在常见用法中,序数是一个形容词,用来描述物体的数字位置,例如第一、第二、第三等。
正式集合论,序数(有时简称为“序数”)是乔治·坎托的数字之一扩展整数.序数定义为订单类型的好有序集合(Dauben 1990年,第199页;Moore 1982年,第52页;Suppes 1972年,第129页)。有限序数通常用阿拉伯数字表示,而超限序数用小写希腊字母表示。
很容易看出有限的,有限的 全序集是井然有序.任意两个完全地有序集具有元素(用于非负整数)是阶同构,因此具有相同的订单类型(这也是序数)。有限集的序数表示为0,1,2,3。。。,即。,整数比相应的非负整数小一。
第一个超限序数,表示为,是订单类型的非负整数集(Dauben 1990,p.152;Moore 1982,p.viii;鲁宾1967年,第86和177页;《1972年的晚餐》,第128页)。这是“最小的”康托的超限数,定义为是大于整体数字Conway和Guy(1996)用符号表示.
从定义顺序比较,因此序数是井然有序设置.按大小增加的顺序,序号为0、1、2、…、。。。,,,, ...,,, .... 序数的符号可以是有点违反直觉,例如,即使,. The红衣主教数表示可数序数集的(aleph-1).
如果是一个有序集带序数,然后是所有序数的集合是秩序同构的到.这提供了将序数定义为所有序数的集合的动机而不是它本身。约翰·冯·诺依曼定义了一个集合成为序数若(iff)
1.如果是的成员,然后是一个真子集属于
2.如果和是的成员则以下情况之一为真:,是的成员,或是的成员.
3.如果是非空的真子集属于,则存在的成员这样交叉口为空。
(鲁宾1967年,第176页;西塞尔斯基1997年,第44页)。这是序数的标准表示。在此表示中,
符号 | 元素 | 描述 |
0 | | 空集合 |
1 | | 一组元素 |
2 | | 两个元素的集合 |
三 | | 三元素集 |
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| | 所有有限序数集 |
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| | 所有可数集合序数 |
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| | 所有可数和序数 |
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| | 设置所有有限序数和所有非负整数的序数 |
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Rubin(1967年,第272页)对序数。
因为任何序数,工会是一个较大的序数,没有最大序数,因此所有序数的类都是适当的班(如所示Burali-Forti悖论).
序数还有其他一些相当特殊的性质。两个序数之和可以取两个不同的值,三个序数的和可以取五个值。该序列的前几个项是2、5、13、33、81、193、449,,,,,, ..., 即2、5、13、33、81、193、449、1089、2673、6561、,15633, 37249, ... (Conway和Guy,1996年,OEISA005348号).以下各项的总和序数有或可能的答案(Conway和Guy,1996年)。
与相同,但是等于.大于任何数字属于表格 ,大于等等。
有些序数不能通过有限的加法、乘法和指数运算从较小的数中构造出来。这些序数服从康托的方程式.第一个这样的序号是
下一个是
然后跟随,, ...,,, ...,, ...,,, ...,,, ...,, ...,, ...,, ...,, ...,, ...,, ...,, ...,, ...,, ...,, ... (康威和盖伊1996).
顺序加法,序数乘法、和序数幂运算都可以定义。尽管这些定义对于秩序类型,这似乎并不常见。通常有两种方法用于定义对序数的操作:一种是使用集合,另一种是归纳。