命题作为类型类比

作者：乔恩·奥布里

注意：。在本次讨论中，组合词被应用于其论点的右侧。由此产生的公式将回溯到习惯于使用左边组合符的人。

身份或标识符

第1步

考虑以下问题要求：

其中一个给出了以下形式的语法规范：

${\显示样式{\开始｛矩阵｝x&=&x\mathrm{I}\end{matrix}}}｛矩阵｝x&=&x\mathrm{I}\end{matrix}}}$

实际上，该规范相当于所谓的释义定义操作员的${\显示样式\mathrm{I}，}$其中的句法框架${\显示样式^{\backprime\backprime}x=x{\下划线{~~}}\，^{\prime\prime}}$可被视为定义上下文，或定义、和${\显示样式\mathrm{I}}$被视为待定义对象，或定义.

一个人被要求找到纯粹的解释者对于${\显示样式\mathrm{I}，}$也就是说，在${\显示样式\langle\mathrm{K}，\mathrm{S}\rangle，}$这个组合代数由生成${\显示样式\mathrm{K}}$和${\显示样式\mathrm{S}，}$那是因为${\显示样式\mathrm{I}}$做。

可以通过观察以下关系来处理问题：

${\显示样式{\开始{数组}{ccccc}x&=（x\mathrm{K}）{ccccc}x&=（x\mathrm{K}）$

因此，操作顺序由${\显示样式\mathrm{K}（\mathrm{K}\mathrm2{S}）}$是一个${\显示样式\langle\mathrm{K}，\mathrm{S}\rangle}$的代理$｛\displaystyle\mathrm｛I｝。｝$

第2步

按照以下规范分配类型：

${\显示样式{\开始{矩阵}x_{A} &=&x_{A}\mathrm{I}_{A\右箭头A}\end{矩阵}}}{矩阵}x_{A} &=&x_{A}\mathrm{I}_{A\右箭头A}\end{矩阵}}}$

一个合适的类型赋值为${\显示样式\mathrm{I}:A\右箭头A，}$它的类型，读作命题，是直觉命题演算的一个定理。

步骤3（可选）

检查一下${\显示样式A\右箭头A}$是经典命题演算的一个定理。

答Ao--o-o-o-o| | @ = @ = @

检查。

步骤4

术语开发：上下文定义${\显示样式\右箭头}$组合器结构

考虑术语的解析树${\显示样式\mathrm{I}}$根据本原组合子${\显示样式\mathrm{K}}$和${\显示样式\mathrm{S}，}$也就是说，对应于项方程的发音或结构${\显示样式\mathrm{I}=（\mathrm{K}（\mathr{K}\mathr m{S}）），}$如下所示：

K秒o o（零）K\/公司o（o）\ / I=（o）

向该树的节点添加适当的类型诱导将为我们留下命题类型的证明树${\显示样式\mathrm{I}:A\右箭头A}$因此${\显示样式\mathrm{I}}$作为${\显示样式\mathrm{K}（\mathrm{K}\mathrm2{S}）}$构成证据的暗示或线索${\显示样式A\右箭头A}$在直觉命题演算中。虽然猜测在这种简单的情况下可能会成功，但一个更系统的过程是遵循步骤1中的开发，它将我们从上下文规范带到操作算法，并在进行时携带类型信息，最后得到一个类型化的解析树，用于${\显示样式\mathrm{I}，}$相当于一棵证明树${\显示样式A\右箭头A}$

o----------------------------------------------------------o| ||x个||（o）A|| |o=========| ||x千x千||o A o A=>（B=>A）o A o A=>（（B=>A）=>A|| \ / \ / || \ / \ / ||（o）B=>A（o）（B=>B）=>A|| \ / || \ / ||\/|| \ / || \ / || \ / || \ / || \ / || \ / ||（o）A|| |o=========| ||K S公司||o A=>（B=>A）=>A|| \ / => ||\/（A=>（B=>A））=>（A=>A）||\/|| \ / || \ / || \ / || \ / ||K\/公司||o A=>（B=>A）（o）（A=>|| \ / || \ / || \ / || \ / || \ / ||x\/||o A（o）A=>A|| \ / || \ / ||（o）A|| |o----------------------------------------------------------o

第5步

存在图格式：具有结构共享的应用程序三元组

用存在图符号重做相同的开发。在下面的工作中，术语开发是按相反的顺序进行的，即按应用程序顺序。

o----------------------------------------------------------o| ||B A B A||o--o-o-o-o|| | | ||| A A | A x A x I||o--o-o-o--o--o|| | | | ||A||K|K（KS）=I||o o o o--------------o||| ||||K|KS公司||o--------------o|| | |||S（S）|| @ || |o=========| ||B甲||o？？o|| | ||B甲|xK甲||o-----o。。。。。。。。。。。。[1] ---[o]（xK）（xK|| | . | ||一个x|xK。一个x|xK||o----[1]。。。。。。。。。。。o？？o|| | | |||K|K（K）|| @ @ || |o=========| ||A类||@x|| |o----------------------------------------------------------o

注意：。看看我在1996年秋季学期的笔记，我仍然不确定我对应用程序三元组的预期顺序，但上面是一个可能的猜测：

例如：

• 右标记的节点${\显示样式（\mathrm{K}，\mathrm{K}\mathrm2{S}，\ mathrm}（\mathr{K}\ mathrm}）），}$按照这个顺序，构成一个应用程序三元组。

• 应用程序的类型${\显示样式\mathrm{K}}$是${\显示样式A\右箭头（B\右箭头A）.}$

• 涂抹器的类型${\显示样式\mathrm{K}\mathrm{S}}$是$｛\displaystyle（A\Rightarrow（B\Rightarrow A））\Rightarrow（A\Rightarrow A）。｝$

• 因此，应用程序的类型${\显示样式\mathrm{K}（\mathrm{K}\mathrm2{S}）}$是${\显示样式A\右箭头A}$

作曲家

第1步

我们得到了组合组合器，或作曲家 ${\显示样式\mathrm{P}，}$就以下影响而言：

${\显示样式{\开始｛矩阵｝x（y（z\mathrm{P}））&=&（xy）z\end{矩阵}}}｛矩阵｝x（y（z\mathrm{P}））&=&（xy）z\end{矩阵}}}$

我们被要求找到一个关于${\显示样式\mathrm{P}}$就原始组合子而言。

按以下步骤进行：

${\显示样式{\开始{数组}{ccccc}（xy）z&=&（xy）（x（z\mathrm{K}））&=&x（y（z\mathrm{K}）\mathrm{S}）{S}\mathrm{K}）\mathrm{S}\mathrm{S}））\\[8pt]&&向下箭头\\[8pt]\mathrm}&&=&（\mathrm{K}\mathrm{S}））\\[8pt]&&向下箭头\\[8pt]\mathrm}&&=&（\mathrm{K}$

第2步

按照以下规范分配类型：

${\显示样式{\开始{数组}{l}}\\\\=\\\\（x{\overset{}{\underset{A}{\Downarrow}}}~（y{\overeset{A{{\underset{B}{\Downarrow}}}~（z{\overset{B}{\underset{C}{\Downarrow}}}~P{\overeset{B\RightarrowC}{\ underset}集合{}{\underset{C}{\Downarrow}}}\end{array}}}}}~（z{\overset{B}{\underset{C}{\Downarrow}}}~P{\overeset{B\RightarrowC}{\ underset}集合{}{\underset{C}{\Downarrow}}}\end{array}}}$

这里是表单的注释${\显示样式x{\底集{A}{\向下箭头}}}$意味着${\显示样式x}$属于类型${\显示样式A，}$而形式的符号$x{\overset{A}{\underset{B}{\Downarrow}}}$意味着${\显示样式x}$属于类型$｛\displaystyle A\Rightarrow B｝显示样式A\Rightarrow B。｝$

请注意${\显示样式\mathrm{P}}$作为一个术语${\显示样式\mathrm{K}（（\mathrm{S}\mathrm2{K}）\mathrm3{S}）}$类型为$｛\displaystyle（B\Rightarrow C）\Rightarrow（（A\Rightarrow B）\Rightarrow（A\Rightarrow C））｝$作为证据的线索${\displaystyle\mathrm{P}'{\text{s}}}$类型命题作为直觉命题演算的一个定理，即仅使用以下两个组合公理：

${\显示样式{\开始{数组}{l}\mathrm{K}:A\右箭头（B\Rightarrow A）\\\\mathrm}:（A\Rightarrow（B\rightarrowC））\Rightartrow（A\rightArrowB）\Right arrow（A \Right箭头C））\结束{数组{}}}$

