8185/48,-742643/864],[-1705/48,-57707/864],[-13635/16,306207/32],[-131065/48,-47449331/864]]? L[2][2]\\同系物f2%4=[x^3+3/4*x^2+19/2*x-311/12，1/2*x^4+（y+1）*x^3+（y-4）*x*2+（-9*y+23）*x+（55*y+55/2），x+1/3]? L[2][3]\\对偶同构g2%5=[1/9*x^3-1/4*x^2-141/16*x+5613/64，-1/18*x^4+（1/27*y-1/3）*x^3+（-1/12*y+87/16）*x*2+（49/16*y-48）*x+（-3601/64*年+16947/512），x-3/4]? 应用（E->ellidentify（ellinit（E））[1]，LE）%6=[“14a1”、“14a4”、“14 a3”、“4 a2”、“12 a6”、“15 a5”]? M（M）%7 =[1  3  3 2  6  6][3  1  9 6  2 18][3  9  1 6 18  2][2  6  6 1  3  3][6  2 18 3  1  9][6 18  2 3  9  1]

库语法为消息椭圆体（GEN E，长p，长标志）.

埃里森曲线（E，z）

如果点z位于椭圆曲线e上，则给出1（即真），0否则。如果E或z的系数不精确，则尝试考虑到这一点，即检查不精确的等式，而不是精确的一个。允许z是点的向量，在这种情况下是向量返回（相同类型）。

库语法为消息埃利森曲线（发电机E、发电机z）.也可以是整数凹曲线（发电机E、发电机z）而不是接受点的矢量。

椭圆树（E）

给定在ℚ上定义的椭圆曲线E或ℚ-等量曲线如下所示椭圆体，返回一对[L，M]，其中

*L列出了椭圆同构类的最小模型曲线ℚ-与E等值（或在一组等值曲线中），

*M是素数等基因树的邻接矩阵：从E有一条边_我至E_j如果有同系E_我→ E类_j素数形式的Néron微分形式为保存。

? E=椭圆体（“14a1”）；? [L，M]=椭圆树（E）；? M（M）%3 =[0 0 3 2 0 0][3 0 0 0 2 0][0 0 0 0 0 2][0 0 0 0 0 3][0 0 0 3 0 0][0 0 0 0 0 0]? [L2，M2]=椭圆树（椭圆体（E，2,1））；%4 =[0 2][0 0]? [L3，M3]=椭圆树（椭圆体（E，3,1））；? 立方米%6 =[0 0 3][3 0 0][0 0 0]

与结果比较椭圆体.

? [L，M]=椭圆体（E，，1）；? M（M）%7 =[1  3  3 2  6  6][3  1  9 6  2 18][3  9  1 6 18  2][2  6  6 1  3  3][6  2 18 3  1  9][6 18  2 3  9  1]

库语法为消息椭圆树（发电机E）.

椭圆的（E，{p}）

如果在数字字段上定义椭圆曲线E，则返回1，ℚ_第页或者有限域在p处是超奇异的，否则为0。如果曲线是在ℚ或数字字段上定义的，则p必须显式地给定，并且必须是质数。最大理想；如果和，则返回1只有当E在p处有超奇异好约化。

或者，E可以由有限域中的j变量给出。在这种情况p必须省略。

?  g=ffprimroot（ffgen（7^5））%1=4*x^4+5*x^3+6*x^2+5*x+6?  [g^n|n<-[1..7^5-1]，椭圆形（g^n）]%2 = [6]?  j=ellsupersingularj（2^31-1）%3=1618591527*宽+1497042960?  椭圆形（j）%4 = 1?  K=n单位（y^3-2）；P=理想素数（K，2）[1]；?  E=椭圆体（[y，1]，K）；?  椭圆形（E，P）%7 = 1?  Q=理想素数（K，5）[1]；?  椭圆形（E，Q）%9 = 0

库语法为消息椭圆形的（发电机E，发电机p=空）.也可以是整数elljissupsingular公司（发电机j）其中j是曲线的j非变量在有限域上。

ellj（x）

椭圆j不变。x必须是复数具有正虚部，或可转换为幂级数或具有正估值的p-adic数。

库语法为消息果冻（GEN x，长前缀）.

elllocaled（E，{p}）

计算椭圆曲线局部光纤的Kodaira型p.E中的E必须是厄尔结构作为输出埃利尼特，超过ℚ_ℓ（p最好左省略，否则等于▽）在ℚ（p是有理素数）或数字域K（p由骄傲结构）。结果是一个4分量向量[f，kod，v，c]。这里f是的指数p在E的算术导体中，kod是Kodaira类型编码如下：

1表示还原良好（I型₀)、2、3和4表示II、III和IV型分别为4+Γ，其中Γ>0表示I型_ν;最后，相反的值-1、-2等表示带星号的类型我₀^*，二^*等。第三个分量v本身是向量[u，r，s，t]给出局部还原过程中所做的坐标变化；u=1当且仅当给定的方程在p处已经是最小的。最后，最后一个分量c是本地Tamagawa数字c_第页.

库语法为消息elllocaled公司（发电机E，发电机p=空）.

elllog（E，P，G，{o}）

给定椭圆曲线E/𝔽上的两点P和G_q个，返回以G为底的P的离散对数，即最小的非负整数n，使得P=[n]G。请参见锌日志针对底层离散日志算法的局限性。如果存在，o代表G的顺序，参见第节se:DLfun公司;此参数的首选格式是[N，系数（N）]，其中N是G的顺序。

如果没有给定o，则假设G生成曲线。该函数还假设P是G的倍数。

? a=ffgen（ffinit（2,8），'a）；? E=椭圆体（[a，1,0,0,1]）；\\F以上2^8? x=a^3；y=纵坐标（E，x）[1]；? P=[x，y]；G=ellmul（E，P，113）；? ord=[242，系数（242）]；\\P生成一个顺序为242的组。初始化。? ellorder（E、G、ord）%4 = 242? e=elllog（e，P，G，ord）%5 = 15? ellmul（E，G，E）==P%6 = 1

库语法为消息错误日志（发电机E、发电机P、发电机G、发电机o=空）.

ellseries（E，s，{A=1}）

此函数已弃用，请使用lfon（E，s）而不是。

E是一条椭圆曲线，由输出为ℚ的任意模型给出通过埃利尼特，此函数计算E的L系列值（复数）点s。此函数使用O（N^1/2)算法，其中N是导体。

可选参数A确定积分的截止点，是最佳参数左省略；结果必须独立于A，直到实际精度，因此可以检查函数的准确性。

库语法为消息埃尔斯系列（GEN E，GEN s，GEN A=NULL，long prec）.

