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张索尔

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安n个第个-等级张量米-维空间是一种数学具有n个指数和百万组件并遵守某些转换规则。每个指数张量的维数范围空间.然而，在大多数张量方程中，空间的维数在很大程度上是无关的（除了合同规定的明显例外克罗内克三角洲). 张量是标量（没有指数）、向量的推广（已经正好一个索引）和矩阵（即正好有两个索引）到任意数量的索引。

张量提供了一个自然简明的数学框架，用于表述和解决物理领域的问题，如弹性力学、流体力学和广义相对论。

张量的符号与矩阵（即。，A=（A_（ij））)，除了张量a_（ijk…）,a ^（ijk…）,a_i^（jk）。。。等等，可以具有任意数量的指数.此外，张量等级 r+秒可以是混合型（个），包括第页所谓的“逆变”（上）指数和秒“协变”（下）指数.注意，逆变和协变指数所在插槽的位置位置很重要，例如，a_（穆努）^lambda不同于a_mu^（nulambda）.

对于一般张量，必须区分协变指数和逆变指数，而对于三维张量，两者是等价的欧几里得的空间，这种张量称为笛卡尔张量.

像零库张量一样变换的对象称为标量，那些像一阶张量一样变换的称为向量,那些像二阶张量一样变换的被称为矩阵.在张量记法中，向量v（v）将被写入v_i,哪里i=1, ...,米、和矩阵是类型的张量(1,1)，将被写入我^j用张量表示法。

张量可以由其他张量操作（例如度量张量，的置换张量，或克罗内克三角洲)或张量操作符（例如作为协变导数). 操纵用来产生恒等式或简化表达式的张量指数称为指数体操，其中包括指数降低和指数上升作为特殊情况。这些可以通过将所谓的米制的张量 g（ij）,g^（ij）,g_i^j等，例如。，

g^（ij）A_j=阿^i
(1)
g_（ij）A^j=A（_i）
(2)

（阿夫肯1985年，第159页）。

张量表示法可以提供一种非常简洁的向量书写方式和更一般的恒等式。例如，在张量表示法中点积 u·v只是简单地写

u·v＝u _ iv ^i，
(3)

其中，重复的指数被求和(爱因斯坦总和). 类似地交叉积可以简明扼要地写成

（uxv）_i=ε_（ijk）u^jv^k，
(4)

哪里ε（ijk）是置换张量.

反变式二阶张量是物体转换为

A ^（'ij）=（partialx_i^'）/（partial x_k）（partial/x_j^'）或（partial-x_l）A ^。
(5)

协变二阶张量是指转换为

C_（ij）^'=（partialx_k）/（partial x_i^'）（partiallx_l）/（partialx_j^'）C_（kl）。
(6)

混合的二阶张量是变换的对象作为

B^'_j^i=（partialx_i^'）/（partial x_k）（partiallx_l）/（partialx_j^'）B^k_l。
(7)

如果两个张量一和B类具有相同的等级协变的和逆变的指数，然后他们可以以明显的方式添加，

A^（ij）+B^（ij）=C^（ij）
(8)
A_（ij）+B_（ii）=C_（ij）
(9)
A^i_j+B^i_j=C^i_j。
(10)

泛化点积应用于张量称为张量收缩、和包含将两个不同的索引设置为相等，然后使用爱因斯坦总和惯例。张量可以取各种类型的导数最常见的是逗号导数和协变导数.

如果任意张量的分量张量秩消失在一个特定的坐标系中，它们也消失在所有坐标系中。张量变量的变换将张量转换为另一张量组件是线性的齐次函数原始张量的分量。

一张量空间类型为（个）可以描述为矢量空间张量积之间第页的副本向量场和秒双向量场的副本，即。，单一形式例如，

T^（（3,1））=TM张量TM张量
(11)

是向量束属于(3,1)-a上的张量歧管 M（M），其中TM（TM）是切线束属于M（M）和T^*M（T ^*M）是它的双重属性。类型张量（个）表格a向量空间.这个广义到任何张量类型的描述，以及可逆的线性地图 J： V->W诱导贴图J^~：V张量V^*->W张量W^*,哪里V（V）^*是二重的向量空间和J型这个雅可比（Jacobian），由定义

J^~（v_1张量v_2^*）=（Jv_1张量（J^（T））^（-1）v_2^*），
(12)

哪里J^（T）是拉回地图使用雅可比（Jacobian）.此定义可以类似于其他定义进行扩展张量产品属于V（V）和V（V）^*。当以下内容发生变化时协调,然后张量进行类似的变换J型这个雅可比（Jacobian）线性变换。

另请参见

反对称张量,阵列,笛卡尔张量,逗号导数,反变式张索尔,协变导数,共变主义者张索尔,卷曲,分歧,梯度,指数体操,指数下降,索引提高,不可约张量,各向同性张索尔,雅可比张量,矩阵,混合张量,里奇曲率张量,黎曼张量,标量,对称张量,张索尔收缩,张量场,张索尔空间,扭转张量,矢量,韦勒张量 探索数学世界课堂上的这个主题

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引用如下：

托德·罗兰和埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“张量。”摘自数学世界--一只狼Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Tensor.html

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