步骤3（可选）

检查作曲家的命题类型${\显示样式\mathrm{P}}$是经典命题演算的一个定理，它是直觉命题演算定理的逻辑必要条件，但更容易检查。

o-------------------------------------------------o| || ||A、B、A、C||o--o-o-o-o|| | | ||商务舱||||o o o o--------o|| | | || | | ||o---------o（o）|| | || | || @ || |o=========| ||B C A B||o--o-o-o-o|| \ / ||\/|| \ / ||A o---o C|| | || | || @ || |o=========| ||B、C、B||o--o-o-o-o|| \ / ||\/|| \ / ||A o---o C|| | || | || @ || |o=========| ||B o---o C|| | || | ||AB o---o C|| | || | || @ || |o=========| ||o——o C|| | || | ||AB o---o C|| | || | || @ || |o=========| ||ABC o---o C|| | || | || @ || |o=========| ||ABC o---o|| | || | || @ || |o=========| ||o——o|| | || | || @ || |o=========| || @ || |o-------------------------------------------------o

量化宽松政策。

步骤4

重复步骤1中的开发，但这一次我们要清楚地表达类型信息。

o-----------------------------------------------------------------------o| ||x年A||o A o===>||\/B|| \ / ||\/z B||（o）B o===>||\/C|| \ / || \ / ||（o）C|| |o=========| ||B z K B=>C||===>o o=====||C/A=>（B=>C）|| \ / ||x y A x \/年||o A o===>o A（o）====>>||\/B\/B=>C|| \ / \ / ||\/\/B||（o）B（o）===>||\/C|| \ / || \ / || \ / || \ / || \ / || \ / ||（o）C|| |o=========| ||B z K B=>C||===>o o=====||C/A=>（B=>C）|| \ / ||A=>（B=>C）||====>（o）o||B=>C（A=>B）=>（A=>C）|| \ / ||\/|| \ / || \ / ||是/否=>B||===>o（o）====>||B\/A=>C|| \ / ||x\/A（x \/A）||o A（o）===>||\/C|| \ / || \ / ||（o）C|| |o=========| ||A=>（B=>C）|| ===============> ||A=>（B=>C）S K（A=>B）=>（A=>C）||=====||（A=>B）=>（A=>C）|| \ / ===============> ||\/（A=>（B=>C））=>（（A=>B）=>|| \ / ||z B K B=>C z B \/B=>C||o===>C o========>o==>（o）||\C/A=>（B=>C）\C/（A=>|| \ / \ / ||\/A \/A=>（B=>C）||（o）====>>（o）||\B=>C/（A=>B）=>（A=>C）|| \ / || \ / || \ / || \ / || \ / || \ / || \ / ||A是\/A=>B||===>o（o）=====||B\/A=>C|| \ / ||x\/A（x \/A）||o A（o）===>||\/C|| \ / || \ / ||（o）C|| |o=========| ||A=>（B=>C）S K（A=>||=====||（A=>B）=>（A=>C）\/（B=>C）=>（（A=>（B=>C））=>（（A=>B）=>（A=>C））|| \ / ||\/B=>C|| \ / =========================> ||B=>C\/S（A=>（B=>C））=>（（A=>B）=>||=====||A=>（B=>C）|| ===============> \ / =========================> ||（A=>B）=>（A=>C）|| \ / || \ / ||B=>C K（B=>C）=>（A=>（B=>C））||========>o（o）||A=>（B=>C）\/（B=>C）=>（（A=>B）=>|| \ / || \ / || \ / || \ / ||B z\/B=>C||===>o（o）=====||C/（A=>B）=>（A=>C）|| \ / ||是/否=>B||====>o（o）====>||B\/A=>C|| \ / ||x\/A（x \/A）||o A（o）===>||\/C|| \ / || \ / ||（o）C|| |o-----------------------------------------------------------------------o

前面的开发将我们从定义的类型化解析树中带出${\显示样式（（xy）z）}$到显式定义的类型化解析树$｛\displaystyle（x（y（z（\mathrm｛K｝（（\mathrm｛S｝\mathrm｛K｝）\mathrm｛S｝）~））），｝$它给出了组合组合子的构造${\显示样式\mathrm{P}}$就基本组合子而言：

${\displaystyle{\begin{matrix}\mathrm{P}&=&（\mathrm{K}（（\mathr{S}\mathr}）\mathr m{S}））\end{matrix}}}$

以及类型命题的证明树${\显示样式\mathrm{P}，}$如下所示：

瑞典o o（零）\/秒（o） o个K\/公司o（o）\ / P=（o）

${\displaystyle{\begin{matrix}\mathrm{P}&=&（\mathrm{K}（（\mathr{S}\mathr m{K}）\mathr m{S}））&：&（B\Rightarrow C）\Rightarrow（（A\Right箭头B）\Right arrow（A\rightarrowC））\end{matrix}}$

第5步

以存在图格式重写最终证明树：

o----------------------------------------------------------o| ||B、C、A、B、A、C||o--o--o-o--o|| | | | ||B C A B A C A |||||o--o o--o o--o o o--o o--o|| | | | | | ||甲|||B丙||||o？o o？o？o o？o？o？o|| | | | | || | | | | ||o--------o o-----o|| | | |||S|SK公司||o-------------------[1]|| | ||| K（K）|| @ || |o----------------------------------------------------------o| ||B、C、A、B、A、C||o--o--o-o--o|| | | | ||B C A | B C | |银行||o--o--o-o--o--o-o--o-o-o-o|| | | | | || | | | | ||哦，哦，哦|| | | |||K|K（（SK）S）=P||o--------------[o]|| | ||SK|（SK）S||[1]——o|| | |||S（S）|| @ || |o----------------------------------------------------------o

关于上述图形样式中使用的图形约定的注释

方括号节点表示从一棵树上修剪下来并在指定位置嫁接到另一棵树的子树，实际上相当于事实被回收为案例。方括号也用于标记预期结果。

自我记录：发展数据结构

观察。

注意存在主义图形格式中证明发展的“自我记录”特性，即发展结构记忆其自身历史的特性。

例如，Identity组合子的开发：

${\显示样式{\开始｛矩阵｝x&=&（x\mathrm{K}）｛矩阵｝x&=&（x\mathrm{K}）$

o----------------------------------------------------------o| ||A类|| @ || || "1" || |o=========| ||B甲||o？？o|| | ||B A | A||o-----o。。。。。。。。。。。。[o] ----零|| | . | ||答|。答|||o----[o]。。。。。。。。。。。o？？o|| | | || | | || @ @ || || "2" "3" || |o=========| ||B A B A||哦，哦，哦|| | | ||| A A | A A||o o o o o[1]o|| | | | ||A|||||o-----o[2]-------------o|| | | || | | ||[3]--------------o|| | || | || @ || |o----------------------------------------------------------o

以存在图形格式重做Composer的整个开发：

步骤5（扩展）

o-----------------------------------------------------------------------o|假设：x:A，y:A=>B，z:B=>C|o-----------------------------------------------------------------------o| ||（xy）z|| ||A B xy B C（xy）z|| [1]-[2] [2]-[3] || | | ||x | y | z|| [1] @ @ || |o=========| ||（xy）（x（zK））|| ||B C（xy）（x（zK））||[2]——o|| | ||B C A | x（zK）||o—o[1]—o|| | | |||z|zK（z）||o------[4]|| | ||| K（K）|| @ || |o=========| ||x（y（（zK）S））|| ||B C A B A C x（y（（zK）S））||o---o o---o[1]--o|| | | | ||年（（zK）S）||o？o o？o？o|| | | |||zK|（zK）S||[4]---------o（4）|| | |||S（S）|| @ || |o=========| ||x（y（（zK）（z（SK）））|| ||B C A B A C x（y（zK）（z（SK）））||o--o o--o[1]-o|||||||B C A B A C A | | y | y（（zK）（z（SK）））||o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o|| | | | | | ||A|||B C|zK|（zK）（z（SK））||o？o o？o？o o？o[4]？o|| | | | | ||||z|z（SK）||o--------o o-----o|| | | |||S|SK公司||o-------------------[5]|| | ||| K（K）|| @ || |o=========| ||x（y（z（K（（SK）S）））|| ||B C A B A C B C C A B C||o--o o--o o--o o o--o o--o|| | | | | | | ||A |||B C A |B C ||||o--o o-----o o--o o--o o--o o|| | | | | | | ||商务舱|||||||o？o o？--------o o？o？o|| | | | | |||||K|K（（SK）S）=P||o o o o-------------【o】|| | | |||SK|（SK）S||[5]-------------------------o|| | |||S（S）|| @ || |o-----------------------------------------------------------------------o

这就是我能从笔记中重建出来的草图。

三元类比：两个三元关系之间的类比

o-------------------------------------------------o| ||证明提示：证明：命题|| |o=========| ||非类型术语：类型化术语：类型|| |o-------------------------------------------------o

转置或转置器

定义

${\显示样式{\开始｛矩阵｝x（y（z\mathrm{T}））&=&y（xz）\end{矩阵}}}｛矩阵｝x（y（z\mathrm{T}））&=&y（xz）\end{矩阵}}}$

此等式为运算符提供上下文定义${\显示样式\mathrm{T}，}$实际上，是一种形式化的语法规范，它告诉操作员如何对其他符号进行操作。

第1步

施工

查找纯粹的解释者对于${\显示样式\mathrm{T}，}$也就是说，相当于${\显示样式\mathrm{T}}$它纯粹是根据本原组合子${\显示样式\mathrm{K}}$和${\显示样式\mathrm{S}.}$

