数学有助于发展定义，以比较不同的方法，使事情变得更好或更公平。但也有内在的局限性，表现为数学不可能性定理。。。

不可能的？

乔·马尔科维奇
约克学院（纽约市立大学）

介绍

当你昨晚从睡梦中醒来时，你能在新的一天里实现哪些可能性？这远远不是人类是否有自由意志的问题，也不是他们的选择是否受到限制他们自由的事件、遗传学或经济学的限制。人类不是神话中有能力实现人的愿望的精灵。对你来说什么是可能的，什么是不可能的？在这里，我感兴趣的是数学对我们使用数学作为工具所能知道的知识的限制。数学不可能对民主政体（或专制政体，就这一点而言）的运行方式产生什么影响？在为深入了解数学见解的局限性奠定基础之后，我将对公平问题进行更多讨论。

数学不可能

人们争论数学是被发现还是被发明的。第一个框架是，数学事实（通常被描述为定理）已经存在，等待着一些聪明人（或AI系统？）去发现它们。数学是一个发明的框架，这表明，除非一个人（或者可能是一台计算机？）使用他们的推理技能和创造力来发明数学思想和概念，就像人类发明手机、洗衣机或电动汽车等设备一样，这些思想是不存在的。潜伏在这场辩论背景中的问题是，在理解“数学世界”中，可以实现什么，不能实现什么。在初步了解了数学的局限性之后，我想讨论一下数学对个人或群体实现公平的方式的限制！

许多文化都在思考毕达哥拉斯定理这一引人注目的事实。在现代符号学中，毕达哥拉斯定理指出，对于直角三角形，在通常称为欧几里得平面中，其中$a$和$b$是直角相交的边的长度，$c$是三角形边的长度相反的直角

$$a^2+b^2=c^2$$

值得注意的是，写下这个定理需要多少思想和惯例。结果是用英语而不是（例如）孟加拉语表述的，在写下定理时使用了符号$+$和$=$。我们需要知道欧几里德平面是什么，欧几里得平面中的三角形是什么，三角形边的长度是什么意思，等等。我们还需要知道角度是什么，直角是什么，$7^2$表示$7\乘以7$，因此值49用十进制数表示，等等。

勾股定理如此丰富的部分原因在于，它也可以被解释为关于面积而不是长度的陈述。因此，对于直角三角形，三角形边$a$和$b$上的正方形面积加起来等于第三边$c$上的方形面积，通常称为三角形的斜边，使用的语言源自古希腊数学的讨论。

方程$a^2+b^2=c^2作为思想和问题来源的丰富性，以及它本质上是由许多彼此没有太多接触的文化发现的事实，被用来证明这个方程及其分支是等待发现而不是发明的数学。

一旦数学家开始想出一个好主意，他们就会继续在这个领域挖掘有趣的模式。例如：

1. 什么正整数三元组$（a，b，c）$满足$a^2+b^2=c^2$？
2. 是否存在构成算术级数并满足$a^2+b^2=c^2$的三元组$（a，b，c）$？
3. 是否有对$（a，b）$和对$c$的选择，其中对$（b，a）$满足$a^2+b^2=c^2$可以有7个选择？
4. 毕达哥拉斯定理在欧几里德平面以外的几何中的相似之处是什么（例如，欧几里得三维几何，或后来被称为双曲几何，也称为Bolyai-Lobachevsky平面）？
5. 把你自己的问题放在这里！

在发展计数和测量数字概念的过程中，人们注意到，直角三角形的斜边长度似乎有些特殊，三角形的其他边（腿）分别为1和1。公式$a^2+b^2=c^2$意味着这个长度是一个平方为2的数字。我们通常表示这个数字$\sqrt{2}$，它被称为2的平方根。

