一些具有(相对)简单普通生成函数的分治序列
一些具有(相对)简单普通生成函数的分治序列
版本2004-01-1
拉尔夫·斯蒂芬(Ralf Stephan)
介绍
在下文中,收集了大约100个序列由普通生成函数生成形式为1/(1-x)^m*sum(k=0,inf,C^k*R(x^2^k)),其中m=0,1,2,C为整数,R为有理函数。给定的复发确实是由上述函数生成(以及大多数序列是分形的)下面的部分.
对于所有复发组织环境信息系统条目,以及在可能的情况下,助记符和“封闭形式”是鉴于。链接周围的括号表示可以从通过移位等基本操作进行的递归。使用的缩写是[日志2(n)]对于A000523号(n) ,v2(n)对于A007814号(n) ,e1(n)对于A000120号(n) ,和e0(n)对于A023416号(n) ●●●●。如果省略参数,则为被理解为n。重复开始值a(0)始终为0。
形式a(2n)=C*a(n)+P(n),a(2n+1)=Q(n)(1)
在这里和之后,P和Q是n的函数,可由有理生成函数,C整数。
形式a(2n)=C*a(n)+P(n),a(2n+1)=C*a(n,n)+Q(n)(2)
序列都是上一个形式(1),并以a(0)=0开始。
情况C=1
情况C=2
其他情况
形式a(2n)=C*(a(n)+a(n-1))+P(n),a(2n+1)=2C*a(n,n)+Q(n)(3)
P和Q是n的函数,可由有理生成式表示函数,C整数。序列都是前一形式(2),a(0)=0。
理论
引理。设A(z)是形式有理函数的无穷和A(z)=总和(k=0,inf,C^k*B(z^(2^k)),B有理数,C整数。然后A(z)生成一个整数序列满足分治类型a(0)=0,a(2n)=Ca(n)+b(2n,其中b(n)是由b(z)生成的序列。
k=0的求和项填充了a(n)的两个二分之一因为C^k和2^k减少到1。任何其他期限供款只有到a(2n),因为z的所有指数都是偶数。此外单项总和变得越来越稀疏(按系数2展开),并且具有值乘以C,关于彼此之间。这本质上就是a(n)的分形性的原因。
注意,引理的证明很容易,因为在递归的奇数平分相当于递归的截止,离开计算v2(n)步的偶数对分。可以从中生成函数的集合此Postscript文件(6页)。一个悬而未决的问题是,这里讨论的所有序列是否都是2-正则的。
参考文献:
杜马博士,分而治之.