这样做会产生一个操作算法${\显示样式\mathrm{T}，}$被理解为对形式标识符或作为对象的符号进行的一系列操作。

${\显示样式{\开始｛矩阵｝x（y（z\mathrm{T}））&=&y（xz）\end{矩阵}}}｛矩阵｝x（y（z\mathrm{T}））&=&y（xz）\end{矩阵}}}$

注意${\显示样式y（xz）}$比赛${\显示样式（xy）（xz）}$在右边，我们可以表达${\显示样式y}$作为${\显示样式x（y\mathrm{K}），}$因此：

${\显示样式{\开始{矩阵}y（xz）&=&（x（y\mathrm{K}））{矩阵}y（xz）&=&（x（y\mathrm{K}））$

从而完成x从表达式中的抽象（或分离）。

在处理表达式的其余部分时，下一项业务是抽象${\显示样式y.}$

请注意：

${\显示样式{\开始{矩阵}（y\mathrm{K}）（z\mathrm{S}）&=&（y\mathrm{K}）$

从而完成了${\显示样式y.}$

接下来，继续${\显示样式\mathrm{K}（（（z\mathrm{S}）\mathrm-K}）$提取${\显示样式z，}$从中心开始$｛\displaystyle（z\mathrm｛S｝）\mathrm｛K｝｝$迷宫和向外工作：

${\displaystyle{\begin{matrix}（z\mathrm{S}）\mathrm{K}&=&（z\mathrm{S}）$

为了简化本开发的其余部分，请重命名右侧的运算符，以便${\显示样式（\mathrm{S}（（\mathr m{K}\mathrm{K}）\mathr m{S}））=\mathrm2{F}.}$

继续${\显示样式\mathrm{K}（（z\mathrm{F}）\mathrm2{S}），}$提取${\显示样式z，}$如下所示：

$｛\displaystyle｛\begin｛matrix｝（z\mathrm｛F｝）\mathrm｛S｝&=&（z\mathrm｛F｝）（z（\mathrm｛S｝\mathrm｛K｝））\\[8pt]&=&z（\mathrm｛F｝（（\mathrm｛S｝\mathrm｛K｝）\mathrm｛S｝））\end｛matrix｝｝$

重命名右侧的运算符，让${\显示样式（\mathrm{F}（（\mathrm{S}\mathrm{K}）\mathr姆{S}））=\mathrm2{G}.}$

继续${\显示样式\mathrm{K}（z\mathrm{G}），}$提取${\显示样式z，}$如下所示：

$显示样式{\begin{matrix}\mathrm{K}（z\mathrm{G}）&=&（z（\mathrm2{K}\mathrm{K{））$

填写缩写：

${\显示样式{\开始{数组}{lll}年（xz）&=&x（y（z（（\mathrm{K}\mathrm{K}）（\mathr m{G}\mathr m{S}）））y（z（（\mathrm{K}\mathrm{K}）}}{lll}年（xz）&=&x（y（z（（\mathrm{K}\mathrm{K}）（\mathr m{G}\mathr m{S}）））y（z（（\mathrm{K}\mathrm{K}）}}$

因此，我们有：

$显示样式{\begin{matrix}\mathrm{T}&=&（\mathrm{K}\mathr m{K}）$

第2步

使用转置词的上下文定义${\显示样式\mathrm{T}，}$

${\显示样式{\开始｛矩阵｝x（y（z\mathrm{T}））&=&y（xz）\end{矩阵}}}｛矩阵｝x（y（z\mathrm{T}））&=&y（xz）\end{矩阵}}}$

找到规范中每个术语的最小泛型类型（最简单的非退化类型），使方程两边的所有应用程序都能通过。

例如，这里有一个这样的类型：

${\显示样式{\开始{数组}{l}向下箭头}}\\\\=\\\\（x{\overset{}{\underset{A}{\Downarrow}}}~（y{\oveerset{}}{\enderset{B}{\下箭头}}~（z{\overset{A}{\underset{B\RightarrowC}{\Downarrow}}~T{\overs et{A\Rightarrow（B\Right arrowC）}{\underset{B\Rightarrow（A\Right Arrow C）}}}）{\overeset{B}{\enderset{A\ RightarrolrwC}}}}{\Downarrow}}}]}}}）{\overset{}{\underset{C}{\Downarrow}}}}\end{array}}}{{\下箭头}}~（z{\overset{A}{\underset{B\RightarrowC}{\Downarrow}}~T{\overs et{A\Rightarrow（B\Right arrowC）}{\underset{B\Rightarrow（A\Right Arrow C）}}}）{\overeset{B}{\enderset{A\ RightarrolrwC}}}}{\Downarrow}}}]}}}）{\overset{}{\underset{C}{\Downarrow}}}}\end{array}}}{$

在这种上下文、隐含或释义定义中定义是要定义的符号，在这种情况下，${\显示样式^{\backprime\backprime}\mathrm{T}^{\prime\prime}，}$和定义是上下文的其余部分，在本例中是框架${\显示样式^{\backprime\backprime}y（xz）=x（y（z{\underline{~}}））\，^{\prime\prime}，}$表面上定义或如人们所说，应该定义符号$｛\displaystyle^｛\backtime\backtime｝\mathrm｛T｝^｛\prime\prime｝｝$我们在它的插槽中找到的。更宽泛地说，方程中带有更多已知符号的那一边可以称为定义侧面。

为了找到最小的泛型类型，从等式的定义端开始，以连续应用程序有意义的方式自由分配类型，但不引入不必要的复杂性或创建过度专业化的应用程序。然后计算出定义的运算符的类型${\显示样式\mathrm{T}}$在这种情况下，为了在标准环境中正常工作，$｛\displaystyle^｛\backtime\backtime｝y（xz）=x（y（z｛\dunderline｛~~｝））\，^｛\prime\prime｝。｝$

这再次说明：

${\显示样式{\begin{array}{l}（x{\overset{}{\underset{A}{\Downarrow}}}~（y{\overret{}}{\enderset{B}{\Downarrow}}~向下箭头}}}）{\超集{B}{\下集{A\右箭头C}{\向下箭头}{}）{\underset{C}{\Downarrow}}}）{\overset{}{\underset{C}}}\\\\=\\（y{\overeset{}}{\enderset{B}{\Downarrow}}~{\underset{C}{\Downarrow}}}）{\overset{}{\unders{C}}{\Downarrow}}}\end{array}}{\underset{C}{\Downarrow}}}）{\overset{}{\underset{C}}}\\\\=\\（y{\overeset{}}{\enderset{B}{\Downarrow}}~{\underset{C}{\Downarrow}}}）{\overset{}{\unders{C}}{\Downarrow}}}\end{array}}$

因此，我们有${\显示样式\mathrm{T}：（A\右箭头（B\右箭头C））\右箭头$它的类型，读作命题，是直觉命题演算的一个定理。

步骤3（可选）

此时，我们可能需要验证与${\显示样式\mathrm{T}}$实际上是经典命题演算的一个定理。由于直觉主义命题演算的任何定理都不可能是经典命题演算定理，因此这是我们到目前为止工作正确的必要条件。虽然这不是一个充分条件，但经典理论更容易测试，因此可以对我们的工作进行快速而有用的检查。

在存在图格式中，${\显示样式\mathrm{T}}$具有以下泛型类型：

o-------------------------------------------------o| ||B、C、A、C||o--o o--o||A|B|||o--o o--o|| | | ||o--------o|| | ||电话：@|| |o-------------------------------------------------o

下面是类型命题的经典逻辑证明：

o-------------------------------------------------o| ||B、C、A、C||o--o o--o||A|B|||o--o o--o|| | | ||o--------o|| | || @ || |o=========| ||AB C AB C公司||o--o o--o|| | | ||o--------o|| | || @ || |o=========| ||X X X||o--------o|| | || @ || |o=========| || @ || |o-------------------------------------------------o

步骤4

术语的解释${\显示样式\mathrm{T}}$关于形式的本原型组合子的适当类型${\显示样式\mathrm{K}}$和${\显示样式\mathrm{S}}$类似于从附在这些形式上的直觉公理方案中证明相应命题。

顺便说一句，请注意在这项工作的过程中，重命名策略的出现并不引人注目。重命名是一种自然的操作，而替换是相反的。通过这些卑微的开端，我们已经到达了符号关系这是一个不可约的三位关系，在所指示的内容、指示它的内容以及我们可能在参考它时发现或创建的所有等效或相关指示之间。

例如，让插入的解释者${\显示样式^{\backprime\backprime}\mathrm{G}^{\prime\prime}}$表示假定的对象，即发生的符号是什么${\显示样式^{\backprime\backprime}（\mathrm{F}（（\mathrm{S}\mathrm{K}）\mathrm2{S}））^{\prime\prime}}$表示。