这个数字可以写成$a/b$的形式吗，其中$a$和$b$是正整数？这个数字集合现在被称为有理数。因此，我们提出的问题是，是否存在不合理的数字，以及如何描述这些数字。可以看出，它是不可能的将某些特定欧氏三角形的斜边表示为有理数。（一些直角三角形可以有有理长度的斜边：例如，具有长度为3和5或5和12的腿的三角形，事实上，这些腿具有整数长度。）

早期研究表明，人类可以证明不可能把2的平方根写成有理数。找到有理数是可能的，其中表示$a/b$非常接近2的平方根。例如，41/29或99/70可以用作近似值。

指南针和直尺不可能建造

欧几里德关于几何学的重要著作元素包括讨论段的长度以及使用直尺（无长度标记的直尺）和罗盘（允许绘制具有特定中心和半径的圆）可以完成的其他构造。这些讨论中出现了三个著名的问题：

1. 三等分任意角度（给定任意角度，是否可以获得测量值为$\frac{1}{3}$的角度？）
2. 复制立方体（找到体积正好是边长为1的立方体体积的两倍的立方体的边长（因此是体积1）。）
   注：直到今天，尽管有很多证据表明，一个人不能用直尺和指南针将任意角度三等分，但许多人声称他们可以完成这一壮举。这些人不相信这项任务是不可能的！
3. 求圆的平方（找到一个面积等于给定圆面积的正方形。）

最后，事实证明，用直尺和指南针进行这些施工是不可能的。当然，必须明确证明的构成。直观地说，证明是基于已知事实（定理）或公理（假设其有效性为真的语句）的逻辑步骤的集合，这些逻辑步骤导致所需的语句（在有限的步骤中）。对什么构成严格证明的理解随着时间的推移而改变。今天，计算机系统被用来“确保”某些定理确实是事实。最近这一系列数学工作的原因是，在某些情况下，人类为数学猜想提供的证明变得如此漫长和复杂，以至于不清楚其他数学家是否能对其进行确定的检验！一些重要的数学事实需要数百页的证明。需要确保校样不会出现细微的错误。有时，数学界普遍接受的定理并没有像想象的那样完全适用，有时，由于现有的证明被证明有错误，不得不提供新的证明，通常是因为在某些情况下先验的证据中没有考虑发生。

在高中你可能学到了一个公式，这个公式给出了一个二次方程的系数，使你能够写出一个代数表达式，这个表达式给出了这个二次方程式的根。随着时间的推移，数学家为具有3或4阶整系数的多项式方程开发了类似的“闭合形式”公式（立方体的和四次方的方程式）。然而，令人惊讶的是，埃瓦里斯特·加洛伊斯（1811-1832）、尼尔斯·海因里希·阿贝尔（1802-1829）和保罗·鲁菲尼（1765-1822）开发的工具表明，对于5阶或更高阶的类似多项式方程，不可能找到这样的公式！类似地，如果你学习过一些微积分，你就会知道当函数可以用多项式、对数、指数函数和三角函数表示时，通常不难找到这样一个函数的导数。但对于相对简单的例子（例如$\sqrt{\sin（x）}$），如果不使用专门为描述此类积分的解而发明的工具（例如椭圆函数），就不可能找到此类函数的不定积分。

在很大程度上浓缩了这些问题，是试图理解数学的先驱可知的大卫·希尔伯特（1862-1943）来自形式系统，其中有一组未定义的术语和公理。

针对希尔伯特（1862-1943）开发的程序，数学家库尔特·哥德尔（Kurt Gödel，1906-1978）表示，在正式的数学系统中，存在着无法证明或反驳的法律声明，这让数学界大吃一惊。这种说法有时被称为不可判定。

哥德尔的这个结果通常被称为他的不可能定理。哥德尔之后的其他人，尤其是朱莉娅·罗宾逊（1919-1985）（美国数学学会主席）和尤里·马塞约维奇（Yuri Matseyovich）表明，数学界感兴趣的长期存在的问题是无法确定的。

经过多年对不可能性和不可判定性问题的研究，从几何学到群论（代数）和组合学，在数学的许多领域都发现了不可判定语句的例子。然而，一般来说，这些不可能性问题属于被称为逻辑的数学领域。