埃尔曼常数（E）

设E是Q上的椭圆曲线埃利尼特或ellisomat给出的一个有理同构类。返回曲线的马宁常数，请参见厄尔韦尔曲线.该算法速度慢但无条件。该函数还接受椭圆体并返回列表所有同系类的马宁常数。

? E=椭圆体（“11a3”）；? 埃尔曼常数（E）%2 = 5? L=椭圆体（E，，1）；? 埃尔曼常数（L）%4 = [5,1,1]

库语法为消息埃尔曼常数（发电机E）.

ellminimaldisc（E）

E是一条椭圆曲线，定义在由埃利尼特，返回E的最小判别理想。

库语法为消息厄尔米诺迪斯克（发电机E）.

ellminimalmodel（E，{&v}）

让E成为厄尔数字域K上的结构。此函数确定E是否承认全局最小积分模型。如果是这样，它返回它并将v=[u，r，s，t]设置为变量的相应变化：返回值与ellchange曲线（E，v）.

否则返回E的（非主体）Weierstrass类，即∏ 𝔭^{（v）_𝔭{Δ}- δ_𝔭)/12}其中Δ =电子磁盘是模型的判别式𝔭^δ_𝔭是局部最小判别式。此函数要求定义E有理域ℚ上（域D=1 in埃林特),在这种情况下，全局最小模型总是存在的，或者超过一个数由给定的字段bnf公司结构。Weierstrass类在bnfi负责人格式，即K.gen公司发电机。

所得模型具有积分系数，并且处处最小系数a₁和a_三减少模2（根据固定积分基础科兹克)和a₂是以模3递减的。在ℚ上，我们进一步要求₁和a_三为0或1，即₂变量变化为0或±1且u>0：两种模型变量v的变化是唯一的。

? e=椭圆体（[6,6,12,55233]）；\\超过Q? E=ellminimalmodel（E，&v）；? E[1..5]%3 = [0, 0, 0, 1, 1]? v（v）%4 = [2, -5, -3, 9]

? K=bnfinit（a^2-65）；\\在非主数值字段上? K.cyc公司%2 = [2]? u=Mod（8+a，K.pol）；? E=椭圆体（[1,40*u+1,0,25*u^2,0]，K）；? ellminimalmodel（E）\\ Z上不存在全局最小模型K（K）%6 = [1]~

库语法为消息ellminimal模型（发电机E，发电机*v=空）.

ellminimaltwist（E{旗帜= 0})

设E是定义在ℚ上的椭圆曲线，return判别式D，使得E与D之间的扭曲度最小可能的二次扭曲，即如果旗帜=0，其最小模型具有最小值判别，或者如果旗帜=1，导体最少。

在下面的示例中，我们发现了一条具有j-invariant 3和minimal的曲线导线。

? E=ellminimalmodel（ellinit（ellfromj（3）））；? ellglobalred（E）[1]%2 = 357075? D=最小扭转（E，1）%3 = -15? E2=ellminimalmodel（elltwist（E，D））；? ellglobalred（E2）[1]%5 = 14283

在下面的示例中，旗帜=0和旗帜=1给出不同的结果。

? E=椭圆体（[1,0]）；? D0=最小扭转（E，0）%7 = 1? D1=最小扭转（E，1）%8 = 8? E0=ellminimal模型（elltwist（E，D0））；? [E0.disc，ellglobalred（E0）[1]%10 = [-64, 64]? E1=ellminimalmodel（elltwist（E，D1））；? [E1.disc，ellglobalred（E1）[1]%12 = [-4096, 32]

库语法为消息ellminimaltwist0（GEN E，长标志）.还提供了消息ellminimaltwist（ellminimalt扭曲）（E）对于旗帜=0，和消息ellminmaltwistcond（ellminaliltwistcond）（E）对于旗帜= 1.

厄尔姆度

e是在ℚ输出上定义的椭圆曲线埃利尼特,计算e除以Manin常数c。对于强Weil，推测c=1同系类曲线（J的最佳商₀（N） ）这可以是经验证的使用厄尔韦尔曲线当导体N为中等时。

? E=椭圆体（“11a1”）；\\来自克雷莫纳表：强威尔曲线和c=1? [v，smith]=ellweilcurve（E）；史密斯证明了上述%2 = [[1, 1], [5, 1], [1, 1/5]]? 厄尔姆度（E）%3 = 1? [省略（e）[1][1]| e<-v]%4=[“11a1”、“11a2”、“11 a3”]? ellmoddegree（埃利尼特（“11a2”））%5 = 5? ellmoddegree（埃利尼特（“11a3”））%6 = 1/5

模块化程度11a1号机组为1（因为厄尔韦尔韦或者克雷莫纳的表证明了马宁常数该曲线为1）；的输出厄尔韦尔韦也证明了Manin常数11a2号机组和11a3号是1和5因此两者的实际模块化程度11a2号机组和11a3号为5。

库语法为消息厄尔莫度（发电机e）.

ellmodulareqn（N，{x}，{y}）

给定素数N<500，返回向量[P，t]，其中P（x，y）是N级的模方程，即具有整数的二元多项式系数；t表示该等式的类型：规范的（t=0）或阿特金（t=1）。此功能需要这个海洋数据包的唯一用途是授予访问包的权限内容。请参见极模以实现更通用、更灵活的功能。

设j为j不变函数。多项式P满足函数方程，P（f，j）=P（f | W_N个，j | W_N个) = 0 对于某些模函数f=f_N个（每个固定N到最小化其大小，见下文），其中W_N个（τ） =-1/（Nτ）是Atkin-Lehner内卷化。这两个方程允许计算经典模多项式Φ_N个，这样Φ_N个（j（τ），j（Nτ））=0，但远小于后者。更准确地说，我们有j（W_N个（τ） ）=j（Nτ）；函数f在以下条件下是不变的Γ₀（N） 也满足了

*对于Atkin类型：f|W_N个=f；

*对于规范型：设s=12/gcd（12，N-1），然后f | W（f | W）_N个=N个^秒/f.在这种情况下，f有一个简单的定义：f（τ）=N^秒（η（Nτ）/η（τ））^2秒,其中η是Dedekind的eta函数。

以下GP函数返回经典模多项式的值通过消除f_N个（τ） 在上面的函数方程中，对于N≤31或N∈{41,47,59,71}。

经典（N，X='X，Y='Y）={my（[P，t]=ellmodulareqn（N），Q，d）；如果（极性（P，'y）>2，则错误（“classicaleqn中的级别不可用”）；如果（t==0，\\标准我的（s=12/gcd（12，N-1））；Q='x^（N+1）*substvec（P，['x，'y]，[N^s/'x，y]）；d=N^（s*（2*N+1））*（-1）^（N+1）；，\\AtkinQ=subst（P，'y，y）；d=（X-Y）^（N+1））；极合（subst（P，'y，X），Q）/d；}

库语法为消息细胞模块化（长N，长x=-1，长y=-1）哪里x个,年是可变数字。

ellmul（E，z，n）

计算[n]z，其中z是椭圆曲线E上的点指数n以ℤ为单位，或者如果曲线E用n进行复数乘法（如果不是，则发出错误消息）。

? Ei=椭圆体（[1,0]）；z=[0,0]；? ellmul（Ei，z，10）%2=[0]\\不足为奇：z的顺序是2? ellmul（Ei，z，I）%3=[0，0]\\Ei与Z[i]有复数乘法? ellmul（Ei，z，quadgen（-4））%4=[0，0]\\同一查询的替代语法? Ej=椭圆体（[0,1]）；z=[-1,0]；? ellmul（Ej，z，I）***顶层：ellmul（Ej，z，I）***                 ^ —  —  —  — --***ellmul：不是ellmul中的复杂乘法。? ellmul（Ej，z，1+四元（-3））%6=[1-w，0]

CM案例的简单算法假设我们处于特征0，并且n所属的二次阶具有小判别式。

库语法为消息埃尔姆（发电机E、发电机z、发电机n）.

ellneg（E，z）

椭圆曲线E上z点的对面。

库语法为消息埃尔内格（发电机E、发电机z）.

