如果一个人在带、饰带或条纹上有图案（如果经常出现不止一种颜色，则不考虑颜色），无论他看到的是什么艺术内容，都可能有7种不同的图案…

纪念唐纳德·克劳

对称、艺术和数学之间的联系

乔·马尔科维奇
约克学院（纽约市立大学）

介绍

安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）解决了一个数百年来一直无法解决的问题，即费马最后定理，这引起了公众和数学界的关注。他证明方程没有正整数解

$$x^n+y^n=z^n$$

对于$n$，为大于等于3的正整数。这与当$n=2$时发生的情况形成了鲜明对比，其中对应的方程有无穷多个解，$x=3$、$y=4$和$z=5$是一个众所周知的解。虽然陈述这个问题相对容易，但怀尔斯用来解决这个问题的证据并不容易理解。怀尔斯需要的复杂数学（在他曾经的博士生理查德·泰勒的帮助下完成证明）确实为这个长期未解决的问题提供了答案。

玛丽娜·维亚佐夫斯卡（Maryna Viazovska，2022年，乌克兰人）成为第二位获得菲尔兹奖（Fields Medal）的女性，这是数学家能够获得的最高奖项之一，她引起了数学界的关注，而公众的关注则更少。她做了非常创新的工作，深入了解高维空间中相同球体的稠密堆积这是一个尚未在任意维度上充分理解或探索其性质的问题。

在这里，我要向唐纳德·沃伦·克劳（Donald Warren Crowe，1927-2022）致敬，他以一种不那么急速的方式为数学做出了贡献。然而，我希望你会发现这个数学窗口很有吸引力。下面是唐和他的胡子变灰时的图像示例：

现代数学远远超出了人们的常识，它是一门涉及数字（算术和代数）和形状（几何和拓扑）的学科。另一种获取其领域的方法是，它是研究模式的科学。相对而言，很少有数学家知道唐纳德·沃伦·克罗（Donald Warren Crowe，1927-2022）这个名字，但他因帮助聚集了一个对模式、对称、艺术以及对称在全球和整个人类历史上的数学和文化艺术中的存在感兴趣的群体而更为著名。

唐纳德·克劳最常被引用的作品数学科学网（美国数学学会数学研究的摘要来源）是这本书文化的对称性他与人类学家Dorothy Washburn共同开发的。

该书最初由华盛顿大学出版社于1988年出版，但最近由多佛出版社于2020年再版。值得注意的是，这本书融合了咖啡桌书籍的魅力，其中有来自土著民族（尤其是居住在美国西南部的土著民族）艺术作品中的图案和设计实例的醒目图像，还有一本关于对织物或陶器上的对称图案进行分类的教程。

这本书的起源带领我们沿着唐·克劳的人生故事的道路前进，我现在将简要概述一下。

唐纳德·克劳简介

唐1927年出生于内布拉斯加州林肯市，他的父亲是一名学者，但不擅长数学。唐就读于内布拉斯加州大学和明尼苏达大学，学习数学、物理和哲学。他回到林肯大学攻读硕士学位。他最终进入了密歇根大学，在那里，他对几何学的兴趣使他与图形理论家（点和线几何对象）Frank Harary（1921-2005）一起做了一些工作。当杰出的几何学家哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克塞特（Harold Scott MacDonald Coxeter，1907-2003）从多伦多大学（University of Toronto）来到密歇根大学时，唐发现考克塞德的数学兴趣很有吸引力。因此，他跟随唐纳德（他的朋友都知道科克塞特）回到多伦多，并在科克塞德的指导下完成了密歇根大学的博士论文。

他的论文使用四元数系统推广了关于多边形的思想，其中乘法运算不遵守$ab=ba$的交换定律。值得注意的是，在一个几乎没有数学家自称为几何学家的时期（与分析家、代数学家、拓扑学家相比），考克塞特为几何学注入了新的活力，其中一部分是他的书几何学导论（1961年，1968年第2版）。考克塞特是这本书的主题无限空间之王：拯救几何学的唐纳德·考克塞特（2006），作者Siobhan Roberts，她为自己的传记绘制了约翰·霍顿·康威（John Horton Conway，1937-2020）对科克塞特及其作品的思考。康威本人为振兴20世纪的几何学做出了重要贡献。具有讽刺意味的是，考克塞特可能不会因为他对几何学的贡献而被人们记住，而是因为他对代数的贡献。因此，许多知道他的名字的人之所以知道它，是因为有一个以他的名字命名的考克塞特集团。除了克劳，考克斯特还有16名博士生。他有相对较少的博士“孙子”，因为他的大多数博士生虽然对数学做出了创造性贡献，但却在文理学院找到了工作，而不是在授予博士学位的学校。最终，唐成为了麦迪逊威斯康星大学的数学教授，教授几何课程，尽管他也教授与几何学相关的抽象代数和群论课程。