计算机科学中的不可能

作为一门学术学科，计算机科学比数学更新得多。最近，能够在大学里攻读计算机科学学位成为可能。普渡大学似乎是1962年成立计算机科学系的第一所美国大学。一些计算机科学家主要关注的是制造硬件，使使用该硬件解决问题成为可能。其他计算机科学家感兴趣的是为计算机设计语言，以使用特定硬件解决问题，以及那些关注可用于解决计算机问题的算法的学者。阿兰·图灵（Alan Turing，1912-1954）是计算机领域的先驱，无论是从他们能做什么的角度来看，还是从制作硬件来实际完成工作的角度来看。今天有大量复杂性类他们把问题集中在一起，用算法解决这些问题有多难。

民主政体

在代议制民主制度中，目标是通过立法机构或议会来实现人民的意愿，“转化”被治理人民的愿望和愿望。如果民主政体运作良好，多数人的意见得到落实，少数人的利益和权利就会得到维护。美国所采用的制度，有一个强有力的总统来执行国会通过的法律和两院制立法机构，总统由人民直接选举，国会议员由各州选区选举产生，成为众议院议员，每个州选出两名参议员，这种情况很少见。大多数欧洲民主国家普遍采用的制度是一个单一的议会（立法机构），代表是根据竞争党派获得的投票百分比来选择的。政党代表了民众的各种观点。目标是，对于拥有$h$席位的议会（众议院规模，一个正整数），如果甲方获得17%的选票，它将获得约17%的席位。荷兰议会有150个席位，因此在本例中，我们可以计算0.17美元（150）=23.5美元席位，并得出甲方“值得”23.5名代表的结论。那么，甲方应该得到23个席位、24个席位，或者可能是25个席位，这会被视为公平分配给甲方吗？近年来，许多欧洲民主国家一直在使用混合制来选举立法者，其中使用了政党百分比投票和选区代表选举相结合的方式。

为了让大家了解这里的主要观点，我将仅限于讨论选举市长作为一个小城市的首席执行官，任何合格的选民都可以投票选举市长。原则上，可能有许多候选人竞选市长，其中每个候选人可能都与某个政党有关联，但对于本次讨论而言，政党问题并不相关。为了模拟正在发生的情况，我们假设有$n$名合格选民实际投票，还有$c$名候选人（这里$c$是一个至少为2的正整数）。

在选举中，每个选民都使用选票，这是一种表达选民对候选人看法的方式。根据投票结果，我将使用一种预先指定的决策方法，即选举方法，将个人选民的观点“转化”为市长人选的单一选择（无平局）。这听起来可能很简单，但当试图设计一个“理想”的系统时，几乎没有达成一致意见！要了解复杂性，请考虑使用哪种选票的问题。在实践和理论上，这里有一些美国过去使用或提议使用的选票类型的例子。当然，选举方法的性质必须根据所使用的投票种类进行调整。对于特定类型的选票，通常有很多选择，可以根据选票选择使用何种选举方法。

选票类型

1. （多元化投票）只投票给$c$候选人中的一位。
2. 对所有不分等级的候选人进行排名，从最受欢迎到最不受欢迎。

有很多方法可以代表这样的选票，但让我提供两种。第一种表示法使用一个图，其中最受欢迎的候选项朝向顶部：





本次投票意味着，在三名候选人中，该选民倾向于B比C和A，C比A。请注意，“B比B优先多少”或“C比A优先多少”并不是必须在本系统中计算选票的人可以获得的信息。另一种表示此选票的方法是使用符号>表示优先（对于数字，这是用于大于)，是：

$$B>C>A$$

允许人们表达优先顺序但不表达强度的选票有时被称为依次的选票，与之对比红衣主教提供某种表达偏好强度的系统的选票。请注意，为了让大多数人理解如何解读选票的含义，一些解释性的词语是必要的。也许如果没有单词，人们会理解第一个符号系统将候选B排在C和a之上。有些人可能会发现第二个符号不太清楚，因为他们不熟悉大于符号。

