关系理论

本文从组合学的角度处理关系，换句话说，作为离散数学的一个主题，特别关注有限结构和具体的集合理论结构，其中许多结构在应用中很自然地出现。这种关系理论或关系理论的方法与从抽象代数和形式逻辑的角度对其进行的研究虽然密切相关，但却有区别。

准备工作

文献中对关系概念有两种常见的定义。虽然在上下文中，在给定的时间使用哪个定义通常是清楚的，但随着上下文冲突或讨论从一个上下文转移到另一个上下文，它往往变得不太清楚。

在函数概念的发展过程中也出现了同样的歧义，这可能会节省一定程度的精力来遵循当时的解决模式。

当我们谈到函数时$｛\displaystylef:X\到Y｝$我们考虑的是一个数学对象，其清晰度需要三段数据，指定集合${\显示样式X，}$成套设备${\显示样式Y，}$及其笛卡尔积的一个特殊子集${\显示样式{X\乘以Y}.}$到目前为止还不错。

让我们写$f=（\mathrm{obj{1}}f，\mathrm{obj}2}f，\ mathrm}obj{12}f）$表达到目前为止所说的内容。

在解析符号时${\显示样式{}^{\backprime\backprime}f:X\到Y{}^}\prime\prime}，}$每个人都扮演这个角色${\显示样式{}^{\backprime\backprime}X\到Y{}^}\prime\prime}}$表示类型函数的，实际上定义${\显示样式\mathrm{type}（f）}$作为一对${\显示样式（\mathrm{obj{1}}f，\mathrm{obj}}f），}$但是${\显示样式{}^{\backprime\backprime}f{}^}\prime\prime}}$被模棱两可地用来表示这两个三元组$｛\displaystyle（\mathrm｛obj_｛1｝｝f，\mathrm｛obj_｛2｝｝f，\mathrm｛obj_｛12｝｝f）｝$和子集${\显示样式\mathrm{obj{12}}f}$形成它的一部分。

解决模糊性的一种方法是将函数之间的区别形式化$f=（\mathrm{obj{1}}f，\mathrm{obj}2}f，\ mathrm}obj{12}f）$及其图表，定义${\显示样式\mathrm{graph}（f）=\mathrm{obj{12}}f.}$

另一个策略是处理整个符号${\显示样式{}^{\backprime\backprime}f:X\到Y{}^}\prime\prime}}$作为三人组的名称${\显示样式{}^{\backprime\backprime}f{}^}\prime\prime}}$表示${\displaystyle\mathrm{graph}（f）.}$

在范畴和计算上下文中，至少在最初，类型被视为函数本身的基本属性或组成部分。在其他情况下，我们可能希望使用更抽象的函数概念，将函数视为可以在许多不同类型下查看的数学对象。

按照功能用例的模式，让符号${\显示样式{}^{\backprime\backprime}L\subseteqX\timesY{}^}\prime\prime}}$让我们想起一个由三段数据指定的数学对象，即集合$｛\displaystyle X，｝$成套设备$｛\displaystyle Y，｝$以及它们的笛卡尔乘积的一个特定子集${\显示样式{X\乘以Y}.}$和之前一样，我们有两个选择${\显示样式L}$成为三巨头${\显示样式（X，Y，\mathrm{graph}（L））}$或者让${\显示样式{}^{\backprime\backprime}L{}^}\prime\prime}}$表示${\显示样式\mathrm{graph}（L）}$并为三元组选择另一个名称。

定义

从定义${\显示样式k}$-位置关系，其中${\显示样式k}$是一个正整数。

定义。A类${\显示样式k}$-位置关系 ${\显示样式L\subseteq X_{1}\times\ldots\times X_{k}}$在非空集上${\显示样式X_{1}，\ldots，X_{k}}$是一个${\显示样式（k+1）}$-元组${\显示样式（X_{1}，\ldots，X_{k}，L）}$哪里${\显示样式L}$是笛卡尔积的子集${\显示样式X_{1}\times\ldots\times X_{k}.}$

