A082985-OEIS公司

A082985号

切比雪夫U（2*n，x）多项式的系数表按（-4*（1-x^2））的递减幂展开。

1, 1, 3, 1, 5, 5, 1, 7, 14, 7, 1, 9, 27, 30, 9, 1, 11, 44, 77, 55, 11, 1, 13, 65, 156, 182, 91, 13, 1, 15, 90, 275, 450, 378, 140, 15, 1, 17, 119, 442, 935, 1122, 714, 204, 17, 1, 19, 152, 665, 1729, 2717, 2508, 1254, 285, 19

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,3

第n行的总和=A000204号（2n+1），即。，A002878号（n） ●●●●。

行#n具有多项式的无符号系数，该多项式的根是2sin（2*Pi*k/（2n+1））[对于k＝1到2n]。

正根是内切在单位圆上的规则（2n+1）-边的对角线长度。

行#n=Sum_{m=0..n}（-1）^m T（n，m）x^（2n-2m）的多项式。

这也是Chebyshev的2*T（2*n+1，x）多项式的无符号系数表，该多项式以2*x的奇数幂递减展开-沃尔夫迪特·朗2007年3月7日

第n行是多项式S（n）的系数，其中S（0）=1，S（1）=x+3，S（n）=（x+2）*S（n-1）-S（n-2）（参见Sun链接）-米歇尔·马库斯，2016年3月7日

参考文献

J.D’Angelo，《多复变量与实超曲面的几何》，CRC出版社，1992年；见第151175页。

斯蒂芬·埃伯哈特（Stephen Eberhart），“数学-物理对应”，第37-38号，1982年1月8日。

西奥多·里夫林，切比雪夫多项式：从近似理论到代数和数论，2。编辑，威利，纽约，1990年。

链接

文森佐·利班迪，三角形的行数n=0..100，展平

K.Dilcher和K.B.Stolarsky，描述双素数的Pascal型三角形阿默尔。数学。月刊，112（2005），673-681。

孙志宏，关于Lucas序列的展开式和恒等式，斐波纳契夸脱。44（2006），第2期，145-153。见定理3.1

配方奶粉

行读取的三角形：行#n有n+1个术语。T（n，0）=1，T（n、n）=2n+1，T（m，n）=T（n-1，m-1）+和{k=0..m}T（n-1-k，m-k）。

T（k，s）=（（2k+1）/（2s+1））*二项式（k+s，2s），0<=s<=k；然后变换三角形-加里·W·亚当森2003年5月29日

发件人沃尔夫迪特·朗2007年3月7日：（开始）

有符号版本：如果n<m，则a（n，m）=0，否则a（n、m）=（（-1）^m）*二项式（2*n+1-m，m）*（2*n+1）/（2*n-1-m）。根据Rivlin参考文献，第37页，方程（1.92），使用T（2*n+1，x）的微分方程。也来自Waring的公式。

有符号版本：如果n＜m，a（n，m）＝0，否则a（n，m）＝（（-1）^m）*（Sum_{k=0..n-m}二项式（m+k，k）*二项式（2*n+1,2*（k+m））/2^（2*（n-m））。证明：De Moivre的cos（（2*n+1）*phi）公式用cos（phi）的奇数幂重写。参见Rivlin参考第4页，等式（1.10）。

签名版本：a（n，m）=A084930号（n，n-m）/2^（2*（n-m））（切比雪夫T（2*n+1，x）的标度系数，减小奇数幂）。

无符号版本：如果n<m，则a（n，m）=0，否则a（n、m）=二项式（2*n-m，m）*（2*n+1）/（2*（n-m）+1）。根据U（2*n，x）的微分方程。（结束）

T（n，k）=T（n-1，k）+2*T（n-1，k-1）-T（n-2，k-2）-菲利普·德尔汉姆2012年2月24日

和{i>=0}T（n-i，n-2*i）=A003945号（n） ●●●●-菲利普·德尔汉姆2012年2月24日

Sum_｛i>=0｝T（n-i，n-2*i）*4^i=3^n=A000244号（n） ●●●●-菲利普·德尔汉姆2012年2月24日

发件人保罗·魏森霍恩2019年11月25日：（开始）

T（r，k）=二项式（2*r-k，k-1）+二项式（2*r-1-k，k-2），其中1<=r和1<=k<=r。

对于给定的n，得到r=floor（（1+sqrt（8*n））/2），k=n-（r^2-r）/2，a（n）=二项式（2*r-k，k-1）+二项式。（结束）

例子

多项式的展开：

x^0；

x^2-3*x^0；

x^4-5*x^2+5*x^0；

x^6-7*x^4+14*x^2-7*x ^0；

x^8-9*x^6+27*x^4-30*x^2+9*x^0；

x^10-11*x^8+44*x^6-77*x^4+55*x^2-11*x ^0。。。

多项式#4有8个根：k=1到8的2*sin（2*Pi*k/9）。

系数（去掉符号）为

1, 3;

1, 5, 5;

1, 7, 14, 7;

1, 9, 27, 30, 9;

1, 11, 44, 77, 55, 11;

...

MAPLE公司

A082985号：=过程（n，m）

二项式（2*n-m，m）*（2*n+1）/（2*n-2*m+1）；

结束进程：#R.J.马塔尔，2013年9月8日

数学

T[n_，m_]：=二项式[2*n-m，m]*（2*n+1）/（2*n-2*m+1）；表[T[n，m]，｛n，0，9｝，｛m，0，n｝]//压扁(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2013年10月8日之后R.J.马塔尔*)

黄体脂酮素

（PARI）T（n，k）=二项式（2*n-k，k）*（2*n+1）/（2*n-2*k+1）\\G.C.格鲁贝尔2019年12月30日

（岩浆）[二项式（2*n-k，k）*（2*n+1）/（2*n-2*k+1）：k in[0..n]，n in[0..10]]//G.C.格鲁贝尔2019年12月30日

（Sage）[[二项式（2*n-k，k）*（2*n+1）/（2*n-2*k+1）for k in（0..n）]for n in（0..10）]#G.C.格鲁贝尔2019年12月30日

（GAP）平面（列表（[0..10]，n->列表（[0.n]，k->二项式（2*n-k，k）*（2*n+1）/（2*n-2*k+1）））#G.C.格鲁贝尔2019年12月30日

交叉参考

Cf.伴生三角形A084534号.

对比对角线：A005408号,A000330号,A005585号,A050486号,A054333号,A057788号.

囊性纤维变性。A054142号,172431英镑.

上下文中的序列：A131768号 A232632型 A084533号*111125英镑 A209159型 A182397号

相邻序列：A082982美元 A082983号 A082984号*A082986号 A082987号 A082988号

关键词

非n,容易的,表

作者

加里·W·亚当森2003年5月29日

扩展

安妮·多诺万编辑（anned3005（AT）aol.com），2003年6月11日

重新编辑人唐·雷布尔，2005年11月12日

状态

经核准的