考虑以下数据：

• 术语的解析树${\显示样式\mathrm{T}=（（\mathrm{K}\mathrm2{K}）$

• 术语的类型标记${\显示样式\mathrm{T}：（A\右箭头（B\右箭头C））\右箭头$

o-------------------------------------------------o| ||K K（K K）||o o（零）||\/S S K||（o）o o o o||S \/\/S||o（o）（o）o|| \ / \ / ||（o）（o）|| \ / || \ / || \ / || \ / ||K K\/S公司||o o（o）o|| \ / \ / ||（o）（o）|| \ / || \ / || \ / ||（o）|| ||（A=>（B=>C））=>（B=>（A=>C））|| |o-------------------------------------------------o

可以通过追踪非类型化证明提示的逐级表达或解释来开发证明吗？

例如，我们可以从以下内容开始：

${\显示样式{\开始{数组}{l}向下箭头}}\\\\=\\\\（（x{\overset{}{\underset{A}{\Downarrow}}}~（y{\oveerset{}}{\enderset{B}{\Downarrow}}~K{\overset{B}{\underset{A\Rightarrow-B}{\Down arrow{}}}）{\overeset{A}{\underset{B}}{\Downarrow}}向下箭头}}}）{\超集{B}{\下集{C}{\向下箭头}{}）}\超集}{\下集{C{\下箭头}}}\\\\=\\\（x{\overset{}{\underset{A}{\Downarrow}}~（（y{\overeset{}}{\enderset{B}{\Downarrow}}}~K{\overret{B{\underset{A\Rightarrow B}{\ Downarror}}}}}}~S{\超集{A\右箭头（B\右箭头C）}{\下集{（A\右箭头B）\右箭头（A\Rightarrow C）}{\Downarrow}}}）{\overset{A\Right arrow B}{\underset{A\ Rightarror C}{\Downarrow}}{\Downarrow}}~K{\overset{B}{\underset{A\Rightarrow-B}{\Down arrow{}}}）{\overeset{A}{\underset{B}}{\Downarrow}}向下箭头}}}）{\超集{B}{\下集{C}{\向下箭头}{}）}\超集}{\下集{C{\下箭头}}}\\\\=\\\（x{\overset{}{\underset{A}{\Downarrow}}~（（y{\overeset{}}{\enderset{B}{\Downarrow}}}~K{\overret{B{\underset{A\Rightarrow B}{\ Downarror}}}}}}~S{\超集{A\右箭头（B\右箭头C）}{\下集{（A\右箭头B）\右箭头（A\Rightarrow C）}{\Downarrow}}}）{\overset{A\Right arrow B}{\underset{A\ Rightarror C}{\Downarrow}}$

如果该策略成功，则表明证明树可以从适当物种的种子术语，即从所需术语的上下文、嵌入或释义规范，以逐步等式的方式生长。

因此，这些发展最终导致了一个相当惊人且可能令人不安的结果，即证明树中明显的信息流或推理是一种虚构的工作、一个快照的相似性或一个可能的故事，它让人想起了对理由的剖析，但未能重建所涉及的真正胚胎学或生命生理学。

重复步骤1中的开发，但这一次我们要清楚地表达类型信息。

o-----------------------------------------------------------------------o| ||x z A||o A o=====>||\/B=>C|| \ / ||是/否||o B（o）===>||\/C|| \ / || \ / ||（o）C|| |o=========| ||年K B||o B o=====>||\/A=>B|| \ / ||x\/A x z A||o A（o）===>o A o====>>||\/B\/B=>C|| \ / \ / ||\/\/B||（o）B（o）===>||\/C|| \ / || \ / || \ / || \ / || \ / || \ / || \ / ||（o）C|| |o=========| ||y K B z A S A=>（B=>C）||o B o=====>o===||\/A=>B\ B=>C/（A=>B）=>（A=>C）||\/\/|| \ / \ / ||\/A \/A=>B||（o）===>（o）||\B/A=>C|| \ / || \ / || \ / || \ / ||\/|| \ / || \ / ||x\/A（x \/A）||o A（o）===>||\/C|| \ / || \ / ||（o）C|| |o=========| ||A z S A=>（B=>C）||====>o o====||B=>C（A=>B）=>（A=>C）|| \ / ||A=>B\/K（A=>B）=>（A=>C）||====>（o）o||B=>C\/B=>（（A=>B）=>（A=>C））|| \ / ||年K月||o B o====>o B（o）====||\/A=>B \/（A=>B）=>（A=>C）|| \ / \ / ||\/A \/A=>B||（o）===>（o）||\B/A=>C|| \ / || \ / ||\/|| \ / || \ / || \ / ||x\/A（x \/A）||o A（o）===>||\/C|| \ / || \ / ||（o）C|| |o=========| ||A z S A=>（B=>C）||====>o o====||B=>C \/（A=>B）=>（A=>C）|| \ / ||A=>B\/K（A=>B）=>（A=>C）||====>（o）o||A=>C\/B=>（（A=>B）=>（A=>C））|| \ / ||B=>（（A=>B）=>（A=>C））||=====||（A=>B）=>（A=>C）|| \ / ||B K\/B=>（A=>B）||====>o（o）====||A=>B \/B=>（A=>C）|| \ / ||是/否||o B（o）====>||\/A=>C|| \ / ||x\/A（x \/A）||o A（o）===>||\/C|| \ / || \ / ||（o）C|| |o=========| ||（A=>B）=>（A=>C）|| ======================> ||（A=>B）=>（A=>C）K K B=>||=====||B=>（（A=>B）=>（A=>C））|/A=>（B=>C|||============================>||A z S A=>（B=>C）|/（A=>B）=>（A=>C）||====>o===~=======>|/===]===:===+===||B=>C（A=>B）=>（A=>C）|| \ | | / ||A=>B | z A |/A=>（B=>C）||=====>（o）o=====>（o）===============>||A=>C\\B=>C/（A=>B）=>（A=>C）|| \ \ / =====================> ||\\/B=>（（A=>B）=>（A=>C））|| \ \ / ||\\/（A=>B）=>（A=>C）||\（o）=====||\/B=>（（A=>B）=>（A=>C））|| \ / ||B=>（（A=>B）=>（A=>C））||===============>（o）o===============>||（A=>B）=>（A=>C）|| \ / ||B K\/B=>（A=>B）||====>o（o）====||A=>B \/B=>（A=>C）|| \ / ||是/否||o B（o）====>||\/A=>C|| \ / ||x\/A（x \/A）||o A（o）===>||\/C|| \ / || \ / ||（o）C|| |o=========| ||K K A=>（B=>C）||o o=====||\/（A=>B）=>（A=>C）|| \ / =====================> ||A=>（B=>C）\/S B=>（（A=>B）=>（A=>C））||=====||（A=>B）=>（A=>C）|| =====================> \ | ==================================> ||B=>（（A=>B）=>（A=>C））\|（A=>（B=>C））=>（B=>（（A=>B）=>（A=>C））|| \ | ||A=>（B=>C）S||=====||（A=>B）=>（A=>C）|| \ / ||Az\/A=>（B=>C）||====>o（o）====||B=>C\/B=>（（A=>B）=>（A=>C））|| \ / ||B=>（（A=>B）=>（A=>C））||===============>（o）o===============>||（A=>B）=>（A=>C）|| \ / ||B K\/B=>（A=>B）||====>o（o）====||A=>B \/B=>（A=>C）|| \ / ||是/否||o B（o）====>||\/A=>C|| \ / ||x\/A（x \/A）||o A（o）===>||\/C|| \ / || \ / ||（o）C|| |o=========| ||B=>（（A=>B）=>（A=>C））||============================>||B=>（（A=>B）=>（A=>C））S K（B=>||=====||（B=>（A=>B））=>（B=<（A=>C））|| \ | ==========================> ||K K B=>（（A=>B）=>（A=>C））||o o \|=========================>||（B=>（A=>B））=>（B=<（A=>C））||（o）o||S \/\ |||o（o）\|||A z\/A z\| A=>（B=>C）||====>o（o）====>o（o||B=>C=>C B=>（（A=>B）=>（A=>C））|| \ | \ | =========================> ||（B=>（A=>B））=>（B=>A）||\ | \ |||B=>（（A=>B）=>（A=>C））||=====||（A=>B）=>（A=>C）|| \ / || \ / || \ / || \ / || \ / ||B K\/B=>（A=>B）||====>o（o）====||A=>B \/B=>（A=>C）|| \ / ||是/B||o B（o）====>||\/A=>C|| \ / ||x\/A（x \/A）||o A（o）===>||\/C|| \ / || \ / ||（o）C|| |o=========| ||定义以下缩写：|| ||L=M=>N|| ||M=B=>（（A=>B）=>（A=>C））|| ||N=（B=>（A=>B））=>（B=>A=>C）|| || ||S K L系列||o L o=====||\/（A=>（B=>C））=>L|| \ / ||A=>（B=>C）||========>（o）o||L/（A=>（B=>C））=>M|| \ / ===============> ||K K（A=>（B=>C））=>N||\/S \/||（o）o\/||S \/\/||o（o）\/||A=>（B=>C）\/\/（A=>||=====||M（A=>（B=>C））=>N|| \ / || \ / || \ / ||Az\/A=>（B=>C）||====>o（o）====||B=>C（B=>（A=>B））=>（B=<（A=>C））|| \ / ||B K\/B=>（A=>B）||====>o（o）====||A=>B \/B=>（A=>C）|| \ / ||是/否||o B（o）====>||\/A=>C|| \ / ||x\/A（x \/A）||o A（o）===>||\/C|| \ / || \ / ||（o）C|| |o=========| ||K K（K K）||o o（零）||\/S S K公司||（o）o o o o||S \/\/S||o（o）（o）o||B K K B=>（A=>B）\/\/||====>o o||A=>B\|A=>（B=>C）\/|| \ | ==========> \ / ||\ | B=>（A=>B）\/|| \ | \ / ||A=>（B=>C）||====>o（o）====||B=>C（A=>B）\B=>C/（B=>（A=>B））=>（B=>（A=>C））|| \ | \ / || \ | \ / ||B\|\/B=>（A=>B）||====>（o）（o）====||A=>B \/B=>（A=>C）|| \ / || \ / || \ / ||\/|| \ / || \ / || \ / ||是/否||o B（o）====>||\/A=>C|| \ / ||x\/A（x \/A）||o A（o）===>||\/C|| \ / || \ / ||（o）C|| |o=========| ||K K（K K）||o o（零）||\/S S K公司||（o）o o o o||S \/\/S||o（o）（o）o|| \ / \ / ||（o）（o）|| \ / || \ / ||\/A=>（B=>C）|| \ / =========================> ||A=>（B=>C）\/S（B=>（A=>B））=>（B=>（A=>C））||=====||（B=>（A=>B））=>（B=>A=>C）|| | / =========================> ||B K K B=>（A=>B）|/（A=>（B=>C））=>（B=>（A=>C））||====>o=======>|/||A=>B\|A=>（B=>C）|/|| \ | ==========> | / ||\|B=>（A=>B）|/||A=>（B=>C）\|/（A=>（B=>C））=>（B=>（A=>B））||========>（o）||B=>（A=>B）|| \ / || \ / ||\/||\/|| \ / ||A z\T/A=>（B=>C）||====>o（o）====||B=>C\/B=>（A=>C）|| \ / ||是/否||o B（o）====>||\/A=>C|| \ / ||x\/A（x \/A）||o A（o）===>||\/C|| \ / || \ / ||（o）C|| |o-----------------------------------------------------------------------o