评论

尽管用法会随用法的不同而变化，但在讨论关系时，还是有一些可选的语言非常有用。套装${\显示样式X_{1}，\ldots，X_{k}}$被称为域关系的${\显示样式L\subseteq X_{1}\times\ldots\times X_{k}，}$具有${\显示样式{X_{j}}}$成为${\显示样式j^{\text{th}}}$域。如果所有${\显示样式{X_{j}}}$是同一套${\显示样式X}$然后${\显示样式L\subseteq X_{1}\times\ldots\times X_{k}}$更简单地描述为${\显示样式k}$-放置关系${\显示样式X.}$这套${\显示样式L}$被称为图表关系的${\显示样式L\subseteq X_{1}\times\ldots\times X_{k}，}$与函数图的类比。如果集合序列${\显示样式X_{1}，\ldots，X_{k}}$在给定的讨论中是恒定的，或者在上下文中是确定的，那么关系${\显示样式L\subseteq X_{1}\times\ldots\times X_{k}}$由其图形决定${\显示样式L，}$通过引用关系图来表示关系是可以接受的。形容词的其他同义词${\显示样式k}$-地点是${\显示样式k}$-阿迪奇和${\显示样式k}$-ary系列，所有这些都会导致整数${\显示样式k}$被称为维,根基，或arity公司关系的${\显示样式L}$

局部关联属性

A类局部关联特性关系的${\显示样式L}$是一个属性，它反过来依赖于${\显示样式L}$被称为它的本地标志。关系的本地标志按以下方式定义：

让${\显示样式L}$成为${\显示样式k}$-位置关系${\显示样式L\subseteq X_{1}\times\ldots\times X_{k}.}$

选择关系域${\显示样式{X_{j}}}$和其中一个元素$｛\displaystyle x。｝$然后${\显示样式L_{x\operatorname{at}j}}$是的子集${\显示样式L}$被称为旗帜属于${\显示样式L}$具有${\显示样式x}$在${\显示样式{j}，}$或${\显示样式x\operatorname{at}j}$-旗帜属于${\显示样式L，}$具有以下定义的对象：

$在L~：~x{j}=x\}.}中的{显示样式L_{x\operatorname{at}j}~=~{（x{1}，\ldots，x{jneneneep，\ldot，x{k}）$

任何财产${\显示样式C}$当地国旗${\显示样式L_{x\operatorname{at}j}\subseteq L}$据说是一个局部关联特性属于${\显示样式L}$关于轨迹 ${\显示样式x\operatorname{at}j.}$

A类${\显示样式k}$-adic关系${\显示样式L\subseteq X_{1}\times\ldots\times X_{k}}$据说是${\显示样式C}$-常规在${\显示样式j}$当且仅当$｛\displaystyle L｝$具有${\显示样式x}$在${\显示样式j}$拥有财产${\显示样式C，}$哪里${\显示样式x}$会随着主题固定域的${\显示样式X_{j}.}$

用符号表示，${\显示样式L}$是${\显示样式C}$-常规在${\显示样式j}$当且仅当${\显示样式C（L_{x\operatorname{at}j}）}$对所有人来说都是正确的${\显示样式x}$在里面${\显示样式X_{j}.}$

区域发病率属性

本地标志的定义可以从某一点扩展${\显示样式x}$在里面${\显示样式{X_{j}}}$到子集${\显示样式M}$属于${\显示样式X_{j}，}$得出a的定义区旗按以下方式：

假设$｛\displaystyle L\substeq X_｛1｝\times\ldots\times X_｛k｝，｝$并选择一个子集${\显示样式M\subseteq X_{j}.}$然后${\显示样式L_{M\operatorname{at}j}}$是的子集${\显示样式L}$据说是旗帜属于${\显示样式L}$具有${\显示样式M}$在${\显示样式{j}，}$或${\显示样式M\operatorname{at}j}$-旗帜属于${\显示样式L，}$具有以下定义的对象：

$显示样式L_{M\operatorname{at}j}~=~{（x_{1}，\ldots，x_{j}，\ ldots和x_{k}）\在L~中：~x_{j}\在M\}.}中$

数值入射特性

A类数值入射特性关系的是基于其局部标志的基数的局部关联属性。

例如，${\显示样式L}$据说是${\显示样式c}$-常规时间为${\显示样式j}$当且仅当局部标志的基数${\显示样式L_{x~\mathrm{at}~j}}$是$｛\displaystyle c｝$为所有人${\显示样式x}$在里面$｛\displaystyle｛X_｛j｝｝，｝$或者，用符号书写，当且仅当${\显示样式|L_{x~\mathrm{at}~j}|=c}$为所有人$在x_{j}}.}中显示样式{x\$