非奇异倍数（E，P）

给定椭圆曲线E/ℚ和有理点P∈E（ℚ），返回对[R，n]，其中n是最小正整数，使得R:=[n]P具有良好的每次质数减少。更准确地说，它在最小模型中的图像是到处都是非奇异的。

? e=椭圆体（“57a1”）；P=[2，-2]；? ellnon-singular倍数（e，P）%2 = [[1, -1], 2]? e=椭圆体（“396b2”）；P=[35，-198]；? [R，n]=ellnon-singular multiple（e，P）；? n个%5 = 12

库语法为消息ellnon-singular多重（发电机E、发电机P）.

ellorder（E，z，{o}）

给出椭圆上z点的顺序曲线E，在有限域或数值域上定义。如果点具有无限级，则返回（不可能的值）零。

? E=ellinit（[-157^2，0]）；\\157-is全等曲线? P=[2,2]；所有订单（E，P）%2 = 2? P=ellheegner（E）；ellorder（E，P）\\无限级%3 = 0? K=n单位（polcyclo（11，t））；E=椭圆体（“11a3”，K）；T=卖方（E）；? ellorder（E，T.gen[1]）%5 = 25? E=椭圆体（ellfromj（ffgen（5^10）））；? 电子贺卡（E）%7 = 9762580? P=随机（E）；所有订单（E，P）%8 = 4881290? p=2^160+7；E=椭圆体（[1,2]，p）；? N=电子贺卡（E）%9 = 1461501637330902918203686560289225285992592471152? o=[N，系数（N）]；? 对于（i=1100，ellorder（E，random（E）））时间=260毫秒。

参数o现在基本上没有用处，保留为向后兼容性。如果存在，它表示订单的非零倍数z，参见第节se:DLfun公司; 此参数的首选格式是[ord，因子（ord）]，其中字是曲线的基数。不再需要它，因为PARI现在可以计算过大有限域（在这个特征出现时被限制为小素数域引入），和将结果缓存在E中，以便进行计算只考虑一次。修改最后一个例子，我们看到包括此额外参数没有改进：

? o=[N，系数（N）]；? 对于（i=1100，ellorder（E，random（E），o））时间=260毫秒。

库语法为消息厄尔订单（发电机E、发电机z、发电机o=空）.过时的形式消息orderell公司（发电机e、发电机z）不应该再这样了已使用。

纵坐标（E，x）

给出包含以下内容的0、1或2分量向量曲线E中x为的点的y坐标横坐标。

库语法为消息低坐标的（GEN E、GEN x、long prec）.

ellpadicL（E，p，n，{s=0}，{r=0}，{D=1}）

返回字符χ上的值（或r-th导数）^秒属于ℤ_第页^*椭圆曲线E/ℚ的p-adic L函数的D、 给定模p^n个.

字符。的连续字符集加仑（ℚ（μ_{第页^面向对象})/ℚ）被识别为ℤ_第页^*通过值为的分圆特征χℚ_第页^*。表示方式τ:ℤ_第页^*→ ℤ_第页^*Teichmüller字符，具有值在p！=的1的（p-1）-次根中p=2时为{-1,1}；最后，让<χ>= χ τ^-1，值为1+2pℤ_第页.在GP中加仑（ℚ（μ_{第页^面向对象})/ℚ）由提供<χ>^秒₁τ^秒₂由一对整数s=（s）表示₁，秒₂),带有s₁∈ ℤ_第页和₂p>2时为mod p-1，（对于p=2，分别为mod 2）；秒也可以是整数，表示（s，s）或χ^秒.

p-adic L函数。p-adic L函数L_第页定义在连续集上Gal（ℚ（μ_{第页^面向对象})/ℚ），如б_{ℤ_｛p}^*}χ^秒在ℤ上某一p-adic分布μ的dμ_第页^*. The导数由下式给出L（左）_第页^（r）（E，χ^秒) = ∫_{ℤ_{对}^*}日志_第页^第页（a） χ^秒（a）dμ（a）。更准确地说：

*当E具有良好的超奇异归约时，L_第页接受它的D中的值：=H¹_博士（E/ℚ）⨂_ℚℚ_第页并满足（1-p）^-1F）^-2L（左）_第页（E，χ⁰)=（L（E，1）/Ω）.ω其中F是Frobenius，L（E，1）是复数L的值函数为1，ω是Néron微分和ΩE上的附加周期（ℝ）。这里，χ⁰代表琐碎的性格。

函数返回L的组成部分_第页^（r）（E，χ^秒)英寸基（ω，Fω）。

*当E具有普通良好的约简时，此方法仅定义L的投影_第页（E，χ^秒)在α-特征空间上，其中α是F的单位特征值。这是函数返回。我们有(1- α^-1)^-2L（左）_{p、 α}（E，χ⁰)=L（E，1）/Ω。

两个超奇异示例：

? cxL（e）=最佳近似值（ellL1（e）/eω[1]）；? e=椭圆体（“17a1”）；p=3；\\超奇异，a3=0? L=ellpadicL（e，p，4）；? F=[0，-p；1，ellap（e，p）]；\\基中的Frobenius矩阵（ω，F（ω））? （1-p^（-1）*F）^-2*L/cxL（e）%5=[1+O（3^5），O（3*5）]~\\[1,0]~? e=椭圆体（“116a1”）；p=3；\\超奇异，a3！=0~? L=ellpadicL（e，p，4）；? F=[0，-p；1，ellap（e，p）]；? （1-p^（-1）*F）^-2*L~/cxL（e）%9=[1+O（3^4），O（3*5）]~

良好的普通还原：

? e=椭圆体（“17a1”）；p=5；ap=ellap（e，p）%1=-2\\普通? L=ellpadicL（e，p，4）%2=4+3*5+4*5^2+2*5^3+O（5^4）? al=padicappr（x^2-ap*x+p，ap+O（p^7））[1]；? （1-al^（-1））^（-2）*L/cxL（e）%4=1+O（5^4）

