xi函数是函数
哪里
是黎曼-泽塔函数和
是伽马函数(Gradshteyn和Ryzhik 2000年,第1076页;Hardy 1999年,第41页;Edwards 2001年,第16页)。这是Riemann在其里程碑纸(Riemann 1859),上面现在的标准符号遵循Landau(爱德华兹2001年,第16页)。
它是一个整个函数(爱德华兹2001年,第16页)。
它在Wolfram语言作为RiemannXi公司[秒].
的零
及其的衍生产品都位于批评的带
,哪里
.因此黎曼zeta函数完全对应于
(即
与的相同
真的
),还有其他好处
是纯粹真实的。
前几个零出现在下表中总结的值处(Wagon 1991,第361-362页和第367-368页;Havil 2003,第196页;Odlyzko),其中相应的负值也是根。最接近这些值的整数是14、21、25、30、33、38、41、43、48、50。。。(组织环境信息系统A002410号).零数小于10,
,
, ... 是0、29、649、10142、138069、1747146。。。(组织环境信息系统A072080型; 奥德利兹科)。
![n个](/images/equations/Xi-Function/Inline19.svg) | 组织环境信息系统 | ![特纳](/images/equations/Xi-Function/Inline20.svg) |
1 | A058303号 | 14.134725 |
2 | | 21.022040 |
三 | | 25.010858 |
4 | | 30.424876 |
5 | | 32.935062 |
6 | | 37.586178 |
特殊值包括
这个
函数满足功能性的方程式
![xi(1-z)=xi(z)](/images/equations/Xi-Function/NumberedEquation1.svg) |
(9)
|
(爱德华兹2001年,第16页)。
xi函数具有泰勒级数大约1/2属于
![xi(s)=sum_(n=0)^inftya_(2n)(s-1/2)^(2n),](/images/equations/Xi-Function/NumberedEquation2.svg) |
(10)
|
哪里
![a_(2n)=4int_1^英寸(d[x^(3/2)psi^'(x)])/(dx)((1/2lnx)^(2nx^(-1/4)dx](/images/equations/Xi-Function/NumberedEquation3.svg) |
(11)
|
和
(爱德华兹2001年,第15页)
一雅可比θ功能.系数
具有简单的分析形式
(组织环境信息系统A114720号).
正如Riemann(1859)和Hadamard(1893)首次严格证明的那样,xi函数可以写成
![xi(s)=xi(0)乘积(rho)(1-s/rho),](/images/equations/Xi-Function/NumberedEquation4.svg) |
(16)
|
产品从根部流过的地方
属于
(爱德华兹2001年,第17-21页)。
xi功能扩展到复平面如上图所示。
功能
与相关
![Xi(t)=Xi(z),](/images/equations/Xi-Function/NumberedEquation5.svg) |
(17)
|
哪里
(Gradshteyn和Ryzhik 2000年,第1074页;Edwards 2001年,第16页),这是最初考虑并实际表示的功能
作者:Riemann(Edwards,2001年,第16页)。此功能可以也被定义为
![Xi(it)=1/2(t^2-1/4)pi^(-t/2-1/4)伽马(1/2t+1/4)zeta(t+1/2),](/images/equations/Xi-Function/NumberedEquation6.svg) |
(18)
|
给
![Xi(t)=-1/2(t^2+1/4)pi^(it/2-1/4)伽马(1/4-1/2it)zeta(1/2-it)。](/images/equations/Xi-Function/NumberedEquation7.svg) |
(19)
|
这个德布鲁因-纽曼常数定义为
功能。
Hardy(1914)证明了
有无限多的实根(哈代定理),Hardy和Littlewood(1921)证明了0到
至少是
对于某些正常数
而且都足够大
Selberg(1942)证明了这个数字实际上是最少的
对于一些积极的
而且都很大
(爱德华兹2001年,第19页)。
Coffey(2004)给出了
.
另请参见
de Bruijn-Newman常数,莱默现象,李的标准,黎曼假设,黎曼-西格尔功能,Riemann-Siegel积分公式,黎曼-泽塔函数,黎曼Zeta函数零
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Borwein,J.M。;Bradley,医学博士。;和克兰德尔·R·E。“黎曼-泽塔函数的计算策略。”J。计算。申请。数学。 121, 247-296, 2000.布伦特,R.P。“关于临界带中Riemann-Zeta函数的零点。”数学。计算。 33, 1361-1372, 1979.布伦特,R.P。;范德卢恩,J。;te Riele,H.J。J。;和D.T.Winter。“关于零临界带中的黎曼-泽塔函数。二、。"数学。计算。 39,681-688, 1982.科菲,M.W。“关系和积极性结果对于黎曼导数
功能。"J.计算。申请。数学。 166,525-534, 2004.J.B.科里。“黎曼假设。”不是。阿默尔。数学。Soc公司。 50, 341-353, 2003.http://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf.爱德华兹,H.M.公司。“功能
“§1.8英寸黎曼氏Zeta函数。纽约:多佛,第16-18页,2001年。Gradshteyn,I.S.公司。和I.M.Ryzhik。桌子积分、级数和乘积的修正。第4版。加利福尼亚州圣地亚哥:学术出版社,2000年。Hadamard,J.《财产保护法》完整功能和特殊功能考虑帕·里曼(par Riemann)。"J.数学。pures应用程序。 9, 171-215, 1893.哈代,G.H.公司。“Sur les zéros de la function公司
德·里曼。"C.R.学院。科学。巴黎 158,1012-1014, 1914.G.H.哈代。拉马努扬:关于他的生活和工作所建议主题的十二讲,第三版。纽约:切尔西,1999年。G.H.哈代。和Littlewood,J.E。“临界线上黎曼齐塔函数的零点。"数学。Z.公司。 10,283-317, 1921.哈维尔,J。伽马射线:探索欧拉常数。新泽西州普林斯顿:普林斯顿大学出版社,第202-203页,2003基珀,J.B。“黎曼的幂级数展开
功能。"数学。计算。 58,765-773, 1992.Li,X.-J.“数列的正性和黎曼假设。"J.编号Th。 65, 325-333, 1997.奥德里兹科,上午。“
第个黎曼-泽塔函数的零点及其7000万个相邻函数。“预打印。奥德里兹科,A.“黎曼-泽塔函数的零点表”http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/.黎曼,G、F。B。“安扎尔·德·普里姆扎赫伦(Anzahl der Primzahlen unter gegebenen)是我们的朋友格里斯。"莫纳茨伯。科尼格尔。普劳斯。阿卡德。威斯。柏林, 671-680,1859年11月。重印于达斯Kontinuum和Andere专题论文(编辑H.Weyl)。纽约:切尔西,1972年。在爱德华兹,H.M。附录。黎曼氏Zeta函数。纽约:多佛,第299-305页,2001年。塞尔伯格,A.“关于黎曼齐塔函数的零点。”挪威船级社-阿卡德。奥斯陆1942年第10期。新泽西州斯隆。答:。序列A002410号,A058303号,A072080型、和A114720号在“整数序列在线百科全书”中蒂奇马什,欧洲委员会。这个黎曼-泽塔函数理论,第二版。纽约:克拉伦登出版社,1987年。货车,证据:泽塔的零点在哪里
?"数学。英特尔。 8, 57-62, 1986.货车,美国。数学软件正在运行。纽约:W.H。弗里曼,1991年。参考Wolfram | Alpha
Xi函数
引用如下:
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Xi-Function”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Xi-Function.html
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