椭圆是一条曲线轨迹中所有点的飞机这个总和距离
和
从两个固定点
和
(该焦点)相隔一段距离
是既定的积极的常数
(希尔伯特和科恩·沃森,1999年,第2页)。这导致了双中心双极坐标方程式
![r1+r2=2a,](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation1.svg) |
(1)
|
哪里
是半大调轴和起源坐标系的其中一个焦点.相应参数
被称为半短轴.
椭圆是一个圆锥曲线和a李萨如曲线.
椭圆可以在Wolfram语言使用圆形[
x个,年
,
一,b条
].
如果线段的端点沿两条相交线移动,线段上(或延长线段的直线上)的固定点表示椭圆的圆弧。这被称为椭圆的trammel构造(Eves 1965,第177页)。
可以构造相互平稳旋转的椭圆齿轮(Brown 1871,第14-15页;Reuleaux和Kennedy 1876,第70页;Clark和Downward 1930;KMODDL)。
这个椭圆最初是由梅内克马研究的,由欧几里得研究,并由阿波罗纽斯命名。这个集中和圆锥曲线截面准线Pappus认为是椭圆的。1602年,开普勒相信火星的轨道椭圆形; 他后来发现这是一个椭圆,太阳在一集中事实上,开普勒引入了“集中“并发表了他的1609年发现。1705年,哈雷表明,现在以他的名字命名的彗星移动了在围绕太阳的椭圆轨道上(MacTutor Archive)。围绕旋转的椭圆其短轴表示扁球体,同时绕长轴旋转的椭圆给出长形的球体.
光线穿过集中在一次反弹后将通过另一个焦点(Hilbert和Cohn-Vossen,1999年,第3页)。反射未通过集中将相切共焦双曲线或椭圆,具体取决于光线在焦点或者没有。
让一个椭圆沿着x个-轴并找到图形的等式(1)其中
和
位于
和
.英寸笛卡尔坐标,
![平方((x+c)^2+y^2)+平方((x-c)^2+y^ 2)=2a。](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation2.svg) |
(2)
|
将第二个项移到右侧,并将两边对齐,
![(x+c)^2+y^2=4a^2-4asqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2。](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation3.svg) |
(3)
|
现在求解平方根术语和简化
最后一次平方以清除剩余部分平方根,
![x^2-2xc+c^2+y^2=a^2-2cx+(c^2)/(a^2)x^2。](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation4.svg) |
(7)
|
分组
然后条款给出
![x^2(a^2-c^2)/(a^2)+y^2=a^2-c ^2,](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation5.svg) |
(8)
|
可以用简单的形式写
![(x^2)/(a^2)+(y^2)/(a^2-c^2)=1。](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation6.svg) |
(9)
|
定义新常量
![b^2=a^2-c^2](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation7.svg) |
(10)
|
以特别简单的形式给出方程
![(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1。](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation8.svg) |
(11)
|
参数
被称为半短轴通过类推参数
,它被称为半长轴(假设
). 事实上
如上所述,实际上是半小调轴很容易通过以下方式显示
和
保持平等。然后是两个直角三角形生产,每个都有斜边
,底座
,和高度
.由于此时将实现沿短轴的最大距离,
确实是半小调轴.
如果不是以(0,0)为中心中心椭圆的位置(
,
),方程(◇)变为
![((x-x0)^2)/(a^2)+(y-y_0)^2(b^2)=1。](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation9.svg) |
(12)
|
从中可以看出笛卡尔方程对于椭圆,曲线也可以通过类似的简单参数形式给出到了圆圈,但使用
和
具有不同比例的坐标,
将军二次曲线
![ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2fy+g=0](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation10.svg) |
(15)
|
定义后为椭圆
,
、和
也假设椭圆是非退化的(即。,它不是圆圈,所以
,我们已经确定不是一个点,因为
). 在这种情况下,中心椭圆的
由提供
半轴长度为
和逆时针旋转角度
-椭圆长轴的轴为
![φ={0,表示b=0和a<c;1/2pi,表示b=0.和a>c;1/2 cot^(-1)((a-c)/(2b)。](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation11.svg) |
(23)
|
椭圆也可以定义为轨迹距离集中与水平方向成比例与垂直线的距离圆锥曲线截面准线,其中比率为
.出租
是比率和
准线所在中心的距离,那么为了使这一点成为事实,它必须保持在大调和小轴,所以
![r=(a-c)/(d-a)=(sqrt(b^2+c^2))/d。](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation12.svg) |
(24)
|
解决给予
这个焦点参数椭圆的
哪里
是已知椭圆的特征作为偏心,偏心,稍后定义。
轴平行于坐标轴的椭圆由其上的任意四个非循环点唯一确定,并且椭圆通过这四个点点
,
,
、和
具有等式
![|x ^2 y ^2 x y 1;x_1^2 y_1^2 x_1y_1 1 1;x_2^2 y_2^2 x_2 y_21;x_3^2 y_3^2 x_3y_3 1;x_4^2 y_4^2x_4y_4 1|=0。](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation13.svg) |
(30)
|
让轴平行于坐标轴的椭圆上的四个点具有角度坐标
对于
、2、3和4。这些要点是共环的什么时候
![s1s_2s_3+s1s_2s2s_4+s1s_3s_4+s2s_3s~4-(s1+s2+s_3+s_4)=0,](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation14.svg) |
(31)
|
其中中间变量
已定义(伯杰等。1984;Trott 2006,第39-40页)。令人惊讶的是,同样的关系也会产生简化以上内容后,其中
现在被解释为
.一个等效但更复杂的条件由提供
![(s_1^4+s2^4+s_3^4+S4^4)+4^2-2s_3^2s_4^2)+8s_2s_3s_4s_1。=0](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation15.svg) |
(32)
|
喜欢双曲线,非圆形椭圆具有二不同的焦点和两个相关准线,每个圆锥截面准线存在垂直的连接两个焦点的线(Eves 1965,第275页)。
定义新常量
调用了偏心,偏心(其中
是一个圆圈)更换
![e=平方(1-(b^2)/(a^2)),](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation16.svg) |
(33)
|
从中可以看出
这个偏心,偏心因此可以解释为集中作为半大调轴.
