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| A007323号 |
| 亏格n的数值半群的个数；还推测了n个变量中对称函数的幂和基的个数。
（原名M1064）
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6
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1, 1, 2, 4, 7, 12, 23, 39, 67, 118, 204, 343, 592, 1001, 1693, 2857, 4806, 8045, 13467, 22464, 37396, 62194, 103246, 170963, 282828, 467224, 770832, 1270267, 2091030, 3437839, 5646773, 9266788, 15195070, 24896206, 40761087, 66687201, 109032500
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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来自Don Zagier 1994年4月11日的电子邮件：（开始）
给定n，我们知道n个变量a_1，…，中对称函数的域，。。。，a_n是字段Q（sigma_1，…，sigma_n），其中sigma_i是第i个初等对称多项式。这里没有选择，因为对于i>n和小于n的sigma，sigma_i=0是不够的。
但是，根据牛顿公式，该场也被给定为Q（s_1，…，s_n），其中s_i是第i次幂和，现在人们可以问其他序列s_{j_1}，。。。，s_{j_n}（0<j_1<…<j_n）也有效。
对于n=1，唯一的可能性显然是s_1，因为当i>1时，Q（s_i）=Q（a^i）与Q（a）不一致，但对于n=2，有两种可能性Q（s_1、s_2）或Q（s1、s_3），因为从s_1=a+b和s_3=a^3+b^3可以重建s_2=（s_1^3+2s_3，/3s_1。
类似地，对于n=3，有（123）、（124）、（125）和（135）的可能性（最后一种情况下的公式是s_2=（s_1^5+5s_1^2s_3-6s_5）/5（s_1 ^3-s_3）；在其他情况下，可以很容易地找到相应的公式），对于n=4，有7:1234、1235、1236、1237、1245、1247和1357。
Kakutani的一个定理（我不知道参考文献）说，出现的序列正好是N的有限子集，其补码是可加半群（例如，{1,2,4,7}的补码是3,5,6,8,9，…，在加法下是闭合的）。
这是一个非常漂亮的定理。我编写了一个简单的程序来计算基数n的集合，这些集合具有n=1。。。，16.（结束）
这个序列与数值半群有关，数值半群是基本的基本对象，但鲜为人知：数值半群S<N定义为：加法下闭，包含零，N\S是有限的。【约翰·麦凯，2011年6月9日】
Zagier在电子邮件中提到的定理是由于Kakeya，而不是Kakutani（见参考文献）。该定理指出，如果n个正整数序列k1，k2，。。。，kn构成数值半群的补，然后幂和p_k1，p_k2，。。。，pkn是n变量对称函数有理函数域的基础。卡基亚猜想对称函数的每一个幂和基都有这个性质，但这仍然是一个公开的问题。感谢用户Gjergji Zaimi对数学溢出的引用。【特雷弗·海德，2018年10月18日】
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参考文献
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Sean Clark、Anton Preslicka、Josh Schwartz和Radoslav Zlatev，关于复曲面理想族的一些组合猜想：来自MSRI 2011交换代数研究生研讨会的报告。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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马修斯·贝尔纳迪尼和吉尔伯托·布里托，关于纯k稀疏间隙集，arXiv:2106.13296[math.CO]，2021。
马修斯·贝尔纳迪尼和费尔南多·托雷斯，用亏格和偶数间隙计算数值半群，arXiv:1612.01212[math.CO]，2016-2017。
玛丽亚·布拉斯·阿莫罗斯，主页[这些参考文献很多]
玛丽亚·布拉斯·阿莫罗斯，给定亏格数值半群数的类斐波那契行为《半群论坛》，76（2008），379-384。请参见也，arXiv:1706.05230[math.NT]，2017年。
玛丽亚·布拉斯·阿莫罗斯，给定亏格的数值半群个数的界《纯粹与应用代数杂志》，第213卷，第6期（2009年），第997-1001页。arXiv:0802.2175。
玛丽亚·布拉斯·阿莫罗斯（Maria Bras-Amorós）和J.费尔南德斯·冈萨雷斯（J.Fernández-González），arXiv版本，arXiv:1607.01545[math.CO]，2016-2017；用种子计算数值半群《计算数学》87（313），美国数学学会，2539-25502018年9月。
玛丽亚·布拉斯·阿莫罗斯（Maria Bras-Amorós）和J.费尔南德斯·冈萨雷斯（J.Fernández-González），数值半群的右生成子，数学。公司。89 (2020), 2017-2030. arXiv公司：1911.03173[math.CO]。
曼努埃尔·德尔加多（Manuel Delgado）、沙洛姆·埃利亚胡（Shalom Eliahou）和让·弗罗门汀（Jean Fromentin），Wilf猜想到亏格100的证明，arXiv:2310.077422023年。
Sergi Elizalde，给定亏格的数值半群数的改进界，arXiv:0905.0489[math.CO]，2009年。【玛丽亚·布拉斯·阿莫罗斯，2009年9月1日】
S.R.Finch，自然数的幺半群，2009年3月17日。[经作者许可，缓存副本]
让·弗罗门汀，数值半群树的探索，arXiv:1305.3831[math.CO]，2013-2015年。请参见也，哈尔-00823339。
Jean Fromentin和Florent Hivert，数值半群树的探索，数学。公司。85 (2016), 2553-2568.
内森·卡普兰，计数数值半群，arXiv:1707.02551[math.CO]，2017年。也是Amer。数学。月刊，124（2017），862-875。
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配方奶粉
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猜想：A）A（n）>=A（n-1）+A（n-2）；B） a（n）/（a（n-1）+a（n-2））接近1；C） a（n）/a（n-1）接近黄金比例；D） a（n）>=a（n-1）。M.Bras-Amorós于2007年在西班牙塞戈维亚举行的代数几何、编码和计算研讨会上以及2008年在西班牙格拉纳达举行的2018年IMNS上提出了猜想A、B、C、D。猜测A、B、C随后在半群论坛上发表，76（2008），379-384。翟于2011年证明了猜想B和C-玛丽亚·布拉斯·阿莫罗斯，2007年10月24日，2009年8月31日更正
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例子
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G.f.=x+2*x ^2+4*x ^3+7*x ^4+12*x ^5+23*x ^6+39*x ^7+67*x ^8+。。。
a（1）=1，因为亏格为1的唯一数值半群是N\{1}
a（3）=4，因为亏格3的四个数值半群是N{1,2,3}，N{1,2,4}，N-{1,2,5}和N{1,3,5}
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的
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作者
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Don Zagier（Don.Zagier（AT）mpim-bonn.mpg.de），1994年4月11日
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扩展
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2007年10月24日，Maria Bras-Amorós（Maria.Bras（AT）gmail.com）贡献了从a（17）到a（52）的术语（在半群的上下文中）。计算是在Jordi Funollet和Josep M.Mondelo的帮助下完成的。
术语a（53）-a（60）摘自Fromentin（2013）论文-N.J.A.斯隆2013年9月5日
术语a（61）至a（70）取自https://github.com/hivert/NumericMonoid。
术语a（73）至a（75）摘自Delgado等人（2023）的论文-丹尼尔·朱2024年2月16日
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状态
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经核准的
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