3. 对所有有联系的候选人进行排名，从最受欢迎到最不受欢迎。

以下是在这个框架中代表5名候选人投票的方法。





或

美元A>D=E>C>B$$

等号用于表示优先平局。

请注意，虽然D和E的受欢迎程度相同，但投票结果不允许选民表示E比C受欢迎程度低，但选民更喜欢C而不是B。

4. 对允许或不允许平分的候选人子集进行排名。

这种投票方式允许选民故意截断（省略）选民选择排名的候选人集合。在下面的例子中，A、B和C是寻求职位的选择，选民只排A和C，B不出现在选票上。






为什么选民可能不会在选票上列出所有候选人？这可能是因为选民没有关于某些候选人的信息，因此列出一些候选人并不舒服。然而，另一个原因可能与选民了解将用于决定选举的选举方法有关。选民可能会预测，虽然真诚地倾向于B而非C，但清单B可能会导致B当选，而不是选民的首选A。坦率地说，选民“撒谎”选民的真实感受，并导致虚假投票。这种由一个或多个选民投票的方法通常称为战略投票。如果民意调查显示选民的其他倾向，那么战略投票可能会得到更广泛的实施。这些额外的信息可能会说服一些选民或一群选民使用自己真诚的偏好以外的东西进行投票。一个显著的不可能性定理表明，战略投票是有利的！

5. 投票人指出哪些候选人获得“批准”

批准候选人是什么意思？选举委员会大概会说明这个词的含义，并根据投票情况，说明将采用什么样的决策方法来寻找获胜者。给候选人投赞成票的一种方式是，如果候选人当选，他愿意让他任职。在某种程度上，支持票允许选民表达选民对候选人的喜爱程度，这是非常“粗鲁”的，因为它平等地对待所有被批准的候选人。这类似于截短的优先投票，所有未被遗漏的候选人都以相同的强度平分。

6. 对于每一位候选人，投票人都会对该候选人投赞成票或反对票。

同样，选民可能被允许不对某些候选人子集投赞成票或反对票。如果要求选民对每个候选人投赞成票或反对票，则该系统与赞成票相同。

如何设计选择和投票系统，让投票人能够表明他们对候选人的强烈感受？考虑这种投票的一种方式是，每个选民给每个选择（候选人）“评分”，就像老师给学校里的学生评分一样。偏好量表的可能分级或强度是什么？这里有一些例子，也许你过去用过，或者你知道。

• A、 B、C、D、F
• A+、A、A-、B+、B、B-、C+、C、C-、D+、D、D-、F
• 0到100（100高）
• 0到100（100低）
• 1至99（99偏高）
• 1、2、3、4、5（5高）
• 0,1、2、3、4、5、6、7、8、9、10（高10）
• 非常差，差，中性，好，非常好

注：有许多不同的语言量表，可以征求选民（选择者）对选择的感受。

红衣主教投票可以被认为是通过给候选人一个数字等级或数值（或使用口头描述），为每个选民提供了表达强烈意见的机会。如果从0到100分（分数越高越好），希瑟给玛丽的分数是90分，约翰给84分，苏珊给45分，那么我们可以得出结论，玛丽比约翰更受欢迎，而苏珊更受欢迎。玛丽比约翰高6分，约翰比苏珊高39分。如果康斯坦斯给玛丽、约翰和苏珊打84分，我们可以得出结论，康斯坦斯对这三个选择漠不关心，但人们能得出结论，希瑟喜欢玛丽的程度是她喜欢苏珊的两倍吗？分配分数的相等差异有什么意义吗？选民能有意义地为某一候选人指定45而不是44吗？