Twist和Teichmüller：

? e=椭圆体（“17a1”）；p=5；\\普通的\\τ^1处的二阶导数，扭转-7? ellpadicL（e，p，4，[0,1]，2，-7）%2=2*5^2+5^3+O（5^4）

我们给出了一个非分裂乘法约简的例子（参见ellpadicbsd公司更多示例）。

? e=椭圆体（“15a1”）；p=3；n=5；? L=ellpadicL（e，p，n）%2=2+3+3^2+3^3+3^4+O（3^5）? （1-ellap（e，p））^（-1）*L/cxL（e）%3=1+O（3^5）

此函数是mspadicL公司它也出现了作为的第一任期mspadic系列:

? e=椭圆体（“17a1”）；p=5；? L=电流密度L（e，p，4）%2=4+3*5+4*5^2+2*5^3+O（5^4）? [M，φ]=msfromell（e，1）；? Mp=mspadicinit（M，p，4）；? mu=mspadic矩（Mp，phi）；? mspadicL（亩）%6=4+3*5+4*5^2+2*5^3+2*5^4+5^5+O（5^6）? mspadic系列（亩）%7=（4+3*5+4*5^2+2*5^3+2*5^4+5^5+O（5^6））+（3+3*5+5^2+5^3+O（5^4））*x+（2+3*5+5^2+O（5^3））*x^2+（3+4*5+4*5^2+O（5^3））*x^3+（3+2*5+O（5^2））*x^4+O（x^5）

这些比ellpadicL公司但允许计算不同字符或连续导数，或通过二次字符进行扭曲，实质上是为了一次调用的成本ellpadicL公司由于预计算。

库语法为消息ellpadicL公司（GEN E、GEN p、long n、GEN s=NULL、long r、GEN D=NULL）.

ellpadicbsd（E，p，n，{D=1}）

给定ℚ上的椭圆曲线E，其二次扭曲E_D类一个素数p，这个函数是复数的p-adic模拟功能ellanalytic曲柄和埃勒布斯德。它呼叫ellpadicL公司初始精度为p^n个并可能在内部增加；它返回一个向量[r，L_第页]其中

*L（左）_第页是p-adic数（如果E具有良好的超奇异约简）定义的模p^N个，推测等于R_第页S、 其中R_第页是p-adic调节器，如下所示ellpadic调节器（在基（ω，Fω）中），S是二次扭曲E的Tate-Shafarevich群基数_D类.

*r是p-adic的解析秩的上界附在E上的L功能_D类：我们确信L的导数_第页（E）_D类,.) 在χ处⁰为O（p^N个)对于所有i<r并且其r阶导数是非零的；预计真实情况解析秩等于Mordell-Weil群E的秩_D类(ℚ),如果E减少，则加1_D类at为分裂乘法；如果r=0，那么解析秩和Mordell-Weil秩都是无条件地为0。

回想一下p-adic BSD猜想（Mazur、Tate、Teitelbaum、Bernardi、，Perrin-Riou）预测R与_第页S和（1-p^-1F）^-2.L型_第页^（r）（E）_D类, χ⁰)/r！其中r是附加到的p-adic L函数的分析秩E类_D类F是H上的Frobenius¹_博士; 看见ellpadicL公司用于定义。

? E=椭圆体（“11a1”）；p=7；n=5；\\良好的普通? ellpadicbsd（E，7，5）\\秩0，%2=[0，1+O（7^5）]? E=椭圆体（“91a1”）；p=7；n=5；\\非分裂乘法? [r，Lp]=ellpadicbsd（E，p，n）%5=[1，2*7+6*7^2+3*7^3+7^4+O（7^5）]? R=ellpadic调节器（E、p、n、E.gen）%6=2*7+6*7^2+3*7^3+7^4+5*7^5+O（7^6）? sha=磅/磅%7=1+O（7^4）? E=椭圆体（“91b1”）；p=7；n=5；\\分裂乘法? [r，Lp]=ellpadicbsd（E，p，n）%9=[2，2*7+7^2+5*7^3+O（7^4）]? ellpadic调节器（E、p、n、E.gen）%10=2*7+7^2+5*7^3+6*7^4+2*7^5+O（7^6）? [rC，LC]=ellanalyticcrank（E）；? [r，rC]%12=[2，1]\\r=rC+1，因为分裂乘法约简? E=椭圆体（“53a1”）；p=5；n=5；\\超奇异的? [r，Lp]=ellpadicbsd（E，p，n）；? 第页%15 = 1? 磅%16=[3*5+2*5^2+2*5*5^5+O（5^6）\5+3*5^2+4*5^3+2*5^4+5^5+O（5^6）]? R=ellpadic调节器（E、p、n、E.gen）%17=[3*5+2*5^2+2*5^5+O（5^6），5+3*5^2+4*5^3+2*5 ^4+O（5 ^5）]\\预期Lp=R*#Sha，因此（推测）#Sha=1? E=ellinit（“84a1”）；p=11；n=6；D=-443；? [r，Lp]=ellpadicbsd（E，11，6，D）\\Mordell-Weil等级0，无调节器%19=[0，3+2*11+O（11^6）]? 升力（Lp）\\预计沙的基数为5^2%20 = 25? ellpadicbsd（E，3，12，D）\\第3页%21=[1，1+2*3+2*3+2*3^2+O（3^8）]? ellpadicbsd（E，7，8，D）\\和at 7%22=[0，4+3*7+O（7^8）]

库语法为消息ellpadicbsd公司（发电机E、发电机p、长n、发电机D=空）.

ellpadicfrobenius（E，p，n）

如果p>2是素数，E是ℚ上的椭圆曲线p处的约化，返回Frobenius自同态的矩阵在晶体模块D上_第页（E） =ℚ_第页⨂高¹_博士（E/ℚ）带关于给定模型的基础（ω，η=xω），其中ω=dx/（2y+a₁x+a（x+a）_三)是不变微分。的特征多项式为x²-一个_第页x+页。矩阵计算到绝对p-adic精度p^n个.

