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A类矩阵(复数矩阵)是一个矩形数组数字,符号,或表达,排列于排和柱.(矩阵是张量级别的2矩阵中的单个项目称为元素或条目.
安矩阵通常使用方括号(另一种表示法使用大括号)![{\displaystyle\mathbf{A}={\begin{bmatrix}{\being{array}{cccccc}一个_{11} &a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}就的)的之后时间不了一的,””在时的还是一,“,和一个,而,前提;、)“要的““工作{cccccc}一个_{11} &a{12}和\cdots&a{1n}\\a{21}&a{22}和\ cdots&a{2n}\\vdots&\vdots&\ddots&\ vdots\\a{m1}&a}m2}&\cdots和a{mn}\end{array}}\ end{matrix}}\ right)。}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de83c7c8df418addcd73bd1d917fa99c0c9bd3c7)
矩阵示例三行和5列是
![{\显示样式{\begin{bmatrix}{\being{array}{rrrrr}-1&0&7&0&7\\34&-3&-67&0&-7\\9&-5&7&1&19\end{array}}\end{bmatrix}}=\left({begin{matrix}{begin}数组}{rrrrr}-1&0&7&0&7\\34&-3&-67&0&-7\\9&-5&7&1&19\end{数组}}\end}矩阵}\right)。}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c549f6bbb206291d2a20ddb538fc84834f59c72e)
矩阵运算
一元矩阵运算
转座
这个转置的矩阵是矩阵通过交换排和柱属于,即。![{\displaystyle(\mathbf{A}^{\rm{T}})_{ij}:=\mathbf{A}_{ji},\ quad 1\leq i \ leq m,\ 1\leq j \ leq n。}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/179c15cd3c295bd187bc01e8e9faae0a3ca8d3e1)
二进制矩阵运算
标量乘法
这个左标量乘法 的标量 和矩阵定义为![{\显示样式(c\mathbf{A})_{ij}:=c\cdot\mathbf{A}_{ij},\quad 1\leqi\leqm,\1\leq j\leqn,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58b99a207a478a782c82435e9d64c82629afe2c3)
和右标量乘法 矩阵的和a标量 定义为
矩阵加法
总额共两个矩阵和是按入口计算的,即。![显示样式(\mathbf{A}+\mathbf{B})_{ij}:=\mathbf2{A}_{ij}+\mathbf{B}_{i},\quad 1\leqi\leqm,\leqj\leqn.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/900902f45c0193616598363f743b796a467d6116)
这个交换性元素的交换性需要矩阵加法,即。
![{\显示样式\mathbf{A}_{ij}+\mathbf{B}_{i j}=\mathbf1{B}{i j{+\mathbf{A{ij},\quad 1\leqi\leqm,\leqj\leqn,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/699102779b4c8bcba55ca6cfabe8468c26cd08b0)
![{\displaystyle\暗示}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/913c2e89ea94dfa446f69b056d4bf505e01fcc5f)
![{\显示样式(\mathbf{A}+\mathbf{B}){ij}=(\mathbf{B}+\mathbf{A})_{ij{,\quad 1\leqi\leqm,\1\leq j\leqn.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/618de1a72df4a6156dd325816fe0a133675a6740)
矩阵乘法
这个矩阵乘法的矩阵和一个矩阵定义为![{\显示样式(\mathbf{A}\mathbf{B}){ik}:=\sum_{j=1}^{s}\mathbf{A{ij}\mathpf{B}{jk},\quad 1\leqi\leqr,\,1\leq k\leq t,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f57c60fffa8e2946a709aad55f01d57c57ba244)
其中产品矩阵是一个矩阵。注意,矩阵乘法是非对易的,即。
![{\显示样式\mathbf{A}\mathbf{B}\neq\mathbf1{B}\mathbf{A}.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/640ffd1d79f3fb1857d09375793fda5ba7b9082d)
平方矩阵
A类平方矩阵是一个矩阵![{\显示样式{\begin{bmatrix}{\being{array}{cccccc}一个_{11} &a{12}和\cdots&a{1n}\\a{21}&a{22}和\ cdots&a{2n}\\vdots&\vdots&\ddots&\ vdots\\a{n1}&a_{n2}&\cdots和a{nn}\end{array}}\end{bmatrix}},}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8320a6888d3afed93481ac834357609bc6c57c08)
其中条目构成主对角线属于.单位矩阵
这个 单位矩阵 是一个平方矩阵那个有1沿着主对角线0适用于所有其他条目。该矩阵通常简单写成,其特殊之处在于其行为类似1在里面矩阵乘法.示例:
我1 = , 我2 = , 我三 = , 我4 = 1 | | 0 | | 0 | | 0 | 0 | | 1 | | 0 | | 0 | 0 | | 0 | | 1 | | 0 | 0 | | 0 | | 0 | | 1 | |
, 我5 = 1 | | 0 | | 0 | | 0 | | 0 | 0 | | 1 | | 0 | | 0 | | 0 | 0 | | 0 | | 1 | | 0 | | 0 | 0 | | 0 | | 0 | | 1 | | 0 | 0 | | 0 | | 0 | | 0 | | 1 | |
, ... |
跟踪
- 文章主页:跟踪
这个追踪的平方矩阵定义为主对角线(从左上角到右下角的对角线),即。-
信托收据(A类) := 一我 我 = 一11+一2 2+⋯+一n个 n个 . |
决定因素
- 文章主页:决定因素
这个行列式的表示平方矩阵或.a的行列式矩阵(a标量)定义为(这里我们避免使用符号由于与混淆绝对值)![{\displaystyle\det}开始{bmatrix}一个_{}\end{bmatrix}}:=a_{}。}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9ec541381f1d0acb7f604facff7a824a013eff5)
a的行列式矩阵定义为![{\显示样式\left|{\开始{矩阵}a_{11} &a{12}\\a{21}&a{22}\end{matrix}}\right|:=\det{\begin{bmatrix}一个_{11} &a{12}\\a{21}&a{22}\end{bmatrix}}:=a_{11} 一个_{22}-a_{12} 一个_{21}.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae40996de4292ed5f542fdd7746374fb14de70d7)
a的行列式平方矩阵定义为
其中少数的 定义为矩阵获取自通过移除 第个 行和 第个 柱.表达式被称为辅因子属于.Adjugate公司
这个调整的平方矩阵是转置的协因数阵 属于,即。-
哪里是辅因子属于.-
C类 我 j个 := (−1) 我 + j个 M(M) 我 j个 , 1≤我≤n个, 1≤ j个≤n个, |
以及在哪里是少数的属于.反向
这个反向的平方矩阵是一个平方矩阵隐式定义为-
A类 A类 − 1 = A类 − 1 A类 = 我 n个 |
哪里
![{\displaystyle\mathbf{I}_{n}:={\begin{bmatrix}{\being{array}{cccccc}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{array}}\end{bmatrix}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11bec301df70d783090965c5f6b00b61190e8b92)
是 单位矩阵(该主对角线条目正在1,所有其他条目为0).矩阵是可逆的(有规律的)当且仅当其行列式非零,否则矩阵为不可逆(单数的).拉普拉斯公式逆矩阵为
-
A类 − 1 = , det(探测)(A类) ≠ 0, |
哪里是调整矩阵属于.特征向量和特征值
- 文章主页:特征向量和特征值
非零标量 和一个非零矢量 令人满意的-
被称为特征值和一个特征向量属于分别是。非零标量是一个特征值矩阵当且仅当是不可逆的,相当于-
另请参见
外部链接