第5步

以存在图格式重写最终证明树，通过覆盖附加到术语的类型命题，实现应用程序三元组之间的结构共享。

o-----------------------------------------------------------------------o| ||A、B、A、C||o--o o--o|| | | ||A B A C A B A C||||o--o o--o o--o o o--o o--o|| | | | | | ||A B A C ||B C ||B|||o--o--o-o-o-o--o-o-o-o-o-o|| | | | | | | |||B|A|||||o-----o--o o--o o-o---------o|| | | | | || | | | | ||o----------o o-----------o|| | | |||K|KK（K）||o-------------------------[1]|| | ||| K（K）|| @ || |o-----------------------------------------------------------------------o| ||A、B、A、C||o--o o--o|| | | ||B、C、A、A、C、B、C ||||o--o o--o o--o o o--o o--o|| | | | | | ||A|||A|B|||o—o o—o—o—o—o—o|| | | | | || | | | | ||o---------o o---------o|| | | |||S|S（（KK）S）||o-------------------[2]|||||KK|（KK）S||[1]——o|| | |||S（S）|| @ || |o-----------------------------------------------------------------------o| ||A、B、A、C、B、C||o--o o--o o--o o|| | | | | ||A B A C A B A C | | B | B |||o--o o--o o--o o o--o o--o|| | | | | | | | ||||B|B|BC|||||o--o--o-o-o-o--o-o-o-o-o-o|| | | | | | | ||B|||A|||||o？o o？o？o|| | | | | || | | | | ||o----------o o-----------o|| | | |||S|SK公司||o-------------------------[3]|| | ||| K（K）|| @ || |o-----------------------------------------------------------------------o| ||A、B、A、C||o--o o--o|| | | ||B、C、B、B||o--o--o-o--o|| | | | ||A|||||o？o o？？o||| |||| |||o--------o|| | ||S（（KK）S）|| [2]---------[4] || | ||SK|（SK）S||[3]---------o（三）|| | |||S（S）|| @ || |o-----------------------------------------------------------------------o| ||B、C、A、B||噢噢噢噢噢|| | | ||A B A | B |||o--o--o-o--o|| | | | ||B |||||o？o o？？o|| | | |||K|KK（K）||o---------[5]|| | ||| K（K）|| @ || |o-----------------------------------------------------------------------o| ||T=（KK）|| ||B、C、A、C||噢噢噢噢噢|| | | ||A | B |||o--o o--o||| |||| |||o--------o|| | ||KK|T公司||[5]-------------------[o]|| | ||（韩国）（韩国）|（韩国）||[4]-------------------o|| | |||S（S）|| @ || |o-----------------------------------------------------------------------o