我们大多数人已经习惯了这样一个事实，即可以使用华氏温标或摄氏温标来报告温度。这些温标与为“分级”候选人列出的温标不同的是，有一种固定的方法可以将一个温标上的数字转换为另一个——海平面上的水在100摄氏度212华氏度时沸腾。如果你想从摄氏度变为华氏度，那么$F=9/5（C）+32$是标准的方法。很少有人同意如何将数学写作项目的B+成绩转换为0-100的分数。学者们对使用序数投票和基数投票之间的权衡以及不同类型投票的利弊进行了激烈的辩论。

无法实现“公平”

也许在这次讨论之后，你对民主运作的复杂性有了新的认识。一群学者，包括那些受过哲学家、数学家、计算机科学家、经济学家、政治科学家等培训的人，对民主运行的复杂性有着更深入的见解。让我从数学经济学家肯尼思·阿罗（1921-2017）开始。

虽然阿罗在选举理论和数学经济学中是一位极为重要的人物，但他最著名的作品可能来自他的书社会选择与个人价值观（19511970年第二版）。在哥伦比亚大学数理统计学家哈罗德·霍特林（1895-1973）的指导下，他的经济学博士论文（1951年）中已经有了这方面的一些工作。

Arrow证明了设计一个满足小列表的选举方法是不可能的公平规则。他的初步结果有一个小的技术错误，多年来，阿罗名单上的公平规则以各种方式重新制定和扩展，但他所展示的本质，因为这是一个定理而不是一个理论，必须接受。阿罗的最初框架是一次选举，在选举中，需要的不是选择一个获胜者，而是根据组成社会的个人的投入选票对社会进行排名（允许平局）。以下是阿罗所研究的公平规则的一些示例。通常，所涉及的是两组密切相关的选票（即两次类似选举的结果）中应该发生的事情的一致性。

1. 没有独裁者。社会的选择并不总是与特定选民——独裁者——的选择一致。
2. 没有强加的选择。排名（获胜者）取决于选民的投票，而不是根据某个专家或智者（预言家）的选择。
3. 单调性。获得更多选票不应损害候选人。
4. 任何一组选票都应该被指定为“获胜者”。那些根据选票计算选票的人不能因为某些选举结果太“怪异”而拒绝接受。
5. 无关替代方案的独立性。两位候选人在社会排名中的相对地位应该只取决于这两位候选人的排名，而不是其他选择的存在。

直观地说，阿罗不可能定理意味着，对于有3个或更多候选人（选择）使用允许平局的有序排序选票的选举（或经济决策）（如上所述的系统2），不存在“完美”的选举决策方法从某种意义上说，他们遵守一系列公平条件。

除了阿罗定理之外，还有另一个在某些方面更引人注目的不可能性定理。这个结果被称为Gibbard-Satterswaite定理，以哲学家Alan Gibbard和经济学家（在商学院任教）Mark Satterthwaite命名。他们独立展示的是，在有三个或三个以上选择（候选人）可供选择的非常一般的投票制度中，唯一能避免选民使用战略投票（提交不代表他们真正信仰的选票，即关于他们偏好的谎言）的选举决策方法是独裁。

到目前为止，有许多不同的这类不可能性定理，其中选举决策方法所遵循的属性在不同的结果中有所不同，但这些定理的共同点是，它们表明，如果某些公平规则在你看来很重要，那么没有一种方法能够满足所有需要的条件。改革或改进选举方法的努力之所以失败，部分原因是改革者通常在什么是基本公平条件上存在分歧。另一个复杂性是，一些吸引人的选举决策方法计算困难。对于有许多选民和候选人的选举，没有计算机能够在合理的时间内决定获胜者/排名。如果系统的描述非常复杂，专家们对于选民是否会接受一种投票方法来取代多数票也存在分歧。

