一种单人游戏,在一个可以打开和关闭的矩形格子灯上进行。动作包括在其中一个方格内翻转“开关”,从而切换该方格和所有四个垂直和水平相邻方格的打开/关闭状态。从随机选择的灯光模式开始,目的是关闭所有灯。确定是否可以从一组所有灯打开到所有灯关闭的问题被称为“所有灯问题”。如Sutner(1989)所示,对于方形晶格(Rangel-Mondragon),这总是可能的。
这可以转化为以下代数问题。
1.每个灯配置都可以看作一个矩阵
中包含条目
(即a(0,1)-矩阵,其中每个1代表一个燃烧的灯,0代表一个关闭的灯。例如,对于
情况下,
![L=[0 1 0;1 1 0;0 1 1]](/images/equations/LightsOutPuzzle/NumberedEquation1.svg) |
(1)
|
2.置于的开关的动作
可以解释为矩阵加法
,其中
是矩阵中唯一等于1的项是放置在
以及相邻位置;基本上有三种不同类型的矩阵
,取决于是否
是拐角入口,
![A_(11)=[1 10;1 0 0;0 0 0]](/images/equations/LightsOutPuzzle/NumberedEquation2.svg) |
(2)
|
侧面入口,
![A_(12)=[1 11;0 1 0;0 0 0]](/images/equations/LightsOutPuzzle/NumberedEquation3.svg) |
(3)
|
或中间入口,
![A_(22)=[0 1 0;1 1 1;0 1 0]](/images/equations/LightsOutPuzzle/NumberedEquation4.svg) |
(4)
|
3.由于矩阵加法是可交换的,因此移动的执行顺序是无关的。
4.每一个获胜的动作组合都可以用以下数学形式表示:
![L+总和_(i,j)x_(ij)A_(ij=0。](/images/equations/LightsOutPuzzle/NumberedEquation5.svg) |
(5)
|
在这里,
表示零矩阵,对应于所有灯都关闭的情况,以及每个系数
表示切换的次数
必须按下。因为我们正在解方程(mod 2),因此可以用等效形式书写
![sum_(i,j)x_(ij)A_(ij=L。](/images/equations/LightsOutPuzzle/NumberedEquation6.svg) |
(6)
|
此外,只需将0和1视为
因此,上述等式为不定常线性方程组
在田野上
.
例如,与上述初始(左侧)光模式对应的系统可以写为
![[1 1 0 1 0 0 0 0;1 1 1 0 1 1 0 0 00 0;0 1 1 10 0 1 0 00;1 0 0 1 1 1 10;0 1 0 1 11 0;0 0 1 0 10 1;0 0 0 1 01 0;0 00 0 0 1 01 1 0;00 0 0 0 10 1 1][x_(11);x_(12);1;0;1;1;0,0;1,1]。](/images/equations/LightsOutPuzzle/NumberedEquation7.svg) |
(7)
|
它有正好一个解决方案:(
,
,
),这意味着按下开关
,
,
、和
(对应上图中的红点)。自上述方程组的矩阵具有最大秩(它是
行列式非零的矩阵)
-格总是可解的。
一般来说
晶格是从无光中获得的通过按下一些开关来形成模式。在线性代数语言中,它们是
-一些矩阵的和矩阵
.例如
-格子如上图所示。所有其他矩形大小为
对于每个可能的启动模式,都可以求解或更少。
有时可能有多种解决方案。例如,在
在这种情况下,有四种可能的解决方案来实现上述全光模式。
有些模式没有解决方案。例如,在
如上图所示,不可能全部关闭灯光。
如Sutner(1989)所示,对于任何尺寸正方形格子。上图显示了所有可能的解决方案对于
至7。解决方案的数量(忽略旋转和反射)
, 2, ... 是1,1,1,16,4,1,1,1,256,1,64,1,1,16,1, ... (组织环境信息系统A075462号),以及相应的要按下的最小按钮数为1、4、5、4、15、28、33、40、25、44、,55, 72, 105, 56, 117, ... (组织环境信息系统A075464号). 这个具有独特解决方案的电路板尺寸(通过因此,旋转或反射是1、2、3、6、7、8、10、12、13,15, 18, 20, ... (组织环境信息系统A076436号; 考恩和肯尼迪2000).
去除通过旋转或反射等效的解给出了上述不同的解,其中有1,1,1,5,1,1,1,1,43,1,10,1, 1, 5, 1, ... (组织环境信息系统A075463号). 电路板尺寸具有独特的解决方案(计数板通过旋转或因此,反射等效)为1、2、3、5、6、7、8、10、12、13、15、17,18, ... (组织环境信息系统A076437号).
此条目由贡献玛格丽塔巴里尔
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Lights Out拼图
引用如下:
玛格丽塔·巴里尔“Lights Out Puzzle”摘自数学世界--Wolfram Web资源,创建人埃里克韦斯特因.https://mathworld.wolfram.com/LightsOutPuzzle.html
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