如果
和
是从集中
而不是从中心
(正如轨道力学中常见的那样)然后方程椭圆的
(◇)变为
![((c+rcostheta)^2)/(a^2)+(r^2sin^2theta)/(b^2)=1。](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation17.svg) |
(42)
|
清除分母给予
![b^2(c^2+2rcostheta+r^2cos^2theta)+a^2r^2sin^2theta=a^2b^2。](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation18.svg) |
(43)
|
在中替换
给予
![b^2c^2+2rcb^2costheta+b^2r^2cos^2theta+a^2rq^2-a^2r ^2cos ^2heta=a^2b^2。](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation19.svg) |
(44)
|
接通电源以重新显示
和
依据
和
,
![a^2(1-e^2)a^2e^2+2ea^2(1e^2+a^2r^2-a^2r ^2cos^2theta=a^2[a^2(1-e^2)]。](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation20.svg) |
(45)
|
除以
简化给出了
![-r^2+[ercostheta-a(1-e^2)]^2=0,](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation21.svg) |
(46)
|
这可以解决
以获得
![r=+/-[ercostheta-a(1-e^2)]。](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation22.svg) |
(47)
|
可通过以下要求确定标志
必须是积极的.何时
, (47)成为
,但自
总是积极的,我们必须采取这个消极的签名,所以(47)成为
![r=a(1-e^2)-ercostheta](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation23.svg) |
(48)
|
![r(1+ecostheta)=a(1-e^2)](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation24.svg) |
(49)
|
![r=(a(1-e^2))/(1+ecostheta)。](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation25.svg) |
(50)
|
与集中到具有水平坐标的点
(原点所在地椭圆的中心)
![costheta=(x-c)/r。](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation26.svg) |
(51)
|
将此插入(50)收益率
![r+e(x-c)=a(1-e^2)](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation27.svg) |
(52)
|
![r=a(1-e^2)-e(x-c)。](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation28.svg) |
(53)
|
在踏板坐标使用踏板指向在集中,椭圆的方程为
![(b^2)/(p^2)=(2a)/r-1。](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation29.svg) |
(54)
|
这个弧长椭圆的
哪里
是不完整的椭圆形第二类积分具有椭圆模量
(偏心率)。
椭圆中心的极角之间的关系
和参数
以下为
![θ=tan^(-1)。](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation30.svg) |
(58)
|
此功能如上文所示
如实心曲线所示
像虚线一样
.必须小心确保正确的分支的逆切线函数。尽可能被看到,
来回编织
,交叉发生在
. The曲率和相切的角椭圆的
整个周长
椭圆的长度通过设置
(对应于
),相当于长度的四倍椭圆的其中一个象限,
哪里
是一个完成第二类椭圆积分具有椭圆形模数,模量
(偏心率)。这个周长可以使用迅速收敛的Gauss-Kummer系列作为
(组织环境信息系统A056981号和A056982号),其中
是一个二项式系数和
![h=(a-b)/(a+b)。](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation31.svg) |
(66)
|
这也可以解析为
哪里
是一个超几何的功能,
是一个完整的的椭圆积分第一种.
近似值周长包括
其中最后两个是由于拉马努扬(1913-1914),以及(71)相对误差为
对于较小的值
.这些函数的错误表面如上图所示。
与集中被称为最远点和近囊,和由给出
这个地区可以直接找到椭圆的集成
这个地区也可以通过改变坐标来更简单地计算
和
从椭圆区域
到新地区
。然后方程变为
![1/(a^2)(a/bx^')^2+(y^('2))/(b^2)=1,](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation32.svg) |
(80)
|
或
,所以
是一个圆圈属于半径
.自
![(partialx)/(partialx^')=((partialx^')/(partialx))^(-1)=(b/a)^(-1)=a/b,](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation33.svg) |
(81)
|
这个雅可比(Jacobian)是
这个地区因此是
和以前一样。这个地区由二次方程
![ax^2+bxy+cy^2=1](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation34.svg) |
(88)
|
是
![A=(2pi)/(sqrt(4ac-b^2))。](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation35.svg) |
(89)
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这个地区具有半轴的椭圆
和
关于踏板点
是
![A=1/2π(A^2+b^2+|OP|^2)。](/images/equations/Ellipse/NumberedEquation36.svg) |
(90)
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单位切线向量椭圆的参数化是
一系列正常的和切线向量上面为椭圆绘制的。
这个轨迹变量顶点的圆锥体包含固定在三个空间中的椭圆是双曲线通过焦点椭圆的。此外轨迹的顶点圆锥体包含双曲线是原始椭圆。此外偏心率椭圆和双曲线是相互的。这个轨迹的中心帕普斯链属于圈子是一个椭圆。令人惊讶的是车库门的末端,沿垂直轨道安装在滚轮上,但延伸到外面轨道是椭圆的象限(Wells 1991,第66页)。(信封门的位置是星形线.)