为了帮助您通过一个具体的例子了解这些问题，让我们考虑一下下面的选举，其中55人对5名候选人进行了排名，没有平分或截断。

花点时间决定你认为谁应该赢得这次选举。

现在验证一下这五种选举决策方法选择了不同的获胜者！

1. 多元化（得票最多的候选人获胜。）
2. 决胜（第一名得票最多的两人决胜）。选民无需再去投票站投票，因为投票记录了他们对所有选择的偏好信息。当然，如果选民第二次投票，他们的偏好可能会改变，但通常情况下，当需要在比最初投票晚的日期进行第二轮选举时，投票人数会少得多。
3. 连续决选（如果没有候选人获得多数票，则淘汰第一名得票最少的候选人，将被淘汰候选人的选票转移给排名第二的人，直到出现一名获胜者。）
4. 博尔达计数（候选人根据低于特定候选人的候选人数量从选票中获得分数，得分最多的候选人获胜。使用B以上的选票可获得$18（0）+12（4）+10（3）+9（1）+4（3）+2（1）$分。）
5. Condorcet（如果有候选人在双向选举中击败了所有其他候选人，则该候选人获胜。有些选票没有候选人符合标准。）

上面的例子表明，对于一些选举来说，有很多吸引人的不同意谁应该获胜的方法！

虽然公众普遍低估了数学在技术（如手机、流媒体视频）中所发挥的作用，但人们也不太理解数学如此关注公平和公平问题。不幸的是，尽管数学和计算机科学已经表明了一些问题，这些问题使得很难为社会利益设计公平的系统，但公众并没有利用设计方法来做得比我们现在做的更好，即使这些更好的系统有缺陷。因此，大多数学者认为，使用基于顺序优先票的选举制度优于使用多数票的选举，但很少使用顺序优先票进行选举。由于不可能定理表明没有完美的制度可用，改革者们不断争论该采取什么方法，以及何时做出改变，有时选举结果似乎“不直观”会导致改革失败或阻碍其他地方的改革。

有一些不可能性定理会影响一个分配政党公平席位的制度在一个拥有$h$席位的立法机构中的公平程度。这个定理以数学家米歇尔·巴林斯基（Michel Balinski，1933-2019）和H.Peyton Young的名字命名为巴林斯基-杨定理。这是这个定理的直观表述。

（Balinski-Young）没有一种方法可以根据每一党派的投票百分比来分配议会中的$h$席位，即：

1. 人口单调（对一个政党拥有更大比例的选票不会减少该党获得的席位数量。）
2. 遵守配额（政党获得的席位数是其投票数的分数乘以众议院规模，例如$s$，四舍五入（如果不是正整数）到$s$以下的整数或四舍五进到$s$s以上的整数。）

术语的原因种群单调性以上与分摊问题美国的立法机构。每个州都有一定的人口。根据人口普查数据，美国宪法要求每10年分配给每个州（目前为50个）的席位数量与该州的人口成比例。（在美国版本中，这个问题的一个复杂之处是，每个州都必须在众议院中获得至少一个席位。）过去使用的一种方法允许一个州在房屋总面积$h$增加时失去代表权（基于各州相同的人口数据）。这种现象被称为阿拉巴马悖论，以其所影响的州命名。

算法公平性

计算机的可用性和功能的快速增长刺激了人工智能方法的发展。越来越多的人通过计算机程序来决定谁应该在因犯罪被捕后获得保释，谁应该为他们想买的房子获得贷款，或者谁应该获得经济适用房。其中一些程序经过“培训”，可以根据人类过去决策成功的数据做出决策。然而，显而易见的是，一些基于数据训练的系统在一开始就表现出了与最初由有偏见的人做出决策时相同的偏见（参见2020年7月专题专栏例如）。研究人员正开始探索在这种背景下描述公平的公理。从投票理论中推断，人们可能会得到不可能性定理，表明无论算法是如何训练的，都有一些不可能同时满足的公理。

总之，在民主社会中，我们寻求使这些制度更好或更公平地运作的方法。数学有助于发展定义，以比较不同的方法，使事情变得更好或更公平。但也有一些固有的局限性，如数学不可能性定理，这些局限性表明，无论一个社会的意义多么美好，它在多大程度上是完全公平的。

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