? E=椭圆体（[1，-1,1,0,0]）；? F=ellpadicfrobenius（E，5,3）；? 升力（F）%3 =[120 29][ 55  5]? 夏普理（F）%4=x ^2+O（5 ^3）*x+（5+O（5^3））? ellap（E，5）%5 = 0

库语法为消息埃尔帕迪克弗罗贝尼乌斯（发电机E，长p，长n）.

ellpadicheight（E，p，n，p，{Q}）

椭圆曲线上有理点p的分圆p-adic高度E（在ℚ上定义），给定n个p-adic数字。如果存在参数Q，则计算双线性的值形式（h（P+Q）-h（P-Q））/4。

设D:=H¹_博士（E） ⨂_ℚℚ_第页成为ℚ_第页向量空间跨度ω（不变微分dx/（2y+a₁x+a（x+a）_三)与给定模型相关）和η=xω。则分圆p-adic高度h_E类联营公司P∈E（ℚ）是D中的元素fω+gη。此例程将向量[f，g]返回到n个p-adic数字。如果P∈E（ℚ）在约化模P的核中，并且如果其约化在所有有限的地方都是非奇异的，那么g=-（log_E类P）²，其中日志_E类是E在p处的形式群的对数。

此外，如果模型的形式为Y²=X^三+a X+bP=（x，y），则f=对数_第页(分母（x） ）-2日志_第页（σ（P））其中σ（P）由下式给出厄尔西格玛（E、P）。

召回(椭圆算法中的高级主题曲线，定理3.2），复数上的局部高度函数形式为λ（z）=-log(|电子磁盘|)/6+Re（zη（z））-2对数(σ（z））。（注意：我们对当地和全球高度的标准化是Silverman’s）。

? E=椭圆体（[1，-1,1,0,0]）；P=[0,0]；? ellpadicheight（E、5、3、P）%2=[3*5+5^2+2*5^3+O（5^4），5^2+4*5^4+O（5 ^5）]? E=ellinit（“11a1”）；P=[5,5]；\\扭转点? ellpadicheight（E，19,6，P）%4 = [0, 0]? E=椭圆体（[0,0,1，-4,2]）；P=[-2,1]；? ellpadicheight（E、3、3、P）%6=[2*3^2+2*3^3+3^4+O（3^5），2*3^2+3^4+O（3*5）]? ellpadicheight（E，3，5，P，elladd（E，P，P））%7=[3^2+2*3^3+O（3^7），3^2+3^3+2*3^4+3^5+O（3 ^7）]

*当E在p处具有良好的普通约化或非分裂乘法约化，“标准”p-adic高度由下式给出

s2=电解槽2（E，p，n）；ellpadicheight（E，p，n，p）*[1，-s2]~

自s起₂不依赖于P，最好是只计算一次：

? E=椭圆体（“5077a1”）；p=5；n=7；\\等级3? s2=ellpadics2（E，p，n）；? M=ellpadicheightmatrix（E，p，n，E.gen）*[1，-s2]~；? E.gen点上的matdet（M）\\p-adic调节器%4=5+5^2+4*5^3+2*5^4+2*5^5+5*5^6+O（5^7）

*当E在p（Tate曲线）处分裂乘法约化时，“标准”p-adic高度由下式给出

Ep=椭圆体（E[1..5]，O（p^（n））；\\E被视为Qp上的泰特曲线[u2，u，q]=预计日期；ellpadicheight（E，p，n，p）*[1，-s2+1/log（q）/u2]~

在哪里₂同上。例如，

? E=椭圆体（“91b1”）；P=[-1，3]；p=7；n=5；? Ep=椭圆体（E[1..5]，O（p^（n））；? s2=ellpadics2（E，p，n）；? [u2，u，q]=预计日期；? H=电流密度（E，p，n，p）*[1，-s2+1/log（q）/u2]~%5=2*7+7^2+5*7^3+6*7^4+2*7^5+O（7^6）

选择这些规范化，以便p-adic BSD猜想很容易陈述，参见ellpadicbsd公司.

库语法为消息ellpadicheight0（ellpadichight0）（GEN E、GEN p、long n、GEN p、GEN Q=空）.

ellpadicheightmatrix（E，p，n，Q）

Q是点的向量，此函数返回“Gram矩阵”分圆p-adic高度h的[F，G]_E类关于D=H的基（ω，η）¹_博士（E） ⨂_ℚℚ_第页给定n个p-adic数字。换句话说，如果厄尔巴迪奇特（E，p，n，Q[i]，Q[j]）=[f，g]，对应于D中的fω+gη，则f[i，j]=f和g[i，j]=g。

? E=椭圆体（[0,0,1，-7,6]）；Q=[[-2,3]，[-1,3]]；p=5；n=5；? [F，G]=ellpadicheightmatrix（E，p，n，Q）；? lift（F）\\p-adic条目，可读性的积分近似%3 =[2364 3100][3100 3119]? G公司%4 =[25225 46975][46975 61850]? [F，G]*[1，-ellpadics2（E，p，n）]~%5 =[4+2*5+4*5^2+3*5^3+O（5^5）4*5^2+4*5*5^3+5^4+O（5*5）][4*5^2+4*5^3+5^4+O（5^5）4+3*5+4*5*2+4*5 ^3+5 ^4+O（5 ^5）]

库语法为消息ellpadicheightmatrix（ellpadichightmatrix）（发电机E、发电机p、长n、发电机Q）.

ellpadiclambdamu（E，p，{D=1}，{i=0}）

设p是素数，设E/ℚ是有理椭圆曲线p处乘法还原的好坏。返回p-adic L的Iwasawa不变量λ和μ功能L_第页（E） ，由（D/.）和第i次幂Teichmüller字符τ，参见ellpadicL公司有关的详细信息L（左）_第页（E） ●●●●。

设χ为分圆特征并选择γ单位：加仑（ℚ_第页(μ_{第页^面向对象})/ℚ_第页)使得χ（γ）=1+2p。让^{L（左）（i） ，D}∈ ℚ_第页[[X]]⨂D_{纵横交错的}这样的话( < χ >^秒τ^我) (^{L（左）（i） ，D}(γ-1))=升_第页（E，<χ>^秒τ^我（日期））。

*当E在p处有好的普通或坏的乘法约化时。利用Weierstrass的准备定理^{L（左）（i） ，D}可以是写入p^μ（X）^λ+p G（X））到p-adic单位，其中G（X）∈ℤ_第页[十] ●●●●。函数返回[λ，μ]。

*当E具有良好的超奇异归约时，我们定义了一个序列多项式P的_n个英寸_第页[十] 度<p^n个（和有界分母），以便^{L（左）（i） ，D}=P_n个ϕⁿ⁺¹ω_E类-ξ_n个P（P）_n-1个ϕⁿ⁺²ω_E类模式（（1+X）^{p^{n}}-1)ℚ_第页[十] ⨂D_{纵横交错的},其中ξ_n个=polcyclo公司（第页^n个，1+X）。设λ_n个,μ_n个是P的不变量_n个。我们发现

*μ_n个是非负的，并且对于给定奇偶校验的n是递减的，因此μ_2个趋于极限μ⁺和μ_2n+1趋于极限μ⁻（推测两者均为0）。

*存在整数λ⁺, λ⁻在ℤ中（在下面的参考中用~表示），以便林_n→ooλ_2个+1/（p+1）=λ⁺和林_n→ooλ_2n+1+p/（p+1）=λ⁻.函数返回[[λ⁺, λ⁻], [μ⁺,μ⁻]].