图形惯例

方括号内的节点标记要从一棵树上修剪的子树，并在指定的地点移植到另一棵树上，相当于回收事实作为案例。方括号也用于表示最终结果。

步骤5（扩展）

以存在图格式重做证明树的开发。

下面的发展计划的每一个框架都由一条虚线划分，其中构成正在发展的主要术语的术语显示在其上方，主要术语本身显示在其下方。

o-----------------------------------------------------------------------o|假设：x:A，y:B，z:A=>（B=>C）|o-----------------------------------------------------------------------o| ||y（xz）|| ||A x公司|| [1] || ||B年|| [2] || || . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . || ||字节（xz）||[2]——o|| | ||A|xz公司||[1]-o|| | ||| z|| @ || |o=========| ||（x（yK））（xz）|| ||A B x（yK）||o——[3]|| | ||B|yK公司||o——o|| | ||| K（K）|| @ || || . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . || ||B C（x（yK））（xz）||[3]——o|| | ||A|xz公司||o——o|| | ||| z|| @ || |o=========| ||x（（yK）（zS））|| ||A和B||o——o|| | ||B|yK公司||o——[4]|| | ||| K（K）|| @ || || . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . || ||B C A B A C x（（yK）（zS））||o--o-o-o-o--o-o-o|| | | | ||A||yK|（yK）（zS）||o——o[4]——o|| | | |||z|zS（z）||o-----------o|| | |||S（S）|| @ || |o=========| ||x（（yK）（y（（zS）K））|| ||A和B||o——o|| | ||B|yK公司||o——[4]|| | ||| K（K）|| @ || ||B、C、A、B、A、C||o--o-o-o-o--o-o-o|| | | | ||A|||||o？o o？o？o|| | | |||z|zS（z）||o----------[5]|| | |||S（S）|| @ || || . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . || ||A B A C x（（yK）（y（（zS）K））||o--o-o-o-o||| |||A B A C | yK |（yK）（y（（zS）K））||o---o o---o[4]------o|||||||||B|y（（zS）K）||o---------o o---o||| ||||zS|（zS）K||[5]--------------o|| | ||| K（K）|| @ || |o=========| ||x（y（K（（zS）K）S））|| ||B、C、A、B、A、C||o--o-o-o-o--o-o-o|| | | | ||A|||||o？o o？o？o|| | | |||z|zS（z）||o----------[5]|| | |||S（S）|| @ || ||A B A C||o--o-o-o-o||| |||A、B、A、C ||||o--o-o-o----------o|||||||||B|||o---------o o---o||| ||||zS|（zS）K|| [5]-------------[6] || | ||| K（K）|| @ || || . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . || ||A、B、A、C、B、C x（y（K（（（zS）K）S））||o--o-o-o-o-o-o-o-o-o|| | | | | ||||B|B|y（K（（（zS）K）S））||o---------o o o o|| | | | ||B||K|K（（（zS）K）S）||o---o o--------o|| | | |||（zS）K |（（zS）K）S||[6]-----------------o|| | |||S（S）|| @ || |o=========| ||x（y（K（（zS）（z（KK））））|| ||B、C、A、B、A、C||o--o--o-o--o|||||||A|||||o？o o？o|| | | |||z|zS（z）||o---------[5]|| | |||S（S）|| @ || ||A、B、A、C||o--o o--o|| | | ||A B A C A B A C||||o--o o--o o--o o o--o o--o|| | | | | | ||A B A C ||B C ||B|||o--o--o-o-o-o--o-o-o-o-o-o|| | | | | | | ||||B|A||zS|（zS）（z（KK））||o-----o o--o o--o[5]--------[7]|| | | | | ||||z|z（KK）||o----------o o-----------o|| | | |||K|KK（K）||o-------------------------o|| | ||| K（K）|| @ || || . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . || ||A、B、A、C、B、C||o--o o--o o--o o-o x（y（K（（zS）（z（KK））））|| | | | | ||||B|B|y（K（（zS）（z（KK）））||o-----o o--o o--o|||||||B||K|K（（zS）（z（KK））S）||o？o o？o？o||| ||||（zS）（z（KK））||[7]--------------o|| | |||S（S）|| @ || |o=========| ||x（y（K（（z（S（（KK）S））））|| ||A、B、A、C||o--o o--o|| | | ||A B A C A B A C||||o--o o--o o--o o o--o o--o|| | | | | | ||A B A C ||B C ||B|||o--o--o-o-o-o--o-o-o-o-o-o|| | | | | | | |||B|A|||||o-----o--o o--o o-o---------o|| | | | | || | | | | ||o----------o o-----------o|| | | |||K|KK（K）||o-------------------------[8]|| | ||| K（K）|| @ || ||A、B、A、C、B、C||o-o-o-o-o o-o-o o o o|| | | | | ||A B A C || B C A B A A C B C||||o-o-o-o-o----o-o-o-oo-o-o-o-o-o-o---o|| | | | | | | | | ||B C | | B | A | | | A | B |||o-o-o----o-o-o-o-o----oo-o-o-o||||||||||A||||| ||z|z（S（（KK）S））||o o o--------o o o o-----o o[9]|| | | | | |||||S|S（（KK）S）||o---------o o--------------o|| | | |||KK|（KK）S||[8]-------------------------o|| | |||S（S）|| @ || || . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . || ||A、B、A、C、B、C x（y（K（z（S（（KK）S）））||o--o o--o o--o o|| | | | | ||||B|B|y（K（（z（S（（KK）S）））||o-----o o--o o--o|| | | | ||B||K|K（（z（S（（KK）S）））||o？o o？？o||| ||||z（S（（KK）S））|（z（S（（KK）S））||[9]--------------o|| | |||S（S）|| @ || |o=========| ||x（y（K（z（S（（KK）S）））（z（SK）））|| ||A、B、A、C||o--o o--o|| | | ||A B A C A B A C||||o--o o--o o--o o o--o o--o|| | | | | | ||A B A C ||B C ||B|||o--o--o-o-o-o--o-o-o-o-o-o|| | | | | | | |||B|A|||||o-----o--o o--o o-o---------o|| | | | | || | | | | ||o----------o o-----------o|| | | |||K|KK（K）||o-------------------------[8]|| | ||| K（K）|| @ || ||A、B、A、C、B、C||o-o-o-o-o o-o-o o o o|| | | | | ||A B A C || B C A B A A C B C||||o-o-o-o-o----o-o-o-oo-o-o-o-o-o-o---o|| | | | | | | | | ||B C | | B | A | | | A | B |||o-o-o----o-o-o-o-o----oo-o-o-o||||||||||A||||| ||z|z（S（（KK）S））||o o o--------o o o o-----o o[9]|| | | | | |||||S|S（（KK）S）||o---------o o--------------o|| | | |||KK|（KK）S||[8]-------------------------o|| | |||S（S）|| @ || || . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . || ||x（y（K（z（S（（KK）S）））（z（SK）））|| ^ ||A B A C A B A C |||o-o-o-o-o-o-o-o-o|| | | | | ||A B A C A B A C||B|B|||o-o-o-o-o o-o-o-o-o----o-o-o-o-o|| | | | | | | | ||||B|B|B C B||K|K（（z（S（（KK）S）））（z（SK））||o----o-o-o-o-o-o-o-o--o-o-o---o|| | | | | | | ||B|||A|||（z（S（（KK）S））（z（SK））||o o o----o o o o[9]---o|| | | | | ||||z|z（SK）||o--------o o-----o|| | | |||S|SK||o-------------------o|| | ||| K（K）||@[9]=z（S（（KK）S））|| |o=========| ||x（y（K（z（（S（（KK）S））））|| ||A、B、A、C||o--o o--o|| | | ||A B A C A B A C||||o--o o--o o--o o o--o o--o|| | | | | | ||A B A C ||B C ||B|||o--o--o-o-o-o--o-o-o-o-o-o|| | | | | | | |||B|A|||||o-----o--o o--o o-o---------o|| | | | | || | | | | ||o----------o o-----------o|| | | |||K|KK（K）||o-------------------------[8]|| | ||| K（K）|| @ || ||A、B、A、C、B、C||o-o-o-o-o o-o-o o o o|| | | | | ||A B A C || B C A B A A C B C||||o-o-o-o-o----o-o-o-oo-o-o-o-o-o-o---o|| | | | | | | | | ||B C | | B | A | | | A | B |||o-o-o----o-o-o-o-o----oo-o-o-o||||||||||||||| | | |||o o o--------o o o o|| | | | | |||||S|S（（KK）S）||o---------o o-------------[10]|| | | |||KK|（KK）S||[8]-------------------------o|| | |||S（S）|| @ || ||A B A C A B A C||o-o-o-o-o-o-o-o-o|| | | | | ||A B A C A B A C||B|B|||o-o-o-o-o o-o-o-o-o----o-o-o-o-o|| | | | | | | | ||||B|B|BC|||||o----o-o-o-o-o-o-o-o--o-o-o---o|| | | | | | | ||B|||A|||||o o o---o o o o--------o|| | | | | || | | | | ||o--------o o-----o|| | | |||S|SK||o----------------[11]|| | ||| K（K）|| @ || || . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . || ||（y（K（zG）））||o-o-o-o-o-o-o-o-o o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o|| | | | | | | | | ||||B|B|B C ||B C B|B| y（K（zG））||o----o-o-o-o-o-o-o-o-o----o-oo-o-o-o o-o|| | | | | | | | | ||B C B | | | A | B | A | | K | K（zG）||o-o-o-o-o----o-o-o-oo-o-o--o-o-o---o|| | | | | | | | ||A||||||z|zG||o o o--------o o o o-----o o|| | | | | |||||F|G（法语）||o？o？[10]？o|| | | |||SK|（SK）S||[11]--------------------o|| | ||| S F=S（（KK）S）||@G=F（（SK）S）=（S（（KK）S））（（SK）S）|| |o=========| ||x（y（z（KK））（z（S（KK（S）S））（（SK（S））））|| ||B、C、A、B||o--o-o-o-o|| | | ||A B A | B |||o--o-o-o-o--o-o-o|| | | | ||B||z|z（KK）||o o o o---------[12]|| | | |||K|KK（K）||o-----------o|| | ||| K（K）|| @ || || . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . || ||x（y（z（KK））（zG））|| ^ ||A、B、A、C、B、C、A、A、B||o-o-o-o-o-o-o-o-o o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o|| | | | | | | | | ||||B|B|B C ||B C B|B| y（（z（KK））（zG））||o----o-o-o-o-o-o-o-o-o----o-oo-o-o-o o-o|| | | | | | | | | ||B C B | | | A | B | A | | |（z（KK））（zG）||o-o o-o o---o o-o o-o-o o o[12]--o|| | | | | | | | ||A||||||z|zG||o o o--------o o o o-----o o|| | | | | |||||F|G（法语）||o-------o---------o|| | | |||SK|（SK）S||o--------------------o|| | ||| S F=S（（KK）S）||@G=F（（SK）S）=（S（（KK）S））（（SK）S）|| |o=========| ||x（y（z（（KK）（（（S（（KK）S））（（SK）S））））|| ||B、C、A、B||o--o-o-o-o|| | | ||A B A | B |||o--o-o-o-o--o-o-o|| | | | ||B |||||o-o o---------o|| | | |||K|KK（K）||o---------[13]|| | ||| K（K）|| @ || ||A、B、A、C、B、C、A、B||o-o-o-o-o-o-o-o-o o-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o|| | | | | | | | | ||||B|B|B C ||B C B |B|||o----o-o-o-o-o-o-o-o-o----o-oo-o-o-o o-o|| | | | | | | | | ||B C B |||A|B|A|||||o-o-o-o------o o-o-o-o-o-o-o-o------o|| | | | | | | | ||||||| | | |||o-o----------o-o-o-o--o-o--o|| | | | | ||| | | S（（KK）S）|（S（（（KK-S）））（（SK）S）||o o o o-------------[14]|| | | |||SK|（SK）S||o-------------------------o|| | |||S（S）|| @ || || . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . || ||A B A C B C A B B C A||o--o o--o o--o o o--o o--o|| | | | | | | ||B C B |B | A | B | A |B | B |||o--o o--o o--o o o--o o--o|| | | | | | | | ||||||| | | |||o？o o--------o o---------o o---------o o|| | | | | ||||KK|T（K）||o---------o[13]--------------[o]|| | | |||（S（（KK）S））（（SK）S）||[14]-------------------------o|| | |||S（S）||@T=（KK）（（（S（（KKK）S））（（SK）S）S）|| |o-----------------------------------------------------------------------o

评论

注意：。在本次讨论中，组合词被应用于其论点的右侧。由此产生的公式将回溯到习惯于使用左边组合符的人。

评论1

我认为最好从一些简单的观察开始，因为我经常发现有必要一次又一次地回到基础，即使我每次都走不同的路。

观察结果1

国际单项体育联合会我们知道元素${\显示样式x}$具有类型${\显示样式X}$

和我们知道函数$｛\displaystyle f｝$具有类型${\显示样式X\到Y}$

然后我们知道元素$｛\displaystyle f（x）｝$具有类型${\显示样式Y.}$

我们可以将这个推论简化为以下常规形式，即对两条信息进行操作以产生另一条信息：

${\显示样式{\开始{数组}{l} x个：X\\{下划线{f:X\到Y}}\\f（X）：Y\结束{数组}}}{l} x个：X\\{下划线{f:X\到Y}}\\f（X）：Y\结束{数组}}}$

