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Lambert W函数

LambertW功能

兰伯特W公司-功能，也称为omega函数，是逆函数属于

f（W）=我们^W。
（1）

上图显示了沿实轴兰伯特的主要价值W公司-函数在沃尔夫拉姆语言作为产品日志[z（z）].功能的不同分支在沃尔夫拉姆语言作为产品日志[k个，z（z）]，其中k个是任意整数，并且k=0对应于主值。尽管没有记录，兰伯特W[k个，z（z）]自动求值为产品日志[k个，z（z）]在中Wolfram语言。

兰伯特（1758）考虑了

x^a-x^b=（a-b）vx^（a+b），
(2)

现在称为兰伯特超越方程1764年兰伯特从苏黎世搬来时，欧拉听说了兰伯特的论文去柏林。在对一些相关系列的优先顺序发生一些私人纠纷之后1770/1771年的扩张，欧拉（1783）写了一篇关于兰伯特的超越方程其中他引入了一个特例，简化为wa^w=lx，这几乎是宽（x），尽管Euler建议定义一个更像-W（-x）。欧拉在本文中考虑了级数解，在第一段中，明确地引用兰伯特的话，他是第一个考虑这个方程式的人。

艾森斯坦（1844）认为无穷级数权力塔

h（z）=z^（z^，
（3）

可以用封闭形式表示为

h（z）=-（W（-lnz））/（lnz）。
(4)

Pólya和Szegö（1925）是第一个使用这个符号的人W公司对于Lambert函数。

Banwell和Jayakumar（2000）表明W公司-函数描述电压、电流、，二极管中的电阻，Packel和Yuen（2004）应用了W公司-在空气中对弹道弹丸的作用阻力。统计力学、量子力学等领域也发现了其他应用化学、组合学、酶动力学、视觉生理学、工程学薄膜、水文学和算法分析（Hayes，2005年）。

LambertWReImAbs抗体
分钟 马克斯
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兰伯特W公司-功能如上面复杂平面中所示。

LambertWRiemann曲面

解析延拓的实（左）部和虚（右）部W（z）在复杂平面上进行了图示（M.Trott，pers.comm.）。

宽（x）是真实的x> =-1/e。它具有特殊的价值

W（-1/2pi）=1/2ipi
(5)
W（-e^（-1））=-1
(6)
W（0）=0
(7)
W（1）=0.567143。。。。
(8)

W（1）=0.567143。。。（组织环境信息系统A030178号)被称为欧米茄常数可以被视为“金色的比率“自年以来的指数

exp[-W（1）]=W（1，
(9)

给

ln[1/（W（1））]=W（1。
（10）

兰伯特W公司-功能服从身份

W（x）+W（y）=W（xy（1/（W（x
(11)

（R.Corless与O.Marichev于2015年9月29日进行通信）。

兰伯特WUnityReImAbs
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功能W（泽^z）/z在复杂平面中具有非常复杂的结构，但简单地等于1R[z]>=1以及实际轴上方和下方略微延伸的区域。

兰伯特W公司-功能具有系列扩展

宽（x）=sum_（n=1）^（infty）（（-1）^x ^n个
(12)
=x-x^2+3/2x^3-8/3x^4+（125）/（24）x^5-（54）/5x^6+（16807）/（720）x^7+。。。。
（13）

这个拉格朗日反演定理给予等效级数展开

W（z）=sum_（n=1）^infty（（-n）^（n-1））/（n！）z^n，
（14）

哪里不！是一个阶乘的然而，该序列在更大积极的和消极的的值真实的 z> 约0.4，因此不能用于实际的数值计算。

渐近的公式这产生了相当准确的结果z> 约3个是

W（z）=lnz-lnz+总和_（k=0）^（infty）总和_（m=0）
(15)
=L_1-L_2+（L_2）/（L_1）+（L_2+L_2））/（2L_1^2）+（L2（6-9L_2+2L_2^2））/，
(16)

哪里

左旋1=液化天然气
(17)
L_2级=印第安纳州
(18)

（无心等。1996年），纠正de Bruijn（1981）中的印刷错误。Gosper（pers.comm.，1996年7月22日）的另一项扩张是双重的系列

W（x）=a+sum_（n=0）^infty{sum_【k=0】^n（S_1（n，k））/（[ln（x/a）-a]^（k-1）（n-k+1）！）}[1-（ln（x/a））/a]^n，
(19)

哪里S_1号机组是一个非负的 斯特林数第一类和一是一个第一近似值，可用于选择分支机构。兰伯特W公司-函数是双值的-1/e<=x<0。对于W（x）>=-1，表示函数W_0（x）或者简单地宽（x），这称为主要的分支。对于W（x）<=-1，表示函数W_（-1）（x）. The导数属于W公司是

宽^'（x）=1/（[1+W（x）]经验[W（x
(20)
=（宽（x））/（x[1+W（x）]）
(21)

对于x=0。对于主要分支机构什么时候z> 0个，

ln[W（z）]＝lnz-W（z）。
(22)

这个n个第个朗伯导数W公司-函数由以下公式给出

W^（（n））（z）=（W^〔n-1〕（z））/（z^n〔1+W（z）〕^（2n-1））和_（k=1）^na_（kn）W^k（z），
(23)

哪里a_（kn）是数字三角形

1-2 -19 8 2-64 -79 -36 -6625 974 622 192 24
(24)

（组织环境信息系统A042977号). 这已经指数的生成函数

f（x）=（W（e^x（x+y（1+x）^2））-x）/（1+x）
（25）
=y-1/（2！）（x+2）y^2+1/（3！）（2x^2+8x+9）y^3-1/（4！）（6x^3+36x^2+79x+64）y^4+。。。。
(26)

另请参见

阿贝尔多项式，数字移位常数，兰伯特的超越方程式，欧米茄常数，功率塔

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ProductLog/

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工具书类

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参考Wolfram | Alpha

Lambert W函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Lambert W函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html

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