参考文献：B.Perrin-Riou，Arithmétique des courbes elliptiques还原超语言，实验数学,122003年，第155-186页。

库语法为消息埃尔帕迪克兰布达姆（GEN E，长p，长D，长i）.

ellpadiclog（E，p，n，p）

给定在K=ℚ或\8474；上定义的E_第页且P=[x，y]在E（K）上约化模p的核，设t（p）=-x/y为形式群参数；此函数将L（t）返回到相对p-adic精度第页^n个，其中L表示形式对数（映射形式组E到加性形式群）附加到正则不变量微分：dL=dx/（2y+a₁x+a（x+a）_三).

? E=椭圆体（[0,0,1，-4,2]）；P=[-2,1]；? ellpadiclog（E，2，10，P）%2=2+2^3+2^8+2^9+2^10+O（2^11）? E=椭圆体（[17,42]）；? p=3；Ep=椭圆体（E，p）；\\E模块p? P=[1141218]；ellorder（Ep，P）\\（E mod P）上P的顺序是2%5 = 2? Q=ellmul（E，P，2）\\我们需要一个形式为2*P的点%6 = [200257/7056, 90637343/592704]? ellpadiclog（E，3，10，Q）%7=3+2*3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+2*3^8+3^9+2*3*10+O（3^11）

库语法为消息ellpadiclog日志（发电机E、发电机p、长n、发电机p）.

ellpadic调节器（E、p、n、S）

设E/ℚ是一条椭圆曲线。返回Gram的行列式点矢量矩阵S=（S₁,..., S公司_第页)关于E上的“正则”分圆p-adic高度，给定n（p-adic）数字。

当E在p处具有普通还原时，这是预期的克数ℚ中的除臭剂_第页.

在E在p的超奇异约化的情况下，定义需要注意：调节器R是D:=高度¹_博士（E） ⨂_ℚℚ_第页，它是二维的ℚ_第页-由ω和η=xω跨越的向量空间（在ℚ上定义）或等效，但现在在\8474 ;上_第页其中F是D上的Frobenius自同态定义见埃尔帕迪克弗罗贝尼乌斯.在D we定义分圆高度h_E类=fω+gη（请参见电眼)和标准交替双线性形式[.,.]_D类这样[ω，η]_D类= 1.

对于任意ν∈D，我们可以定义高度h_ν：=[小时_E类, ν ]_D类从E（ℚ）到ℚ_第页和<.,.>_ν附加的双线性形式。特别是，如果h_E类=fω+gη，则小时_η=[小时_E类, η ]_D类=f和h_ω=[小时_E类, ω ]_D类=-g，因此h_E类=小时_ηω-h_ωη.那么，R是D的唯一元素，因此[ω,ν]_D类^r-1号机组[R，ν]_D类=检测(<S公司_我，S_j >_ν)对于所有ν∈D不在ℚ中_第页ω. 这个ellpadic调节器函数以选定的基（ω，Fω）返回R因此p-adic BSD猜想很容易表述，请参见ellpadicbsd公司.

请注意，根据定义[R，η]_D类=检测(<S公司_我，S_j >_η)和[R，ω+η]_D类=检测(<S公司_我，S_j >_ω+η).

库语法为消息ellpadic调节器（发电机E、发电机p、长n、发电机S）.

ellpadics2（E，p，n）

如果p>2是素数，E/ℚ是一条具有普通good的椭圆曲线p处的约简，返回单位特征向量的斜率属于ellpadicfrobenius（E，p，n）即弗罗贝尼乌斯的作用晶体模块D_第页（E） =ℚ_第页⨂高¹_博士（E/ℚ）依据给定模型（ω，η=xω），其中ω是不变量微分dx/（2y+a₁x+a（x+a）_三). 换句话说，η+s₂ω是单位特征值的特征向量。

? e=椭圆体（[17,42]）；? ellpadics2（e，13,4）%2=10+2*13+6*13^3+O（13^4）

这个斜率是唯一的c∈3^-1ℤ_第页使得奇数解σ（t）=t+O（t²)第页，共页-d（（1）/（σ）（dσ）/（ω））=（x（t）+c）ω单位为tℤ_第页[[t]]。

它等于b₂/12-东₂/12，其中E₂是Katz的价值（E，ω）上权为2的p-adic艾森斯坦级数。这是当E具有良好的普适性时，用于构造标准p-adic高度p的减少如下

s2=ellpadics2（E，p，n）；h（E，p，n，p，s2）=ellpadicheight（E，[p，[1，-s2]]，n，p）；

自s起₂不依赖于点P，我们计算它只有一次。

库语法为消息ellpadics2（发电机E、发电机p、长n）.

ellperiods（w{旗帜= 0})

设w描述复周期格（w＝[w₁，周₂]或一个埃利尼特结构）。返回标准化周期[W₁，W₂]生成相同的晶格，使τ：=W₁/W公司₂有积极的虚部，位于标准基本域SL公司₂(ℤ).

如果旗帜=1，函数返回[[W₁，W₂], [η₁,η₂]],其中η₁和η₂准周期是附在[西₁，周₂]，满足η₂W公司₁- η₁W公司₂=2 iπ。

此函数的输出用作第一个参数给了ellwp、ellzeta、ellsigma或ellisnum。准周期为只有ellzeta和ellsigma需要。

? L=ellperiods（[1，I]，1）；? [w1，w2]=L[1]；[e1，e2]=L[2]；? e2*w1-e1*w2%3=6.2831853071795864769252867665590057684*我? 埃尔泽塔（L，1/2+2*I）%4=1.5707963…-6.283185307…*I? ellzeta（[1，I]，1/2+2*I）\\相同但效率更低%4=1.5707963…-6.283185307…*I

库语法为消息厄尔时期（GEN w，长标志，长前缀）.

ellpointtoz（E，P）

如果E/ℂ~ \8450»/∧是一条复椭圆曲线（∧=EΩ)，计算复数z，定义好模格子∧，对应点P；也就是说P=[℘_Λ（z） ，℘'_Λ（z） ]满足等式年²=4倍^三-克₂x-克_三,其中g₂，克_三是椭圆不变量。

如果E定义在ℝ上且P∈E（\8477；），则更精确地说，我们有0≤Re（t）<w1和0≤Im（tE的复杂周期。

? E=椭圆体（[0,1]）；P=[2,3]；? z=ellpointtoz（E，P）%2 = 3.5054552633136356529375476976257353387? ellwp（E，z）%3 = 2.0000000000000000000000000000000000000? ellztopoint（E，z）-P%4=[2.548947057811923643 E-57，7.646841173435770930 E-57]? ellpointtoz（E，[0]）\\无穷远点%5 = 0

如果E是在通用数字字段上定义的，则函数返回对应于曲线的各种复杂嵌入的值和点的顺序相同E.nf.根部:

? E=椭圆体（[-22032-15552*x，0]，nfinit（x^2-2））；? P=[-72*x-108,0]；? 埃利森曲线（E，P）%3 = 1? ellpointtoz（E，P）%4=[-0.52751724240790530394437835702346995884*I，-0.09050765002588533571758708283389896*本人]? E.nf.根部%5=[-1.4142135623730950488016887242096980786，\\x->-sqrt（2）1.4142135623730950488016887242096980786]\\x->平方码（2）

如果E/ℚ_第页具有乘法约简，则为E/ℚ_第页是分析的同构于ℚ_第页^*/q个^ℤ某些p-adic整数的（Tate曲线）q.然后行为如下：

*如果减少量被分割（E。塔特[2]是一个t_PADIC)，我们有同构φ：E（ℚ_第页) ~ ℚ_第页^*/q个^ℤ和功能返回φ（P）∈ℚ_第页.

