n实验室劳弗尔不动点定理

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范畴理论

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想法

各种对角线自变量例如在停顿定理,康托定理，以及哥德尔的不完全性定理，是的所有实例Lawvere不动点定理(劳弗尔69)这意味着任何笛卡尔闭范畴，如果有一个合适的概念满态来自一些对象 A类A类到指数对象/内部hom从A类A类进入其他物体B类B类

A类⟶B类 A类A\向右长箭头B^A

然后每隔自同态 （f）:B类→B类f\冒号B\至B属于B类B类有一个固定点.

精确的语句

让我们说一张地图ϕ:X（X）→Y（Y）\φ：X至Y是点投射的如果每个点q个:1→Y（Y）q： 1至Y存在一个点第页:1→X（X）p： 1至X提升q个q个即。，ϕ第页=q个\φp=q.

定理

（劳弗尔不动点定理）在笛卡尔闭范畴中，如果存在点投射映射ϕ:A类→B类 A类\φ：A\至B^A，然后是每个态射（f）:B类→B类f： B至B有一个固定点秒:1→B类s： 1至B（因此（f）秒=秒f s=s).

证明

鉴于（f）:B类→B类f： B至B，让q个:1→B类 A类q： 1至B^A命名合成贴图

A类→δA类×A类→ϕ×1 A类B类 A类×A类→评估B类→（f）B类A\stackrel{\delta}{\to}A\times A\stackerel{\phi\times1_A}{\to}B^A\timesA\stachrel{eval}{\to-}B\stackrel{f}{\toS}B

从A类A类到B类B类.英寸λ演算符号，q个=λ一:A类.（f）ϕ(一)(一)q=λa:a.f\phi（a）（a）.让第页:1→A类p： 1\至A举起q个q个.然后计算

ϕ(第页)(第页)=q个(第页)=(λ一:A类.（f）ϕ(一)(一))(第页)=（f）ϕ(第页)(第页)\φ（p）（p）=q（p）=（λa:a.）

其中最后一个方程是β-还原.因此秒≔ϕ(第页)(第页)s \ coloneqq \ phi（p）（p）是的固定点（f）（f）.

备注

正如Lawvere所指出的那样，一个比点直观更弱的假设也可以，克:X（X）→Y（Y） A类g： X到Y^A被称为弱点投射iff用于每个（f）:A类→Y（Y）f： A\至Y有x个:1→X（X）x： 1至x这样，对于每一个一:1→A类a： 1至a，我们有克(x个)(一)=（f）(一)g（x）（a）=f（a）.（这较弱，因为克(x个)=（f）g（x）=f无法从中推断克(x个)(一)=（f）(一)g（x）（a）=f（a）为所有人全局元素 一一.)

备注

如果将“（弱）点投射”替换为“满态性”，则该语句不需要成立。例如，在紧生成的Hausdorff空间和连续映射的笛卡尔闭范畴中S公司=S公司 1S=S^1圆圈波兰空间 S公司 ℕS^\mathbb{N}在产品拓扑下紧凑生成；这是指数，其中ℕ\mathbb{N}给出了离散拓扑。有一个可数稠密子空间我:ℕ→S公司 ℕi： \mathbb{N}\到S^\mathbb{N}，但请记住，对于Hausdorff空间类别的任何完整子类别（f）:X（X）→Y（Y）f： X到Y是一个满射，如果它有一个稠密的形象另一方面，有明显的旋转S公司S公司没有固定点的。

因此，表态不一定是（弱）点投射的。点投射映射也不一定是表态；例如，如果单位↪V（V）U \hookright箭头V是终端对象的适当子对象之间的适当包含11（可能发生在层拓扑)，那么这是空洞的点投射，但不是满态。