以类似的方式，可以定义数值关联属性，${\显示样式（<\！c）}$-常规时间为${\显示样式{j}，}$ ${\显示样式（>\！c）}$-常规时间为${\显示样式{j}，}$为了便于参考，下面记录了一些定义。

并元关系的种类

回到2-adic关系，根据对象的局部和数值关联属性描述几种常见的对象类是很有用的。让${\显示样式L\subseteq S\times T}$是任意的2-adic关系。的以下属性${\显示样式L}$可以定义。

如果${\显示样式L\subseteq S\times T}$管状温度$｛\displaystyle S｝$然后${\显示样式L}$称为部分函数或a功能前从${\显示样式S}$到${\显示样式T.}$这有时表现为给予${\显示样式L}$另一个名字，比如，${\显示样式{}^{\backprime\backprime}p{}^}\prime\prime}，}$和写作${\显示样式L=p:S\rightharpoonup T.}$

只需形式化定义：

${\显示样式{\开始{矩阵}L&=&p:S\rightharpoonup T&{text{当且仅当}}{矩阵}L&=&p:S\rightharpoonup T&{text{当且仅当}}$

如果${\显示样式L}$是一个预演${\显示样式p:S\rightharpoonup T}$刚好是在$｛\displaystyle S，｝显示样式S，｝$然后${\显示样式L}$称为功能从${\显示样式S}$到${\显示样式T，}$以书面形式表示${\显示样式L=f:S\到T.}$说一种关系${\显示样式L\subseteq S\times T}$是全管状的在${\显示样式S}$就是说是这样${\显示样式1}$-常规时间为${\显示样式S.}$因此，我们可以将以下定义形式化。

${\显示样式{\开始{矩阵}L&=&f:S\到T&{\text{当且仅当}}{矩阵}L&=&f:S\到T&{\text{当且仅当}}$

在函数的情况下${\显示样式f:S\到T，}$我们有以下附加定义。

变化

因为关系的概念是从逻辑和数学的开始就从字面上发展起来的，并且它吸收了来自许多不同时代和知识圈的不同思想家的贡献，读者可能会在这个主题中遇到各种各样的术语。

变化的一个维度反映在给定的名称中${\显示样式k}$-位置关系，用于${\显示样式k=0,1,2,3，\ldot，}$一些作家使用希腊语的形式，麦迪奇语,一元的,二元的,三元的,${\显示样式k}$-阿迪奇和其他使用拉丁形式的作家，零元,一元的,二元的,三元的,${\显示样式k}$-ary系列.

关系域的数量可以称为根基,arity公司，或维关系的。因此，可以在描述为多元的关系或a有限的关系，但其他人认为多元数之间存在无限关系。如果域的数量是有限的，那么等于${\显示样式k，}$则该关系可以描述为${\显示样式k}$-阿迪奇关系，a${\显示样式k}$-ary系列关系，或${\显示样式k}$-维度的关系。

概念上的变化要比名义上的变化更大，这取决于人们是否使用诸如谓语,关系，甚至学期指形式宾语本身或用于表示它们的相关句法项。与这种变化相辅相成的还有另一种变化，它常常与关于形式对象在现实中的地位的哲学差异有关。在那些把数字、函数、属性、关系和集合说成是真实的，也就是说，具有客观属性的人中，对于某些事物是否比其他事物更真实，特别是细节或属性是否同样真实，或者一个事物是否是相对于另一个事物的导数，存在分歧。从历史上讲，几乎每一种形式的组合都被一个学派或另一个学派所使用，但这里仅指出选项是如何产生的就足够了。

示例

请参阅上的文章关系,关系构成,关系约简,符号关系、和三元关系关系的具体例子。

数学中最感兴趣的许多关系都是三元关系，但这一事实在某种程度上被许多三元关系所掩盖二元运算，因为其中最常见的具有非常特殊的属性，这些属性由它们的公理决定。这使得在被迫将这些操作的适当特征视为三元关系之前，通过专注于它们的二元方面来研究这些操作相当实用。

工具书类

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资源

• 逻辑教学大纲

文档历史记录

上述文章的部分内容根据GNU自由文档许可证、其他适用许可证或版权持有人的许可改编自以下来源。

• 关系理论,国际科学维基
• 关系理论,维基大学
• 关系理论,维基百科