*如果减少了不分裂（E。塔特[2]是一个t_POLMOD公司)，我们只有同构φ：E（K）~K^*/q个^ℤ在未分类的二次扩张K/ℚ上_第页在这种情况下，输出φ（P）∈K是t_POLMOD公司; 该功能在中未完全实现这种情况下，可能会以“u not inℚ”失败_第页“异常：

? E=椭圆体（[0，-1,1,0,0]，O（11^5））；P=[0,0]；? [u2，u，q]=E.tate；类型（u）\\分裂乘法约简%2=“t_PADIC”? ellmul（E，P，5）\\P的顺序为5%3 = [0]? z=ellpointtoz（E，[0,0]）%4=3+11^2+2*11^3+3*11^4+6*11^5+10*11^6+8*11^7+O（11^8）? z ^5（z ^5）%5=1+O（11^9）? E=椭圆体（ellfromj（1/4），O（2^6））；x=1/2；y=纵坐标（E，x）[1]；? z=ellpointtoz（E，[x，y]）；\\具有t_PADIC系数的t_POL的t_POLMOD? liftin（z）\\提升所有p-adic%8=模态（8*u+7，u^2+437）? x=33/4；y=纵坐标（E，x）[1]；z=ellpointtoz（E，[x，y]）***顶层：。。。；y=纵坐标（E，x）[1]；z=ellpointtoz（E，[x，y]）***                                             ^ —  —  —  —  —  — --***ellpointtoz：对不起，当u不在Qp中时，ellpointoz尚未实现。

库语法为消息泽尔（GEN E、GEN P、long prec）.

ellpow（E，z，n）

已弃用的别名埃尔姆.

库语法为消息埃尔姆（发电机E、发电机z、发电机n）.

ellrank（E{努力= 0}, {点})

如果E是ℚ上的椭圆曲线，则尝试计算Mordell-Weil组附加到曲线。输出为[r₁，第个₂，s，L]，哪里第页₁≤秩（E）≤r₂，s提供有关Tate-Shafarevic集团（见下文），L是独立，曲线上的非扭转有理点。E也可以作为输出属于埃兰基特（E）.

如果点则它必须是曲线，不再计算。

参数努力是用来衡量寻找理性所花费的时间在放弃之前获得分数。如果努力不是0，搜索是随机，因此重新运行该函数可能会产生不同的结果，甚至不同数量的有理点。值高达10左右是合理的但随着运行时间的增加，参数可以进一步增加大致像立方体的努力值。

? E=椭圆体（[-127^2,0]）；? ellrank（E）%2=[1，1，0，[]]\\rank为1，但未找到点。? ellrank（E，4）\\经过更多努力，我们找到了一个点。%3 = [1, 1, 0, [[38902300445163190028032/305111826865145547009,680061120400889506109527474197680/5329525731816164537079693913473]]]

除了前面的调用外，第一个参数E可以是一对[e，f]，其中e是由下式给出的椭圆曲线埃兰基特和f是e的二次扭曲，然后我们寻找f上的点。请注意埃兰基特初始化与f无关，所以这可以显著加快计算速度！

技术说明。该算法用于计算卡塞尔的2阶和2部分配对有一个内在的限制：r₁=r₂当Tate-Shafarevic组G具有4个扭转。因此，在这种情况下，我们不能准确地确定等级。该算法无条件计算三个量：

*2-Selmer群的秩C。

*2-扭子群的秩T。

*G[2]/2G[4]的（偶数）秩s；然后是r₂已定义按r₂=C-T-s。

以下数量也相关：

*E自由部分的秩R（ℚ）；它始终保持第页₁≤R≤R₂.

*G[2]的秩S（推测偶数）；它总是这样s≤s且C=T+R+s。然后R₂=C-T-s≥R。

当E的导体较小时，可以使用BSD猜想（有条件地）找到真实排名：

? E=椭圆体（[-113^2,0]）；? ellrootno（E）等级为偶数（奇偶猜想）%2 = 1? ellrank（E）%3=[0，2，0，[]]\\等级为0或2，$2$-$G$的等级为? ellrank（E，3）\\更加努力%4=[0，2，0，[]]\\运气不好? [r，L]=ellanalyticark（E）\\假设BSD%5 = [0, 3.9465...]? L/ellbsd（E）\\分析秩为0，计算Sha%6 = 16.0000000000000000000000000000000000000

我们发现秩为0，是Tate-Shafarevich群的基数为16（假设BSD！）。此外，由于s=0，它与(ℤ/4ℤ)².

当秩为1且导体较小时，埃利希格纳可以使用要找到非扭转点：

? E=ellinit（[-157^2，0]）；? ellrank（E）%2=[1，1，0，[]]\\等级为1，未找到点? ellrank（E，5）\\更加努力时间=1094 ms。%3=[1，1，0，[]]\\运气不好? ellheegner（E）\\使用分析方法时间=492 ms。%4 = [69648970982596494254458225/166136231668185267540804, ...]

在最后一个示例中努力大约10人也会（概率约为80%）找到一个随机点，而不一定是Heegner点，大约5秒钟。

库语法为消息埃尔兰克（GEN E，长作用力，GEN点=NULL，长prec）.

埃兰基特（E）

如果E是ℚ上的椭圆曲线，则初始化数据以进一步加快速度呼叫埃尔兰克.

? E=椭圆体（[02429469980725060,0275130703388172136833647756388,0]）；? rk=ellrankinit（E）；? [r，r，s，P]=ellrank（rk）%3 = [12, 14, 0, [...]]? [r，r，s，P]=ellrank（rk，1，P）\\更多努力，使用已知点%4=[14，14，0，[…]]\\这次找到所有点

库语法为消息埃兰基尼特（GEN E，长prec）.

ellratpoints（E，h{旗帜= 0})

E是椭圆曲线的积分模型，返回一个向量包含初始高度小于的曲线上的仿射有理点h.如果旗帜=1，找到点后立即停止；返回空值向量或包含单个点的向量。请参见超旋转点如何指定h。

? E=椭圆体（[-25,1]）；? 误差点（E，10）%2 = [[-5,1],[-5,-1],[-3,7],[-3,-7],[-1,5],[-1,-5],[0,1],[0,-1],[5,1],[5,-1],[7,13],[7,-13]]? 误差点（E，10,1）%3 = [[-5,1]]

库语法为消息埃勒特点（GEN E，GEN h，长标志）.

ellrootno（E，{p}）

E是一个厄尔在ℚ上构造输出埃利尼特,此函数计算其L系列在该位置的局部根数p（如果p=0，则在无限处）。如果省略p，则返回全局根数，在这种情况下，曲线也可以在数字字段上定义。

注意，全局根数是函数的符号等式和推测是Mordell-Weil集团。E的方程式在p处不需要最小，但是，如果模型已经是最小的，那么函数将运行得更快。

库语法为长的埃尔鲁特诺（发电机E，发电机p=空）.