在这个推理方案中，符号${\显示样式{}^{\backprime\backprime}x{}^}\prime\prime}，}$ ${\显示样式{}^{\backprime\backprime}f{}^}\prime\prime}，}$和$｛\displaystyle｛｝^｛\backtime\backtime｝f（x）｛｝^｛\prime\prime｝｝$被称为条款并解释为形式对象的名称。

在相同的上下文中${\显示样式{}^{\backprime\backprime}X{}^}\prime\prime}，}$ ${\显示样式{}^{\backprime\backprime}X\到Y{}^}\prime\prime}，}$和$｛\displaystyle｛｝^｛\backtime\backtime｝Y｛｝^｛\prime\prime｝｝$给我们提供信息，或指出形式上的约束，我们可能认为这些约束表示类型考虑中的形式对象。通过“实体抽象”的行为，我们可以选择将这些类型视为一种形式对象，它们以自己的权利存在，并居住在自己的生态位中。

如果一瞬间的双视魔咒让我们看到功能箭头${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\到{}^}{\prime\prime}}$作为逻辑箭头${\显示样式{}^{\backprime\backprime}\右箭头{}^}\prime\prime}}$那么我们可以观察到，这个推理方案的右侧遵循通常称为逻辑演绎的模式桥式起重机因此，我们尝试将功能应用中的信息转换模式与桥式起重机.

评论2

待续…

参考文献

这里有三篇关于组合逻辑和lambda演算的参考文献，它们与计算机科学中组合子的使用特别相关：

• Smullyan，R.（1985），模仿知更鸟和其他逻辑难题，包括组合逻辑中的一次惊人冒险，Alfred A.Knopf，纽约州纽约市。

• Hindley，J.R.和Seldin，J.P.（1986），组合器和${\显示样式\lambda}$-微积分《伦敦数学学会学生课本第1号》，剑桥大学出版社，英国剑桥。

• Lambek，J.和Scott，P.J.（1986），高阶范畴逻辑导论，剑桥大学出版社，英国剑桥。

Lambek和Scott（1986）的基本概念

Lambek和Scott（1986）关于基本概念的注释，高阶范畴逻辑导论，剑桥大学出版社，英国剑桥。本体列表摘录与讨论.

这里有一个概要，展示了公理的分层——注意从初始点开始几次，并随着时间的推移建立更丰富的细节和更普遍的视角的技巧：

混凝土类别

定义1.1。一个混凝土类别是两种实体的集合，称为物体和态射前者是具有某种结构的集合，而后者是映射，即从一个对象到另一个对象的函数，在某种意义上保持了该结构。在变形中，每个对象都有附加的${\显示样式A}$这个身份映射 ${\显示样式1_{A}:A\到A}$这样的话${\显示样式1_{A}（A）=A}$为所有人${\在a.中显示样式$此外，形态${\显示样式f:A\到B}$和${\显示样式g:B\到C}$可能是沉着的产生一个态射${\显示样式gf:A\到C}$这样的话$｛\displaystyle（gf）（a）=g（f（a））｝$为所有人${\在a.中显示样式$ 我们现在将分三个简单的阶段，从具体的类别发展到抽象的类别。 （兰贝克和斯科特，4-5岁）。

图表

定义1.2。一个图表（通常称为有向图)由两个类组成：箭头（或定向边)以及物体（通常称为节点或顶点)以及从箭头类到对象类的两个映射，称为来源和目标（也经常领域和密码子). o--------------o来源o--------------o| | ----------------> | | |箭头||对象|| | ----------------> | | o--------------o目标o--------------o 一个人写道${\显示样式^{\backprime\backprime}f:A\到B\，^{\prime\prime}}$对于${\显示样式^{\backprime\backprime}\mathrm{source}\f=A~\mathrm{和}~\mathr{target}\f=B\，^{\prime\prime}.}$一个图被称为小的如果设置了对象类和箭头类。 （兰贝克和斯科特，5）。

演绎系统

一个演绎系统是一个图，其中每个对象${\显示样式A}$有一个关联的箭头$｛\displaystyle1_｛A｝：A\到A，｝$这个身份箭头，并指向每对箭头${\显示样式f:A\到B}$和${\显示样式g:B\到C}$有一个关联的箭头${\显示样式gf:A\到C，}$这个作文属于$｛\displaystyle f｝$具有${\显示样式g.}$逻辑学家可能会认为这些对象是公式箭头为扣除额或证据，因此为

${\显示样式{\dfrac{~f:A\到B\四g:B\到C~}{gf:A\至C}}}$

作为一个推理规则. （兰贝克和斯科特，5）。

类别

一个类别是一个演绎系统，其中包含以下方程式${\显示样式f:A\到B，}$ ${\显示样式g:B\到C，}$和${\显示样式h:C\到D.}$

${\显示样式f1_{A}=f=1_{B} 如果，四（hg）f=h（gf）.}{B} 如果，四（hg）f=h（gf）.}$

（兰贝克和斯科特，5）。

Functor（仿真器）

定义1.3。一个函子 ${\显示样式F:{\mathcal{A}}\到{\mathcal{B}}}$首先是图的一个态射…，也就是说，它发送${\显示样式{\mathcal{A}}}$到的对象${\显示样式{\mathcal{B}}}$和箭头${\显示样式{\mathcal{A}}}$至箭头${\显示样式{\mathcal{B}}}$这样，如果$｛\displaystylef:A\到A'，｝$然后${\显示样式F（F）：F（A）\至F（A'）。}$此外，函子保持恒等式和合成；因此：

$显示样式F（1_{A}）=1_{F（A）}，四个F（gf）=F（g）F（F）。}$

特别是恒等函子$1_{\mathcal{A}}:{\matchcal{A}{\到{\mathcal{A{}}$保持对象和箭头不变以及函子的组成${\显示样式F:{\mathcal{A}}\到{\mathcal{B}}}$和${\显示样式G:{\mathcal{B}}\到{\mathcal{C}}}$由以下人员提供：

$显示样式（GF）（A）=G（F（A））$

对于所有对象${\显示样式A}$属于${\显示样式{\mathcal{A}}}$和所有箭头${\显示样式f:A\到A'}$在里面$｛\displaystyle｛\mathcal｛A｝｝。｝$ （兰贝克和斯科特，6）。

自然转化

定义2.1。给定函子${\显示样式F，G:{\mathcal{A}}\rightrightarrows{\mathcal{B}}，}$一自然转化 ${\显示样式t:F\到G}$是箭头家族${\显示样式t（A）：F（A）\到G（A）}$在里面$｛\displaystyle｛\mathcal｛B｝｝，｝$每个对象一个箭头${\显示样式A}$属于${\显示样式{\mathcal{A}}，}$这样，下面的正方形将对所有箭头进行转换${\显示样式f:A\到B}$在里面${\显示样式{\mathcal{A}}}$: t（A）F（A）o------------------->o G（A）||||F（F）||G（F）||v vF（B）o------------------->o G（B）t（B） 也就是说，这样

${\显示样式G（f）t（A）=t（B）f（f）.}$

（兰贝克和斯科特，8）。

图表2

我们记得……对于类别图表由两个类和它们之间的两个映射组成： o--------------o来源o--------------o| | ----------------> | | |箭头||对象|| | ----------------> | | o--------------o目标o--------------o 在图论中，箭头通常被称为定向边和对象节点或顶点，但在数学的各个分支中也可以使用其他单词。而不是写作

$｛\displaystyle\mathrm｛source｝（f）=A，\fquad\mathrm｛target｝（f）=B，｝$

一个人经常写${\显示样式f:A\到B}$或${\显示样式A{\xrightarrow{~f~}}B.}$我们将研究逻辑上感兴趣的具有附加结构的图。 （兰贝克和斯科特，47岁）。

演绎系统2

一个演绎系统是带有指定箭头的图形

${\显示样式{\text{R1a.}}\四元A~{\xrightarrow{~1_{A}~}}~A，}$

和对箭头的二进制操作(作文)

${\显示样式{\text{R1b.}}\quad{\dfrac{~A~{\xrightarrow{~f~}}~B\quad B~{\xrightarrow}}~C~}{A~{\xright arrow{~gf~}}~C}}.}$

（兰贝克和斯科特，47岁）。

结合微积分

一个结合演算是一个处理真理和连词的演绎系统。因此，我们假设有一个公式${\显示样式\mathrm{T}}$（=true）和二进制操作${\显示样式\land}$（=和）用于形成连词${\显示样式A\land B}$两个给定公式${\显示样式A}$和${\显示样式B.}$此外，我们还指定了以下附加箭头和推理规则：