1969年，唐与他的两位威斯康星州大学同事阿纳托尔·贝克和迈克尔·布莱彻出版了一本关于数学通识教育课程的书，名为数学之旅唐为这本书贡献的一章论述了伦纳德·欧拉（Leonard Euler）的非凡公式，似乎没有被任何古代文明发现。这个公式通常被称为欧拉多面体公式，它表明对于凸边界三维多面体
$$V\text{（顶点数）}+F\text{（面数）}–E\text{-（边）}=2$$
这个公式也有一个在平面上绘制的连通图的版本。While期间数学之旅与对称图案没有直接关系，显然唐一直在思考对称、几何变换、图案和“规则”多面体之间的关系。1973年，唐帮助克劳迪娅·扎斯拉夫斯基（Claudia Zaslavsky）为她的重要著作写了一章，克劳迪亚·扎斯拉夫斯基是一位大学预科数学教师，也是杰出数学家托马斯·扎斯拉斯基（Thomas Zaslavsky）的母亲，非洲计数本章讨论了非洲艺术中的图案。

通过不同文化的艺术激发图案的几何性

唐喜欢旅行，1959年完成博士学位后，他前往尼日利亚，在尼日利亚伊巴丹大学学院担任客座教授。正是他在尼日利亚的教学经验帮助他进一步发展了对艺术、数学和对称的兴趣。在非洲期间，他参加了加纳的考古发掘。他从非洲回来，带着他在那里收集的非洲织物样品。他巨大的求知欲建立在他在尼日利亚所学知识的基础上。这些涉及织物和拉斐亚服装形式的装饰艺术的经历，将使他后来参与在数学期刊上撰写学术文章，其中涉及，艺术作品和数学交叉点的对称性和图案。对许多人来说，理解模式的几何学是数学的另一个吸引人的切入点，而不是学习如何进行算术和代数计算。下面的照片展示了克罗在美国境内外旅行时拍摄或收集的一些艺术品样本。

这些对称艺术创作的例子包括可以被解释为带、条纹或饰带中的设计的子作品，与填充整个平面的设计相反，后者通常被称为墙纸图案。（当然，现实世界中的艺术家和工匠无法填满一条无限长的带、一个平面的象限或整个平面，但他们作品的实质往往表明，他们展示的是理想化的无限画布的有限部分。）无限长带或整个平面的情况特别有趣，因为如上所示，它们近似于纺织品、陶器或建筑中楣上的对称图案。

初等几何最显著的定理之一，虽然在美国人在学校的数学教育经验中很少提及，但如果一个人在一条带、饰带或条纹上有一个图案（如果经常出现多种颜色，则忽略颜色），而不管他看到的是什么样的艺术内容，正好有7种不同的模式是可能的。也就是说，如果一个人在条纹（饰带）上有花卉图案、字母集或动物图案，可以将其指定为其所属的独特类别。构建饰带图案并帮助理解几何变换、对称性和形状的一种方法是使用简单的几何图形和/或字母表中字母的表示来生成图案。在下图中，我们有一部分方形饰带，另一部分使用字母H（大写H而非小写H），但使用点和边以图论的精神进行渲染。

在第一行中，我们沿着一条隐含的无限方形集合“运行”，而在第二行中，则有一个无限的字母H的风格化表示集合。通常，重复的形状，在中楣不包含一个相连的主体的情况下，被称为基序。虽然这两种饰带图案具有不同的艺术内容，但它们都具有相同的对称图案。每一行都是一个中楣，它具有对称的平移、垂直镜、水平镜、整个中楣旋转180度和滑动反射（平移后是水平反射）。

T： 翻译
R： 旋转180度（或半圈）
H： 水平反射
五： 垂直反射
G： 滑翔反射

已经出现了许多名称系统来指定这7种类型的饰带图案，但可以使用上面的符号来表示特定类型的几何对称。再次，可以证明，在某些情况下，某些对称的存在必然意味着其他对称的存在。