电饱和（E、V、B）

设E是ℚ上的椭圆曲线V是无穷大E上的一组独立非扭转有理点生成有限指数E（ℚ）的子群G的顺序。返回长度相同的新集合W，该集合生成的子组H为E（ℚ）包含G，并且[E（│：H]不可被任何素数小于B。在B中，运行时间大致是二次的。

? E=椭圆体（[0,0，1，-7，6]）；? [r，r，s，V]=ellrank（E）%2 = [3, 3, 0, [[-1,3], [-3,0], [11,35]]]? matdet（埃尔高度矩阵（E，V））%3 = 3.7542920288254557283540759015628405708? W=ellsaturation（E，V，2）指数现在是奇数时间=1毫秒。%4 = [[-1, 3], [-3, 0], [11, 35]]? W=ellsaturation（E，W，10）指数不能被p整除%5 = [[1, -1], [2, -1], [0, -3]]时间=2 ms。? W=ellsaturation（E，V，100）现在看起来没问题时间=171 ms。%6 = [[1, -1], [2, -1], [0, -3]]? matdet（ellheightmatrix（E，V））%7 = 0.41714355875838396981711954461809339675? 硫（E，1,3）/3！/ellbsd（E）\\导线较小，假设BSD检查%8 = 0.41714355875838396981711954461809339675

库语法为消息井饱和度（GEN E、GEN V、long B、long prec）.

埃尔西（E{或= 0})

让E成为厄尔结构作为输出埃利尼特，定义超过有限域𝔽_q个。此低级函数计算E组（𝔽_q个)使用SEA算法；与高层相比功能电子贺卡，其中包括SEA算法选择，这个或参数允许加快搜索具有几乎素数阶及其二次扭曲也可能具有几乎素数阶。什么时候？或设置为非零值时，函数将立即返回0当它检测到订单中有一个小素因子不除时或;SEA考虑了素数阶递增的模多项式当我们碰到一个▽时返回0（互质为或)划分#E（𝔽_q个):

? 埃尔西（ellinit（[1,1]，2^56+3477），1）%1 = 72057594135613381? 对于素数（p=2^128，oo，q=ellcard（ellinit（[1,1]，p））；if（isprime（q），break））时间=6571 ms。? 对于素数（p=2^128，oo，q=ellsea（ellinit（[1,1]，p），1）；if（isprime（q），break））时间=522 ms。

尤其是set或如果你想要一条素数阶的曲线，如果你想允许一个二次幂的辅因子（例如爱德华兹曲线）等。提前退出不良曲线会产生大量与运行基数算法相比，速度更快。

什么时候？或为负值，则对二次曲线进行类似检查曲线的扭曲。

下面的函数返回一条素数阶曲线_第页.

加密曲线（p）={而（1，my（E，N，j=Mod（随机（p），p））；E=埃利尼特（ellfromj（j））；N=井（E，1）；如果（！N，继续）；如果（isprime（N），返回（E））；\\免费尝试二次扭转如果（i素数（2*p+2-N），则返回（elltwist（E））；);}? p=随机数（[2^255，2^256]）；? E=加密曲线（p）；\\坚持优质订单%2=47447毫秒

没有提前中止的相同示例（使用电子名片（E）而不是埃尔西（E，1）)在找到合适的曲线。

可用性海洋数据包将加快计算速度，强烈建议使用。通用函数电子贺卡应该是如果只想计算给定曲线的基数，而不想关心它几乎是最高级的：

*如果特性太小（p≤7）或字段基数很小（q≤523）通用算法电子贺卡而是使用，并且或参数被忽略。（原因是SEA没有针对p≤7和如果q≤523，可能会进入无限循环。）

*如果字段基数小于约2⁵⁰，的通用算法将更快。

*与…相反电子贺卡,埃尔西不存储计算的E中的基数。

库语法为消息埃尔西（发电机E，长时间）.

所有搜索（N）

此函数用于查找elldata公司数据库满足参数N定义的约束：

*如果N是字符串，则选择给定曲线，例如。“11a1”或给定等基因类中的曲线，例如。“11a”，或给定导体的曲线，例如。"11";

*如果N是一个整数向量，它编码相同的约束根据ellconvertname（ellconvert名称）相应，例如。[11,0,1]对于“11a1”,[11,0]对于“11a”和[11]对于"11";

*如果N是整数，则选择具有导体N的曲线。

例如，如果N编码完整的曲线名称“11a1”或[11,0,1],输出格式为[N，[a₁，一个₂，一个_三，一个₄，一个₆]，G]其中【a】₁，一个₂，一个_三，一个₄，一个₆]是Weierstrass的系数曲线方程和G是自由部分的ℤ-基础Mordell-Weil组附加到曲线。

? ellsearch（“11a3”）%1=[“11a3”，[0，-1，1，0，0]，[]]? 所有搜索（[11,0,3]）%2=[“11a3”，[0，-1，1，0，0]，[]]

如果N不是完整的曲线名称，则输出是所有匹配的向量上述格式的曲线：

? ellsearch（“11a”）%1=[[“11a1”，[0，-1，1，-10，-20]，[]]，[“11a2”，[0，-1，1，-7220，-263580]，[]，[“11a3”，[0，-1，1，0，0]，[]]]? ellsearch（“11b”）%2 = []

库语法为消息ellsearch公司（发电机N）.也可以是消息ellsearch曲线（发电机N）只有那个接受完整的曲线名称（作为t_STR（可疑交易报告）).

ellsigma（L，{z='x}{旗帜= 0})

计算附加到的Weierstrassσ函数在z处的值格L，如下所示厄尔周期（，1）：包括准周期是有用的，否则会重新计算每个新z。σ（z，L）=z∏_ω∈L^*（1-（z）/（ω））e（电子）^{（z） /（ω）+（z^{2})/(2ω²)}.也可以直接输入L=[ω₁,ω₂],或椭圆曲线E，如下所示埃利尼特（升=埃米加菌).

? w=ellperiods（[1，I]，1）；? 厄尔西格玛（w，1/2）%2 = 0.47494937998792065033250463632798296855? E=椭圆体（[1,0]）；? ellsigma（E）\\at'x，隐式默认序列精度%4=x+1/60*x ^5-1/10080*x ^9-23/259459200*x ^13+O（x ^17）

如果旗帜=1，计算对数的任意确定（σ（z））。