${\displaystyle{\begin{array}{ll}{\text{R2.}}&A~{\xrightarrow{~\bigcirc_{A}~}}~\mathrm{T}\\[8pt]{\text{R3a.}}&A\land B~{\xrightarrow{~\pi_{A，B}~}}~A，\\[8pt]{\text{R3b.}}&A \land B ~{\xrightarrow}~{A，B}~}~B，\\[9pt]{\text{R3c.}}&{\dfrac{~C~{\x-rightarror{~f~}~A\quad C~{}~B~}{C~{xrightarrow{~langlef，g\rangle~}}~A\land B}}。\结束{数组}}[8pt]{\text{R3a.}}&A\land B~{\xrightarrow{~\pi_{A，B}~}}~A，\\[8pt]{\text{R3b.}}&A \land B ~{\xrightarrow}~{A，B}~}~B，\\[9pt]{\text{R3c.}}&{\dfrac{~C~{\x-rightarror{~f~}~A\quad C~{}~B~}{C~{xrightarrow{~langlef，g\rangle~}}~A\land B}}。\结束{数组}}$

（兰贝克和斯科特，47–48岁）。

正直觉命题演算

一个正直觉命题演算是一个带有附加二进制运算的合取演算${\显示样式\左箭头}$（=如果）。因此，如果${\显示样式A}$和${\显示样式B}$是公式，也是${\显示样式\mathrm{T}，}$ ${\显示样式A\land B，}$和$｛\displaystyle A\Leftarrow B｝显示样式A\Leftarrow B。｝$（是的，大多数人写${\显示样式B\右箭头A}$相反。）我们还指定了以下新的箭头和推理规则。

${\显示样式{\begin{array}{ll}{\text{R4a.}}&（A\Leftarrow B）\land B~{\xrightarrow{~\varepsilon_{A，B}~}}~A，\\[8pt]{\text{R4b.}}&{\dfrac{~C\land B~{\xrightarrow}~A~}{~C~{\rightarror{~h^{*}}~A\Left arrow B~}}}●●●●。\结束{数组}}\结束{数组}}$

（Lambek&Scott，48–49岁）。

直觉命题演算

安直觉命题演算不仅仅是积极的；它还需要谬误和分离，即公式${\显示样式\bot}$（=false）和一个操作${\显示样式\lor}$（=或），以及以下附加箭头：

${\displaystyle{\begin{array}{ll}{\text{R5.}}&\bot~{\xrightarrow{~\Box_{A}~}}~A\\[8pt]{\text{R6a.}}&A~{\xrightarrow{~\kappa_{A，B}~}~A\lorB，\\[8pt]{\text{R6b.}}&B~{\xrightarrow}~\\kappa'_{A、B}~{A\lor B，\\[Cpt]{\text{R6c.}}&（C\LeftarrowA）\land（C\Leftarrow B）~{\x右箭头{~\zeta_{A B}^{C}~}}~C\左箭头（A\或B）。\结束{数组}}[8pt]{\text{R6a.}}&A~{\xrightarrow{~\kappa_{A，B}~}~A\lorB，\\[8pt]{\text{R6b.}}&B~{\xrightarrow}~\\kappa'_{A、B}~{A\lor B，\\[Cpt]{\text{R6c.}}&（C\LeftarrowA）\land（C\Leftarrow B）~{\x右箭头{~\zeta_{A B}^{C}~}}~C\左箭头（A\或B）。\结束{数组}}$

（兰贝克和斯科特，49–50岁）。

经典命题演算

如果我们愿意古典的命题逻辑，我们还必须要求：

${\displaystyle{\begin{array}{ll}{\text{R7.}}&（\bot\Leftarrow（\bot_Leftarraw A））\到A。\end{arrays}}}$

（兰贝克和斯科特，50岁）。

第2类

一个类别是一个演绎系统，其中下列方程在证明之间成立：

${\displaystyle{\begin{array}{ll}{\text{E1.}}&f1_{A}=f，\qquad 1_{B} 如果=f，\qquad（hg）f=h（gf），\\[8pt]&｛\text｛for all｝｝~f:A\到B，\quad g:B\到C，\quad h:C\到D。\end｛array｝｝｝{B} 如果=f，\qquad（hg）f=h（gf），\\[8pt]&｛\text｛for all｝｝~f:A\到B，\quad g:B\到C，\quad h:C\到D。\end｛array｝｝｝$

（兰贝克和斯科特，52岁）。

笛卡尔范畴

一个笛卡尔范畴是满足附加方程的范畴演算和合取演算：

${\displaystyle{\begin{array}{ll}{\text{E2.}}&f=\bigcirc_{A}，\quad{\text}forall}}~f:A\to\mathrm{T}\\[8pt]{\text{E3a.}}&\pi_{A，B}^{}\langle f，g\rangle=f，\\[8pt]{\text}{E3b.}}&\ pi_{A，B{^{\prime}\langlef，g\ rangle=g，\\[9pt]{\text{E3c.}}&\langle\pi_A，B}^{}h\rangle=h，\\[8磅]&{\text{for-all}}~f:C\to-A，\quad g:C\ to-B，\quad h:C\ to A\land-B。\end{array}}[8pt]{\text{E3a.}}&\pi_{A，B}^{}\langle f，g\rangle=f，\\[8pt]{\text}{E3b.}}&\ pi_{A，B{^{\prime}\langlef，g\ rangle=g，\\[9pt]{\text{E3c.}}&\langle\pi_A，B}^{}h\rangle=h，\\[8磅]&{\text{for-all}}~f:C\to-A，\quad g:C\ to-B，\quad h:C\ to A\land-B。\end{array}}$

（兰贝克和斯科特，52岁）。

笛卡尔闭范畴

一个笛卡尔闭范畴是笛卡尔范畴${\显示样式{\mathcal{A}}}$带有附加结构${\显示样式{\text{R4}}}$满足附加方程：

${\显示样式{\begin{array}{ll}{\text{E4a.}}&\varepsilon_{A，B}^{}\langleh^{*}\pi_{C，B}^{}，\pi_{C，B}^{prime}\rangle=h，\\[8pt]{\text{E4b.}}&（\varepsilon_{A，B}^}\langle k\pi_ ^{\prime}\rangle）^{*}=k，\\[8pt]&{\text{forall}}~h:C\land B\ to A\quad{\text{and}\quad k:C\ to（A\Leftarrow B）。\结束{数组}}\结束{数组}}$

因此，笛卡尔闭范畴是满足方程的正直觉命题演算${\显示样式{\text{E1}}}$到${\显示样式{\text{E4}}.}$这说明了一般原理，即通过在证明上施加适当的等价关系，可以从演绎系统中获得有趣的类别。 （兰贝克和斯科特，53岁）。

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6. http://web.archive.org/web/20130128191502/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-6月/01649.html
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8. http://web.archive.org/web/20060217223450/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-6月/001657.html
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19. http://web.archive.org/web/20130128191530/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-6月/001671.html
20. http://web.archive.org/web/20130128191532/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-6月/001672.html
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22. http://web.archive.org/web/20130128191536/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-6月/001674.html
23. http://web.archive.org/web/20061013232850/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-7月/001677.html

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4. http://web.archive.org/web/20061013232825/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2004-7月/001684.html

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• http://web.archive.org/web/2013013013357/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-七月/thread.html#2872

1. http://web.archive.org/web/200661014000520/http://stderr.org/pipemail/inquiry/2005-7月/002872.html
2. http://web.archive.org/web/20130128183518/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-7月/002873.html
3. http://web.archive.org/web/20061014000205/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-7月/002874.html
4. http://web.archive.org/web/20061014000323/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-7月/002875.html
5. http://web.archive.org/web/20061014000419/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-7月/002876.html
6. http://web.archive.org/web/20061014000249/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-7月/002877.html
7. http://web.archive.org/web/20061014000220/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-7月/002878.html
8. http://web.archive.org/web/20061014000332/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-7月/002879.html
9. http://web.archive.org/web/20110822051414/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-7月/002880.html
10. http://web.archive.org/web/20061014000313/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-7月/002881.html
11. http://web.archive.org/web/20061014000224/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-7月/002882.html
12. http://web.archive.org/web/20110822051422/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-七月/002883.html
13. http://web.archive.org/web/20061014000408/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-7月/002884.html
14. http://web.archive.org/web/20110822051441/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-7月/002885.html
15. http://web.archive.org/web/20061014000455/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-7月/002886.html
16. http://web.archive.org/web/20110822051447/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-7月/002887.html
17. http://web.archive.org/web/200661014000040/http://stderr.org/pipemail/inquiry/2005-7月/002888.html
18. http://web.archive.org/web/20061014000232/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-7月/002889.html
19. http://web.archive.org/web/20061014000357/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-七月/002890.html
20. http://web.archive.org/web/20110822051506/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-7月/002891.html
21. http://web.archive.org/web/20061014000344/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-7月/002892.html
22. http://web.archive.org/web/20061014000445/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-七月/002893.html
23. http://web.archive.org/web/20061014000422/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-7月/002894.html

询价单•评论•2005年7月

• http://web.archive.org/web/2013013013357/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-七月/thread.html#2895

1. http://web.archive.org/web/2012111053022/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-7月/002895.html
2. http://web.archive.org/web/20130128183445/http://stderr.org/pipermail/inquiry/2005-7月/002896.html