使用字母表中小写或大写字母的日常艺术内容，我们可以看到以下7种可能的饰带图案的代表。

….. L L L……翻译

…..D D D D…平移，水平镜

….V V V……平移，垂直镜

……H H H……平移，垂直镜，水平镜

…..N N N N…。平移，半转（180度旋转）

……p b p b b……平移、滑动反射

…..bpqdbpqd……平移，滑动反射，垂直镜

为了帮助您检查是否了解用于对饰带进行分类的系统，下面是另一个由7个模式组成的集合，其中包括7个模式中的每一个。根据上面的例子，你能看出下面每个模式属于哪种类型吗？

……南沙南沙…。

……天，天，天……

……M M M M…。

…….第二季度第二季度…

……..b b b b……。

…….C C C C…。

……X X X X…。。

唐纳德·克劳（Donald Crowe）强调了对称的一种方法，这是为了帮助那些目标是为他们所看到的模式类型命名的人，即使用一系列问题。通过这种方式，在一小部分问题之后，人们可以说，正在考虑的模式已经确定。不幸的是，正如学术领域中有时发生的情况一样，晶体学家、人类学家和数学家使用的名称并不总是相同的。虽然可以在不同的系统之间转换，但不同的命名系统也有利弊。只需说一句，人们不需要这些命名系统来欣赏说明对称模式的现实世界示例的美丽。下面是两个老师可以用来诱使学生看到图案、艺术和数学之间巧妙联系的图案示例。

最近，Branko Grünbaum（1929-2018）和Geoffrey Shephard（1927-2016）表明，如果图案的主题是离散的（而不是一个可以分解为“基本区域”的连接设计），那么这七种类型的饰带图案可以细化为15种类型的浮雕图案翻译中重复了这一点）。有关连接饰带图案的两个示例，请参阅下图。

克罗还试图普及并让几何学家意识到由数字数组生成的中楣图案——由于约翰·康韦和考克塞特的创新工作，中楣图形的符号有点不同。事实证明，这种饰带图案与以不同方式将凸多边形细分为三角形之间有着惊人的联系。

克劳的遗产

唐纳德·克劳成名的一个原因是，他是杰出数学家哈罗德·斯科特·麦克唐纳德·考克塞特（Harold Scott MacDonald Coxeter）的17名博士生之一。在几何学被其他数学分支黯然失色的时期，考克塞特的工作和写作受到赞扬，这表明几何学并没有死，还有许多重要的几何问题仍然值得研究人员、教师和学生关注。通常，重要的数学思想和概念都是在几何环境中诞生的，但当几何问题可以使用代数技术处理时，它们就完全成熟了。因此，欧几里德（合成几何）早于笛卡尔（分析几何）并不是偶然的。

术语民族数学描述了数学的一个分支，它处理由数学和艺术启发或产生的数学思想，这些数学和艺术在许多文化中长期发展。Don对数学这一部分的贡献包括参考文献中列出的关于巴库巴艺术的论文，以及他对这一领域的兴趣激发了其他人对这些主题的教学和写作。例如，Darrah Chavey是Don的博士生之一，Chavey与威斯康星州Beloit学院的Philip Straffin合作研究民族数学以及与此主题相关的教学课程。

如开头所述，唐最常被引用的出版物是与人类学家多萝西·沃什本联合出版的。沃什本在哈佛大学获得人类学博士学位，她开发了一种独立于数学界关于这些问题的工作的中楣图案和壁纸图案方法。她的工作说明了这样一个观点，即看似理论上的数学思想可以巧妙地应用于新颖的环境中。沃什伯恩发明了一种使用模式来理解文化传播的方法。因此，在两个相邻的村庄，例如在西非，人们可能会看到在某一时期这些村庄的纺织品中使用了不同的图案。然而，在稍后的时期，人们可能会看到第一个村庄的图案出现在另一个村庄的工匠的作品中。对模式的仔细分析可能有助于深入了解贸易模式，从而可以尝试推断不同部落如何随着时间的推移进行互动的信息。

Don与Dorothy Washburn和Claudia Zaslavsky的合作是他作为学者、教师和教育家进一步推动数学事业及其应用的典型尝试。他的遗产将永存！

奉献

唐纳德·沃伦·克劳是个绅士。他试图让世界变得更美好，并帮助他人成为最好的人。我很幸运有他作为老师、导师（他是我的博士论文导师（1968年））和朋友。我每天都想念他。

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