点直观似乎是“满态”的一个不充分的概念，但它满足了许多目的。例如，

提议

（拓扑中的康托定理）对于任何对象X（X）X（X），存在一个同态（f）:X（X）→Ω X（X）f： X\到\欧米茄^X只有当拓扑是退化的。

证明

假设存在这样的epi。在地形中，地图（f）:X（X）→Y（Y）f： X到Yepi是否为直接图像地图∃ （f）:Ω X（X）→Ω Y（Y）\存在_f:\Omega^X\到\Omega^Y收回反像地图Ω （f）:Ω Y（Y）→Ω X（X）\欧米茄^f:\Omega^Y\to\Omega ^X即。，∃ （f）∘Ω （f）=1 Ω Y（Y）\exists_f\circ\Omega^f=1_{\Omega ^Y}.放置Y（Y）=Ω X（X）Y=\欧米茄^X，假设意味着∃ （f）:Y（Y）→Ω Y（Y）\exists_f:Y\到\Omega^Y是收回。但收回是自动指向性的。

然后我们从Lawvere的不动点定理得出结论：Ω\欧米茄尤其是否定词¬:Ω→Ω\阴性：\Omega\to\Omega，具有固定点第页:1→Ωp： 1至欧米茄.然后0=第页∧¬第页=第页∧第页=第页0=p\楔形\neg p=p\楔形p=p，从哪里¬0=0\负0=0，或“true=false”：拓扑是退化的。

一旦我们有了一个提议第页第页具有第页=¬第页p=\neg p，另一种得出证明的方法是将Lawvere的不动点定理再次应用于满射第页→0 第页p\至0^p，其中第页第页被视为subsingleton公司和00是初始对象，因此0 第页=¬第页0^p=\neg p。这给出了一个固定点1→01\至0身份地图的0→00\至0这又一次使地形退化。（上述较短版本为β-还原）为了将这个论点形式化并将其推广到universe类型，请参阅埃斯卡多18.

备注

Lawvere不动点定理的另一个版本只需要有限乘积就可以表达出来。即，在具有有限乘积的范畴中，假设Φ:A类×A类→B类\功率因数：A\次A\至B是一个态射，其属性为克:A类→B类g： A\至B存在一:1→A类a： 1至a这样的话克λ=Φ∘(一×1 A类)g \lambda=\Phi \circ（a \times 1_a），其中λ:1×A类→∼A类\lambda：1倍A\stackrel{\sim}{\to}A是投影。然后每个地图（f）:B类→B类f： B至B有一个固定点。这个版本的定理强调了亚诺夫斯基.

备注

Lawvere不动点定理的许多应用都是以否定命题的形式出现的，例如，从一个集合到它的幂集不存在满态，或者皮亚诺算术无法证明自己一致性然而，也有积极的应用，例如，这意味着不动点组合子在里面非类型lambda演算.

历史

在一次采访中(劳弗尔07)哥德尔100岁生日后不久，威廉·劳弗尔回答了这个问题

我们最近庆祝了库尔特·哥德尔的100岁生日。你怎么看待围绕他的不完全性定理的额外数学宣传？

通过说（转载于Lawvere 69重印，第2页):

在“对角参数和笛卡尔闭范畴”中(劳弗尔69)我们证明了哥德尔的不完全性定理和塔斯基的真定义理论都是笛卡尔闭环境中一些非常简单的代数的结果，从而揭开了它们的神秘面纱。对于许多人来说，很难理解康托的数学定理是如何被罗素重新定义为“悖论”的，以及哥德尔定理是如何经常被宣布为20世纪最重要的结果。科学家们一直怀疑，这种超主题的宣传运动掩盖了重建信仰以替代科学的议程。现在，在哥德尔出生一百年后，有组织地试图将他的伟大数学著作运用到这样一个议程上的尝试已经变得明确。

工具书类

原文：

审查和进一步发展：

博览会：

中的形式化阿格达

Lawvere账户的必要假设以各种方式减少

上次修订时间：2023年8月10日11:58:15。请参阅历史获取所有贡献的列表。

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